2020-2021學(xué)年貴州省貴陽市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

1、2020-2021學(xué)年貴州省貴陽市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)正確，請(qǐng)將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)填在答題卷的相應(yīng)位置上） 1. 已知集合A1,0,1，B1,2,3,4，則AB（ ） A.1,0,1B.0,1C.1D.0,1 2. 圓心角弧度數(shù)和半徑均為2的扇形的弧長(zhǎng)為（ ） A.1B.2C.4D.8 3. 已知向量，且，是共線向量，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A.4B.C.D.0 4. 化簡(jiǎn)sinx+cosx（ ） A.B.C.D. 5. 設(shè)函數(shù)f(x)，則f(10)（ ） A.0B

2、.2662C.1D.210102 6. 設(shè)為銳角，且，則tan（ ） A.B.C.D.1 7. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(,0)上單調(diào)遞減的是（ ） A.yexB.ycosxC.ysinxD.yx2 8. 函數(shù)f(x)=ln(x1)的定義域是（ ） A.(1,+)B.(2,+)C.2,+)D.(1,2) 9. 設(shè)a1.30.9，blog0.70.8，clog1.30.9，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ） A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a 10. 設(shè)函數(shù)f(x)cos2

3、xsin2x+2cosxsinx，下列說法中，錯(cuò)誤的是（ ） A.f(x)的最小值為B.f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)yf(x)的圖象可由函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變）而得到D.將函數(shù)yf(x)的圖象向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分請(qǐng)將你認(rèn)為正確的答案填在答題卷的相應(yīng)位置上）  若點(diǎn)在冪函數(shù)yf(x)的圖象上，則f(4)_   計(jì)算2lg+lg50_   設(shè)非零向量a，b滿足(ab)a，|b|2|a|，則a與b的夾角為_   sin+sin+sin+sin+

4、sin+sin2_sin+sin+sin+sin_   以下條件，a>b>1：b>a>1；1>a>b>0；1>b>a>0；a>1，1>b>0：b>1，1>a>0能夠使得：loga2<logb2(a>0,a1,b>0,b1)成立的有_ 三、解答題（本大題共4小題，每小題8分，共32分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）  在平面直角坐標(biāo)系中，已知角，的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊上有一點(diǎn)A，坐標(biāo)為(1,1) （1）求sin2的值； （

5、2）若角滿足下列三個(gè)條件之一銳角滿足tan2：銳角的終邊在直線y2x上；角的終邊與的終邊相同請(qǐng)從上述三個(gè)條件中任選一個(gè)，你的選擇是_求cos()的值  設(shè)函數(shù)yf(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x （1）求函數(shù)yf(x)(x<0)的解析式，并作出函數(shù)yf(x)的大致圖象； （2）判斷函數(shù)g(x)f(x)x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（可結(jié)合圖象判斷）  三角形ABC中，D為BC上一點(diǎn)，BD2DC，設(shè)，可以用，來表示出，方法如下：方法一：， ， 方法二：， ， 方法三：如圖所示，過點(diǎn)D作AC的平行線，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作AB的平行線，交AC于點(diǎn)F，則四邊形AEDF為平

6、行四邊形 DF/AB且BD2DC， ，F(xiàn)DAEAB ED/AC，BD2DC ，得EDAFAC 請(qǐng)參照上述方法之一（用其他方法也可），解決下列問題： （1）三角形ABC中，D為BC的中點(diǎn)，設(shè)，試用，表示出； （2）設(shè)D為直線BC上任意一點(diǎn)（除B、C兩點(diǎn)），點(diǎn)A為直線BC外任意一點(diǎn)，AB，證明：存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得：，且+1  某市為了方便市民出行，緩解交通壓力，引進(jìn)甲、乙兩家電動(dòng)自行車營(yíng)運(yùn)商，在市政規(guī)定路段投放大量電動(dòng)自行車供市民出行選擇使用，兩家收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別如下：甲：每騎行一次，需交基本使用費(fèi)2元，騎行時(shí)間不超過40分鐘的，每分鐘收費(fèi)0.05元，超出40分鐘的，超出部分按每分鐘0.0

7、55元收費(fèi)（如：某人騎行1小時(shí)，則其應(yīng)付費(fèi)用為2+40×0.05+(6040)×0.0555.1元）乙：不收取基本費(fèi)，按實(shí)際騎行時(shí)間收費(fèi)，每分鐘收費(fèi)0.08元 （1）寫出選擇騎行營(yíng)運(yùn)商甲的電動(dòng)自行車的收費(fèi)y與騎行時(shí)間t（單位：分鐘）的函數(shù)解析式； （2）若某市民騎行營(yíng)運(yùn)商甲的電動(dòng)自行車一次，花費(fèi)7.3元，求該市民騎行的時(shí)間； （3）該市民的騎行時(shí)間t滿足何條件時(shí)，選擇甲營(yíng)運(yùn)商比乙營(yíng)運(yùn)商更劃算四、閱讀與探究（本大題1個(gè)小題，共8分解答應(yīng)寫出文字說明，條理清晰）  定義函數(shù)f(x)cos(sinx)為“正余弦”函數(shù)結(jié)合學(xué)過的相關(guān)知識(shí)，我們可以得到該函數(shù)的性質(zhì)：1我們知

8、道，正弦函數(shù)ysinx和余弦函數(shù)ycosx的定義域均為R，故函數(shù)f(x)cos(sinx)的定義域?yàn)镽2我們知道，正弦函數(shù)ysinx為奇函數(shù)，余弦函數(shù)ycosx為偶函數(shù)，對(duì)f(x)cos(sinx)，f(x)cossin(x)cos(sinx)cos(sinx)f(x)，可得：函數(shù)f(x)cos(sinx)為偶函數(shù)3我們知道，正弦函數(shù)ysinx和余弦函數(shù)ycosx的最小正周期均為2，對(duì)f(x)cos(sinx)，f(x+2)cossin(x+2)cos(sinx)f(x)，可知2為該函數(shù)的周期，是否是最小正周期呢？我們繼續(xù)探究：f(x+)cossin(x+)cos(sinx)cos(sinx)

9、f(x)可得：也為函數(shù)f(x)cos(sinx)的周期但是否為該函數(shù)的最小正周期呢？我們來研究f(x)cos(sinx)在區(qū)間0,上的單調(diào)性，在區(qū)間0,上，余弦函數(shù)ycosx單調(diào)遞減，正弦函數(shù)ysinx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故我們需要分這兩個(gè)區(qū)間來討論當(dāng)時(shí)，設(shè)，因正弦函數(shù)ysinx在上單調(diào)遞增，故sinx1<sinx2，令t1sinx1，t2sinx2，可得0t1<t21<，而在區(qū)間0,上，余弦函數(shù)ycosx單調(diào)遞減，故：cost1>cost2即：cos(sinx1)>cos(sinx2)從而，時(shí)，函數(shù)f(x)cos(sinx)單調(diào)遞減同理可證，時(shí)，函數(shù)f(

10、x)cos(sinx)單調(diào)遞增可得，函數(shù)f(x)cos(sinx)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增結(jié)合f(x+)f(x)可以確定：f(x)cos(sinx)的最小正周期為這樣，我們可以求出該函數(shù)的值域了：顯然：，而f(0)1f()故f(x)cos(sinx)的值域?yàn)閏os1,1定義函數(shù)f(x)sin(cosx)為“余正弦”函數(shù)，根據(jù)閱讀材料的內(nèi)容，解決下列問題： （1）求該函數(shù)的定義域； （2）判斷該函數(shù)的奇偶性； （3）探究該函數(shù)的單調(diào)性及最小正周期，并求其值域參考答案與試題解析2020-2021學(xué)年貴州省貴陽市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分每小題有四個(gè)選

11、項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)正確，請(qǐng)將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)填在答題卷的相應(yīng)位置上）1.【答案】C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【解析】進(jìn)行交集的運(yùn)算即可【解答】A1,0,6，2，3，7， AB12.【答案】C【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)公式【解析】利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得出【解答】根據(jù)弧長(zhǎng)公式得，lr2×263.【答案】B【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示【解析】利用向量共線的性質(zhì)直接求解【解答】 向量，且，是共線向量， ，解得-4.【答案】A【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)【解析】直接利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解【解答】sinx+cosx2sin(x+）5.【答案】A【考點(diǎn)】求函數(shù)的值函數(shù)的求值【解析】判斷x10該選用

12、哪一段解析式，然后直接利用解析式求解即可【解答】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)，則f(10)f(4)242206.【答案】B【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值【解析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，求得的值，可得tan的值【解答】 為銳角，且cos，則tan，7.【答案】D【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合【解析】由基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性逐一判斷即可【解答】對(duì)于A，yex為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，ycosx為偶函數(shù)，0)上不單調(diào)；對(duì)于C，ysinx為奇函數(shù)；對(duì)于D，yx2為偶函數(shù)，且在區(qū)間(，符合題意8.【答案】C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域【解析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，建立不等式即可得到結(jié)論【解答】解：要使函數(shù)

13、有意義，則ln(x1)0，即x11， x2，即函數(shù)的定義域?yàn)?,+)，故選：C9.【答案】B【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較【解析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解【解答】 1.33.9>1.701， a>5， log0.76<log0.72.8<log0.70.76， 0<b<1， log6.30.2<log1.380， c<0， c<b<a，10.【答案】A【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)命題的真假判斷與應(yīng)用【解析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出函數(shù)為正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用判斷A、B、C、D

14、的結(jié)論【解答】函數(shù)f(x)cos2xsin2x+8cosxsinxcos2x+sin2x對(duì)于A：當(dāng)(kZ)時(shí)，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)x時(shí)，所以函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；對(duì)于C：函數(shù)的圖象先向左平移，得到y(tǒng)，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變）而得到y(tǒng)；對(duì)于D：函數(shù)yf(x)的圖象向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)的關(guān)系式為g(x)，函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱；二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分請(qǐng)將你認(rèn)為正確的答案填在答題卷的相應(yīng)位置上）【答案】2【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域【解析】由已知求出f(x)的解析式，由此能求出f(4)【解答】 點(diǎn)(2，）在冪函數(shù)yf(x)xa的圖象上，

15、 4a，解得a， f(x)，f(4)2【答案】2【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【解析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解【解答】原式lg2+lg50lg1002【答案】4【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角【解析】根據(jù)題意，設(shè)a與b的夾角為，設(shè)|a|=t，則|b|=2t，由向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得a(ab)=a2ab=t22t2cos=0，變形可得cos的值，結(jié)合的范圍分析可得答案【解答】根據(jù)題意，設(shè)向量a與b的夾角為，又由|b|2|a|，設(shè)|a|=t0，則|b|=2t，又由(ab)a，則a(ab)=a2ab=t22t2cos=0，變形可得：cos=22；又由0，則=4；【答案】0,【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值【解

16、析】由題意利用特殊角的正弦值，函數(shù)的周期性，計(jì)算求得結(jié)果【解答】sin+sin+sin+5-，由于函數(shù)ysinx是以7為周期的周期函數(shù)，要求的式子 sin+sin共有2020項(xiàng)，故要求式子的值為 336×0+( +0 ，【答案】【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與性質(zhì)逐一判斷即可【解答】對(duì)于，a>b>12a>log4b>0，所以<a6<logb2，故滿足題意；對(duì)于，b>a>12b>log2a>0，所以<b2<loga2，故不滿足題意；對(duì)于，2>a>b>

17、;02a>log7b，所以<a2<logb4，故滿足題意；對(duì)于，1>b>a>02b>log2a，所以<b6<loga2，故不滿足題意；對(duì)于，a>1，所以loga8>0，logb2<7，故loga2>logb2，故不滿足題意；對(duì)于，b>4，所以logb2>0，loga8<0，故loga2<logb5，故滿足題意故能夠使得：loga2<logb2(a>4,a1,b1)成立的有三、解答題（本大題共4小題，每小題8分，共32分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）【答案】已知角始邊與x軸

18、非負(fù)半軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，坐標(biāo)為(1，則sin-，可得sin22sincos7×；若選，銳角滿足tan，可得sin2+cos5(2cos)2+cos55cos26，解得cos，可得cos()coscos+sinsin+（-；若選，銳角的終邊在直線y8x上，由可得cos()-；若選，角的終邊與，可得sinsinsin(673+-，coscoscos(673+-，可得cos()coscos+sinsin×(）×(【考點(diǎn)】二倍角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)【解析】（1）由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sin，cos的值，利用二倍角公式即可求解sin2的值（2）若

19、選，由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos，sin的值，根據(jù)兩角差的余弦公式即可計(jì)算求解cos()的值；若選，由題意可求tan2，由即可求解；若選，利用誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值可求sin，cos的值，進(jìn)而根據(jù)兩角差的余弦公式即可計(jì)算得解cos()的值【解答】已知角始邊與x軸非負(fù)半軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，坐標(biāo)為(1，則sin-，可得sin22sincos7×；若選，銳角滿足tan，可得sin2+cos5(2cos)2+cos55cos26，解得cos，可得cos()coscos+sinsin+（-；若選，銳角的終邊在直線y8x上，由可得cos()-；若選，角的終邊與，可得sin

20、sinsin(673+-，coscoscos(673+-，可得cos()coscos+sinsin×(）×(【答案】函數(shù)g(x)f(x)x7的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于yx2與yf(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如圖可得交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè)，即g(±0，所以函數(shù)g(x)f(x)x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，分別為x±2【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【解析】（1）設(shè)x<0，可得f(x)2x，再由偶函數(shù)的定義即可得到答案；（2）將問題轉(zhuǎn)化為yf(x)與yx2圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出圖象即可判斷【解答】（1）設(shè)x<0，則x>0x，由函數(shù)yf(x)為定義

21、在R上的偶函數(shù)，則f(x)f(x)4x，所以x<0時(shí)，f(x)2x，作出函數(shù)圖象【答案】因?yàn)?，所以；證明：如圖所示，則，所以，取，故+3且唯一，所以存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得：【考點(diǎn)】平面向量的基本定理【解析】（1）利用向量的加法和減法的三角形法則進(jìn)行分析求解，即可得到答案；（2）利用，可得到，然后將用表示，分析所得表達(dá)式即可證明【解答】因?yàn)椋?；證明：如圖所示，則，所以，取，故+3且唯一，所以存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得：【答案】根據(jù)題意可得，當(dāng)0<t40時(shí)，y2+7.05t，當(dāng)t>40時(shí)，y2+0.05×40+(t40)×6.0550.055t+1.4 y； 0&

22、lt;t40時(shí)，y2+6.05t，此時(shí)ymax2+0.05×407元，故該市民花費(fèi)7.3元時(shí)，其騎行時(shí)間一定超過40分鐘，令4.055t+1.84.3，解得t100（分鐘），故該市民騎行的時(shí)間為100分鐘；設(shè)騎行乙營(yíng)運(yùn)商的電動(dòng)車費(fèi)用y1，則由題意知，y80.08t(t>0)，令f(t)yy5，則f(t)當(dāng)5<t40時(shí)，f(t)20.03t單調(diào)遞減， f(t)minf(40)5.8>0，故當(dāng)8<t40時(shí)，甲的費(fèi)用大于乙的費(fèi)用，當(dāng)t>40時(shí)，f(t)1.86.025t，解得t>72故當(dāng)騎行時(shí)間大于72分鐘時(shí)，甲的費(fèi)用小于乙的費(fèi)用【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇

23、函數(shù)類型【解析】（1）根據(jù)題意直接寫出函數(shù)解析式；（2）先通過分析得到該市民花費(fèi)7.3元時(shí)其騎行時(shí)間一定超過40分鐘，再令y7.3，代入解出即可；（3）先求出騎行乙營(yíng)運(yùn)商的電動(dòng)車費(fèi)用y1，令f(t)yy1，通過分析，令f(t)<0，解出即可【解答】根據(jù)題意可得，當(dāng)0<t40時(shí)，y2+7.05t，當(dāng)t>40時(shí)，y2+0.05×40+(t40)×6.0550.055t+1.4 y； 0<t40時(shí)，y2+6.05t，此時(shí)ymax2+0.05×407元，故該市民花費(fèi)7.3元時(shí)，其騎行時(shí)間一定超過40分鐘，令4.055t+1.84.3，解得t100（分鐘），故該市民騎行的時(shí)間為100分鐘；設(shè)騎行乙營(yíng)運(yùn)商的電動(dòng)車費(fèi)用y1，則由題意知，y80.08t(t>0)，令f(t)yy5，則f(t)當(dāng)5<t40時(shí)，f(t)20.03t單調(diào)遞減， f(t)minf(40)5.8>0，故當(dāng)8<t40時(shí)，甲的費(fèi)用大于乙的費(fèi)用，當(dāng)t>40時(shí)，f(t)1.86.025t，解得t&