第十四講最不利原則

1、第十四講 最不利原則第十四講 最不利原則在生活中，要保證完成某一個任務，必須考慮最不利條件。只有用最不利 條件下也能實現(xiàn)的做法，才可以使這個任務必能完成，這就是解決問題時要采 用的最不利原則。因此，必須全面分析給定的條件，分析最不利的因素，然后 選用萬無一失的方法。本講運用學生已有的數(shù)學工具（如枚舉法、余數(shù)的妙用、 可能性分析等），確定最不利的情況，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣和應用現(xiàn)有知 識解決實際問題的能力。例 1 、口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍三種顏色的小球各20 個。問：一次最少摸出幾個球，才能保證至少有 4 個小球顏色相同？分析與解： 如果碰巧一次取出的 4 個小球的顏色都相同，

2、就回答是“ 4”，那么顯然不對， 因為摸出的 4 個小球的顏色也可能不相同?；卮鹗恰?4”是從最“有利”的情況考慮的，但 為了“保證至少有 4 個小球顏色相同”， 就要從最“不利”的情況考慮。 如果最不利的情況 都滿足題目要求，那么其它情況必然也能滿足題目要求?！白畈焕钡那闆r是什么呢？那就是我們摸出3 個紅球、 3個黃球和 3 個藍球，此時三種顏色的球都是 3 個，卻無 4 個球同色。 這樣摸出的 9 個球是“最不利”的情形。 這時再摸 出一個球，無論是紅、黃或藍色，都能保證有 4 個小球顏色相同。所以回答應是最少摸出 10 個球。由例 1看出，最不利原則就是從“極端糟糕”的情況考慮問題。如

3、果例 1 的問題是“最少摸出幾個球就可能有 4個球顏色相同”， 那么我們就可以根據(jù)最有利的情況回答“4個”?，F(xiàn)在的問題是“要保證有 4 個小球的顏色相同”， 這“保證”二字就要求我們必須從最不利 的情況分析問題。例 2 、口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍三種顏色的小球共18 個。其中紅球 3 個、黃球 5個、藍球 10個?，F(xiàn)在一次從中任意取出 n 個，為保證這 n 個小球至少有 5 個同色， n 的最小值是多少？分析與解： 與例 1 類似，也要從“最不利”的情況考慮。最不利的情況是取了 3 個紅球、 4 個黃球和 4 個藍球，共 11 個。此時袋中只剩下黃球和藍球，所以再取一個球，無論是

4、黃球 還是藍球，都可以保證有 5 個球顏色相同。因此所求的最小值是12。例 3 、一排椅子只有 15 個座位，部分座位已有人就座，樂樂來后一看，他無論 坐在哪個座位， 都將與已就座的人相鄰。 問：在樂樂之前已就座的最少有幾人？分析與解：將15個座位順次編為 115號。如果2號位、5號位已有人就座，那么就座 1 號位、 3號位、 4號位、 6號位的人就必然與 2號位或 5號位的人相鄰。根據(jù)這一想法，讓 2 號位、 5號位、 8號位、 11 號位、 14號位都有人就座，也就是說，預先讓這5個座位有人就座，那么樂樂無論坐在哪個座位，必將與已就座的人相鄰。因此所求的答案為5人。例 4 、一把鑰匙只能開

5、一把鎖，現(xiàn)有 10 把鑰匙和 10 把鎖，最少要試驗多少次就定能使全部的鑰匙和鎖相匹配？分析與解： 從最不利的情形考慮。用 10 把鑰匙依次去試第一把鎖，最不利的情況是試驗了9 次，前 8 次都沒打開，第 9 次無論打開或沒打開，都能確定與這把鎖相匹配的鑰匙（若沒打開，則第10把鑰匙與這把鎖相匹配）。同理，第二把鎖試驗8次第九把鎖只需試驗1 次，第十把鎖不用再試（為什么？）。共要試驗9+ 8 + 7 + 2+ 1= 45 （次）。所以，最少試驗 45 次就一定能使全部的鑰匙和鎖相匹配。例 5、在一副撲克牌中，最少要取出多少張， 才能保證取出的牌中四種花色都有？分析與解： 一副撲克牌有大、小王牌

6、各 1 張，“紅桃”、“黑桃”、“方塊”、“梅花”四 種花色各 13 張，共計有 54 張牌。最不利的情形是：取出四種花色中的三種花色的牌各 13 張，再加上 2 張王牌。這 41 張牌中沒有四種花色。 剩下的正好是另一種花色的 13張牌，再 抽 1 張，四種花色都有了。因此最少要拿出 42 張牌，才能保證四種花色都有。例 6 、若干箱貨物總重 19.5 噸，每箱重量不超過 353 千克，今有載重量為 1.5 噸的汽車，至少需要多少輛，才能確保這批貨物一次全部運走？分析與解： 汽車的載重量是 1.5 噸。如果每箱的重量是 300 千克（或 1500 的小于 353 的約 數(shù)），那么每輛汽車都是

7、滿載，即運了 1.5 噸貨物。這是最有利的情況，此時需要汽車19.5 - 1.5 = 13 （輛）。如果裝箱的情況不能使汽車滿載，那么 1 3輛汽車就不能把這批貨物一次運走。為了確 保把這批貨物一次運走， 需要從最不利的裝箱情況來考慮。 最不利的情況就是使每輛車運得 盡量少，即空載最多。因為 353X 4V 1500,所以每輛車至少裝 4箱。每箱300千克，每車 能裝 5 箱。如果每箱比 300 千克略多一點， 比如 301 千克， 那么每車就只能裝 4 箱了。此時， 每車載重301 X 4= 1204 （千克），空載1500-1204 = 296（千克）。注意，這就是前面所說的“最不利的情況

8、”。19500- 1204=16236,也就是說，19.5噸貨物按最不利的情況，裝 16車后余236千克，因為每輛 車空載 296千克,所以余下的 236千克可以裝在任意一輛車中。綜上所述, 16輛車可確保將這批貨物一次運走。練習1. 口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍三種顏色的小球各 20個。問： 次最少摸出幾個,才能保證至少有 5 個小球顏色相同？2. 口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍三種顏色的小球共 20個，其中紅 球 4 個、黃球 6 個、藍球 10 個。問：一次最少取出幾個，才能保證至少有 6 個 小球顏色相同？3. 一排椅子共有 18個座位，部分座位已有人就座，樂樂來后一

9、看，他無論坐在哪個座位，都將與已經(jīng)就座的人相鄰。問：在樂樂之前已就座的最少有幾人？4. 一張圓桌有 12 個座位，部分座位已有人就座，樂樂來后一看，他無論坐在哪 個座位，都將與已經(jīng)就座的人相鄰。問：在樂樂之前已就座的最少有幾人？5. 口袋里有三種顏色的筷子各 10根。問：（1）至少取幾根才能保證三種顏色的筷子都取到？（2）至少取幾根才能保證有顏色不同的兩雙筷子？（3）至少取幾根才能保證有顏色相同的兩雙筷子？6. 一個布袋里有紅色、黃色、黑色襪子各 20 只。問：最少要拿多少只襪子才能 保證其中至少有 2 雙顏色不相同的襪子？7. 一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)有 10把鎖和其中的 9 把鑰匙，要保證

10、這 9把鑰匙 都配上鎖，至少需要試驗多少次？8.10噸貨物分裝若干箱，每只箱子重量不超過1噸。為了確保將這批貨物一次運走，最少要準備幾輛載重量為 3噸的汽車？課后作業(yè)1、（ 1）紅桃、黑桃各2張，要保證從中摸出兩張同色的，至少要摸出張（2） 紅桃、黑桃各5張，要保證從中摸出兩張同色的，至少要摸出 張（3） 紅桃、黑桃各4張，要保證從中摸出3張同色的，至少要摸出 張解答兩種顏色的撲克，要摸出兩張同色的，至少都要摸出 3張，就能保證有兩 個撲克同色，在每種撲克數(shù)量足夠多的情況下，與撲克的數(shù)量多少沒有關系。摸出3張同色的，最不利的情形是先各摸出紅、黑 2張，再摸出1張，就肯定有 3張同色的 1、3

11、張；2、3 張；3、5 張 2、皮夾里有 2 元，3 元，4 元的郵票各 10張，現(xiàn)在要寄一封 12元郵資的信， 不用眼睛看，從皮夾里抽出若干張郵票，為了保證從抽出的郵票中一定能湊出 12 元的郵票組合來，那么至少要抽出（ ）張郵票。【解析】先分析最有利的情況，取出 4 元 3 張；最不利的情況可能是取出 2元 6張；但這是最不利的情況嗎？如果取出 2元5張，3元 1張呢？這種情況不能保證從抽出的郵票中一定能湊出12 元的郵票組合來。但再取一張任意的 2，3，4 元可以保證完成任務。 答案為 7 張。3、一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)有 8把鑰匙和 8 把相配的鎖，至少要試驗多少次 才能保證全部的鑰匙和鎖相匹配？分析：要保證匹配就要從最不利的情況考慮， 也就是第一把鑰匙試 7 次，如果都 不成功，它必然和第八把鎖匹配，所以第一把鑰匙只試 7 次，同理，第二把鑰匙 在其余的 7 把鎖中試 6 次，第三把試 5 次，第四把 4 次, 最后剩一把鑰匙一把鎖 就不用試了。解： 7+6+5+4+3+2+1=28（次）4、一