【推薦文檔】排列組合常用解題策略-可編輯

1、排列組合應(yīng)用題的常用解題策略排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實際牛動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握， 實踐證明，掌握題型和解題方法，識別模式，熟練運用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑; 下而就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略。供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考1相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的兒個元索“捆綁”在一起看作一個元索與其它元索進(jìn)行排 列，然后再對這幾個元素進(jìn)行全排列。（即注意“松綁"）例1. （1996年全國文）6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同的排法有（） a、720 b、360 種 c、240 種 d、120解析：把甲、乙兩人視為一人，這樣6個人看作5個人，5個人的

2、排法有種，甲乙兩人還有順 序問題，所以排法種數(shù)為故選c2. 不相鄰問題插空排:元素不相鄰問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的不 相鄰的兒個元素插入上述兒個元素的空位和兩端.例2. （2006年重慶文）高三（一）班需要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1 個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（）（a） 1800（b） 3600（c） 4320（d） 5040解析：先將4個音樂節(jié)目，1個曲藝節(jié)忖排列冇種，再將2個舞蹈節(jié)忖插入其中的6個“空”， 有種插入方法，即得不同的排法共有種，故選b3. 定序問題縮倍法:在排列問題屮限制某兒個元索必須保持一定的順

3、序，可川縮小倍數(shù)的方法.例3. （2006年江蘇理）今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球 排成一列有種不同的方法（用數(shù)字作答）o解析：同色球不加以區(qū)分（即屬相同元素排列的消序問題）,先全排列,在消去各自的順序即 可，則將這9個球排成一列共有種不同的方法。故填12604. 標(biāo)號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個（某些）元素按規(guī)定排入，笫二 步再排另一個（一些）元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4. （2000全國文理）乒乓球隊的10名隊員有3名主力隊員，派5名參加比賽，3名主力隊 員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同

4、的出場 安排共有.（用數(shù)字作答）解析：3名主力隊員要安排在第一、三、五位置有種方法，從其余7名隊員選2名安排在第二、 四位置有種，共有種，故填2525. 有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元索分成若干組，可用逐步下量分組法.例5. （2002年北京理）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個路口 4人， 則不同的分配方案有（）a、種 b、種 c、種 d、種解析：先從12名同學(xué)中選出4名同學(xué)分配到第一個路口，再從剩下的8名同學(xué)中選4名同學(xué) 分配到第二個路口，最后的4名同學(xué)分配到第三個路口，共有種，故選a6. 全員分配問題分組法：分配的元素多于對象ii毎一對象都冇元素分配時常用先分組

5、再分配. 例6. （2004全國iii）將4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名，則不同的分配方案 共有（）a. 12 種b. 24 種c. 36 種d. 48 種解析：把四名教師分成3組只有一種分法（即2、1、1型）有（因為局部涉及到平均分成兩 組問題，所以必須除以）種方法，再把三組教師分配到三所學(xué)校冇種，故共冇種方法.故選c7. 名額分配問題隔板法：對于和同元素的分組這類典型問題，可用“隔板''法求解。例7：某學(xué)校要從高三的6個班中派9名同學(xué)參加市中學(xué)生外語口語演講，每班至少派1人， 則這9個名額的分配方案共有種.（用數(shù)字作答）解析：將9個名額視為9個相同的小球排成一

6、排為：，然后在9個小球的8個空位屮插入5塊 木板，每一種插法對應(yīng)著一種放法，故共有不同的放法為利i故應(yīng)填56&限制條件的分配問題分類法：例8. （2005福建文，理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，耍 求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不 同的選擇方案共有（）a. 300 種b. 240 種c. 144 種d. 96 種解析：因為卬乙有限制條件，所以按照是否含有卬乙來分類，有以下四種情況：若甲乙都不選，則有種；若選甲而不選乙，則有種；若選乙而不選甲，則有種；若 甲乙都選，則有所以共有不同的選擇方案總數(shù)為種.故選 b9

7、. 多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)來要求分成不相容的兒類悄況分別計 數(shù)，最后總計.例：9 （2003年北京春）某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個 新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)日插入原節(jié)h單中，那么不同插法的種數(shù)為（）a. 42b. 30c. 20d. 12解析1：對新增的2個節(jié)目分類：不相鄰：有種，相鄰：有種，故不同插法的種數(shù)為+=42 種。故選a解析2：利用“分步原理首先在原5個節(jié)目的6個“空隙”中插入一個節(jié)目冇6種，然后再在 這6個節(jié)目的7個“空隙”中插入一個節(jié)目有7利a因此共有種。故選a10. 交義問題集介法：某些排列組介問題兒部分之間有交集，可用集

8、介屮求元素個數(shù)公式.例1（）. （2006年湖北文）安排5名歌手的演出順序時，要求某名歌手不第一個出場，另一名 歌手不最后一個出場，不同排法的種數(shù)是.（用數(shù)學(xué)作答）解:解析:設(shè)全集=（5名歌手的出場順序排列, a= 某名歌手不第一個出場, b= 另一 名歌手不最后一個出場,根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得排法的種數(shù)共有：=種.故應(yīng)填7811定位問題優(yōu)先法：某個或兒個元素要排在指定位置，可先排這個或兒個元素；再排其它的 元素。例11. （2006全國i）安排7位工作人員在5月1 至5月7 值班，每人值班一天，其中卬、 乙二人都不安排在5月1 fi和2 fi.不同的安排方法共有種.（用數(shù)字作答）解析：甲

9、、乙二人安排在5月3日至5月7日值班有種，其余5人安排有種方法;所以共有種。. 故應(yīng)填240012. 多排問題單排法:把元素排成兒排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例12. 6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是（）a、36 種 b、120 種 c、720 種 d、1440 種解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共種，選.13. “至少”“至多”問題用分類法或間接排除法：對于含“至多”或“至少,啲排列組合問題，若直接 解答多需進(jìn)行復(fù)雜討論，可以考慮“總體去雜"，即將總體中不符介條件的排列或組介刪除掉， 從而計算出符合條件的

10、排列組合數(shù)的方法.例13. （2005全國i）從6名男牛和4名女牛中，選出3名代表，要求至少包含1名女牛，則不 同的選法種.解析1：至少包含1名女生分為：1女2男有種；2女1男有種；3女有種，故不同的 選法共有+ + =100種，故應(yīng)填100解析2：逆向思考，至少包含1名女生的反i何就是1名女生也沒冇，故不同的収法共冇種，故 應(yīng)填10014. 選排問題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可用 先取后排法.例14. （2006年福建文）從4名男生和3名女生屮選出3人，分別從事三項不同的工作，若 這3人中至少有1名女生，則選派方案共有（）（a） 108 種（b） 1

11、86 種（c） 216 種（d） 270 種解析1：以女牛為主分三類：1女2男有種；2女1男 種；3女有種， 故共有（+ ） =186種選派方案。選.b 解析2：間接法：種選派方案。選.b15. 部分合條件問題排除法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條 件數(shù)，即為所求.例15. （2002年全國文理）從止方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共 有 （）a. 8 種b. 12 種c. 16 種d. 20 種解析：從正方體的6個面中選取3個|何共有種，剔除8個角上3個相鄰平|何，即選.b16. 可重復(fù)的排列求幕法:允許重復(fù)排列問題的特點是以元索為研究對象，元素

12、不受位置的約 束，可逐一安排元素的位置，-般地個不同元素排在個不同位置的排列數(shù)有種方法.例16. （2007年全國ii） 5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小纟fl,每位同學(xué)限報其中的一個小組, 則不同的報名方法共有（）（a） 10 種（b） 20 種（c） 25 種（d） 32 種解析：完成此事共分5步，第一步；將第一位同學(xué)報名課外活動小組有2種第二步：將第二位同學(xué)報名課外活動小組也有2種，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有種不 同報名方法。故選d17. 數(shù)的人小排列問題查字典法：對于數(shù)的人小順序排列問題，可以采用“查字典”的方法，從 高位到低為位依次確定。例17. （2004全國ii）在市數(shù)字1,

13、2, 3, 4, 5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145 且小于43521的數(shù)共有（）a. 56 個b. 57 個c. 58 個d. 60 個解析：查首位：型有種；査前兩位：型和型共有種；另外還有：共有種；査 前三位：型和型共有種；另外還有：共有 種； 查前三位：只冇43512 種，另外還冇23154 一種。故共有:種。故選c1&復(fù)朵排列組合問題構(gòu)造模型法：例18.馬路上有編號為1, 2, 3., 9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二 盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，則滿足條件的關(guān)燈方案有種.（用數(shù)字作答）解析：把此問題當(dāng)作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中

14、插入3盞不亮的燈種方法，所以 滿足條件的關(guān)燈方案有10種，故應(yīng)填10說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如境空模型，排隊模型，裝盒 模型可使問題容易解決.19. 元索個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法：例：9 （2005年湖北文）將標(biāo)號為1, 2,10的10個球放入標(biāo)號為1, 2,10的10個盒子里，每個盒內(nèi)放一個球，恰好3個球的標(biāo)號與其在盒子的標(biāo)號不一致的放入方法種數(shù) 為（）a. 120b. 240c. 360d. 720解析：從10個球屮取出7個與盒子對號有種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應(yīng)，利用 枚舉法分析，如果剩下3, 4, 5號球與3, 4, 5號盒子時，3號

15、球不能裝入3號盒子，當(dāng)3號 球裝入4號盒子時，4, 5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4, 5號球也只有1種 裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為利i故應(yīng)填24020. 復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法：例20：正方體8個頂點可連成異而直線有隊（用數(shù)字作答）解析：因為四面體中僅有3對界面直線，可將問題分解成止方體的8個頂點可構(gòu)成多少個不 同的四ifii體，從正方體8個頂點中任取四個頂點構(gòu)成的四面體冇個，所以8個頂點可連成的 異面直線有3x58=174對。故應(yīng)填17421. 利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它町以將復(fù)朵的問題 轉(zhuǎn)化為簡單問題處理.例21.圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有種（用數(shù)字作答）解析：因為岡的一個內(nèi)接四邊形的兩條對角線相交于関內(nèi)一點，一個圓的內(nèi)接四邊形就對應(yīng)