巧用“旋轉(zhuǎn)”求解一類幾何最值問題

1、巧用“旋轉(zhuǎn)”求解一類幾何最值問題【模型1】如圖，正方形ABCD的邊長為 邊，在對角線 BD上有一點P，求當PA+PC+PB的值最小時，則這個最小值為多少？【解析】如圖，將 ABP以點B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)60o,得到 EBQ，連接PQ，則 BPQ和 ABE均為等邊三角形。設(shè)y=PA+PC+PB ，貝U y=EQ+QP+PC ，故當點 E、Q、P、C在同一條直線上時y最小，即y的最小值為 CE的長度。過點E作EM丄BC，交CB延長線于點 M，易知， / EBM=30 0, EM= v2/2 , BM= v3 22= v6/2 ; CE 2= ( v2/2 ) 2+ ( v6/2+ 邊)2=4+2 v

2、3= ( v3+1 ) 2, CE= v3+1 ,即當PA+PC+PB 的和最小時，最小值為v3+1 o通過求解過程我們發(fā)現(xiàn)，點P在不在BD上與結(jié)果并無關(guān)系，可以認為點 P為厶ABC內(nèi)部的一點，當 / ABC=90 o, BA=BC= V2時，PA+PB+PC 的最小值仍然是 v3+1 。于是我們設(shè)想當 / ABC為其他特殊角，BA和BC不相等時，PA+PB+PC 的最小值可以求得嗎？【模型 2】在 ABC中，/ BAC=30 o, AB=6 , AC=8，點P ABC內(nèi)一點，連接 PA , PB , PC，求 PA+PB+PC 的最小值。【解析】如圖，將 ABP以點A為中心逆時針旋轉(zhuǎn) APP

3、 '為等邊三角形。則PA+PC+PB=BP +PP '+PC，故當 PA+PC+PB最小時,點B '、P '、P、C在同一條直線上，即PA+PC+PB 的最小值為 B C的長度。60 0,得到 AB 'P 連接 PP '。易知， / B AC=30 0+60 o=90 o, AB '=AB=6 , B C=10，即當 PA+PC+PB 的和最小時，最小值為10 o【模型 3 】在 ABC 中，/ BAC=60 o, AB=2 v3, AC=4-v3，點P為 ABC內(nèi)一點,60 o,得到 AB 'P 連接 PP '?！窘馕觥?/p>

4、如圖，將 ABP以點A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)貝厶APP '為等邊三角形。貝UPA+PC+PB=B 'P '+PP'+PC ,故當PA+PC+PB 最小時,點B '、P '、P、C在同一條直線上，即PA+PB+PC的最小值為B C的長度。過點B作B D丄AC，交CA延長線于點 D，易知,/ B AD=60o,連接 PA , PB , PC，求 PA+PB+PC 的最小值。 B D=2 v3 3/2=3 , AD= ; CD=4- v3+ v3=4 , B C=5 ,即當 PA+PC+PB 的和最小時，最小值為【模型 4 】在厶 ABC 中，/ BAC=90 o, AB=2 v3 , AC=3 v3-3，點 P ABC 內(nèi)一點, 連接 PA , PB , PC，求 PA+PB+PC 的最小值。【模型 5】在 ABC 中，/ ABC=75 o, AB=2邊,BC=2，點 P為 ABC內(nèi)一點，連 接PA，PB，PC，求 PA+PB+PC 的最小值?！咎崾尽咳缦聢D，通過旋轉(zhuǎn)可知 PA+PC+PB 的最小值為 CD的長度。過點D作DM丄BC