數(shù)學文一輪教學案：第九章第1講　直線的方程和兩條直線的位置關系 Word版含解析

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5第九章直線和圓的方程第1講直線的方程和兩條直線的位置關系考綱展示命題探究1表示直線方向的兩個量(1)直線的傾斜角定義：在平面直角坐標系中，當直線l與x軸相交時(取x軸作為基準)，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角范圍：當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°，故直線的傾斜角的取值范圍為0°<180°.(2)直線的斜率定義：當90°時，tan表示直線l的斜率，用k表示，即ktan；當90°時，直線l的斜率k不存在計算公式：給定兩點p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1x2)，經(jīng)過p1，p2

2、兩點的直線的斜率公式為k.2直線方程的形式及適用條件注意點對直線的傾斜角和斜率的理解每條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每條直線都存在斜率；傾斜角和斜率都是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度在設直線的斜率為k時，就是默認了直線的斜率存在注意檢驗當斜率不存在時是否符合題意. 1思維辨析(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置()(2)坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率()(3)在平面直角坐標系下，任何直線都有點斜式方程()(4)任何直線方程都能寫成一般形式()答案(1)(2)×(3)×(4)2如圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則()ak1&l

3、t;k2<k3bk3<k1<k2ck3<k2<k1dk1<k3<k2答案d解析直線l1的傾斜角1是鈍角，故k1<0，直線l2與l3的傾斜角2與3均為銳角，且2>3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故選d.3過點m(1，2)的直線與x軸、y軸分別交于p、q兩點，若m恰為線段pq的中點，則直線pq的方程為()a2xy0 b2xy40cx2y30 dx2y50答案b解析設p(x0,0)，q(0，y0)，m(1，2)為線段pq中點，x02，y04，直線pq的方程為1.即2xy40.考法綜述高考中對直線方程的考查，一

4、種常見方式是求曲線的切線方程，也可能與其他知識(如圓錐曲線、圓)綜合考查，難度中低檔求直線方程的一種重要方法就是先設直線方程，再求直線方程中的系數(shù)，這種方法叫做待定系數(shù)法運用此方法，要注意各種形式的方程的適用條件，選擇適當?shù)闹本€方程的形式至關重要命題法求直線的斜率、傾斜角及方程典例(1)直線xsiny10的傾斜角的變化范圍是()a. b(0，)c. d.(2)根據(jù)所給條件求直線的方程直線過點(4,0)，傾斜角的正弦值為；直線過點(3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12；直線過點(5,10)，且到原點的距離為5.解析(1)直線xsiny10的斜率是ksin，又1sin1，1k1，當0k1時，傾

5、斜角的范圍是；當1k0時，傾斜角的范圍是.(2)由題設知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式設傾斜角為，則sin(0<<)，ktan±.故所求直線方程為y±(x4)即x3y40或x3y40.由題設知截距不為0，設直線方程為1，又直線過點(3,4)，從而1，解得a4或a9.故所求直線方程為4xy160或x3y90.當斜率不存在時，所求直線方程為x50，符合題意；當斜率存在時，設斜率為k，則所求直線方程為y10k(x5)，即kxy(105k)0.由點到直線的距離公式，得5，解得k.故所求直線方程為3x4y250.綜上知，所求直線方程為x50或3x4y250.答案(1)

6、d(2)見解析【解題法】直線的傾斜角、斜率、方程的求法(1)求傾斜角的取值范圍的一般步驟求出斜率ktan的取值范圍利用正切函數(shù)的單調性，借助圖象，數(shù)形結合，確定傾斜角的取值范圍(2)求斜率的常用方法已知直線上兩點時，由斜率公式k(x1x2)來求斜率已知傾斜角或的三角函數(shù)值時，由ktan(90°)來求斜率方程為axbyc0(b0)的直線的斜率為k.(3)求直線方程的兩種方法直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程，選擇時，應注意各種形式的方程的適用范圍，必要時要分類討論待定系數(shù)法，具體步驟為：a設所求直線方程的某種形式b由條件建立所求參數(shù)的方程(組)c解這個方程(

7、組)求出參數(shù)d把參數(shù)的值代入所設直線方程1.已知點a(1,3)，b(2，1)若直線l：yk(x2)1與線段ab相交，則k的取值范圍是()ak bk2ck或k2 d2k答案d解析由已知直線l恒過定點p(2,1)，如圖所示若l與線段ab相交，則kpakkpb，kpa2，kpb，2k.故選d.2已知等差數(shù)列an的前n項和為sn，且s210，s555，則過點p(n，an)和q(n2，an2)(nn*)的直線的斜率是()a4 b3c2 d1答案a解析設等差數(shù)列an的公差為d，因為s22a1d10，s5(a1a5)5(a12d)55，所以d4，所以kpqd4，故選a.3在直角坐標系xoy中，曲線c：y與直

8、線l：ykxa(a>0)交于m，n兩點(1)當k0時，分別求c在點m和n處的切線方程；(2)y軸上是否存在點p，使得當k變動時，總有opmopn？說明理由解(1)由題設可得m(2，a)，n(2，a)，或m(2，a)，n(2，a)又y，故y在x2處的導數(shù)值為，所以c在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導數(shù)值為，所以c在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點，證明如下：設p(0，b)為符合題意的點，m(x1，y1)，n(x2，y2)，直線pm，pn的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入c的方

9、程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.當ba時，有k1k20，則直線pm的傾斜角與直線pn的傾斜角互補，故opmopn，所以點p(0，a)符合題意1兩條直線的位置關系2兩直線相交交點：直線l1：a1xb1yc10和l2：a2xb2yc20的公共點的坐標與方程組的解一一對應相交方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解；平行方程組無解；重合方程組有無數(shù)個解3距離4對稱問題包括中心對稱和軸對稱(1)中心對稱點關于點對稱：若點m(x1，y1)與n(x，y)關于p(a，b)對稱，則由中點坐標公式得進而求解直線關于點對稱問題的主要解法：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們

10、關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程，或者求出一個對稱點，再利用l1l2，由點斜式得到所求的直線方程(2)軸對稱點關于直線的對稱若兩點p1(x1，y1)與p2(x2，y2)關于直線l：axbyc0對稱，則線段p1p2的中點在對稱軸l上，且連接p1p2的直線垂直于對稱軸l，由方程組可得到點p1關于l對稱的點p2的坐標(x2，y2)(其中a0，x1x2)直線關于直線的對稱：a.若已知直線l1與對稱軸l相交，則交點必在與l1對稱的直線l2上，然后再求出l1上任一個已知點p1關于對稱軸l對稱的點p2，那么經(jīng)過交點及點p2的直線就是l2；b.若已知直線l1與對稱軸l平行，則與l1對稱的直線和

11、l1分別到直線l的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離即可求出l1的對稱直線注意點判斷兩直線位置關系及求距離時注意事項(1)兩條不重合直線平行時，不要忘記兩直線的斜率都不存在的情況；判定兩條直線垂直時，不要忘記一條直線斜率不存在，同時另一條直線斜率等于零的情況(2)使用點到直線的距離公式前必須將直線方程化為一般式；使用兩平行線間的距離公式前一定要把兩直線中x，y的系數(shù)化成分別相等的.1思維辨析(1)若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交()(2)點p(x0，y0)到直線ykxb的距離為.()(3)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離()(4)兩平行線間的距離是一條

12、直線上任一點到另一條直線的距離，也可以看作是兩條直線上各取一點的最短距離()(5)若點a，b關于直線l：ykxb(k0)對稱，則直線ab的斜率等于，且線段ab的中點在直線l上()(6)當直線l1，l2斜率都存在時，若k1k2，則l1l2.()答案(1)×(2)×(3)(4)(5)(6)×2(1)已知過點a(2，m)和b(m,4)的直線與直線2xy10平行，則m的值為()a0 b8c2 d10(2)直線ax3yc0與直線2x3y40的交點在y軸上，則c的值為_答案(1)b(2)4解析(1)由于kab2(m2)，則m8.(2)因為兩直線的交點在y軸上，所以點在第一條直

13、線上，所以c4.3直線x2y10關于x3對稱的直線方程為_答案x2y70解析設m(x，y)為所求直線上的任意一點，則其關于x3對稱的點為(6x，y)，從而有6x2y10，即x2y70，所以直線x2y10關于x3對稱的直線方程為x2y70.考法綜述高考要求能根據(jù)直線方程判斷兩條直線的位置關系，利用平行或垂直求其中一條直線的方程或參數(shù)的取值范圍，考查用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標，求距離和對稱問題等命題法1兩條直線的平行、垂直關系、距離的計算典例1(1)已知兩直線l1：ax2y60和l2：x(a1)y(a21)0.若l1l2，求實數(shù)a的值；試判斷l(xiāng)1與l2是否平行(2)已知點p(2，1)

14、求過p點且與原點距離為2的直線l的方程；求過p點且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？解(1)由直線l1的方程知其斜率為，當a1時，直線l2的斜率不存在，l1與l2不垂直；當a1時，直線l2的斜率為.由·1a.故所求實數(shù)a的值為.由知，當a1時，l1、l2相交，當a1時，直線l1的斜率為，直線l2的斜率為.由l1l2可得，解得a1或a2.當a2時，l1的方程為xy30，l2的方程為xy30，顯然l1與l2重合當a1時，l1的方程為x2y60，l2的方程為x2y0，顯然l1與l2平行所以，當a1時，l1l2；當a2時，l1與l2重合；當a1且a2時，l1與l2不平行(2)過p

15、點的直線l與原點距離為2，而p點坐標為(2，1)，可見，過p(2，1)且垂直于x軸的直線滿足條件，此時l的斜率不存在，其方程為x2.若斜率存在，設l的方程為y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此時l的方程為3x4y100.綜上，可得直線l的方程為x2或3x4y100.作圖可得過p點與原點o的距離最大的直線是過p點且與po垂直的直線，如圖由lop，得klkop1.所以kl2.由直線方程的點斜式得y12(x2)，即2xy50.即直線2xy50是過p點且與原點o距離最大的直線，最大距離為.【解題法】兩直線位置關系問題的解題策略(1)充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決本題的關鍵，對

16、于斜率都存在且不重合的兩條直線l1和l2，l1l2k1k2，l1l2k1·k21.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是否存在一定要特別注意(2)若直線l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，則直線l1l2的充分條件是k1·k21.設l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20.則l1l2a1a2b1b20.命題法2與直線有關的對稱問題典例2已知直線l：2x3y10，點a(1，2)求：(1)點a關于直線l的對稱點a的坐標；(2)直線m：3x2y60關于直線l的對稱直線m的方程；(3)直線l關于點a的對稱直線l的方程解(1)設對稱點a的坐

17、標為(m，n)，由已知可得解得即a.(2)在直線m上取一點，如b(2,0)，則b關于l的對稱點必在m上，設對稱點為b(a，b)，則由得b.設m與l的交點為n，由得n(4,3)又m過n點，由兩點式得直線m的方程為，即9x46y1020.(3)解法一：在l：2x3y10上任取兩點，如m(1,1)，n(4,3)則m，n關于點a的對稱點m，n均在直線l上易知m(3，5)，n(6，7)，由兩點式可得l的方程為2x3y90.解法二：設直線l關于點a的對稱直線l上的任意一點p(x，y)，則點p(x，y)關于點a(1，2)的對稱點p(2x，4y)，點p在直線l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.【解

18、題法】對稱問題的解題策略(1)解決中心對稱問題的關鍵在于運用中點坐標公式，而解決軸對稱問題，一般是轉化為求對稱點的問題，在求對稱點時，關鍵是抓住兩點：一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點的中心在對稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個方程，由“平分”列出一個方程，聯(lián)立求解(2)光線的反射問題具有入射角等于反射角的特點，這樣就有兩種對稱關系，一是入射光線與反射光線關于過反射點且與反射軸垂直的直線(法線)對稱，二是入射光線與反射光線所在直線關于反射軸對稱1.平行于直線2xy10且與圓x2y25相切的直線的方程是()a2xy50或2xy50b2xy0或2xy0c2xy50或2xy50

19、d2xy0或2xy0答案a解析設所求直線的方程為2xyc0(c1)，則，所以c±5，故所求直線的方程為2xy50或2xy50.2已知點a(1,0)，b(1,0)，c(0,1)，直線yaxb(a>0)將abc分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()a(0,1) b.c. d.答案b解析(1)當直線yaxb與ab，bc相交時(如圖1)，由得ye，又易知xd，|bd|1，由sdbe×·，得b.(2)當直線yaxb與ac，bc相交時(如圖2)，由sfcg(xgxf)·|cm|，得b1(0<a<1)，對于任意的a>0恒成立，b，即b.故

20、選b.3已知點o(0,0)，a(0，b)，b(a，a3)若oab為直角三角形，則必有()aba3bba3c(ba3)0d|ba3|0答案c解析若oab為直角三角形，則a90°或b90°.當a90°時，有ba3；當b90°時，有·1，得ba3.故(ba3)0，選c.4在平面直角坐標系xoy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過點p(2，5)，且該曲線在點p處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_答案3解析yax2，y2ax，由題意可得解得ab3.5設mr，過定點a的動直線xmy0和過定點b的動直線mxym30交于點p(x，y)，則|pa|&#

21、183;|pb|的最大值是_答案5解析易知a(0,0)，b(1,3)，且papb，|pa|2|pb|2|ab|210.|pa|·|pb|5(當且僅當|pa|pb|時取“”)(1)過點p(2,3)且在兩坐標軸上的截距相等的直線l的方程為_(2)直線l：ax(a1)y20的傾斜角大于45°，則a的取值范圍是_錯解錯因分析處忽略截距為“0”的情況，導致求解時漏掉直線方程3x2y0而致錯處忽視與x軸垂直的特殊情況，此時直線的斜率不存在，但傾斜角為90°，從而導致漏解正解(1)當截距不為0時，設所求直線方程為1，即xya0.點p(2,3)在直線l上，23a0，a1，此時所求

22、直線l的方程為xy10.當截距為0時，設所求直線方程為ykx，則有32k，即k，此時直線l的方程為yx，即3x2y0.綜上，直線l的方程為xy10或3x2y0.(2)當a1時，直線l的傾斜角為90°，符合要求；當a1時，直線l的斜率為，只要>1或<0即可，解得1<a<或a<1或a>0.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(0，)答案(1)xy10或3x2y0(2)(0，)心得體會時間：50分鐘基礎組1.20xx·棗強中學熱身已知直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x2y40的斜率的倒數(shù)，則直線l的方程為()ayx2 byx2cyx dyx2

23、答案a解析直線x2y40的斜率為，直線l在y軸上截距為2，直線l的方程為yx2，故選a.220xx·衡水中學猜題設直線l與x軸的交點是p，且傾斜角為，若將此直線繞點p按逆時針方向旋轉45°，得到直線的傾斜角為45°，則()a0°180° b0°<135°c0°<180° d0°<<135°答案d解析0°<<135°.選d.320xx·衡水中學一輪檢測一次函數(shù)yx的圖象同時經(jīng)過第一、三、四象限的必要不充分條件是()am&g

24、t;1，且n<1 bmn<0cm>0，且n<0 dm<0，且n<0答案b解析因為yx經(jīng)過第一、三、四象限，故>0，<0，即m>0，n<0，但此為充要條件，因此，其必要不充分條件為mn<0.420xx·冀州中學模擬已知直線l1：x2y10與直線l2：mxy0平行，則實數(shù)m的取值為()a b.c2 d2答案a解析因為直線l1：x2y10與直線l2：mxy0平行，所以0，解得m，故選a.520xx·衡水二中周測已知直線l1：x(a2)y20，l2：(a2)xay10，則“a1”是“l(fā)1l2”的()a充分不必要條件b

25、必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件答案a解析一方面，若a1，則l1：x3y20，l2：3xy10，顯然兩條直線垂直；另一方面，若l1l2，則(a2)a(a2)0，a1或a2，因此，“a1”是“l(fā)1l2”的充分不必要條件，故選a.620xx·棗強中學仿真如果直線(2a5)x(a2)y40與直線(2a)x(a3)y10互相垂直，則a()a2 b2c2，2 d2,0，2答案c解析由題意可知(2a5)(2a)(a2)·(a3)(2a)·(2a5)(a3)(a2)(a2)0，解得a±2，故選c.720xx·衡水二中月考設m，nr，若直線l：m

26、xny10與x軸相交于點a，與y軸相交于點b，且坐標原點o到直線l的距離為，則aob的面積s的最小值為()a. b2c3 d4答案c解析原點o到直線l的距離d，m2n2，在直線l的方程中，令y0可得x，即直線l與x軸交于點a，令x0可得y，即直線l與y軸交于點b，saob|oa|·|ob|··3，當且僅當|m|n|時上式取等號，由于m2n2，故當m2n2時，aob的面積取最小值3.820xx·武邑中學熱身過兩直線2xy50和xy20的交點且與直線3xy10平行的直線方程為_答案3xy0解析聯(lián)立2xy50和xy20，得交點p(1，3)設過點p且與直線3xy

27、10平行的直線方程為3xym0.把點p代入即可得m0.920xx·衡水二中期中已知直線x2y2分別與x軸、y軸相交于a，b兩點，若動點p(a，b)在線段ab上，則ab的最大值為_答案解析直線x2y2與x軸的交點為a(2,0)，與y軸的交點為b(0,1)，由動點p(a，b)在線段ab上，可知0b1，且a2b2，從而a22b，故ab(22b)b2b22b22.由于0b1，故當b時，ab取得最大值.1020xx·棗強中學模擬直線xy10的傾斜角的大小是_答案解析由題意k，即tan，.1120xx·衡水二中期末如圖，已知a(2，0)，b(2,0)，c(0,2)，e(1,0

28、)，f(1,0)，一束光線從f點出發(fā)射到bc上的d點，經(jīng)bc反射后，再經(jīng)ac反射，落到線段ae上(不含端點)，則直線fd斜率的取值范圍為_答案(4，)解析從特殊位置考慮如圖，點a(2,0)，關于直線bc：xy2的對稱點為a1(2,4)，ka1f4.又點e(1,0)關于直線ac：yx2的對稱點為e1(2，1)，點e1(2,1)關于直線bc：xy2的對稱點為e2(1,4)，此時直線e2f的斜率不存在，kfd>ka1f，即kfd(4，)12. 20xx·武邑中學猜題設直線l的方程為(a1)xy2a0(ar)(1)若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程；(2)若a>1，直

29、線l與x、y軸分別交于m、n兩點，o為坐標原點，求omn面積取最小值時，直線l的方程解(1)當直線l經(jīng)過坐標原點時，該直線在兩坐標軸上的截距都為0，此時a20，解得a2，此時直線l的方程為xy0，即xy0；當直線l不經(jīng)過坐標原點，即a2且a1時，由直線在兩坐標軸上的截距相等可得2a，解得a0，此時直線l的方程為xy20.所以直線l的方程為xy0或xy20.(2)由直線方程可得m，n(0，2a)，因為a>1，所以somn××(2a)××2，當且僅當a1，即a0時等號成立此時直線l的方程為xy20.能力組13.20xx·冀州中學仿真已知a、b

30、兩點分別在兩條互相垂直的直線2xy0和xay0上，且ab線段的中點為p，則線段ab的長為()a11 b10c9 d8答案b解析依題意，a2，p(0,5)，設a(x,2x)、b(2y，y)，故則a(4,8)、b(4,2)，|ab|10，故選b.14. 20xx·武邑中學預測l1，l2是分別經(jīng)過a(1,1)，b(0，1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是_答案x2y30解析當兩條平行直線與a、b兩點連線垂直時，兩條平行直線間的距離最大因為kab2，所以兩條平行直線的斜率為，所以直線l1的方程是y1(x1)，即x2y30.1520xx·衡水二中模擬已知直線：xy1(a，b為給定的正常數(shù)，為參數(shù)，0,2)構成的集合為s，給出下列命題：當時，s中直線的斜率為；s中所有直線均經(jīng)過一個定點；當ab時，存在某個定點，該定點到s中的所有直線的距離均相等；當a>b時，s中的兩條平行直線間的距離的最小值為2b；s中的所