高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè) 新人教A版選修23

1、第一章學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)時(shí)間120分鐘，滿分150分一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1(2017·全國(guó)卷理，6)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有(d)a12種b18種c24種d36種解析由題意可得其中1人必須完成2項(xiàng)工作，其他2人各完成1項(xiàng)工作，可得安排方式為c·c·a36(種)，或列式為c·c·c3××236(種)故選d2已知ccc(nn*)，則n等于(a)a14 b12 c13 d15解析因?yàn)閏cc

2、，所以cc78n1，n14，故選a3(2018·大連高二檢測(cè))3對(duì)夫婦去看電影，6個(gè)人坐成一排，若女性的鄰座只能是其丈夫或其他女性，則坐法的種數(shù)為(b)a54 b60 c66 d72解析記3位女性為a、b、c，其丈夫依次為a、b、c，當(dāng)3位女性都相鄰時(shí)可能情形有兩類：第一類男性在兩端(如baabcc)，有2a種，第二類男性在一端(如bcaabc)，有2aa種，共有a(2a2)36種，當(dāng)僅有兩位女性相鄰時(shí)也有兩類，第一類這兩人在一端(如abbacc)，第二類這兩人兩端都有其他人(如aabbcc)，共有4a24種，故滿足題意的坐法共有362460種4(2018·全國(guó)卷理，5)如

3、圖，小明從街道的e處出發(fā)，先到f處與小紅會(huì)合，再一起到位于g處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(b)a24 b18 c12 d9解析由題意可知ef共有6種走法，fg共有3種走法，由乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×318種走法，故選b5(2018·馬鞍山二模)二項(xiàng)式(x)n的展開(kāi)式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為(d)a3 b5 c6 d7解析根據(jù)(x)n的展開(kāi)式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，得n20；(x)20展開(kāi)式的通項(xiàng)為tr1c·(x)20r·()r()20r·c·x

4、20；要使x的指數(shù)是整數(shù)，需r是3的倍數(shù)，r0,3,6,9,12,15,18；x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有7項(xiàng)故選d6從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有(c)a24對(duì) b30對(duì) c48對(duì) d60對(duì)解析解法一：先找出正方體一個(gè)面上的對(duì)角線與其余面對(duì)角線成60°角的對(duì)數(shù)，然后根據(jù)正方體六個(gè)面的特征計(jì)算總對(duì)數(shù)如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，與面對(duì)角線ac成60°角的面對(duì)角線有b1c、bc1、c1d、cd1、a1d、ad1、a1b、ab1共8條，同理與bd成60°角的面對(duì)角線也有8條，因此一個(gè)面上的對(duì)角線與其相鄰4個(gè)面的對(duì)角

5、線，共組成16對(duì)，又正方體共有6個(gè)面，所有共有16×696對(duì)因?yàn)槊繉?duì)都被計(jì)算了兩次(例如計(jì)算與ac成60°角時(shí)，有ad1，計(jì)算與ad1成60°角時(shí)有ac，故ad1與ac這一對(duì)被計(jì)算了2次)，因此共有×9648對(duì)解法二：間接法正方體的面對(duì)角線共有12條，從中任取2條有c種取法，其中相互平行的有6對(duì)，相互垂直的有12對(duì)，共有c61248對(duì)7(2018·渭南一模)在(x)n的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為64，則x3的系數(shù)為(c)a15 b45c135 d405解析令(x)n中x為1的各項(xiàng)系數(shù)和為4n，又展開(kāi)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，各項(xiàng)系

6、數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，64，解得n6，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為tr1c·3r·x6r，令6r3，求得r2，故開(kāi)式中含x3項(xiàng)系數(shù)為c·32135，故選c8從0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為(c)a300 b216 c180 d162解析本小題主要考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí)由題意知可分為兩類，(1)選“0”，共有ccca108，(2)不選“0”，共有ca72，由分類加法計(jì)數(shù)原理得72108180，故選c9(2018·柳州一模)某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形a

7、bcd(邊長(zhǎng)為3個(gè)單位)的頂點(diǎn)a處，然后通過(guò)擲骰子來(lái)確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛐凶叩膯挝?，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為i(i1,2，6)，則棋子就按逆時(shí)針?lè)较蛐凶遡個(gè)單位，一直循環(huán)下去則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)a處的所有不同走法共有(c)a22種 b24種 c25種 d36種解析由題意知正方形abcd(邊長(zhǎng)為3個(gè)單位)的周長(zhǎng)是12，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)a處表示三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是12，列舉出在點(diǎn)數(shù)中三個(gè)數(shù)字能夠使得和為12的有1,5,6；2,4,6；3,4,5；3,3,6；5,5,2；4,4,4；共有6種組合，前三種組合1,5,6；2,4,6；3,4,5；又可以排列出a6種結(jié)果，

8、3,3,6；5,5,2；有6種結(jié)果，4,4,4；有1種結(jié)果根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有24125種結(jié)果，故選c10若xr，nn，定義mx(x1)(x2)(xn1)，例如m(5)(4)(3)(2)(1)120，則函數(shù)f(x)xm的奇偶性為(a)a是偶函數(shù)而不是奇函數(shù)b既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)c是奇函數(shù)而不是偶函數(shù)d既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)解析由題意知f(x)x(x9)(x8)(x9191)x2(x21)(x24)(x281)故為偶函數(shù)而不是奇函數(shù)11(2018·石景山區(qū)一模)現(xiàn)有4種不同顏色對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行涂色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有(d)a24種 b

9、30種 c36種 d48種解析根據(jù)題意，設(shè)需要涂色的四個(gè)部分依次分、，對(duì)于區(qū)域，有4種顏色可選，有4種涂色方法，對(duì)于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有3種顏色可選，有3種涂色方法，對(duì)于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有2種顏色可選，有2種涂色方法，對(duì)于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有2種顏色可選，有2種涂色方法，則不同的涂色方法有4×3×2×248種；故選d12(2018·保山二模)一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位若小蜜蜂經(jīng)過(guò)5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種(d)a5 b

10、25 c55 d75解析根據(jù)題意，分4種情況討論：，小蜜蜂向正方向飛行4次，負(fù)方向飛行1次，每次飛行1個(gè)單位，有c5種飛行方式，小蜜蜂向正方向飛行4次，有3次飛行1個(gè)單位，1次飛行2個(gè)單位，負(fù)方向飛行1次，飛行2個(gè)單位，有cc20種飛行方式，小蜜蜂向正方向飛行3次，有2次飛行2個(gè)單位，1次飛行1個(gè)單位，負(fù)方向飛行2次，每次飛行1個(gè)單位，有cc30種飛行方式，小蜜蜂向正方向飛行3次，每次飛行2個(gè)單位，負(fù)方向飛行2次，1次飛行2個(gè)單位，1次飛行1個(gè)單位，有ca20種飛行方式，則一共有520302075種飛行方式，故選d二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)1

11、3(2018·河?xùn)|區(qū)二模)一共有5名同學(xué)參加我的中國(guó)夢(mèng)演講比賽，3名女生和2名男生，如果男生不排第一個(gè)演講，同時(shí)兩名男生不能相鄰演講，則排序方式有_36_種(用數(shù)字作答)解析根據(jù)題意，分2步分析：，將三名女生全排列，有a6種順序，排好后，有4個(gè)空位，男生不排第一個(gè)演講，除去第一個(gè)空位，有3個(gè)空位可用，在這三個(gè)空位中任選2個(gè)，安排2名男生，有a6種情況，則有6×636種符合題意的排序方式。故答案為3614(2018·全國(guó)卷理，15)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_16_種(用數(shù)字填寫答案)解析按參加的女生人數(shù)可分兩類

12、：只有1位女生參加有cc種，有2位女生參加有cc種故共有cccc2×6416(種)15(2018·浙江卷，14)二項(xiàng)式8的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是_7_解析由題意，得tr1c·()8r·rc·r·x·xrc·r·x令0，得r2因此t3c×2×716將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴世博會(huì)的三個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有_90_種(用數(shù)字作答)解析本題考查了排列組合中的平均分組分配問(wèn)題，先分組，再把三組分配乘以a得：·a90種三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70

13、分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17(本題滿分10分)已知ax|1<log2x<3，xn*，bx|x6|<3，xn*，試問(wèn)：從集合a和b中各取一個(gè)元素作為直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，共可得到多少個(gè)不同的點(diǎn)？解析a3,4,5,6,7，b4,5,6,7,8從a中取一個(gè)數(shù)作為橫坐標(biāo)，從b中取一個(gè)數(shù)作為縱坐標(biāo)，有5×525(個(gè))，而8作為橫坐標(biāo)的情況有5種，3作為縱坐標(biāo)且8不是橫坐標(biāo)的情況有4種，故共有5×55434個(gè)不同的點(diǎn)18(本題滿分12分)求證：對(duì)任何非負(fù)整數(shù)n,33n26n1可被676整除證明當(dāng)n0時(shí)，原式0，可被676整除當(dāng)n1時(shí)，原式0，也可被

14、676整除當(dāng)n2時(shí)，原式27n26n1(261)n26n1(26nc·26n1c·262c·261)26n126nc26n1c·262每一項(xiàng)都含262這個(gè)因數(shù)，故可被262676整除綜上所述，對(duì)一切非負(fù)整數(shù)n,33n26n1可被676整除19(本題滿分12分)已知(1m)n(m是正實(shí)數(shù))的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)為112(1)求m，n的值；(2)求展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；(3)求(1m)n(1x)的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)解析(1)由題意可得2n256，解得n8通項(xiàng)tr1cmrx，含x項(xiàng)的系數(shù)為cm2112，解得m2，或

15、m2(舍去)故m，n的值分別為2,8(2)展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為cccc281128(3)(12)8(1x)(12)8x(12)8，所以含x2項(xiàng)的系數(shù)為c24c22100820(本題滿分12分)某班要從5名男生3名女生中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，請(qǐng)分別求出滿足下列條件的方法種數(shù)(1)所安排的女生人數(shù)必須少于男生人數(shù)；(2)其中的男生甲必須是課代表，但又不能擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；(3)女生乙必須擔(dān)任語(yǔ)文課代表，且男生甲必須擔(dān)任課代表，但又不能擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表解析(1)所安排的女生人數(shù)少于男生人數(shù)包括三種情況，一是2個(gè)女生，二是1個(gè)女生，三是沒(méi)有女生，依題意得(ccccc)a5520種(

16、2)先選出4人，有c種方法，連同甲在內(nèi)，5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，甲不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，有a·a種方法，方法數(shù)為c·a·a3360種(3)由題意知甲和乙兩人確定擔(dān)任課代表，需要從余下的6人中選出3個(gè)人，有c20種結(jié)果，女生乙必須擔(dān)任語(yǔ)文課代表，則女生乙就不需要考慮，其余的4個(gè)人，甲不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，甲有3種選擇，余下的3個(gè)人全排列共有3a18；綜上可知共有20×18360種21(本題滿分12分)用0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿足下列條件的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(1)被4整除；(2)比21034大的偶數(shù)；(3)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)解

17、析(1)被4整除的數(shù)，其特征應(yīng)是末兩位數(shù)是4的倍數(shù)，可分為兩類：當(dāng)末兩位數(shù)是20、40、04時(shí)，其排列數(shù)為3a18，當(dāng)末兩位數(shù)是12、24、32時(shí)，其排列數(shù)為3a·a12.故滿足條件的五位數(shù)共有181230(個(gè))(2)當(dāng)末位數(shù)字是0時(shí)，首位數(shù)字可以為2或3或4，滿足條件的數(shù)共有3×a18個(gè)當(dāng)末位數(shù)字是2時(shí)，首位數(shù)字可以為3或4，滿足條件的數(shù)共有2×a12個(gè)當(dāng)末位數(shù)字是4時(shí)，首位數(shù)字是3的有a6個(gè)，首位數(shù)字是2時(shí)，有3個(gè)，共有9個(gè)綜上知，比21034大的偶數(shù)共有1812939個(gè)(3)解法一：可分為兩類：末位數(shù)是0，有a·a4(個(gè))；末位數(shù)是2或4，有a·a4(個(gè))；故共有a·aa·a8(個(gè))解法二：第二、四位從奇數(shù)1,3中取，有a個(gè)；首位從2,4中取，有a個(gè)；余下的排在剩下的兩位，有a個(gè)，故共有aaa8(個(gè))22(本題滿分12分)已知n(nn*)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，求n的展開(kāi)式中a1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)解析對(duì)于5：tr1c(4)5rrc·(1)r·45r·5b若tr1為常數(shù)項(xiàng)，則105r0，所以r2，此時(shí)得常數(shù)項(xiàng)為t3c·(1)2·43·5127令a1，得n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2n.由