北京四中2016屆高三第二學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)(理)試題

1、高三數(shù)學(xué)（理科）第二學(xué)期開學(xué)測試卷（答案）（本卷答題時間120分鐘，滿分150分）班級 學(xué)號 姓名 （一）、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共30分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1復(fù)數(shù)( ) A. B. C. D.答案：D2已知集合，則 A B C D開始m =1, i=1m=m (2-i)+1i= i +1m=0?結(jié)束輸出i是否答案：A3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為A B C D答案：B4 “”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案：A5給出下列函數(shù)： ； ； ； .其中圖象關(guān)于軸對稱的是 A.

2、B. C. D. 答案：B6. 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（ ）A B C D答案： A7. 設(shè)斜率為2的直線過拋物線的焦點(diǎn),且與軸交于點(diǎn),若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4,則拋物線方程為A. B. C. D. 8. 某地實(shí)行階梯電價，以日歷年(每年1月1日至12月31日)為周期執(zhí)行居民階梯電價，即：一戶居民用戶全年不超過2880度（1度=千瓦時）的電量，執(zhí)行第一檔電價標(biāo)準(zhǔn)，每度電0.4883元；全年超過2880度至4800度之間的電量，執(zhí)行第二檔電價標(biāo)準(zhǔn)，每度電0.5383元；全年超過4800度以上的電量，執(zhí)行第三檔電價標(biāo)準(zhǔn)，每度電0.7883元.下面是關(guān)于階梯電價的

3、圖形表示，其中正確的有 參考數(shù)據(jù)：0.4883元/度2880度=1406.30元，0.5383元/度(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.(A) (B) (C) (D)答案：B(二)、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共30分把答案填在答題紙上.9九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題: “今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？答曰：二千一百一十二尺.術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” .這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是說：圓堡瑽(圓柱體)的體積為：V×(底面的圓周長的平方×高

4、)則圓周率的取值為 .答案：310口袋中有三個大小相同、顏色不同的小球各一個，每次從中取一個，記下顏色后放回，當(dāng)三種顏色的球全部取出時停止取球，則恰好取了5次停止種數(shù)為 。答案：4211在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的最小值是 答案：12. 過雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)為,延長交雙曲線的右支于點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為 .答案：13如果實(shí)數(shù)滿足關(guān)系則的取值范圍為 .答案：14在 中，內(nèi)角 所對的邊分別為，若，且，則下列命題正確的序號是 .（1） （2）的周長為 （3）的面積為 （4）的外接圓半徑為答案：（2），（3），（4） (三)、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，解答

5、過程書寫在答題紙的對應(yīng)位置. 本大題共6小題，共80分15.(本小題滿分13分）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn).（）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在上的最小值. 解：（）由 . 因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以.解得. 函數(shù)的最小正周期為. 7分（）因?yàn)椋? 則.所以當(dāng)，即時，函數(shù)在上的最小值為. 13分 16（本題滿分13分）某網(wǎng)店?duì)I銷部門為了統(tǒng)計某市猴年春節(jié)期間在某網(wǎng)店購物情況，隨機(jī)抽查了該市除夕當(dāng)天名網(wǎng)絡(luò)購物金額情況，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表（如圖（1）：網(wǎng)購金額(單位:千元)頻數(shù)頻率合計(1)(2) 金額（千元）若購物金額超過千元的顧客定義為“網(wǎng)購達(dá)人”，網(wǎng)購金額不超過千元的顧客定義為“非網(wǎng)購達(dá)人

6、”，已知“非網(wǎng)購達(dá)人”與“網(wǎng)購達(dá)人”人數(shù)比恰好為（）試確定，的值并完成圖(2)；（）該營銷部門為了進(jìn)一步了解這名網(wǎng)友的購物體驗(yàn)，從“非網(wǎng)購達(dá)人”、“網(wǎng)購達(dá)人”中用分層抽樣的方法確定人，若需從這人中隨機(jī)選取人進(jìn)行問卷調(diào)查設(shè)為選取的人中“網(wǎng)購達(dá)人”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望解析：（）根據(jù)題意，有 解得 ， 6分（）用分層抽樣的方法，從中選取人，則其中“網(wǎng)購達(dá)人”有人，“非網(wǎng)購達(dá)人”有人 故的可能取值為0，1，2，3； ， ， 所以的分布列為： 13分17（本題滿分14分）如圖1，梯形中，,點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，,把沿邊翻折成圖2，使.(1)求證: ；EABCD圖1圖2()求平面與平面所成銳二面角的余弦值

7、.證明：(1)取中點(diǎn)，連結(jié)，在中，AOBCDEFG 3分，yzxAOBCDE平面平面平面 平面4分四邊形為直角梯形，四邊形為正方形 6分又 平面7分()由(1)知兩兩互相垂直，故建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，5分設(shè)平面的法向量為，則，取9分設(shè)平面的法向量為，則，取11分平面與平面所成銳二面角的余弦值為14分18（本題滿分13分）設(shè)兩個函數(shù)和，其中是三次函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)，都有， .（1）求函數(shù)的極值；（2）證明：對于任意的都有成立.解：（1）由題意可設(shè)，則，得又，比較系數(shù)有，令，得；，得或故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減故當(dāng)時，當(dāng)時，6分（2）要證明對于任意的都有成立只需證

8、當(dāng)時，當(dāng)時，則當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增由（1）知對任意，又， 當(dāng)時，成立故對于任意的都有成立13分19. (本小題滿分14分)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、，若的面積為且直線經(jīng)過點(diǎn)（1）求橢圓的方程； （2）過點(diǎn)的動直線l交橢圓C于兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過點(diǎn)T，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解析:（1）由題意，橢圓的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，則，即：，所以， 橢圓C的方程是x2+=15分 （2）若直線與軸重合，則以為直徑的圓是，若直線垂直于軸，則以為直徑的圓是由解得即兩圓相切于

9、點(diǎn)因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是 事實(shí)上，點(diǎn)就是所求的點(diǎn)證明如下：當(dāng)直線垂直于軸時，以為直徑的圓過點(diǎn)若直線不垂直于軸，可設(shè)直線由 即記點(diǎn), 則 又因?yàn)?所以，即以為直徑的圓恒過點(diǎn)所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點(diǎn)滿足條件14分20. (本小題滿分13分） 已知直角的三邊長，滿足（1）在之間插入2016個數(shù)，使這2018個數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，且它們的和為2018，求斜邊的最小值；（2）已知均為正整數(shù)，且成等差數(shù)列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列，且，求滿足不等式的所有的值；（3）已知成等比數(shù)列，若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長均可以構(gòu)成直角三角形，且是正整數(shù).解：（1）是等差數(shù)列，即 所以，斜邊的最小值為（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ藭r數(shù)列中，） 4分（2）設(shè)的公差為，則設(shè)三角形的三邊長為，面積，