【推薦文檔】排列組合常用解題策略-可編輯

1、排列組合應(yīng)用題的常用解題策略排列組合問(wèn)題是高考的必考題，它聯(lián)系實(shí)際牛動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握， 實(shí)踐證明，掌握題型和解題方法，識(shí)別模式，熟練運(yùn)用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑; 下而就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略。供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考1相鄰問(wèn)題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的兒個(gè)元索“捆綁”在一起看作一個(gè)元索與其它元索進(jìn)行排 列，然后再對(duì)這幾個(gè)元素進(jìn)行全排列。（即注意“松綁"）例1. （1996年全國(guó)文）6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同的排法有（） a、720 b、360 種 c、240 種 d、120解析：把甲、乙兩人視為一人，這樣6個(gè)人看作5個(gè)人，5個(gè)人的

2、排法有種，甲乙兩人還有順 序問(wèn)題，所以排法種數(shù)為故選c2. 不相鄰問(wèn)題插空排:元素不相鄰問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的不 相鄰的兒個(gè)元素插入上述兒個(gè)元素的空位和兩端.例2. （2006年重慶文）高三（一）班需要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂(lè)節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1 個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（）（a） 1800（b） 3600（c） 4320（d） 5040解析：先將4個(gè)音樂(lè)節(jié)目，1個(gè)曲藝節(jié)忖排列冇種，再將2個(gè)舞蹈節(jié)忖插入其中的6個(gè)“空”， 有種插入方法，即得不同的排法共有種，故選b3. 定序問(wèn)題縮倍法:在排列問(wèn)題屮限制某兒個(gè)元索必須保持一定的順

3、序，可川縮小倍數(shù)的方法.例3. （2006年江蘇理）今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球 排成一列有種不同的方法（用數(shù)字作答）o解析：同色球不加以區(qū)分（即屬相同元素排列的消序問(wèn)題）,先全排列,在消去各自的順序即 可，則將這9個(gè)球排成一列共有種不同的方法。故填12604. 標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)（某些）元素按規(guī)定排入，笫二 步再排另一個(gè)（一些）元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4. （2000全國(guó)文理）乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員有3名主力隊(duì)員，派5名參加比賽，3名主力隊(duì) 員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，那么不同

4、的出場(chǎng) 安排共有.（用數(shù)字作答）解析：3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置有種方法，從其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、 四位置有種，共有種，故填2525. 有序分配問(wèn)題逐分法:有序分配問(wèn)題指把元索分成若干組，可用逐步下量分組法.例5. （2002年北京理）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個(gè)路口 4人， 則不同的分配方案有（）a、種 b、種 c、種 d、種解析：先從12名同學(xué)中選出4名同學(xué)分配到第一個(gè)路口，再?gòu)氖Ｏ碌?名同學(xué)中選4名同學(xué) 分配到第二個(gè)路口，最后的4名同學(xué)分配到第三個(gè)路口，共有種，故選a6. 全員分配問(wèn)題分組法：分配的元素多于對(duì)象ii毎一對(duì)象都冇元素分配時(shí)常用先分組

5、再分配. 例6. （2004全國(guó)iii）將4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名，則不同的分配方案 共有（）a. 12 種b. 24 種c. 36 種d. 48 種解析：把四名教師分成3組只有一種分法（即2、1、1型）有（因?yàn)榫植可婕暗狡骄殖蓛?組問(wèn)題，所以必須除以）種方法，再把三組教師分配到三所學(xué)校冇種，故共冇種方法.故選c7. 名額分配問(wèn)題隔板法：對(duì)于和同元素的分組這類典型問(wèn)題，可用“隔板''法求解。例7：某學(xué)校要從高三的6個(gè)班中派9名同學(xué)參加市中學(xué)生外語(yǔ)口語(yǔ)演講，每班至少派1人， 則這9個(gè)名額的分配方案共有種.（用數(shù)字作答）解析：將9個(gè)名額視為9個(gè)相同的小球排成一

6、排為：，然后在9個(gè)小球的8個(gè)空位屮插入5塊 木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種放法，故共有不同的放法為利i故應(yīng)填56&限制條件的分配問(wèn)題分類法：例8. （2005福建文，理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，耍 求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不 同的選擇方案共有（）a. 300 種b. 240 種c. 144 種d. 96 種解析：因?yàn)閰n乙有限制條件，所以按照是否含有卬乙來(lái)分類，有以下四種情況：若甲乙都不選，則有種；若選甲而不選乙，則有種；若選乙而不選甲，則有種；若 甲乙都選，則有所以共有不同的選擇方案總數(shù)為種.故選 b9

7、. 多元問(wèn)題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)來(lái)要求分成不相容的兒類悄況分別計(jì) 數(shù)，最后總計(jì).例：9 （2003年北京春）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè) 新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)日插入原節(jié)h單中，那么不同插法的種數(shù)為（）a. 42b. 30c. 20d. 12解析1：對(duì)新增的2個(gè)節(jié)目分類：不相鄰：有種，相鄰：有種，故不同插法的種數(shù)為+=42 種。故選a解析2：利用“分步原理首先在原5個(gè)節(jié)目的6個(gè)“空隙”中插入一個(gè)節(jié)目?jī)?種，然后再在 這6個(gè)節(jié)目的7個(gè)“空隙”中插入一個(gè)節(jié)目有7利a因此共有種。故選a10. 交義問(wèn)題集介法：某些排列組介問(wèn)題兒部分之間有交集，可用集

8、介屮求元素個(gè)數(shù)公式.例1（）. （2006年湖北文）安排5名歌手的演出順序時(shí)，要求某名歌手不第一個(gè)出場(chǎng)，另一名 歌手不最后一個(gè)出場(chǎng)，不同排法的種數(shù)是.（用數(shù)學(xué)作答）解:解析:設(shè)全集=（5名歌手的出場(chǎng)順序排列, a= 某名歌手不第一個(gè)出場(chǎng), b= 另一 名歌手不最后一個(gè)出場(chǎng),根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得排法的種數(shù)共有：=種.故應(yīng)填7811定位問(wèn)題優(yōu)先法：某個(gè)或兒個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或兒個(gè)元素；再排其它的 元素。例11. （2006全國(guó)i）安排7位工作人員在5月1 至5月7 值班，每人值班一天，其中卬、 乙二人都不安排在5月1 fi和2 fi.不同的安排方法共有種.（用數(shù)字作答）解析：甲

9、、乙二人安排在5月3日至5月7日值班有種，其余5人安排有種方法;所以共有種。. 故應(yīng)填240012. 多排問(wèn)題單排法:把元素排成兒排的問(wèn)題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例12. 6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是（）a、36 種 b、120 種 c、720 種 d、1440 種解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共種，選.13. “至少”“至多”問(wèn)題用分類法或間接排除法：對(duì)于含“至多”或“至少,啲排列組合問(wèn)題，若直接 解答多需進(jìn)行復(fù)雜討論，可以考慮“總體去雜"，即將總體中不符介條件的排列或組介刪除掉， 從而計(jì)算出符合條件的

10、排列組合數(shù)的方法.例13. （2005全國(guó)i）從6名男牛和4名女牛中，選出3名代表，要求至少包含1名女牛，則不 同的選法種.解析1：至少包含1名女生分為：1女2男有種；2女1男有種；3女有種，故不同的 選法共有+ + =100種，故應(yīng)填100解析2：逆向思考，至少包含1名女生的反i何就是1名女生也沒(méi)冇，故不同的収法共冇種，故 應(yīng)填10014. 選排問(wèn)題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定的位置上，可用 先取后排法.例14. （2006年福建文）從4名男生和3名女生屮選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若 這3人中至少有1名女生，則選派方案共有（）（a） 108 種（b） 1

11、86 種（c） 216 種（d） 270 種解析1：以女牛為主分三類：1女2男有種；2女1男 種；3女有種， 故共有（+ ） =186種選派方案。選.b 解析2：間接法：種選派方案。選.b15. 部分合條件問(wèn)題排除法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條 件數(shù)，即為所求.例15. （2002年全國(guó)文理）從止方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共 有 （）a. 8 種b. 12 種c. 16 種d. 20 種解析：從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)|何共有種，剔除8個(gè)角上3個(gè)相鄰平|何，即選.b16. 可重復(fù)的排列求幕法:允許重復(fù)排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元索為研究對(duì)象，元素

12、不受位置的約 束，可逐一安排元素的位置，-般地個(gè)不同元素排在個(gè)不同位置的排列數(shù)有種方法.例16. （2007年全國(guó)ii） 5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小纟fl,每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組, 則不同的報(bào)名方法共有（）（a） 10 種（b） 20 種（c） 25 種（d） 32 種解析：完成此事共分5步，第一步；將第一位同學(xué)報(bào)名課外活動(dòng)小組有2種第二步：將第二位同學(xué)報(bào)名課外活動(dòng)小組也有2種，依次類推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有種不 同報(bào)名方法。故選d17. 數(shù)的人小排列問(wèn)題查字典法：對(duì)于數(shù)的人小順序排列問(wèn)題，可以采用“查字典”的方法，從 高位到低為位依次確定。例17. （2004全國(guó)ii）在市數(shù)字1,

13、2, 3, 4, 5組成的所有沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145 且小于43521的數(shù)共有（）a. 56 個(gè)b. 57 個(gè)c. 58 個(gè)d. 60 個(gè)解析：查首位：型有種；査前兩位：型和型共有種；另外還有：共有種；査 前三位：型和型共有種；另外還有：共有 種； 查前三位：只冇43512 種，另外還冇23154 一種。故共有:種。故選c1&復(fù)朵排列組合問(wèn)題構(gòu)造模型法：例18.馬路上有編號(hào)為1, 2, 3., 9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二 盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，則滿足條件的關(guān)燈方案有種.（用數(shù)字作答）解析：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中

14、插入3盞不亮的燈種方法，所以 滿足條件的關(guān)燈方案有10種，故應(yīng)填10說(shuō)明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如境空模型，排隊(duì)模型，裝盒 模型可使問(wèn)題容易解決.19. 元索個(gè)數(shù)較少的排列組合問(wèn)題可以考慮枚舉法：例：9 （2005年湖北文）將標(biāo)號(hào)為1, 2,10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1, 2,10的10個(gè)盒子里，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，恰好3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法種數(shù) 為（）a. 120b. 240c. 360d. 720解析：從10個(gè)球屮取出7個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有種，還剩下3個(gè)球與3個(gè)盒子序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用 枚舉法分析，如果剩下3, 4, 5號(hào)球與3, 4, 5號(hào)盒子時(shí)，3號(hào)

15、球不能裝入3號(hào)盒子，當(dāng)3號(hào) 球裝入4號(hào)盒子時(shí)，4, 5號(hào)球只有1種裝法，3號(hào)球裝入5號(hào)盒子時(shí)，4, 5號(hào)球也只有1種 裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為利i故應(yīng)填24020. 復(fù)雜的排列組合問(wèn)題也可用分解與合成法：例20：正方體8個(gè)頂點(diǎn)可連成異而直線有隊(duì)（用數(shù)字作答）解析：因?yàn)樗拿骟w中僅有3對(duì)界面直線，可將問(wèn)題分解成止方體的8個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成多少個(gè)不 同的四ifii體，從正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四面體冇個(gè)，所以8個(gè)頂點(diǎn)可連成的 異面直線有3x58=174對(duì)。故應(yīng)填17421. 利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對(duì)應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它町以將復(fù)朵的問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題處理.例21.圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有種（用數(shù)字作答）解析：因?yàn)閷囊粋€(gè)內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線相交于関內(nèi)一點(diǎn)，一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形就對(duì)應(yīng)