【2021高考復(fù)習(xí)參考】高三數(shù)學(xué)(理)配套黃金練習(xí)：10-7

第十章10.7第七課時(shí)高考數(shù)學(xué)（理）黃金配套練習(xí)一、選擇題1．某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量ξ描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(ξ＝1)等于()A．0B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案D解析設(shè)失敗率為p，則成功率為2p，分布列為ξ01Pp2p由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3)，∴2p＝eq\f(2,3).2．設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列為P(ξ＝i)＝a(eq\f(2,3))i，i＝1,2,3，則a的值是()A.eq\f(17,38)B.eq\f(27,38)C.eq\f(17,19)D.eq\f(27,19)答案B解析1＝p(ξ＝1)＋p(ξ＝2)＋p(ξ＝3)＝a[eq\f(2,3)＋(eq\f(2,3))2＋(eq\f(2,3))3]解得a＝eq\f(27,38).3．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：P(ξ＝k)＝eq\f(1,2k)(k＝1,2，…)．則P(2<ξ≤4)等于()A.eq\f(3,16)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,16)D.eq\f(5,16)答案A解析P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＝eq\f(3,16).二、填空題4．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)則P＝(|X－3|＝1)＝________.答案eq\f(5,12)解析eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，解得m＝eq\f(1,4)，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12).5．隨機(jī)變量η的分布列如下：η123456P0.2x0.350.10.150.2則①x＝________；②P(η>3)＝________；③P(1<η≤4)＝________.答案①0②0.45③0.456．已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球．設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則ξ的分布列為_(kāi)_______．解析ξ可能取的值為0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(7,15)，又P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,30)，∴P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(7,15)－eq\f(1,30)＝eq\f(3,10).∴ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,5)eq\f(7,15)eq\f(3,10)eq\f(1,30)7.盒中裝有8個(gè)乒乓球，其中6個(gè)新的，2個(gè)舊的，從盒中任取2個(gè)來(lái)用，用完后放回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)以下ξ的分布列.ξ234P答案ξ234Peq\f(1,28)eq\f(3,7)eq\f(15,28)解析“ξ＝2”表示用完放回后盒中只有2個(gè)舊球，所以在取球時(shí)已經(jīng)將原來(lái)2個(gè)舊球全部取出，∴P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,)2,C\o\al(2,)8)＝eq\f(1,28).“ξ＝3”表明原來(lái)2個(gè)舊球只取1個(gè)，∴P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,)6C\o\al(1,)2,C\o\al(2,)8)＝eq\f(3,7).“ξ＝4”表明原來(lái)2個(gè)舊球1個(gè)不?。郟(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(2,)6,C\o\al(2,)8)＝eq\f(15,28).三、解答題8．從一批含有13只正品，2只次品的產(chǎn)品中，不放回任取3件，求取得次品數(shù)為ξ的分布列．解析本題是超幾何分布，可利用超幾何分布的概率公式求解．設(shè)隨機(jī)變量ξ表示取出次品的個(gè)數(shù)，則ξ聽(tīng)從超幾何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.它的可能的取值為0,1,2.相應(yīng)的概率依次為P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(22,35)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(12,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(1,35).所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(22,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)9.某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過(guò)疫區(qū)，B確定是受A感染的．對(duì)于C，因犯難以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是eq\f(1,2).同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是eq\f(1,3).在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個(gè)隨機(jī)變量．寫(xiě)出X的分布列(不要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程)．解析隨機(jī)變量X的分布列是X123Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)10.有5支不同標(biāo)價(jià)的圓珠筆，分別標(biāo)有10元、20元、30元、40元、50元．從中任取3支，若以ξ表示取到的圓珠筆中的最高標(biāo)價(jià)，試求ξ的分布列．解析ξ的可能取值為30,40,50.P(ξ＝30)＝eq\f(1,C\o\al(3,)5)＝eq\f(1,10)，P(ξ＝40)＝eq\f(C\o\al(2,)3,C\o\al(3,)5)＝eq\f(3,10)，P(ξ＝50)＝eq\f(C\o\al(2,)4,C\o\al(3,)5)＝eq\f(3,5)，分布列為ξ304050Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)11.從一批含有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取產(chǎn)品，設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性相同，在下列三種狀況下，分別求出直到取出合格品為止時(shí)所需抽取次數(shù)ξ的分布列：(Ⅰ)每次取出的產(chǎn)品都不放回此批產(chǎn)品中；(Ⅱ)每次取出的產(chǎn)品都馬上放回此批產(chǎn)品中，然后再取出一件產(chǎn)品；(Ⅲ)每次取出一件產(chǎn)品后總以一件合格品放回此批產(chǎn)品中．解析(Ⅰ)隨機(jī)變量X的取值為1,2,3,4，且有P(X＝1)＝eq\f(10,13)，P(X＝2)＝eq\f(3,13)×eq\f(10,12)＝eq\f(5,26)，P(X＝3)＝eq\f(3,13)×eq\f(2,12)×eq\f(10,11)＝eq\f(5,143)，P(X＝4)＝eq\f(3,13)×eq\f(2,12)×eq\f(1,11)×eq\f(10,10)＝eq\f(1,286)，∴X的分布列為X1234Peq\f(10,13)eq\f(5,26)eq\f(5,143)eq\f(1,286)(Ⅱ)Y的取值為1,2,3，…，n，…且P(Y＝1)＝eq\f(10,13)，P(Y＝2)＝eq\f(3,13)×eq\f(10,13)，P(Y＝3)＝eq\f(3,13)×eq\f(3,13)×eq\f(10,13)，……，P(Y＝n)＝(eq\f(3,13))n－1×eq\f(10,13)，(n＝1,2,3……)∴Y的分布列為Y123…n…Peq\f(10,13)eq\f(3,13)×eq\f(10,13)(eq\f(3,13))2×eq\f(10,13)…(eq\f(3,13))n－1×eq\f(10,13)…(Ⅲ)Z的取值為1,2,3,4且P(Z＝1)＝eq\f(10,13)，P(Z＝2)＝eq\f(3,13)×eq\f(11,13)＝eq\f(33,132)P(Z＝3)＝eq\f(3,13)×eq\f(2,13)×eq\f(12,13)＝eq\f(72,133)，P(Z＝4)＝eq\f(3,13)×eq\f(2,13)×eq\f(1,13)×eq\f(13,13)＝eq\f(6,133)，∴Z的分布列為Z1234Peq\f(10,13)eq\f(33,132)eq\f(72,133)eq\f(6,133)12.某爭(zhēng)辯機(jī)構(gòu)預(yù)備進(jìn)行一次數(shù)學(xué)新課程研討會(huì)，共邀請(qǐng)50名一線老師參與，使有不同版本教材的老師人數(shù)如下表所示：版本人教A版人教B版蘇教版北師大版人數(shù)2015510(1)從這50名老師中隨機(jī)選出2名，求2人所使用版本相同的概率；(2)若隨機(jī)選出2名使用人教版的老師發(fā)言，設(shè)使用人教A版的老師人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列．解析(1)從50名老師中隨機(jī)選出2名的方法數(shù)為Ceq\o\al(2,50)＝1225.選出2人使用版本相同的方法數(shù)為Ceq\o\al(2,20)＋Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,10)＝350.故2人使用版本相同的概率為：P＝eq\f(350,1225)＝eq\f(2,7).(2)∵P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,15),C\o\al(2,35))＝eq\f(3,17)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,15),C\o\al(2,35))＝eq\f(60,119)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20),C\o\al(2,35))＝eq\f(38,119)，∴ξ的分布列為ξ012Peq\f(3,17)eq\f(60,119)eq\f(38,119)13.亞洲聯(lián)合館(一)與歐洲聯(lián)合館(一)分別位于上海世博展館的A片區(qū)與C片區(qū)：其中亞洲聯(lián)合館(一)包括馬爾代夫館、東帝汶館、吉爾吉斯斯坦館、孟加拉館、塔吉克斯坦館、蒙古館等6個(gè)展館；歐洲聯(lián)合館(一)包括馬耳他館、圣馬力諾館、列支敦士登館、塞浦路斯館等4個(gè)展館．某旅游團(tuán)擬從亞洲聯(lián)合館(一)與歐洲聯(lián)合館(一)中的10個(gè)展館中選擇4個(gè)展館參觀，參觀每一個(gè)展館的機(jī)會(huì)是相同的．(1)求選擇的4個(gè)展館中恰有孟加拉館與列支敦士登館的概率；(2)記X為選擇的4個(gè)展館中包含有亞洲聯(lián)合館(一)的展館的個(gè)數(shù)，寫(xiě)出X的分布列并求X的數(shù)學(xué)期望．解析(1)旅游團(tuán)從亞洲聯(lián)合館一與歐游聯(lián)合館一中的10個(gè)展館中選擇4個(gè)展館參觀的總結(jié)果數(shù)為Ceq\o\al(4,10)＝210，記大事A為選擇的4個(gè)展館中恰有孟加拉館與列支敦士登館，依題意可知我們必需再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)展館中選擇2個(gè)展館，其方法數(shù)是Ceq\o\al(2,8)＝28，所以P(A)＝eq\f(28,210)＝eq\f(2,15).(2)依據(jù)題意可知X可能的取值為0,1,2,3,4.X＝0表示只參觀歐洲聯(lián)合館一中的4個(gè)展館，不參觀亞洲聯(lián)合館一中的展館，這時(shí)P(X＝0)＝eq\f(1,C\o\al(4,10))＝eq\f(1,210)，X＝1表示參觀歐洲聯(lián)合館一中的3個(gè)展館，參觀亞洲聯(lián)合館一中的1個(gè)展館，這時(shí)P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(24,210)，X＝2表示參觀歐洲聯(lián)合館一中的2個(gè)展館，參觀亞洲聯(lián)合館一中的2個(gè)展館，這時(shí)P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(2,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(90,210)，X＝3表示參觀歐洲聯(lián)合館一中的1個(gè)展館，參觀亞洲聯(lián)合館一中的3個(gè)展館，這時(shí)P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4)·C\o\al(3,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(80,210)，X＝4表示參觀亞洲聯(lián)合館中的4個(gè)展館，這時(shí)P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(15,210).所以X的分布列為：X01234Peq\f(1,210)eq\f(24,210)eq\f(90,210)eq\f(80,210)eq\f(15,210)X的數(shù)學(xué)期望為EX＝0×eq\f(1,210)＋1×eq\f(24,210)＋2×eq\f(90,210)＋3×eq\f(80,210)＋4×eq\f(15,210)＝eq\f(252,105).拓展練習(xí)·自助餐1．某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)4萬(wàn)元，若是二等品則虧損1萬(wàn)元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)6萬(wàn)元，若是二等品則虧損2萬(wàn)元．設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨(dú)立．(1)記X(單位：萬(wàn)元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)，求X的分布列；(2)求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率．解析(1)由題設(shè)知，X的可能取值為10,5,2，－3，且P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.由此得X的分布列為：X－32510P0.020.080.180.72(2)設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n件，則二等品有4－n件．由題設(shè)知4n－(4－n)≥10，解得n≥eq\f(14,5)，又n∈N，得n＝3，或n＝4.所以P＝Ceq\o\al(3,4)×0.83×0.2＋Ceq\o\al(4,4)×0.84＝0.8192.故所求概率為0.8192.2．在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列．(2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率．解析(1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為Ceq\o\al(3,10)，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為Ceq\o\al(k,3)Ceq\o\al(3－k,7)，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，k＝0,1,2,3.所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)(2)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為大事A.“恰好取出1件一等品和2件三等品”為大事A1，“恰好取出2件一等品”為大事A2，“恰好取出3件一等品”為大事A3.由于大事A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,40)，P(A2)＝P(X＝2)＝eq\f(7,40)，P(A3)＝P(X＝3)＝eq\f(1,120)，所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,40)＋eq\f(7,40)＋eq\f(1,120)＝eq\f(31,120).3．一個(gè)盒子中裝有六張卡片，上面分別寫(xiě)著如下六個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.(1)現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；(2)現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則連續(xù)進(jìn)行．求抽取次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．解析(1)記大事A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，所以P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5).(2)ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))·eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))·eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))·eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,4))＝eq\f(3,20)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))·eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))·eq\f(C\o\al(1,1),C\o\al(1,4))·eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,3))＝eq\f(1,20)；故ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(3,20)eq\f(1,20)Eξ＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,20)＝eq\f(7,4).答：ξ的數(shù)學(xué)期望為eq\f(7,4