管理數(shù)量方法與分析習(xí)題

1、管理數(shù)量方法與分析習(xí)題第1章 數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)思考與練習(xí)1什么是數(shù)據(jù)分組？它有哪些種類，各在什么情況下應(yīng)用？所謂數(shù)據(jù)分組，就是對(duì)某一變量的不同取值，按照其自身變動(dòng)特點(diǎn)和研究需要?jiǎng)澐殖刹煌慕M別，以便更好地研究該變量的分布特征及變動(dòng)規(guī)律。根據(jù)變量的類型可分為：單項(xiàng)分組，若變量是離散型變量，且取值不多時(shí)采用；組距分組，若變量是連續(xù)型變量、或者是取值較多的離散型變量時(shí)采用。2什么是變量數(shù)列？如何編制變量數(shù)列？在對(duì)變量取值進(jìn)行分組的基礎(chǔ)上，將各組不同的變量值與其變量值出現(xiàn)的次數(shù)排列成的數(shù)列，稱為變量數(shù)列。組距數(shù)列的編制過程：確定組數(shù)。若變量的取值變動(dòng)不均勻，如急劇增大、變小，變動(dòng)幅度很大時(shí)，應(yīng)采用異距分

2、組；若變量的取值變動(dòng)均勻，應(yīng)采用等距分組。等距分組便于比較和分析處理，實(shí)踐中應(yīng)盡量采用等距分組。究竟分為多少組比較合適，可采用斯特吉斯公式計(jì)算：M = 1 + 3.322 * LgN，N為變量值的個(gè)數(shù)，m為組數(shù)。確定組距。確定了分組的組數(shù)之后，接下來就需要確定出分組的組距。等距分組的組距可根據(jù)變量值的取值范圍和已確定的組數(shù)確定，下式可計(jì)算組距的最小值：d = (max(Xi) min(Xi) / m，d為組距，Xi為觀測(cè)變量中的第i個(gè)變量值，m為組數(shù)。確定組限。在確定了分組的組數(shù)和組距之后，就需要確定各組的組限。各組的組限應(yīng)盡量用整數(shù)，特別是5和10的倍數(shù)來表示。用小于或等于變量最小值的整數(shù)作

3、為最低一組的下限，然后依次每增加一個(gè)組距就是一個(gè)組限，直到組限值增加到比變量的最大值還大時(shí)即為最高組上限。組限的表示方法隨著變量的不同也有所不同。若變量是離散變量，則相鄰兩組中數(shù)值較小一組的上限和數(shù)值較大一組的下限可分別用相鄰的兩個(gè)整數(shù)值表示；若變量是連續(xù)變量或是即可取整數(shù)又可取非整數(shù)的離散變量，則相鄰兩組中較小一組的上限和數(shù)值較大一組的下限只能用同一數(shù)值表示。為了不違反分組的互斥性原則，在后一種情況下，一般規(guī)定上限不包含在本組之內(nèi)，稱為上限不在內(nèi)原則。計(jì)算各組的次數(shù)（頻數(shù)）。在確定了各組的組限以后，接著就需要計(jì)算出所有變量值中落入各組之內(nèi)的變量值的個(gè)數(shù)，每組所分配的變量值的個(gè)數(shù)也就是該組的次

4、數(shù)，又稱頻數(shù)。編制變量數(shù)列。當(dāng)各組變量值的變動(dòng)范圍和各組的次數(shù)確定之后，接下來就可以將各組變量值按照從小到大的順序排列，并列出相對(duì)應(yīng)的次數(shù)，就形成變量數(shù)列。3測(cè)度變量分布中心有何意義？測(cè)度指標(biāo)有哪些，各有什么特點(diǎn)？均值、中位數(shù)和眾數(shù)之間有什么關(guān)系？揭示變量的分布中心有著十分重要的意義：變量的分布中心是變量取值的一個(gè)代表，可以用來反映其取值的一般水平。一個(gè)變量往往有許多個(gè)不同的取值，假若要用一個(gè)數(shù)值作為它們的代表，反映其一般水平，分布中心值無疑是一個(gè)最合適的數(shù)值。變量的分布中心可以揭示其取值的次數(shù)分布在直角坐標(biāo)系上的集中位置，可以用來反映變量分布密度曲線的中心位置，即對(duì)稱中心或尖峰位置。測(cè)度指標(biāo)

5、有：算術(shù)平均數(shù)，又稱均值，它是一組變量值的總和與其變量值的個(gè)數(shù)的比值，是測(cè)度變量分布中心最常用的指標(biāo)。算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法有：簡單算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)容易受到極端變量值的影響。中位數(shù)，是指將某一變量的變量值按照從小到大的順序排成一列，位于這列數(shù)中心位置上的那個(gè)變量值。中位數(shù)表明在順序排列的變量值中，小于中位數(shù)的變量值的個(gè)數(shù)與大于中位數(shù)的變量值的個(gè)數(shù)是相等的。因此，用中位數(shù)來代表所排列變量值的一般水平能夠避免受到這些變量值中出現(xiàn)的極端變量值的影響，在某些特定條件下它更具有代表性。眾數(shù)，是指某一變量的全部取值中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)變量值。在特殊的應(yīng)用條件下，使用眾數(shù)作為變量的一般代

6、表值既簡便又具有代表性。在許多場(chǎng)合只有眾數(shù)才適合作為某一變量取值的代表值。三者之間的關(guān)系：算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三者之間在數(shù)量上的關(guān)系取決于變量值在數(shù)列中的分布狀況。在正態(tài)分布的情況下，變量值的分布是以算術(shù)平均數(shù)為中心，兩邊呈對(duì)稱型，這時(shí)算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)在數(shù)量上完全相等。在偏態(tài)分布的情況下，由于變量值中出現(xiàn)特別大或特別小的極端數(shù)值使其分布曲線在圖形上呈現(xiàn)出不對(duì)稱的情形。當(dāng)有極大變量值出現(xiàn)時(shí)，是正偏分布（又稱右偏分布），此時(shí)眾數(shù) < 中位數(shù) < 算術(shù)平均數(shù)；當(dāng)有極小變量值出現(xiàn)時(shí)，是負(fù)偏分布（又稱左偏分布），眾數(shù) > 中位數(shù) > 算術(shù)平均數(shù)。4測(cè)度變量取值的離散程

7、度有何意義？測(cè)度指標(biāo)有哪些，各有什么特點(diǎn)？有了極差、平均差和標(biāo)準(zhǔn)差，為什么還要計(jì)算離散系數(shù)？意義：通過對(duì)變量取值之間離散程度的測(cè)定，可以反映出各個(gè)變量值之間的差異大小，從而也就可以反映分布中心指標(biāo)對(duì)各個(gè)變量值代表性的高低。通過對(duì)變量取值之間離散程度的測(cè)定，可以大致反映變量次數(shù)分布密度曲線的形狀。測(cè)度指標(biāo)：極差，又稱全距，是指一組變量值中最大值與最小值之差，用來表示變量的變動(dòng)范圍。它計(jì)算簡單，意義明了。由于極差的確定只根據(jù)兩個(gè)極端變量值計(jì)算，不受中間變量值的影響，所以不能全面反映變量值的差異情況。四分位全距，是指將一組由小到大排列的變量數(shù)列分成四等分，可得到三個(gè)分割點(diǎn)Q1、Q2、Q3，分別稱為第

8、一個(gè)、第二個(gè)、第三個(gè)四分位數(shù)；然后用第一個(gè)四分位數(shù)Q1減去第三個(gè)四分位數(shù)Q3所得差的絕對(duì)值|Q1-Q3|，即為四分位全距。它其實(shí)是指一組由小到大排列數(shù)據(jù)的中間50%數(shù)據(jù)的全距，所以它不像極差那么容易受極端變量值的影響，但仍然存在沒有充分利用所有數(shù)據(jù)信息的缺點(diǎn)。平均差，是變量各個(gè)取值偏差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)。它反映了變量的各個(gè)取值離其算術(shù)平均數(shù)的平均距離。其意義明確，計(jì)算簡單，但在運(yùn)算上不方便。平均差的計(jì)算分為簡單平均法和加權(quán)平均法兩種。標(biāo)準(zhǔn)差，又稱根方差，是變量的各個(gè)取值偏差平方的平均數(shù)的平方根。通過離差平方和的運(yùn)算不但可以消除離差正負(fù)項(xiàng)的差別，而且強(qiáng)化了離差的信息，使其在數(shù)學(xué)性質(zhì)上也有許多明顯

9、的優(yōu)越性。標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法分為簡單平均法和加權(quán)平均法兩種，即簡單標(biāo)準(zhǔn)差和加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差。方差，標(biāo)準(zhǔn)差的平方稱為方差。計(jì)算離散系統(tǒng)是因?yàn)椋簶O差、平均差和標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量變量各個(gè)取值之間絕對(duì)差異程度的指標(biāo)，都具有一定的量綱。這些指標(biāo)的數(shù)值大小不僅取決于變量各取值之間的差異程度，而且取決于變量取值水平即數(shù)量級(jí)的高低。顯然，對(duì)于不同的變量，其變量值的絕對(duì)差異程度指標(biāo)并不便于直接比較，這就需要在這些絕對(duì)差異指標(biāo)的基礎(chǔ)上構(gòu)造出反映變量各取值之間的相對(duì)差異程度的無量綱指標(biāo)。變異系數(shù)主要用于不同變量的各自取值之間差異程度的比較。例如，對(duì)于兩個(gè)給定的變量，若要比較二者算術(shù)平均數(shù)對(duì)各自變量值一般水平代表性的高低，或比較

10、二者各自內(nèi)部變量值之間差異程度的大小，由于二變量的極差、平均差和標(biāo)準(zhǔn)差各自有不同的數(shù)量級(jí)和不同的量綱，難以直接對(duì)比，所以就需要計(jì)算各自的變異系數(shù)，用變異系數(shù)進(jìn)行比較。5測(cè)度偏度和峰度有什么意義？測(cè)度指標(biāo)各有哪些？意義：可以加深人們對(duì)變量取值的分布狀況的認(rèn)識(shí)，如可以使人們清楚了解變量的取值是否對(duì)稱，或非對(duì)稱程度有多大，以及變量的取值是否有特別的集聚，集聚程度有多高，等等。人們還可以將所關(guān)心的變量的偏度指標(biāo)值和峰度指標(biāo)值與某種理論分布的偏度指標(biāo)值和峰度指標(biāo)值進(jìn)行比較，以判斷所關(guān)心的變量與某種理論分布的近似程度，為進(jìn)一步的推斷分析奠定基礎(chǔ)。偏度的測(cè)度指標(biāo)：直觀偏度系數(shù)，它是利用描述變量分布中心的不同

11、指標(biāo)之間的直觀關(guān)系而確定的測(cè)度變量分布偏斜程度的指標(biāo)。主要有：皮爾遜偏度系數(shù)，是算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)之間的離差對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的比率，其數(shù)值在-3,+3的范圍之內(nèi)。鮑萊偏度系數(shù)，它是上四分位數(shù)與中位數(shù)的距離對(duì)中位數(shù)與下四分位數(shù)的距離的差值與上四分位數(shù)與下四分位數(shù)的差值的比率。矩偏度系數(shù)，就是利用變量的矩來確定的變量分布偏斜程度的指標(biāo)。峰度的測(cè)度指標(biāo)：峰度系數(shù)，是變量的四階中心矩與其標(biāo)準(zhǔn)差的四次方的比率。6抽樣調(diào)查某地區(qū)50戶居民的月消費(fèi)品支出額數(shù)據(jù)資料如下（單位：元）9678959219788219246518509269469388008649198639819168189008938909541006

12、926900999886112090586681697810009181040854110090092810279469999508641050927949852928886要求：試根據(jù)上述資料編制變量數(shù)列；確定組數(shù)共有41個(gè)變量值，因此根據(jù)斯特吉斯公式：組數(shù)m = 1 + 3.322 * LgN = CEILING(1+3.322*LOG10(41),1) = 7確定組距組距d = (max(Xi) min(Xi) / m = CEILING(1120 651) / 7, 10) = 70確定組限最低組的下限為650，最高組的上限為1140。計(jì)算各組的頻數(shù)編制變量數(shù)列月消費(fèi)品支出金額戶數(shù)(戶

13、)比率向上累計(jì)頻數(shù)向上累計(jì)頻率向下累計(jì)頻數(shù)向下累計(jì)頻率650-72012%12%50100%720-79000%12%4998%790-860714%816%4998%860-9302346%3162%4284%930-10001224%4386%1938%1000-1070510%4896%714%1070-114024%50100%24%合計(jì)50100%編制向上和向下累計(jì)頻數(shù)、頻率數(shù)列；繪直方圖和拆線圖。7為了了解農(nóng)民工每月工資收入的情況，某市在全市農(nóng)民工中隨機(jī)抽取了300名進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查得樣本資料如下表所示：按月生活費(fèi)支出分組（元）人數(shù)（人）500以下10500-55030550-600

14、120600-650100650-70025700以上15根據(jù)表中的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算下列各種分布特征測(cè)度指標(biāo)：農(nóng)民工月工資收入的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；組中值x(元)人數(shù)f(人)頻率(%)xf向上累計(jì)(人)向下累計(jì)475103.33%4750103005253010.00%157504029057512040.00%6900016026062510033.33%62500260140675258.33%1687528540725155.00%1087530015合計(jì)300100.00%179750算術(shù)平均數(shù)-x = (x * f) / f = 179750 / 300 = 599.17(元)根據(jù)

15、300 / 2 = 150和累計(jì)人數(shù)確定中位數(shù)的位置應(yīng)在組距數(shù)列第三組。按下限公式計(jì)算中位數(shù)：中位數(shù)m = L + (f / 2 Sm-1) / fm * d= 550 + (300 / 2 40) / 120 * (600 550) = 595.83(元)由表可以很明顯地看出，農(nóng)民工每月工資收入出現(xiàn)次數(shù)最多的是第三組，所對(duì)應(yīng)的變量值在550600元之間。按下限公式計(jì)算：眾數(shù)m = 550 + (120 30) / (120 30) + (120 100) * (600 550) = 590.91（元）農(nóng)民工工資收入的標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)；組中值x(元)人數(shù)f(人)偏差偏差2 * f偏差3 *

16、f偏差4 * f47510-124.17 154181.89 -19144765.16 2377205489.56 52530-74.17 165035.67 -12240695.42 907892379.40 575120-24.17 70102.67 -1694381.49 40953200.51 62510025.83 66718.89 1723348.93 44514102.83 6752575.83 143754.72 10900920.61 826616809.64 72515125.83 237497.83 29884352.39 3760348061.15 合計(jì)30083729

17、1.67 9428779.86 7957530043.09 標(biāo)準(zhǔn)差 = (xi -x)2 * fi/ f)0.5 = (837291.67 / 300)0.5 = 52.83(元)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) = / x = 52.83 / 599.17 * 100% = 8.82%農(nóng)民工月工資收入的矩偏度系數(shù)和矩峰度系數(shù)。矩偏度系數(shù)sk = S3 /3 = (xi -x)3 * fi) / fi /3= (9428779.86 / 300) / 52.833 = 0.21矩峰度系數(shù)ku = S4 / 4 = (7957530043.09 / 300) / 52.834 = 3.418300戶農(nóng)戶的年純收入分組

18、資料如表所示：年純收入（元）農(nóng)戶數(shù)（戶）23000-250003025000-2700011027000-290009029000-310004031000-330002033000-3500010試計(jì)算：農(nóng)戶年純收入的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；組中值x(元)戶數(shù)f(戶)xf向上累計(jì)頻數(shù)向下累計(jì)頻數(shù)24000 307200003030026000 110286000014027028000 90252000023016030000 4012000002707032000 206400002903034000 1034000030010合計(jì)3008280000算術(shù)平均數(shù)-x = 8280000

19、/ 300 = 27600(元)根據(jù)300 / 2 = 150和累計(jì)人數(shù)確定中位數(shù)的位置應(yīng)在組距數(shù)列第三組，按上限公式計(jì)算中位數(shù)：中位數(shù)m = 29000 (300 / 2 70) / 90 * (29000 27000) = 27222.22(元)由表可以明顯地看出，農(nóng)民年純收入出現(xiàn)次數(shù)最多的是第二組，所對(duì)應(yīng)的值在25000-27000元。按上限公式計(jì)算：眾數(shù) = 27000 (110 90) / (110 30) + (110 90) * (27000 25000)= 26600(元)根據(jù)算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)之間的關(guān)系，判斷農(nóng)民工年純收入的分布類型。由上述計(jì)算結(jié)果可以看出：眾數(shù)(266

20、00) < 中位數(shù)(27222.22) < 算術(shù)平均數(shù)(27600)，屬于正偏分布（即右偏分布），即農(nóng)民的年純收入有極大值出現(xiàn)。9表為130名同學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)成績分組資料：考試成績學(xué)生數(shù)50-55255-60460-651065-701470-752075-802880-852685-901690-95795-1003要求計(jì)算：學(xué)生成績的全矩、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差和方差；全距（極差）= 100 50 = 50(分)組中值x學(xué)生數(shù)fxf偏差偏差2 * f偏差3 * f偏差4 * f52.5 2 105.0 -24.50 1200.50 -29412.25 720600.13 57.5 4 230

21、.0 -19.50 1521.00 -29659.50 578360.25 62.5 10 625.0 -14.50 2102.50 -30486.25 442050.63 67.5 14 945.0 -9.50 1263.50 -12003.25 114030.88 72.5 20 1450.0 -4.50 405.00 -1822.50 8201.25 77.5 28 2170.0 0.50 7.00 3.50 1.75 82.5 26 2145.0 5.50 786.50 4325.75 23791.63 87.5 16 1400.0 10.50 1764.00 18522.00 194

22、481.00 92.5 7 647.5 15.50 1681.75 26067.13 404040.44 97.5 3 292.5 20.50 1260.75 25845.38 529830.19 合計(jì)1301001011992.50 -28620 3015388i=1n|xi-x|算術(shù)平均數(shù)-x = 10010 / 130 = 77(分)平均差A(yù).D = / n = 125 / 10 = 12.5(分)標(biāo)準(zhǔn)差 = (xi -x)2 * fi/ f)0.5 = (11992.50 / 130)0.5 = 9.6(分)方差2 = 11992.50 / 130 = 92.3學(xué)生成績的矩偏度系數(shù)和矩

23、峰度系數(shù)。矩偏度系數(shù)sk = S3 / 3 = (-28620 / 130) / 9.63 = -0.25矩峰度系數(shù)ku = S4 / 4 = (3015388 / 130) / 9.64 = 2.7310某運(yùn)輸公司對(duì)中興汽車的駕駛速度和行駛英里數(shù)的觀測(cè)數(shù)據(jù)如表所示：駕駛速度30504055302560255055行駛里程28252523303221352625要求計(jì)算：駕駛速度與行駛英里數(shù)之間的協(xié)方差；序號(hào)駕駛速度x行駛里程yx偏差y偏差x偏差2y偏差2x偏差 * y偏差13028-1211441-12250258-2644-1634025-2-24444552313-416916-5253

243662532-17528925-857602118-632436-10882535-17828964-136950268-1641-810552513-21694-26合計(jì)420270-1660164-475由表中資料分別計(jì)算得：駕駛速度的算術(shù)平均數(shù)-x = x / n = 420 / 10 = 42行駛里程的算術(shù)平均數(shù)-y = y / n = 270 / 10 = 27則駕駛速度x與行駛里程y之間的協(xié)方差Sxy = 1/n * (xi -x) * (yi -y)= -475 / 10 = -47.5駕駛速度和行駛英里數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行簡要說明。因?yàn)樾?/p>

25、駛速度的標(biāo)準(zhǔn)差x = (1660 / 10)0.5 = 12.88行駛里程的標(biāo)準(zhǔn)差y = (164 / 10)2 = 4.05相關(guān)系數(shù)xy = Sxy / (x * y) = -47.5 / (12.88 * 4.05) = -0.91計(jì)算結(jié)果表明，駕駛速度和行駛英里數(shù)的協(xié)方差和相關(guān)系統(tǒng)均為負(fù)值，說明二者是負(fù)相關(guān)的，同時(shí)相關(guān)系數(shù)-0.91比較接近-1，說明二者之間存在著高度的負(fù)相關(guān)關(guān)系。11表給出了上證指數(shù)和深證成指收盤價(jià)：日期上證指數(shù)深證成指1月4日3243.76 13533.54 1月8日3196.00 13267.44 1月13日3172.66 13016.56 1月19日3246.87

26、 13350.67 1月25日3094.41 12470.19 2月1日2941.36 11989.11 2月9日2948.84 11970.44 2月25日3060.62 12494.27 3月2日3073.11 12548.91 3月10日3048.93 12391.65 3月17日3050.48 12233.77 3月24日3056.81 12290.04 3月30日3128.47 12593.04 計(jì)算：上證指數(shù)和深證成指的協(xié)方差；序號(hào)上證指數(shù)x深證成指y偏差x偏差y偏差x2偏差y2偏差x * 偏差y1 3243.76 13533.54 146.66 906.65 21508.70 8

27、22005.85 132967.22 2 3196.00 13267.44 98.90 640.55 9780.91 410298.39 63348.95 3 3172.66 13016.56 75.56 389.67 5709.08 151839.11 29442.52 4 3246.87 13350.67 149.77 723.78 22430.59 523850.81 108398.73 5 3094.41 12470.19 -2.69 -156.70 7.24 24556.34 421.78 6 2941.36 11989.11 -155.74 -637.78 24255.43 406

28、769.22 99329.56 7 2948.84 11970.44 -148.26 -656.45 21981.48 430932.66 97326.97 8 3060.62 12494.27 -36.48 -132.62 1330.90 17589.29 4838.35 9 3073.11 12548.91 -23.99 -77.98 575.59 6081.60 1870.97 10 3048.93 12391.65 -48.17 -235.24 2320.50 55340.03 11332.10 11 3050.48 12233.77 -46.62 -393.12 2173.57 15

29、4546.96 18328.07 12 3056.81 12290.04 -40.29 -336.85 1623.41 113471.03 13572.39 13 3128.47 12593.04 31.37 -33.85 983.98 1146.13 -1061.97 合計(jì)40262.32 164149.63 -114681.39 3118427.42 580115.63 上證指數(shù)x的算術(shù)平均數(shù)-x = 40262.32 / 13 = 3097.10深證成指y的算術(shù)平均數(shù)-y = 164149.63 / 13 = 12626.89則上證指數(shù)x和深證成指y之間的協(xié)方差Sxy = 1/n * (

30、xi -x) * (yi -y)= 580115.63 / 13 = 44624.28上證指數(shù)和深證成指的相關(guān)系數(shù)，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行解釋。因?yàn)樯献C指數(shù)x的標(biāo)準(zhǔn)差x = (xi - -x)2 / n)0.5 = (114681.39/13)0.5 = 93.92深證成指y的標(biāo)準(zhǔn)差y = (yi - -y)2 / n)0.5 = (3118427.42/13)0.5 = 489.77則上證指數(shù)和深證成指之間的相關(guān)系數(shù)xy = Sxy / (x * y)= 44624.28 / (93.92 * 489.77) = 0.97計(jì)算結(jié)果表明，上證指數(shù)和深證成指的相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差都是正值，說明二者是正相關(guān)

31、的；同時(shí)相關(guān)系數(shù)0.97接近1，說明二者之間存在著高度的正相關(guān)關(guān)系。第2章 概率與概率分布思考與練習(xí)1什么是頻率？什么是概率？二者之間的關(guān)系如何？頻率是在隨機(jī)試驗(yàn)中試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)；隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小的度量（數(shù)值），稱為事件A發(fā)生的概率。關(guān)系：頻率的穩(wěn)定值與事件發(fā)生的可能性大小存在內(nèi)在的必然聯(lián)系。一方面頻率的穩(wěn)定性說明事件發(fā)生的可能性大小確實(shí)是一種客觀存在，另一方面，頻率的穩(wěn)定值對(duì)事件發(fā)生的可能性大小提供了一種直觀的解釋。一個(gè)事件A發(fā)生的可能性的大小概率，在直觀上表現(xiàn)為大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值，但頻率的穩(wěn)定值本身并不是概率的本質(zhì)，不能作為概率的定義，一個(gè)事件的概率是由事

32、件本身特征所決定的客觀存在，就好比一根木棒有它的長度一樣，頻率的穩(wěn)定值是概率的外在的必然表現(xiàn)，當(dāng)進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，頻率會(huì)接近穩(wěn)定值，因而，頻率可用來作為概率的估計(jì)，就好比是測(cè)量概率的“尺子”，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，測(cè)量的精度會(huì)越來越高。2互斥事件和對(duì)立事件的區(qū)別是什么？互斥事件又稱互不相容事件，即事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生；對(duì)立事件是指事件A與B互為反面，它們不可能同時(shí)發(fā)生，但它們中必然會(huì)有一個(gè)發(fā)生，即A事件不發(fā)生時(shí)B必然發(fā)生。3什么是概率分布？概率分布如何表示？所謂隨機(jī)變量的概率分布，就是隨機(jī)變量的取值規(guī)律，通常用分布律（或分布密度）、分布函數(shù)來描述隨機(jī)變量的分布。對(duì)于離散型隨機(jī)變量的概率分布

33、可以用表格的形式來表示，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布可以用概率分布密度曲線圖形來表示。4指出與2對(duì)正態(tài)分布的密度的影響。f(x)關(guān)于直接x = 對(duì)稱；在x = ± 處有拐點(diǎn)。 f(x)在x = 處有最大值1/(2)0.5，該位置處也是分布的中位數(shù)和眾數(shù)。當(dāng)x時(shí)，f(x) 0，即曲線y = f(x)以x軸為漸近線。當(dāng)越大時(shí)，曲線越平緩；當(dāng)越小時(shí)，曲線越陡峭。服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率規(guī)律：為取與鄰近的值的概率大，而取離越遠(yuǎn)的值的概率越??；越小，分布越集中在附近，越大，分布越分散。正態(tài)分布的密度函數(shù)的特點(diǎn)是：關(guān)于對(duì)稱，在處達(dá)到最大值，在正（負(fù)）無窮遠(yuǎn)處取值為0，在±處有拐點(diǎn)。

34、它的形狀是中間高兩邊低 ，圖像是一條位于x軸上方的鐘形曲線。5簡述隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)。數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：設(shè)a為常數(shù)，則E(a)=a。設(shè)X為隨機(jī)變量，a為常數(shù)，則E(a * X)=a * E(X)。設(shè)X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則E(X ± Y)=E(X) ± E(Y)。設(shè)X、Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則E(X * Y)=E(X) * E(Y)。方差的性質(zhì)：設(shè)c為常數(shù)，則D(c)=0。設(shè)X為隨機(jī)變量，c為常數(shù)，則有D(c * X) = c2 * D(X)。設(shè)X、Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有D(X + Y) = D(X) + D(Y)。6指出下列各試驗(yàn)的樣本空間：擲兩個(gè)骰子

35、，分別觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；=1,2,3,4,5,6觀察一只股票某日的價(jià)格（收盤價(jià)）；= (1 - 0.1)P, (1 + 0.1)P，P為前一交易日收盤價(jià)。甲、乙兩人下一局棋，觀察棋賽的結(jié)果；=甲勝，已勝，和棋記錄一個(gè)班級(jí)一次數(shù)學(xué)考試的平均成績（以百分制記分）；=0,100一袋中裝有10個(gè)同型號(hào)的零件，其中3個(gè)合格，7個(gè)不合格，每次從中隨意取出一個(gè)，不合格便放回去，直到取到合格的零件為止，觀察所抽取的次數(shù)。=1,2,3,7某工廠從6000件產(chǎn)品中，任取兩件抽樣檢查，如果所取的兩件都合格，則記為這6000件產(chǎn)品可以出廠。試問：如果這6000件中不合格品多達(dá)1000件，用這種方法檢查，能出廠的概率是

36、多少？能出廠的概率 = C(5000,2)/C(6000,2)=0.698某城市有40%的住戶訂日?qǐng)?bào)，有50%的住戶訂晚報(bào)，至少有70%的住戶訂這兩種報(bào)紙中的一種，求同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的住戶的百分比。設(shè)A=訂日?qǐng)?bào)的用戶，B=訂晚報(bào)的用戶，則有：P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(AB) 0.7訂日?qǐng)?bào)與訂晚報(bào)可看作是任意兩事件，因此，P(AB)= P(A) + P(B) - P(AB) 0.7P(AB) 0.4 + 0.5 - 0.7 = 0.29某城市發(fā)行A、B兩種債券，市民擁有率為40%、26%，同時(shí)擁有A及B占30%。問至少擁有一種債券的概率是多少？設(shè)A=擁有債券A的市民，B=擁有債券B

37、的市民，AB=至少擁有1種債券的市民，AB=同時(shí)擁有債券A和B的市民，則P(A)=0.4,P(B)=0.26,P(AB)=0.3A和B可看作任意兩事件，則P(AB)= P(A) + P(B) - P(AB)=0.4 + 0.26 - 0.3 = 0.3610有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄每1000戶設(shè)一等獎(jiǎng)1個(gè)，二等獎(jiǎng)10個(gè)（每100個(gè)連號(hào)中1個(gè)二等獎(jiǎng)），三等獎(jiǎng)100個(gè)（每10個(gè)連號(hào)中1個(gè)三等獎(jiǎng)），鼓勵(lì)獎(jiǎng)500個(gè)。求此次有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄的中獎(jiǎng)面（設(shè)一張券不同時(shí)兼有兩種以上的獎(jiǎng)）。中獎(jiǎng)概率 = (1 + 10 + 100 + 500)/1000 = 61.1%11某企業(yè)向甲、乙兩銀行申請(qǐng)貸款，估計(jì)能從甲、乙兩銀行獲得貸款的可

38、能性為0.4與0.6，至少獲得其中一家銀行貸款的可能性為0.8。該企業(yè)能同時(shí)獲得兩家銀行貸款的可能性是多少？設(shè)A=向甲銀行成功申請(qǐng)貸款，B=向乙銀行成功申請(qǐng)貸款，則P(A)=0.4,P(B)=0.6，P(AB)=0.8A和B可看作任意兩事件，則P(AB) =P(A) + P(B) - P(AB)P(AB)=0.4 + 0.6 - 0.8 = 0.212在對(duì)200家公司的最新調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)40%的公司在大力研究廣告效果，50%的公司在進(jìn)行短期銷售預(yù)測(cè)，而30%的公司同時(shí)從事這兩項(xiàng)研究。假設(shè)從這200家公司中任選一家，定義事件A為該公司在研究廣告效果，事件B為該公司在進(jìn)行短期銷售預(yù)測(cè)，試求P(A+B

39、)及P(A|B)。P(A) = 0.4,P(B)=0.5,P(AB)=0.3P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.4 + 0.5 - 0.3 = 0.6P(A|B) = P(BA) / P(B) = 0.3 / 0.5 = 0.613某產(chǎn)品的加工由兩道工序組成，第一道工序的廢品率為0.05，第二道工序的廢品率為0.02。假定兩道工序廢品是彼此無關(guān)的，求產(chǎn)品的合格率。設(shè)A=第一道工序合格，B=第二道工序合格，則P(A) = 1 - 0.05 = 0.95,P(B|A) = 1 - 0.02 = 0.98，則產(chǎn)品合格率P(AB) = P(A) * P(B|A) = 0.

40、95 * 0.98 = 0.93114完成某項(xiàng)任務(wù)有兩套方案，第一套方案的成功率為2/3，第二套方案的成功率為1/2，現(xiàn)在同時(shí)獨(dú)立地施行這兩套方案，其中有一套方案成功該任務(wù)就完成。求該任務(wù)完成的概率。方法一：設(shè)A = 第一套方案成功，B = 第二套方案成功，則P(A) = 2/3, P(B) = 1/2因?yàn)锳B是相互獨(dú)立的任務(wù)，則P(AB) = P(A) * P(B) = (2/3) * (1/2) = 1/3P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) = 2/3 + 1/2 - 1/3 = 5/6方法二：設(shè)任務(wù)完成為事件A，其對(duì)立事件B是任務(wù)沒有完成，即兩套方案同時(shí)都失敗，P(B

41、) = (1 - 2/3) * (1 1/2) = 1/6，由于A與B是對(duì)立事件，所以P(A) = 1 P(B) = 1 1/6 = 5/615某批發(fā)商供應(yīng)100家商店，其中每一家商店是否訂下一天貨物是相互獨(dú)立的，訂下一天貨物的概率為0.04。求：一天中訂下一天貨物的商店數(shù)的分布律；一天中恰有4家商店訂貨的概率。X01234100Pk1.69%7.03%14.50%19.73%19.94%0.00%一天中恰有4家商店訂貨的概率是PX=4 = C(100,4) * p4 * (1 - p)(100-4)= 3921225 * 0.044 * (1 - 0.04)96 = 19.94%16某會(huì)計(jì)事

42、務(wù)所依據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)預(yù)計(jì)某公司的應(yīng)收賬款余額有1%是錯(cuò)誤的，今抽取100筆賬款進(jìn)行核查。試問：抽查的賬款中，沒有錯(cuò)誤的概率是多少？抽查的賬款中，恰有2筆錯(cuò)誤的概率是多少？抽查的賬款中，至少有3筆錯(cuò)誤的概率是多少？PX=0 = C(100,0) * (1 - 0.01)(100-0) * 0.010 = 0.99100 = 0.366PX=2 = C(100,2) * (1 - 0.01)(100-2) * 0.012 = 0.4950 * 0.9998 = 0.1849PX3 = 1 - PX<3 = 1 - PX=0 - PX=1 - PX=2PX=1 = C(100,1) * (1 -

43、0.01)(100-1) * 0.01 = 0.9999 = 0.3697PX3 = 1 0.366 0.3697 0.1849 = 0.079417設(shè)XN（0,1），求：P1 < x < 2；Px2.35；P|x| < 1.96；Px = 2.35； Px15。P1<X<2 = PX<2 PX1 = (2) -(1) = 0.9772 - 0.8413 =0.1359PX2.35 = (2.35) = 0.9906P|X|<1.96 = P-1.96 < X < 1.96 = PX<1.96 - PX-1.96= PX<1.9

44、6 (1 - PX 1.96)= 2 * (1.96) 1 = 2 * 0.9750 1 = 0.95 PX=2.35 = 0PX15 = 1 - PX<15 = 1 - 1 = 018設(shè)XN（1.5,4），計(jì)算：P1 x < 3.5；Px > 5.5；P3.5 < x < 5.5；P|x 3| < 6.5。 PX<3.5 = P(x-1.5)/2 < (3.5-1.5)/2 = (1) = 0.8413 PX>5.5 = P(x-1.5)/2 > (5.5-1.5)/2 = 1 - (2) = 1 - 0.9772 = 0.0228

45、 P3.5 < X < 5.5= P(3.5-1.5)/2 < (x-1.5)/2 < (5.5-1.5)/2= (2) - (1) = 0.9772 - 0.8413 = 0.1359P|x-3|<6.5 = P-6.5 < x-3 < 6.5 = P-3.5 < x < 9.5= P(-3.5-1.5)/2 < (x-1.5)/2 < (9.5-1.5)/2=(4) - (-2.5)= 1 (1 - (2.5) = (2.5) = 0.993819 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分計(jì)）服從指數(shù)分布，其概率密度為：1

46、5 e-x/5，x>0f(x) = 0， 其它某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開。他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求PY1。 這是指數(shù)分布（連續(xù)型隨機(jī)變量）題目，由概率密度函數(shù)可知，參數(shù)為1/5,將密度函數(shù)求積分，則概率分布函數(shù)為f(x)dx在（-，x）的定積分，F(xiàn)（x）= 1-e-x/5 x>0,X取值為10時(shí)，F(xiàn)(10)為他等待時(shí)間少于10分鐘的概率，則1-F（10）即為他離開的概率，Y取值可為0,1,2,3,4,5，Y服從二項(xiàng)分布B（Y；5，1-F（10），即可得出第一問。PY1.既是Y取1,2,3,4,5的概

47、率之和了。1-e-x/5 概率分布函數(shù)F(x)= x>01-e-2 e-2k X取值為10時(shí)，F(xiàn)(10) = 1-e-2 ，為他等待時(shí)間少于10分鐘（即不離開）的概率，則1 - F（10）= e-2 ,即為他離開的概率，Y取值可為0,1,2,3,4,5，Y服從二項(xiàng)分布B（Y；5，1-F（10）PY=k = C(5,k) * * ( )(5-k)Y012345Pk48.33%37.82%11.84%1.85%0.15%0.00%PY 1 = 1 - PY < 1 = 1 - 48.33% = 51.67%思路：Y是二項(xiàng)分布，要求其概率，因此要先求出指數(shù)函數(shù)的分布函數(shù)，才能根據(jù)條件求出

48、不離開的概率。20設(shè)某只股票的收益服從正態(tài)分布，其平均收益率為10%，標(biāo)準(zhǔn)差也為10%。問投資者投資在此只股票保證不虧的概率有多大？收益在20%以上的可能性有多大？X服從N(0.1, 0.01)的正態(tài)分布PX0 = 1 - (0-0.1)/0.1) = 1 - (-1) = (1) = 0.8413PX0.2 = 1 - PX<0.2 = 1 - (0.2-0.1)/0.1) = 1 - (1) = 0.158721某銀行發(fā)現(xiàn)存戶每天的平均存款余額為10000元，標(biāo)準(zhǔn)差為2000元，且呈正態(tài)分布。求：存戶平均每天存款余額超過15000元的占多大百分比？存戶平均每天存款余額低于5000元的

49、占多大百分比？存戶平均每天存款余額介于8000元與12000之間的占多大百分比？銀行考慮給大額存戶鼓勵(lì)政策，但不愿使得到此鼓勵(lì)政策的比例超過10%，應(yīng)規(guī)定平均每天存款余額在多少元以上可享受此鼓勵(lì)政策？X服從N(10000, 4000000)的正態(tài)分布PX > 15000 = 1 - PX15000 = 1 -(15000 - 10000)/ 2000) = 1 - (2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062 PX < 5000 = (5000 - 10000)/ 2000) = (-2.5) = 1 - (2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062 P8000

50、X12000 = PX12000- PX<8000= (12000 - 10000)/ 2000) - (8000 - 10000)/2000)= (1) - (-1)= (1) - (1 - (1) = 2 * 0.8413 1 = 0.6826PXk = 1 - PX < k = 1 - (k - 10000)/2000) 10%(k - 10000)/2000) 1 - 0.1 = 0.9查表得(1.29) = 0.9015，則(k - 10000)/20001.29k12580(元)22某產(chǎn)品的重量服從于均值為500克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克的正態(tài)分布。求：重量在490510克之間

51、的概率；重量小于490克的概率；重量大于510克的概率；重量在498±5克之間的概率。P490X510 = PX510 - PX490 = (510-500)/10) - (490-500)/10)=(1) - (-1) = (1) - (1 - (1) = 2 * 0.8413 1 = 0.6826PX<490 = (490-500)/10) = (-1) = 1 - (1) = 1 - 0.8413 = 0.1587 PX510 = 1 - PX<510 = 1 - (510-500)/10) = 1 - (1) = 0.1587P498-5X498+5 = PX503 - PX493 = (503-500)/10) - (493-500)/10)= (0.3) - (-0.7) = (0.3) - (1 - (0.7) = (0.3)