高考數(shù)學(xué)按章節(jié)分類匯編人教A必修二第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系wwwks5ucom高考

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家2012年高考數(shù)學(xué)按章節(jié)分類匯編（人教a必修二）第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系一、選擇題 （2012年高考（浙江文）設(shè)是直線,a,是兩個(gè)不同的平面（）a若a,則ab若a,則a c若a,a,則d若a, a,則 （2012年高考（四川文）下列命題正確的是（）a若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線平行b若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行c若一條直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行d若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行 （2012年高考（浙江理）已知矩形abcd,ab=1,bc=.將abd沿矩形的對(duì)角線

2、bd所在的直線進(jìn)行翻著,在翻著過程中,（）a存在某個(gè)位置,使得直線ac與直線bd垂直 b存在某個(gè)位置,使得直線ab與直線cd垂直 c存在某個(gè)位置,使得直線ad與直線bc垂直 d對(duì)任意位置,三直線“ac與bd”,“ab與cd”,“ad與bc”均不垂直 （2012年高考（四川理）下列命題正確的是（）a若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線平行b若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行c若一條直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行d若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行 （2012年高考（上海春）已知空間三條直線若與異面,且與異面,則 答（）a

3、與異面.b與相交.c與平行.d與異面、相交、平行均有可能.二、填空題（2012年高考（四川文）如圖,在正方體中,、分別是、的中點(diǎn),則異面直線與所成的角的大小是_.（2012年高考（大綱文）已知正方形中,分別為,的中點(diǎn),那么異面直線與所成角的余弦值為_.（ 2012年高考（四川理）如圖,在正方體中,、分別是、的中點(diǎn),則異面直線與所成角的大小是_.（2012年高考（大綱理）三棱柱中,底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等,則異面直線與所成角的余弦值為_.三、解答題（2012年高考（重慶文）(本小題滿分12分,()小問4分,()小問8分)已知直三棱柱中,為的中點(diǎn).()求異面直線和的距離;()若,求二面角的平面角的余

4、弦值.（2012年高考（浙江文）如圖,在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐abcd-a1b1c1d1中,adbc,adab,ab=.ad=2,bc=4,aa1=2,e是dd1的中點(diǎn),f是平面b1c1e與直線aa1的交點(diǎn).(ii)ba1平面b1c1ef;(2)求bc1與平面b1c1ef所成的角的正弦值.（2012年高考（天津文）如圖,在四棱錐中,底面是矩形,.(i)求異面直線與所成角的正切值;(ii)證明平面平面;(iii)求直線與平面所成角的正弦值.（2012年高考（四川文）如圖,在三棱錐中,點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上.()求直線與平面所成的角的大小;()求二面角的大小.（2012年高考（上海文）pabcd如圖

5、,在三棱錐p-abc中,pa底面abc,d是pc的中點(diǎn).已知bac=,ab=2,ac=2,pa=2.求:(1)三棱錐p-abc的體積;(2)異面直線bc與ad所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).（2012年高考（陜西文）直三棱柱abc- a1b1c1中,ab=a a1 ,=()證明;()已知ab=2,bc=,求三棱錐的體積.（2012年高考（山東文）如圖,幾何體是四棱錐,為正三角形,.()求證:;()若,m為線段ae的中點(diǎn),求證:平面.（2012年高考（遼寧文）如圖,直三棱柱,aa=1,點(diǎn)m,n分別為和的中點(diǎn).()證明:平面;()求三棱錐的體積.(椎體體積公式v=sh,其中s為地面面積,

6、h為高)（2012年高考（課標(biāo)文）如圖,三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,acb=90°,ac=bc=aa1,d是棱aa1的中點(diǎn).(i) 證明:平面平面()平面分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.（2012年高考（江西文）如圖,在梯形abcd中,abcd,e,f是線段ab上的兩點(diǎn),且deab,cfab,ab=12,ad=5,bc=4,de=4.現(xiàn)將ade,cfb分別沿de,cf折起,使a,b兩點(diǎn)重合與點(diǎn)g,得到多面體cdefg.(1)求證:平面deg平面cfg;(2)求多面體cdefg的體積.（2012年高考（湖南文）如圖6,在四棱錐p-abcd中,pa平面abcd,底面abcd是等腰梯形,

7、adbc,acbd.()證明:bdpc;()若ad=4,bc=2,直線pd與平面pac所成的角為30°,求四棱錐p-abcd的體積.（2012年高考（湖北文）某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體,其下部是底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái),上不是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合,側(cè)面是全等的矩形的四棱柱.(1)證明:直線平面;(2)現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理,已知(單位:厘米),每平方厘米的加工處理費(fèi)為元,需加工處理費(fèi)多少元?（2012年高考（廣東文）(立體幾何)如圖5所示,在四棱錐中,平面,是的中點(diǎn),是上的點(diǎn)且,為中邊上的高.()證明:平面;()若,求三棱錐的體積;(

8、)證明:平面.（2012年高考（福建文）如圖,在長(zhǎng)方體中,為棱上的一點(diǎn).(1)求三棱錐的體積;(2)當(dāng)取得最小值時(shí),求證:平面.（2012年高考（大綱文）如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點(diǎn),.()證明:平面;dabpce()設(shè)二面角為90°,求與平面所成角的大小.（2012年高考（北京文）如圖1,在rtabc中,c=90°,d,e分別是ac,ab上的中點(diǎn),點(diǎn)f為線段cd上的一點(diǎn).將ade沿de折起到a1de的位置,使a1fcd,如圖2. (1)求證:de平面a1cb;(2)求證:a1fbe;(3)線段a1b上是否存在點(diǎn)q,使a1c平面deq?說明理由. （2012

9、年高考（安徽文）如圖,長(zhǎng)方體中,底面是正方形,是的中點(diǎn),是棱上任意一點(diǎn).()證明: ;()如果=2,=, , 求 的長(zhǎng).（2012年高考（天津理）如圖,在四棱錐中,丄平面,丄,丄,.()證明丄;()求二面角的正弦值;()設(shè)e為棱上的點(diǎn),滿足異面直線be與cd所成的角為,求ae的長(zhǎng).（2012年高考（新課標(biāo)理）如圖,直三棱柱中,是棱的中點(diǎn),(1)證明:(2)求二面角的大小.（2012年高考（浙江理）如圖,在四棱錐pabcd中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,且bad=120°,且pa平面abcd,pa=,m,n分別為pb,pd的中點(diǎn).()證明:mn平面abcd;() 過點(diǎn)a作aqpc,垂足為點(diǎn)q,

10、求二面角amnq的平面角的余弦值.（2012年高考（重慶理）(本小題滿分12分()小問4分()小問8分)如圖,在直三棱柱 中,ab=4,ac=bc=3,d為ab的中點(diǎn)()求點(diǎn)c到平面 的距離;()若,求二面角 的平面角的余弦值.（2012年高考（四川理）如圖,在三棱錐中,平面平面.()求直線與平面所成角的大小;()求二面角的大小.（2012年高考（上海理）如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd是矩形,pa底面abcd,e是pc的中點(diǎn).已知ab=2,abcdpead=2,pa=2.求:(1)三角形pcd的面積;(2)異面直線bc與ae所成的角的大小.（2012年高考（上海春）如圖,正四棱柱的

11、底面邊長(zhǎng)為,高為,為線段的中點(diǎn).求:(1)三棱錐的體積;(2)異面直線與所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)（2012年高考（陜西理）(1)如圖,證明命題“是平面內(nèi)的一條直線,是外的一條直線(不垂直于),是直線在上的投影,若,則”為真.(2)寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假 (不需要證明)（2012年高考（山東理）在如圖所示的幾何體中,四邊形是等腰梯形,平面.()求證:平面;()求二面角的余弦值.（2012年高考（遼寧理） 如圖,直三棱柱,點(diǎn)m,n分別為和的中點(diǎn).()證明:平面;()若二面角為直二面角,求的值.（2012年高考（江西理）在三棱柱中,已知,在在底面的投影是線段的中點(diǎn)。(1)證

12、明在側(cè)棱上存在一點(diǎn),使得平面,并求出的長(zhǎng);(2)求平面與平面夾角的余弦值。（2012年高考（江蘇）如圖,在直三棱柱中,分別是棱上的點(diǎn)(點(diǎn) 不同于點(diǎn)),且為的中點(diǎn).求證:(1)平面平面;(2)直線平面.（2012年高考（湖南理） 如圖5,在四棱錐p-abcd中,pa平面abcd,ab=4,bc=3,ad=5,dab=abc=90°,e是cd的中點(diǎn).()證明:cd平面pae;()若直線pb與平面pae所成的角和pb與平面abcd所成的角相等,求四棱錐p-abcd的體積.abcdpe圖5（2012年高考（湖北理）如圖1,過動(dòng)點(diǎn)a作,垂足d在線段bc上且異于點(diǎn)b,連接ab,沿將折起,使(如圖

13、2所示). ()當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí),三棱錐的體積最大;()當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),設(shè)點(diǎn),分別為棱,的中點(diǎn),試在棱上確定一點(diǎn),使得,并求與平面所成角的大小.dabcacdb圖2圖1me.·（2012年高考（廣東理）如圖5所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點(diǎn)在線段上,平面.()證明:平面;()若,求二面角的正切值.（2012年高考（福建理）如圖,在長(zhǎng)方體中為中點(diǎn).()求證:()在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面?若存在,求的長(zhǎng);若不存在,說明理由. ()若二面角的大小為,求的長(zhǎng).（2012年高考（大綱理）(注意:在試題卷上作答無效)如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點(diǎn),.(1)證明:平面;

14、(2)設(shè)二面角為,求與平面所成角的大小.（2012年高考（北京理）如圖1,在rtabc中,c=90°,bc=3,ac=6,d,e分別是ac,ab上的點(diǎn),且debc,de=2,將ade沿de折起到a1de的位置,使a1ccd,如圖2. (1)求證:a1c平面bcde;(2)若m是a1d的中點(diǎn),求cm與平面a1be所成角的大小;(3)線段bc上是否存在點(diǎn)p,使平面a1dp與平面a1be垂直?說明理由. （2012年高考（安徽理）平面圖形如圖4所示,其中是矩形,.現(xiàn)將該平面圖形分別沿和折疊,使與所在平面都與平面垂直,再分別連接,得到如圖2所示的空間圖形,對(duì)此空間圖形解答下列問題.()證明:

15、; ()求的長(zhǎng);()求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題 【答案】b 【命題意圖】本題考查的是平面幾何的基本知識(shí),具體為線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性質(zhì). 【解析】利用排除法可得選項(xiàng)b是正確的,a,則a.如選項(xiàng)a:a,時(shí), a或a;選項(xiàng)c:若a,a,或;選項(xiàng)d:若若a, a,或. 答案c 解析若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以a錯(cuò);一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行,故b錯(cuò);若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行,也可以垂直;故d錯(cuò);故選項(xiàng)c正確. 點(diǎn)評(píng)本題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及

16、線面的判定和性質(zhì),需要熟練掌握課本基礎(chǔ)知識(shí)的定義、定理及公式. 【答案】b 【解析】最簡(jiǎn)單的方法是取一長(zhǎng)方形動(dòng)手按照其要求進(jìn)行翻著,觀察在翻著過程,即可知選項(xiàng)b是正確的. 答案c 解析若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以a錯(cuò);一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行,故b錯(cuò);若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行,也可以垂直;故d錯(cuò);故選項(xiàng)c正確. 點(diǎn)評(píng)本題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì),需要熟練掌握課本基礎(chǔ)知識(shí)的定義、定理及公式. d 二、填空題 答案90º 解析方法一:連接d1m,易

17、得dna1d1 ,dnd1m, 所以,dn平面a1md1, 又a1m平面a1md1,所以,dna1d1,故夾角為90º 方法二:以d為原點(diǎn),分別以da, dc, dd1為x, y, z軸,建立空間直角坐標(biāo)系dxyz.設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,則d(0,0,0),n(0,2,1),m(0,1,0)a1(2,0,2) 故, 所以,cos< = 0,故dnd1m,所以?shī)A角為90º 點(diǎn)評(píng)異面直線夾角問題通?？梢圆捎脙煞N途徑: 第一,把兩條異面直線平移到同一平面中借助三角形處理; 第二,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量夾角公式解決. 【解析】正確的是 四面體每個(gè)面是全等三角形,面積相等 從

18、四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于 連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形,線段互垂直平分 從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng) 解析方法一:連接d1m,易得dna1d1 ,dnd1m, 所以,dn平面a1md1, 又a1m平面a1md1,所以,dna1d1,故夾角為90º 方法二:以d為原點(diǎn),分別以da, dc, dd1為x, y, z軸,建立空間直角坐標(biāo)系dxyz.設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,則d(0,0,0),n(0,2,1),m(0,1,0)a1(2,0,2) 故, 所以,cos< = 0,故dnd1m,所以?shī)A角為90º 答案 【命題意圖】本試題考查

19、了斜棱柱中異面直線的角的求解.用空間向量進(jìn)行求解即可. 【解析】設(shè)該三棱柱的邊長(zhǎng)為1,依題意有,則 而 三、解答題 【答案】:()() 【解析】:()如答(20)圖1,因ac=bc, d為ab的中點(diǎn),故cd ab.又直三棱柱中, 面 ,故 ,所以異面直線 和ab的距離為 ():由故 面 ,從而 ,故 為所求的二面角的平面角. 因是在面上的射影,又已知 由三垂線定理的逆定理得從而,都與互余,因此,所以,因此得 從而 所以在中,由余弦定理得 【命題意圖】本題主要以四棱錐為載體考查線線平行,線面垂直和線面角的計(jì)算,注重與平面幾何的綜合, 同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力. (1)(i)因?yàn)? 平面

20、add1 a1,所以平面add1 a1. 又因?yàn)槠矫嫫矫鎍dd1 a1=,所以.所以. (ii)因?yàn)?所以, 又因?yàn)?所以, 在矩形中,f是aa的中點(diǎn),即.即 ,故. 所以平面. (2) 設(shè)與交點(diǎn)為h,連結(jié). 由(1)知,所以是與平面所成的角. 在矩形中,得,在直角中,得 ,所以bc與平面所成角的正弦值是. 解:(1)如圖,在四棱錐中,因?yàn)榈酌媸蔷匦?所以,且,又因?yàn)?故或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角. 在中,所以異面直線與所成角的正切值為2. (2)證明:由于底面是矩形,故,又由于,因此平面,而平面,所以平面平面. (3)在平面內(nèi),過點(diǎn)作交直線于點(diǎn),連接.由于平面平面,由此得為直線與平面所成的

21、角. 在中,可得 在中, 由平面,得平面,因此 在中,在中, 所以直線與平面所成角的正弦值為. 解析(1)連接oc. 由已知,所成的角 設(shè)ab的中點(diǎn)為d,連接pd、cd. 因?yàn)閍b=bc=ca,所以cdab. 因?yàn)榈冗吶切? 不妨設(shè)pa=2,則od=1,op=, ab=4. 所以cd=2,oc=. 在rttan (2)過d作de于e,連接ce.由已知可得,cd平面pab. 據(jù)三垂線定理可知,cepa, 所以,. 由(1)知,de= 在rtcde中,tan 故 點(diǎn)評(píng)本題旨在考查線面位置關(guān)系和二面角的基礎(chǔ)概念,重點(diǎn)考查思維能力和空間想象能力,進(jìn)一步深化對(duì)二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常

22、規(guī)步驟:一找(尋找現(xiàn)成的二面角的平面角)、二作(若沒有找到現(xiàn)成的,需要引出輔助線作出二面角的平面角)、三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出該角相應(yīng)的三角函數(shù)值). pabcde解(1), 三棱錐p-abc的體積為 (2)取pb的中點(diǎn)e,連接de、ae,則 edbc,所以ade(或其補(bǔ)角)是異面直線 bc與ad所成的角 在三角形ade中,de=2,ae=,ad=2, ,所以ade=. 因此,異面直線bc與ad所成的角的大小是 證明:(i)設(shè)中點(diǎn)為o,連接oc,oe,則由知, 又已知,所以平面oce. 所以,即oe是bd的垂直平分線,所以. (ii)取ab中點(diǎn)n,連接,m是ae的中點(diǎn), 是等

23、邊三角形,.由bcd=120°知,cbd=30°, 所以abc=60°+30°=90°,即,所以ndbc, 所以平面mnd平面bec,又dm平面mnd,故dm平面bec. 另證:延長(zhǎng)相交于點(diǎn),連接ef.因?yàn)閏b=cd,. 因?yàn)闉檎切?所以,則, 所以,又, 所以d是線段af的中點(diǎn),連接dm, 又由點(diǎn)m是線段ae的中點(diǎn)知, 而平面bec, 平面bec,故dm平面bec. 【答案與解析】 (1)證明:取中點(diǎn)p,連結(jié)mp,np,而m,n分別是a與的中點(diǎn),所以, mpa,pn,所以,mp平面ac,pn平面ac,又,因此平面mpn平面ac,而mn平面

24、mpn,所以,mn平面ac, 【點(diǎn)評(píng)】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定、棱錐體積的計(jì)算,考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力,難度適中.第一小題可以通過線線平行來證明線面平行,也可通過面面平行來證明;第二小題求體積根據(jù)條件選擇合適的底面是關(guān)鍵,也可以采用割補(bǔ)發(fā)來球體積. 【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)及幾何體的體積計(jì)算,考查空間想象能力、邏輯推理能力,是簡(jiǎn)單題. 【解析】()由題設(shè)知bc,bcac,面, 又面, 由題設(shè)知,=,即, 又, 面, 面, 面面; ()設(shè)棱錐的體積為,=1,由題意得,=, 由三棱柱的體積=1, =1:1, 平面分此

25、棱柱為兩部分體積之比為1:1. 法二:(i)證明:設(shè),則, 因側(cè)棱垂直底面,即,所以, 又d是棱aa1的中點(diǎn),所以 在中,由勾股定理得: ; 同理,又, 所以:, 即有 因平面,所以, 又,所以 ,所以側(cè)面,而平面, 所以:;由(1)和(2)得:平面, 又平面 ,所以平面平面 (ii) 平面bdc1分此棱柱的下半部分可看作底面為直角梯形,高為的一個(gè)四棱錐,其體積為:, 該四棱柱的總體積為, 所以,平面bdc1分此棱柱的上半部的體積為 所以 ,所求兩部分體積之比為 【解析】(1)由已知可得ae=3,bf=4,則折疊完后eg=3,gf=4,又因?yàn)閑f=5,所以可得 又因?yàn)?可得,即所以平面deg平

26、面cfg. (2)過g作go垂直于ef,go 即為四棱錐g-efcd的高,所以所求體積為 【解析】()因?yàn)?又是平面pac內(nèi)的兩條相較直線,所以bd平面pac, 而平面pac,所以. ()設(shè)ac和bd相交于點(diǎn)o,連接po,由()知,bd平面pac, 所以是直線pd和平面pac所成的角,從而. 由bd平面pac,平面pac,知. 在中,由,得pd=2od. 因?yàn)樗倪呅蝍bcd為等腰梯形,所以均為等腰直角三角形, 從而梯形abcd的高為于是梯形abcd面積 在等腰三角形aod中, 所以 故四棱錐的體積為. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積計(jì)算.第一問只要證明b

27、d平面pac即可,第二問由()知,bd平面pac,所以是直線pd和平面pac所成的角,然后算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積. 【解析】(1)因?yàn)樗睦庵膫?cè)面是全等的矩形,所以 又因?yàn)?所以平面 連接,因?yàn)槠矫?所以 因?yàn)榈酌媸钦叫?所以.根據(jù)棱臺(tái)的定義可知,與共面. 又已知平面平面,且平面平面 平面,所以,于是 由,可得, 又因?yàn)?所以平面. (2)因?yàn)樗睦庵牡酌媸钦叫?側(cè)面是全等的矩形,所以 又因?yàn)樗睦馀_(tái)的上、下底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形,所以 于是該實(shí)心零部件的表面積為,故所需加工處理費(fèi)為(元) 【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直,空間幾何體的表面積;考查空間想象,運(yùn)算求解以及轉(zhuǎn)

28、化與劃歸的能力.線線垂直線面垂直面面垂直是有關(guān)垂直的幾何問題的常用轉(zhuǎn)化方法;四棱柱與四棱臺(tái)的表面積都是由簡(jiǎn)單的四邊形的面積而構(gòu)成,只需求解四邊形的各邊長(zhǎng)即可.來年需注意線線平行,面面平行特別是線面平行,以及體積等的考查. 解析:()因?yàn)槠矫?平面,所以.又因?yàn)闉橹羞吷系母?所以.,平面,平面,所以平面. (),因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),平面,所以點(diǎn)到平面的距離等于,即三棱錐的高,于是. ()取中點(diǎn),連接、.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以且.而是上的點(diǎn)且,所以且.所以四邊形是平行四邊形,所以.而,所以.又因?yàn)槠矫?平面,所以.而,平面,平面,所以平面,即平面. 【考點(diǎn)定位】本題主要考察直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系以

29、及體積等基本知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想. 【解析】(1)又長(zhǎng)方體ad平面.點(diǎn)a到平面的距離ad=1, =×2×1=1 , (2)將側(cè)面繞逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°展開,與側(cè)面共面.當(dāng),m,c共線時(shí), +mc取得最小值ad=cd=1 ,=2得m為的中點(diǎn)連接m在中,=mc=,=2, =+ , =90°,cm, 平面,cm ammc=c cm平面,同理可證am 平面mac 【命題意圖】本試題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運(yùn)用.從題中的線面垂直以及邊長(zhǎng)和特殊的菱形入手得到相應(yīng)的垂直關(guān)系和長(zhǎng)度,

30、并加以證明和求解. 解:設(shè),以為原點(diǎn),為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則設(shè). ()證明:由得, 所以,所以, .所以,所以平面; () 設(shè)平面的法向量為,又,由得,設(shè)平面的法向量為,又,由,得,由于二面角為,所以,解得. 所以,平面的法向量為,所以與平面所成角的正弦值為,所以與平面所成角為. 【點(diǎn)評(píng)】試題從命題的角度來看,整體上題目與我們平時(shí)練習(xí)的試題和相似,底面也是特殊的菱形,一個(gè)側(cè)面垂直于底面的四棱錐問題,那么創(chuàng)新的地方就是點(diǎn)的位置的選擇是一般的三等分點(diǎn),這樣的解決對(duì)于學(xué)生來說就是比較有點(diǎn)難度的,因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好. 【考點(diǎn)定位】本題第二問是對(duì)基本功的考查,對(duì)于知識(shí)掌握

31、不牢靠的學(xué)生可能不能順利解決.第三問的創(chuàng)新式問法,難度比較大. 解:(1)因?yàn)閐,e分別為ac,ab的中點(diǎn),所以debc.又因?yàn)閐e平面a1cb,所以de平面a1cb. (2)由已知得acbc且debc,所以deac.所以dea1d,decd.所以de平面a1dc.而a1f 平面a1dc, 所以dea1f.又因?yàn)閍1fcd,所以a1f平面bcde.所以a1fbe (3)線段a1b上存在點(diǎn)q,使a1c平面deq.理由如下:如圖, 分別取a1c,a1b的中點(diǎn)p,q,則pqbc. 又因?yàn)閐ebc,所以depq.所以平面deq即為平面dep. 由(2)知de平面a1dc,所以dea1c. 又因?yàn)閜是等

32、腰三角形da1c底邊a1c 的中點(diǎn), 所以a1cdp,所以a1c平面dep,從而a1c平面deq. 故線段a1b上存在點(diǎn)q,使得a1c平面deq. 【解析】(i)連接,共面 長(zhǎng)方體中,底面是正方形 面 ()在矩形中, 得: 【命題意圖】本小題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系,二面角、異面直線所成的角,直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí),考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力. 方法一:（1）以為正半軸方向，建立空間直角左邊系則（2），設(shè)平面的法向量則 取是平面的法向量得：二面角的正弦值為（3）設(shè)；則， 即方法二:(1)證明,由平面,可得,又由,故平面,又平面,所以.

33、 (2)解:如圖,作于點(diǎn),連接,由,可得平面.因此,從而為二面角的平面角. 在中,由此得,由(1)知,故在中,因此,所以二面角的正弦值為. 【點(diǎn)評(píng)】試題從命題的角度來看,整體上題目與我們平時(shí)練習(xí)的試題相似,但底面是非特殊 的四邊形,一直線垂直于底面的四棱錐問題,那么創(chuàng)新的地方就是第三問中點(diǎn)e的位置是不確定的,需要學(xué)生根據(jù)已知條件進(jìn)行確定,如此說來就有難度,因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好. 【解析】(1)在中, 得: 同理: 得:面 (2)面 取的中點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),連接 ,面面面 得:點(diǎn)與點(diǎn)重合 且是二面角的平面角 設(shè),則, 既二面角的大小為 【解析】本題主要考察線面平行的證明方法,建

34、系求二面角等知識(shí)點(diǎn). ()如圖連接bd. m,n分別為pb,pd的中點(diǎn), 在pbd中,mnbd. 又mn平面abcd, mn平面abcd; ()如圖建系: a(0,0,0),p(0,0,),m(,0), n(,0, 0),c(,3,0). 設(shè)q(x,y,z),則. ,. 由,得:. 即:. 對(duì)于平面amn:設(shè)其法向量為. . 則. . 同理對(duì)于平面amn得其法向量為. 記所求二面角amnq的平面角大小為, 則. 所求二面角amnq的平面角的余弦值為. 【答案】()見解析;() . 【考點(diǎn)定位】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí),具體涉及到線面垂直的關(guān)系,二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,

35、解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練進(jìn)行線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化,主要考查學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力.本題可以利用空間向量來解題,從而降低了題目的難度. 解:(1)由,為的中點(diǎn),得,又,故,所以點(diǎn)到平面的距離為 (2)如圖,取為的中點(diǎn),連結(jié),則,又由(1)知,故,所以為所求的二面角的平面角. 因?yàn)樵诿嫔系纳溆?又已知,由三垂線定理的逆定理得,從而都與互余,因此,所以,因此,即,得. 從而,所以,在中, 解析(1)連接oc.由已知,所成的角 設(shè)ab的中點(diǎn)為d,連接pd、cd. 因?yàn)閍b=bc=ca,所以cdab. 因?yàn)榈冗吶切? 不妨設(shè)pa=2,則od=1,op=,ab=4.

36、所以cd=2,oc=. 在rttan. 故直線pc與平面abc所成的角的大小為arctan (2)過d作de于e,連接ce. 由已知可得,cd平面pab 根據(jù)三垂線定理可知,cepa, 所以,. 由(1)知,de= 在rtcde中,tan 故 點(diǎn)評(píng)本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查思維能力、空間想象能力,并考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力. abcdpexyz解(1)因?yàn)閜a底面abcd,所以pacd,又adcd,所以cd平面pad, 從而cdpd 因?yàn)閜d=,cd=2, 所以三角形pcd的面積為 (2)解法一如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系, 則b(2, 0,

37、0),c(2, 2,0),e(1, , 1), , 設(shè)與的夾角為q,則 ,q=. abcdpef由此可知,異面直線bc與ae所成的角的大小是 解法二取pb中點(diǎn)f,連接ef、af,則 efbc,從而aef(或其補(bǔ)角)是異面直線 bc與ae所成的角 在中,由ef=、af=、ae=2 知是等腰直角三角形, 所以aef=. 因此異面直線bc與ae所成的角的大小是 解(1),又為三棱錐的高, (2),所以或其補(bǔ)角為導(dǎo)面直線與所成的角. 連接平面,在中, ,故,即異面直線與所成的角為 解析:(1)證法一 如圖,過直線上任一點(diǎn)作平面的垂線,設(shè)直線的方向向量分別是,則共面,根據(jù)平面向量基本定理,存在實(shí)數(shù)使得

38、則 因?yàn)?所以 又因?yàn)?所以 故,從而 證法二 如圖,記,為直線上異于點(diǎn)a的任意一點(diǎn),過p作,垂足為o,則 ,直線 又,平面, 平面,又平面, (2)逆命題:a是平面內(nèi)一條直線,是外的一條直線(不垂直于),是直線在上的投影,若,則. 逆命題為真命題. 解析:()在等腰梯形abcd中,abcd,dab=60°,cb=cd, 由余弦定理可知, 即,在中,dab=60°,則為直角三角形,且.又aebd,平面aed,平面aed,且,故bd平面aed; ()由()可知,設(shè),則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,向量為平面的一個(gè)法向量. 設(shè)向量為平面的法向量,則,即, 取,則,則為平面的一

39、個(gè)法向量. ,而二面角f-bd-c的平面角為銳角,則 二面角f-bd-c的余弦值為. 解法二:取的中點(diǎn),連接,由于,因此, 又平面,平面,所以 由于平面,所以平面 故,所以為二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,因?yàn)?又,所以, 故,因此二面角的余弦值為. 【答案及解析】 【命題意圖】本題主要考查線面平行的判定、二面角的計(jì)算，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，是容易題.【解析】（1）連結(jié)，由已知三棱柱為直三棱柱，所以為中點(diǎn).又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)所以，又平面 平面，因此 6分（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)則，于是，所以，設(shè)是平面的法向量，由得，可取設(shè)是平面的法向量，由

40、得，可取因?yàn)闉橹倍娼?，所以，解?2分【點(diǎn)評(píng)】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定,借助空間直角坐標(biāo)系求平面的法向量的方法,并利用法向量判定平面的垂直關(guān)系,考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力,難度適中.第一小題可以通過線線平行來證明線面平行,也可通過面面平行來證明. 【解析】 解:(1)證明:連接ao,在中,作于點(diǎn)e,因?yàn)?得, byocaeza11b1c1x因?yàn)槠矫鎍bc,所以,因?yàn)? 得,所以平面,所以, 所以平面, 又, 得 (2)如圖所示,分別以所在的直線 為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則a(1,0,0), c(0,-2,0), a1(0.0,2),b(0,

41、2,0) 由(1)可知得點(diǎn)e的坐標(biāo)為,由(1)可知平面的法向量是,設(shè)平面的法向量, 由,得,令,得,即 所以 即平面平面與平面bb1c1c夾角的余弦值是. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直,二面角、向量法在解決立體幾何問題中的應(yīng)用以及空間想象的能力. 高考中,立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直,平行有關(guān)的線面關(guān)系的證明;二、考查空間幾何體的體積與表面積;三、考查異面角,線面角,二面角等角度問題.前兩種考查多出現(xiàn)在第1問,第3種考查多出現(xiàn)在第2問;對(duì)于角度問題,一般有直接法與空間向量法兩種求解方法. 【答案】證明:(1)是直三棱柱,平面. 又平面,. 又平面,平面. 又平面,平面平面

42、. (2),為的中點(diǎn),. 又平面,且平面,. 又平面,平面. 由(1)知,平面,. 又平面平面,直線平面 【考點(diǎn)】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系. 【解析】(1)要證平面平面,只要證平面上的平面即可.它可由已知是直三棱柱和證得. (2)要證直線平面,只要證平面上的即可. 【解析】 解法1(如圖(1),連接ac,由ab=4, e是cd的中點(diǎn),所以 所以 而內(nèi)的兩條相交直線,所以cd平面pae. ()過點(diǎn)b作 由()cd平面pae知,bg平面pae.于是為直線pb與平面pae 所成的角,且. 由知,為直線與平面所成的角. 由題意,知 因?yàn)樗?由所以四邊形是平行四邊形,故于是 在中,所以 于是

43、又梯形的面積為所以四棱錐的體積為 abcdpe圖 xyz345h解法2:如圖(2),以a為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為: ()易知因?yàn)?所以而是平面內(nèi)的兩條相交直線,所以 ()由題設(shè)和()知,分別是,的法向量,而pb與 所成的角和pb與所成的角相等,所以 由()知,由故 解得. 又梯形abcd的面積為,所以四棱錐的體積為 . 【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線面垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積計(jì)算.第一問只要證明即可,第二問算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積,或者建立空間直角坐標(biāo)系,求得高幾體積. 考點(diǎn)分析:本題考察立體幾何線面的基本關(guān)系,考察如何取到最

44、值,用均值不等式和導(dǎo)數(shù)均可求最值.同時(shí)考察直線與平面所成角.本題可用綜合法和空間向量法都可以.運(yùn)用空間向量法對(duì)計(jì)算的要求要高些. 解析: ()解法1:在如圖1所示的中,設(shè),則. 由,知,為等腰直角三角形,所以. 由折起前知,折起后(如圖2),且, 所以平面.又,所以.于是 , 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立, 故當(dāng),即時(shí), 三棱錐的體積最大. 解法2: 同解法1,得. 令,由,且,解得. 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),. 所以當(dāng)時(shí),取得最大值. 故當(dāng)時(shí), 三棱錐的體積最大. ()解法1:以為原點(diǎn),建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系. 由()知,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),. 于是可得, 且. 設(shè),則. 因?yàn)榈葍r(jià)于,即 ,故,. 所以當(dāng)(即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)