共同本征函數(shù)

1、量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù)引入引入下面我們普遍地分析此問題下面我們普遍地分析此問題.當(dāng)體系處于力學(xué)量當(dāng)體系處于力學(xué)量 的本征態(tài)時(shí)的本征態(tài)時(shí),對其測量對其測量,可得一可得一個(gè)確定值個(gè)確定值,而不會(huì)出現(xiàn)漲落而不會(huì)出現(xiàn)漲落.但在其本征態(tài)下去測量但在其本征態(tài)下去測量另一個(gè)力學(xué)量另一個(gè)力學(xué)量 時(shí)時(shí),卻不一定得到一個(gè)確定值卻不一定得到一個(gè)確定值.AB分析下列積分不等式分析下列積分不等式 其中其中, 為體系的為體系的任意任意一個(gè)波函數(shù)一個(gè)波函數(shù), 為為任意實(shí)任意實(shí)參數(shù)參數(shù). 2id0IAB 3.3.1 不確定度關(guān)系的嚴(yán)格證明不確定度關(guān)系的嚴(yán)格證

2、明A,B設(shè)有兩個(gè)任意的力學(xué)量設(shè)有兩個(gè)任意的力學(xué)量 和和量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù),/iCA BC引進(jìn)厄米算符引進(jìn)厄米算符 222IACB222222/2/40ACABCA則則因?yàn)榕c為厄米算符，因?yàn)榕c為厄米算符， 所以所以 AB i,iIABAB 2,i,i,AAABBABB222 ,i,AA BB 222/40BCA2/2CA,則得則得C為實(shí)，不妨取為實(shí)，不妨取量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù)2221,4ABC或表成2211 ,22ABCA B即即 1與與 為厄米算符為厄米

3、算符, 與與 又均為實(shí)數(shù)又均為實(shí)數(shù), 與與 也是厄米的也是厄米的.ABABAAABBB在上式中，在上式中，讓讓,AA ,BB 則則(1)式仍成立式仍成立.再考慮到再考慮到 就可得出就可得出,ABA B221,2ABA B 量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù)1,2ABA B 或簡記為或簡記為(2) 上式就是任意兩個(gè)力學(xué)量上式就是任意兩個(gè)力學(xué)量 與與 在任意量子在任意量子態(tài)下的漲落必須滿足的關(guān)系式態(tài)下的漲落必須滿足的關(guān)系式,即即Heisenberg的的不確不確定定度關(guān)系度關(guān)系(uncertainty relation)的普遍表達(dá)式的普遍表達(dá)式

4、.AB量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù)能是例外能是例外), 或者說他們或者說他們不能有共同本征態(tài)不能有共同本征態(tài).以以找出找出它們的它們的共同本征態(tài)共同本征態(tài). 由由(2)式可以看出式可以看出, 若兩個(gè)力學(xué)量若兩個(gè)力學(xué)量 與與 不不AB對易對易, 則一般說來則一般說來 與與 不能同時(shí)為零不能同時(shí)為零, 即即AB 與與 不能同時(shí)測定不能同時(shí)測定. (但但 的的特殊態(tài)特殊態(tài)可可BA ,0A B反之反之,若兩個(gè)厄米算符若兩個(gè)厄米算符 與與 對易對易, 則可以則可以AB找出這樣的態(tài)找出這樣的態(tài), 使使 與與 同時(shí)滿足同時(shí)滿足, 即可即可0B0A

5、量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù) 坐標(biāo)坐標(biāo) 的共同本征態(tài)的共同本征態(tài),即即 函數(shù)函數(shù), ,x y zr 00 00 x y zrrr 000 xxyyzz000000,xyzxyz 實(shí)0r相應(yīng)本征值為相應(yīng)本征值為例如例如量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù)采用球坐標(biāo)采用球坐標(biāo), 角動(dòng)量的平方算符表示為角動(dòng)量的平方算符表示為2222211sinsinsin l2221sinsinsinzl 3.3.2 的共同本征態(tài)的共同本征態(tài),球諧函數(shù)球諧函數(shù)2,zll由于角動(dòng)量的三個(gè)分量不對易由于角

6、動(dòng)量的三個(gè)分量不對易, 一般無共同本征態(tài)一般無共同本征態(tài).分量分量(例如例如 )的共同本征態(tài)的共同本征態(tài).zl2,0(, , )lx y z l2l,可以找出可以找出但由于但由于與任何一個(gè)與任何一個(gè)量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù) 考慮到考慮到 的本征函數(shù)可以同時(shí)也取為的本征函數(shù)可以同時(shí)也取為的本征態(tài)的本征態(tài)2,0,zl l2lzl i1e,2mm0, 1, 2,m 22Y,Y, l其中其中, 是是 的本征值的本征值( 無量綱無量綱), 待定待定.22l并代入本征方程并代入本征方程 Ym, 的本征函數(shù)已分離變量的本征函數(shù)已分離變量, 即

7、令即令2l此時(shí)此時(shí),量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù)化簡本征方程化簡本征方程,得得221ddsin0,sinddsinm0cos (1), 令令則則222dd10dd1m22222dd120dd1m或或這就是這就是連帶連帶Legendre方程方程.量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù) 在在 區(qū)域中區(qū)域中, 微分方程有兩個(gè)正則奇點(diǎn)微分方程有兩個(gè)正則奇點(diǎn),其余各點(diǎn)均為常點(diǎn)其余各點(diǎn)均為常點(diǎn).11, 時(shí)時(shí),方程有一個(gè)多項(xiàng)式解方程有一個(gè)多項(xiàng)式解(另一解為無窮級數(shù)另一解為無窮級數(shù)), 即連帶即連

8、帶Legendre 多項(xiàng)式多項(xiàng)式0,1,2,l 1 ,l l 可以證明可以證明, 只當(dāng)只當(dāng) ,Pmlml1它在它在區(qū)域中是有界的區(qū)域中是有界的, 是物理上可接受的解是物理上可接受的解.量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù)利用正交歸一性公式利用正交歸一性公式 11!2d21!PPmmlllllmllm 21!1cos2!Pmmlmlllmlm ,1,1,ml lll 0sin dlml mll 滿足滿足定義一個(gè)歸一化的定義一個(gè)歸一化的部分的波函數(shù)部分的波函數(shù)(實(shí)實(shí))量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征

9、 函函 數(shù)數(shù)0,1,2,l ,1,1,ml lll 2*,00dsin d Y,Y, lml mllmm i!21Y,1cose4!Pmmmlmllmllm 所以所以, 的正交歸一的共同本征函數(shù)表示為的正交歸一的共同本征函數(shù)表示為 2,zllYY ,zlmlmlm22Y1Y ,lmlml llYlm為球諧函數(shù)為球諧函數(shù), 它們滿足它們滿足量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù) 在上面的式子中在上面的式子中, 和和 的本征值都是量子化的的本征值都是量子化的.2lzl對于給定對于給定 , 的本征函數(shù)是不確定的的本征函數(shù)是不確定的, 因?yàn)橐驗(yàn)?共有

10、共有 個(gè)簡并態(tài)個(gè)簡并態(tài). 就就是用是用 的本征值來確定這些簡并態(tài)的本征值來確定這些簡并態(tài).,1,1,ml lll l21l Ylm2lzl 軌道角動(dòng)量量子數(shù)軌道角動(dòng)量量子數(shù) 磁量子數(shù)磁量子數(shù)ml量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù)3.3.3 對易力學(xué)量完全集對易力學(xué)量完全集(CSCO)它們的共同本征態(tài)記為它們的共同本征態(tài)記為, 設(shè)有一組彼此獨(dú)立而且互相對易的厄米算符設(shè)有一組彼此獨(dú)立而且互相對易的厄米算符12 (,),A A A 表示一組完備的量子數(shù)表示一組完備的量子數(shù). 設(shè)給定一組量子數(shù)設(shè)給定一組量子數(shù)之后之后, 就能夠完全確定體系的唯一就

11、能夠完全確定體系的唯一一個(gè)可能狀態(tài)一個(gè)可能狀態(tài), 則我們稱則我們稱12(,)A A 構(gòu)成體系的一組構(gòu)成體系的一組對易可對易可觀測量完全集觀測量完全集 (complete set of commuting Observables, 簡記簡記為為CSCO), 在中文教材中在中文教材中,習(xí)慣稱為對易力學(xué)量完全集習(xí)慣稱為對易力學(xué)量完全集, 或簡或簡稱為力學(xué)量完全集稱為力學(xué)量完全集. 對易力學(xué)量完全集的概念與體系的一個(gè)對易力學(xué)量完全集的概念與體系的一個(gè)量子態(tài)的制備密切相關(guān)量子態(tài)的制備密切相關(guān).量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù) 按照態(tài)疊加原理按照態(tài)

12、疊加原理, 體系的任何一個(gè)狀態(tài)體系的任何一個(gè)狀態(tài) 均可用均可用 來展開來展開a利用利用的正交歸一性的正交歸一性, 上式中的展開系數(shù)上式中的展開系數(shù)(,)a可確切定出可確切定出.2a表示表示在在態(tài)下態(tài)下, 測量力學(xué)量測量力學(xué)量A得到得到A值的概率值的概率. 這是波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋的最一般的表述這是波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋的最一般的表述.(這里假定量子數(shù)這里假定量子數(shù),或力學(xué)量或力學(xué)量,A不連續(xù)變化不連續(xù)變化.若若連續(xù)變化連續(xù)變化, 則則,d 而相應(yīng)的展開系數(shù)的模方代表概而相應(yīng)的展開系數(shù)的模方代表概率密度率密度. 例如例如, 坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象的展開坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象的展開, 即屬此情況即屬此情況.)量子力

13、學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù)如體系的如體系的 Hamilton 量不顯含時(shí)間量不顯含時(shí)間(/0),tHt 則則H 為守恒量為守恒量. 在此情況下在此情況下, 如對易力學(xué)量完全集中包含如對易力學(xué)量完全集中包含有體系的有體系的Hamilton量量, 則完全集中各力學(xué)量都是守恒量則完全集中各力學(xué)量都是守恒量,這種完全集又稱為這種完全集又稱為對易守恒量完全集對易守恒量完全集( a complete set ofcommuting conserved observables, 簡記為簡記為CSCCO.)包括包括 H 在內(nèi)的守恒量完全集的共同本征態(tài)在

14、內(nèi)的守恒量完全集的共同本征態(tài), 當(dāng)然是定當(dāng)然是定態(tài)態(tài), 所相應(yīng)的量子數(shù)都稱為所相應(yīng)的量子數(shù)都稱為好量子數(shù)好量子數(shù). 在這種展開中在這種展開中,(無論無論 是什么態(tài)是什么態(tài), 定態(tài)或非定態(tài)定態(tài)或非定態(tài)), 2a是不隨時(shí)間是不隨時(shí)間改變的改變的.量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù)關(guān)于關(guān)于CSCO, 再做幾點(diǎn)說明再做幾點(diǎn)說明:(1) CSCO是限于是限于最小集合最小集合, 即從集合中抽出任何一個(gè)可即從集合中抽出任何一個(gè)可觀測量后觀測量后, 就不再構(gòu)成體系的就不再構(gòu)成體系的CSCO. 所以要求所以要求CSCO中各觀測量是中各觀測量是函數(shù)獨(dú)立的函數(shù)

15、獨(dú)立的.(2) 一個(gè)給定體系的一個(gè)給定體系的CSCO中中, 可觀測量的數(shù)目一般等于可觀測量的數(shù)目一般等于體系自由度的數(shù)目體系自由度的數(shù)目, 但也可以大于體系自由度的數(shù)目但也可以大于體系自由度的數(shù)目.(3) 一個(gè)給定體系往往可以找到多個(gè)一個(gè)給定體系往往可以找到多個(gè)CSCO, 或或CSCCO.在處理具體問題時(shí)在處理具體問題時(shí), 應(yīng)視其側(cè)重點(diǎn)來進(jìn)行選擇應(yīng)視其側(cè)重點(diǎn)來進(jìn)行選擇. 一個(gè)一個(gè)CSCCO的成員的選擇的成員的選擇, 涉及體系的對稱性涉及體系的對稱性.量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù) 體系的量子態(tài)用一組彼此對易的力學(xué)量完全集的共同體系的量

16、子態(tài)用一組彼此對易的力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)來展開本征函數(shù)來展開, 在數(shù)學(xué)上涉及完備性問題在數(shù)學(xué)上涉及完備性問題. 這是一個(gè)頗這是一個(gè)頗為復(fù)雜的問題為復(fù)雜的問題.李政道曾經(jīng)給出關(guān)于本征態(tài)的完備性的李政道曾經(jīng)給出關(guān)于本征態(tài)的完備性的如如下重要的定理下重要的定理.定理定理: 設(shè)設(shè)H為體系的一個(gè)厄米算符為體系的一個(gè)厄米算符, 對于體系的任一態(tài)對于體系的任一態(tài),( ,)/( ,)H 有下界有下界( 即總是大于某一個(gè)固定的數(shù)即總是大于某一個(gè)固定的數(shù)c),但無上界但無上界, 則則H的本征態(tài)的集合的本征態(tài)的集合, 構(gòu)成體系的態(tài)空間中構(gòu)成體系的態(tài)空間中的一個(gè)完備集的一個(gè)完備集, 即體系的任何一個(gè)量子態(tài)都可以

17、用這一即體系的任何一個(gè)量子態(tài)都可以用這一組本征態(tài)完全集來展開組本征態(tài)完全集來展開.量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù)這里有兩點(diǎn)值得提到這里有兩點(diǎn)值得提到:(a) 自然界中真實(shí)存在的物理體系的自然界中真實(shí)存在的物理體系的Hamilton 算符算符H都應(yīng)為厄米算符都應(yīng)為厄米算符(保證所有能量本征值為實(shí)保證所有能量本征值為實(shí)), 并且應(yīng)有并且應(yīng)有下界下界( 能量無下界是不合理的能量無下界是不合理的, 在自然界中未發(fā)現(xiàn)這種在自然界中未發(fā)現(xiàn)這種情況情況). 因此因此, 體系的任一量子態(tài)總可以放心地用包含體系的任一量子態(tài)總可以放心地用包含H在內(nèi)的一個(gè)

18、在內(nèi)的一個(gè)CSCCO的共同本征態(tài)完全集來展開的共同本征態(tài)完全集來展開.(b) 在在H本征值有簡并的情況下本征值有簡并的情況下, 對于給定能量本征值對于給定能量本征值,本征態(tài)尚未完全確定本征態(tài)尚未完全確定, 此時(shí)需要用包含此時(shí)需要用包含Hamilton量在內(nèi)量在內(nèi)的一個(gè)的一個(gè)CSCCO, 根據(jù)他們的本征值把本征態(tài)完全確定下根據(jù)他們的本征值把本征態(tài)完全確定下來來, 以便于對任何量子態(tài)進(jìn)行確切的展開以便于對任何量子態(tài)進(jìn)行確切的展開.量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程(第二版第二版)3.3 3.3 共共 同同 本本 征征 函函 數(shù)數(shù)3.3.4 量子力學(xué)中力學(xué)量用厄米算符表達(dá)量子力學(xué)中力學(xué)量用厄米算符表達(dá) 與與Schrdinger方程是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定一樣方程是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定一樣,量子體系的可觀測量量子體系的可觀測量 (力學(xué)量力學(xué)量) 用一個(gè)線性厄米算符來用一個(gè)線性厄米算符來描述描述, 也是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定也是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定, 它們的正確性應(yīng)它們的正確性應(yīng)該由實(shí)驗(yàn)來判定該由實(shí)驗(yàn)來判定.“量子力學(xué)中力學(xué)量