平面幾何四心講義

1、14三角形四心競(jìng)賽講義一、“四心”分類討論11、外心12、內(nèi)心23、垂心34、重心55、外心與內(nèi)心66、重心與內(nèi)心67、外心與垂心78、外心與重心89、垂心與內(nèi)心810、垂心、重心、外心8旁心9二、“四心”的聯(lián)想91、由內(nèi)心、重心性質(zhì)產(chǎn)生的聯(lián)想92、重心的巧用113、三角形“四心”與一組面積公式12三角形各心間的聯(lián)系15與三角形的心有關(guān)的幾何命題的證明16三角形的內(nèi)心、外心、垂心及重心(以下簡(jiǎn)稱“四心”)是新頒發(fā)的初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱特別加強(qiáng)的內(nèi)容。由于與四心有關(guān)的幾何問題涉及知識(shí)面廣、難度大、應(yīng)用的技巧性強(qiáng)、方法靈活，是考查學(xué)生邏輯思維能力和創(chuàng)造思維能力的較佳題型，因此，它是近幾年來升學(xué)、競(jìng)賽的

2、熱點(diǎn)。92、93、94、95連續(xù)四年的全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽均重點(diǎn)考察了這一內(nèi)容。本講擬分別列舉四心在解幾何競(jìng)賽中的應(yīng)用，以期幫助同學(xué)們掌握這類問題的思考方法，提高靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)的能力。一、“四心”分類討論1、外心三解形三條垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，即外接圓圓心。abc的外心一般用字母o表示，它具有如下性質(zhì)：(1)外心到三頂點(diǎn)等距，即oa=ob=oc。(2)a=。如果已知外心或通過分析“挖掘”出外心，與外心有關(guān)的幾何定理，尤其是圓周角與圓心角關(guān)系定理，就可以大顯神通了。下面我們舉例說明。例2證明三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為三角形的外心已知：abc中，xx，yy，zz分別是bc

3、，ac，ab邊的垂直平分線，求證：xx，yy，zz相交于一點(diǎn)(圖3111)例1、如圖9-1所示，在abc中，ab=ac，任意延長(zhǎng)ca到p，再延長(zhǎng)ab到q，使ap=bq，求證：abc的外心o與點(diǎn)a、p、q四點(diǎn)共圓。例2、如圖9-2所示，在abc的大邊ab上取an=ac，bm=bc，點(diǎn)p為abc 的內(nèi)心，求證：mpn=a+b。 例3、ab為半圓o的直徑，其弦af、be相交于q，過e、f分別作半圓的切線得交點(diǎn)p，求證：pqab。2、內(nèi)心三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心。abc的內(nèi)心一般用字母i表示，它具有如下性質(zhì)：(1)內(nèi)心到三角形三邊等距，且頂點(diǎn)與內(nèi)心的連線平分頂角。(2)a

4、的平分線和abc的外接圓相交于點(diǎn)d，則d與頂點(diǎn)b、c、內(nèi)心i等距(即d為bci的外心)。(3)bic=90º+a，cia=90+b，aib=90º+c。例1證明：三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心已知：abc中，ax，by，cz分別是a，b，c的平分線，求證：ax，by，cz交于一點(diǎn)(圖3110)說明若證明幾條直線共點(diǎn)，可先證其中兩條直線相交，再證這個(gè)交點(diǎn)分別在其余各條直線上，則這幾條直線必共點(diǎn)于此交點(diǎn)由于三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)與三邊距離相等，所以以此交點(diǎn)為圓心，以此點(diǎn)到各邊的距離為半徑作圓，此圓必與三角形三邊內(nèi)切，所以稱此交點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓圓心，簡(jiǎn)稱內(nèi)心例

5、1、如圖9-4所示，在abc中，ab=ac，有一個(gè)圓內(nèi)切于abc的外接圓，且與ab、ac分別相切于p、q，求證：線段pq的中點(diǎn)o是abc的內(nèi)心。說明：本題還可證明o到abc的三邊距離相等，得到o為abc的內(nèi)心。例2、如圖9-5所示，i為abc的內(nèi)心，求證：bic的外心o與a、b、c四點(diǎn)共圓。例3、 在圓內(nèi)接四邊形abcd中，順次取abd，abc，cdb、cda的內(nèi)心。求證：四邊形是一個(gè)矩形。3abc中，i是內(nèi)心，過i作de直線交ab于d，交ac于e求證：de=db+ec3、垂心三角形三條高線所在的直線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。abc的垂心一般用字母h 表示，它具有如下的性質(zhì)：(1)頂點(diǎn)與垂心連線

6、必垂直對(duì)邊，即ahbc，bhac，chab。(2)若h在abc內(nèi)，且ah、bh、ch分別與對(duì)邊相交于d、e、f，則a、f、h、e；b、d、h、f；c、e、h、d；b、c、e、f；c、a、f、d；a、b、d、e共六組四點(diǎn)共圓。(3)abh的垂心為c，bhc的垂心為a，ach的垂心為b。(4)三角形的垂心到任一頂點(diǎn)的距離等于外心到對(duì)邊距離的2倍。例4證明：三角形三條高線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的垂心已知：如圖3114，abc中，三邊上的高線分別是ax，by，cz，x，y，z為垂足，求證：ax，by，cz交于一點(diǎn)分析要證ax，by，cz相交于一點(diǎn)，可以利用前面的證明方法去證，也可以轉(zhuǎn)化成前面幾例的條

7、件利用已證的結(jié)論來證明為此，可以考慮利用三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)的現(xiàn)有命題來證，只須構(gòu)造出一個(gè)新三角形abc，使ax，by，cz恰好是abc的三邊上的垂直平分線，則ax，by，cz必然相交于一點(diǎn)例1、設(shè)h是等腰三角形abc的垂心。在底邊bc保持不變的情況下，讓頂點(diǎn)a至底邊bc的距離變小，問這時(shí)乘積的值變大？變小？還是不變？證明你的結(jié)論。例2、設(shè)h為銳角abc的三條高ad、be、cf的交點(diǎn)，若bc=a，ac=b，ab=c，則ah·ad+bh·be+ch·cf等于( )(a)(ab+bc+ca)； (b)；(c)(ab+bc+ca)； (d)。例3、求證：銳角三角

8、形的垂心h必為其垂足三角形的內(nèi)心。分析、由性質(zhì)不難得到證明。由本例結(jié)論，可得到下述命題的簡(jiǎn)捷證明：已知abc中，h為垂心，ad、be、cf是高，ef交ad于g，求證：。例4、如圖9-8所示，已知abc的高ad、be交于h，abc、abh的外接圓分別為o和o1，求證：o與o1的半徑相等。4設(shè)g為abc的垂心，d，e分別為ab，ac邊的中點(diǎn)，如果sabc=1，那么sgde=？4、重心三角形三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心。abc的重心一般用字母g表示，它有如下的性質(zhì)：(1)頂點(diǎn)與重心g的連線必平分對(duì)邊。(2)重心定理：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍。(3)。例3證明：三角形的三條中

9、線相交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為三角形的重心重心到頂點(diǎn)與到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為21已知：abc中，ax，by，cz分別是bc，ac，ab邊上的中線，求證：ax，by，cz相交于一點(diǎn)g，并且aggx=21(圖3112)明為什么稱g點(diǎn)為abc的重心呢？這可以從力學(xué)得到解釋設(shè)abc為一個(gè)質(zhì)量均勻的三角形薄片，并設(shè)其重量均勻集中于a，b，c三點(diǎn)，如果把b，c兩點(diǎn)的重量集中于bc邊中點(diǎn)x時(shí)，那么abc的三頂點(diǎn)a，b，c的集中重量作了重新分配若a點(diǎn)為1，則x點(diǎn)為2，因此在ax上的重心支撐點(diǎn)必在aggx=21處的g點(diǎn)這樣一來，如果在g點(diǎn)支起三角形，那么abc必保持平衡，所以g點(diǎn)為三角形的重心(圖3113)例1、已知g

10、是abc的中心，過a、g的圓與bg切于g，cg的延長(zhǎng)線交圓于d，求證：。分析、構(gòu)造以重心g為頂點(diǎn)的平行四邊形gbfc，并巧用a、d、f、c四點(diǎn)共圓巧證乘積。延長(zhǎng)gp至f，使pf=pg，邊f(xié)b、fc、ad(圖9-9)。例2、設(shè)g是等腰abc底邊上的高、ad與腰ac上的中線be的交點(diǎn)。若ad=18，be=15，則這個(gè)等腰三角形的面積為多少？例3、平行四邊形abcd的面積是60，e、f分別是ab、bc的中點(diǎn)，af分別與ed、bd交于g、h，則四邊形bhge的面積是_。例7如圖3118設(shè)g為abc的重心，從各頂點(diǎn)及g向形外一直線l引垂線aa，bb，cc，gg(其中a，b，c，g為垂足)求證：aa+bb

11、+cc=3gg分析由于圖中有許多可以利用的梯形，故可考慮利用梯形中位線定理來證明 說明當(dāng)本題中aa，bb，cc，gg不垂直于l，但仍保持互相平行時(shí)，本題結(jié)論是否還成立？試作出你的猜想，并加以證明5、外心與內(nèi)心例1、已知abc中，o為外心，i為內(nèi)心，且ab+ac=2bc。求證：oiai(圖9-10)。2如圖3119在abc中，o為外心，i為內(nèi)心，且abbcca求證：(1)oaiobi；(2)oaioci6、重心與內(nèi)心例1、如圖9-11所示，已知abc的重心g與內(nèi)心i的連線gibc。求證：ab、bc、ca成等差數(shù)列。7、外心與垂心例1、如圖9-12所示，在abc中，h為垂心，o為外心，bac=60

12、º，求證：ah=ao。例2、證明：三角形任一頂點(diǎn)至垂心的距離等于外心到它的對(duì)邊的距離的2倍。把條件改寫一下：已知ad、be為abc的兩高線，其交點(diǎn)為h，om、on分別為bc、ca的中垂線且交于o。須證：ah=2om，bh=2on。例6如圖3116已知h是abc的垂心，o是外心，olbc于l求證：ah=2ol8、外心與重心例1、如圖9-14所示，已知rtabc中，ah為斜邊bc上的高，m為bc 中點(diǎn)，o為abc外心，ob交ah于d。求證：ad=2dh。 5 在abc中，a=60°，o是外心，h是垂心求證：aoah9、垂心與內(nèi)心例1、如圖9-15所示，已知o為正三角形abc 的

13、高ad、be、cf的交點(diǎn)，p是abc所在平面上的任一點(diǎn)，作plad于l，pmbe于m，pncf于n。試證：pl、pm、pn中較大的一條線段等于其它兩條線段的和。10、垂心、重心、外心例題、證明：abc的垂心h、重心g和外心o在同一條直線上。旁心例5證明：三角形兩外角平分線和另一內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為三角形的旁心已知：bx，cy分別是abc的外角dbc和ecb的平分線，az為bac的平分線(圖3115)，求證：az，bx，cy相交于一點(diǎn)二、“四心”的聯(lián)想1、由內(nèi)心、重心性質(zhì)產(chǎn)生的聯(lián)想內(nèi)心性質(zhì)：在abc中，ad是角平分線，i是內(nèi)心，則。重心性質(zhì)：在abc中，ad是一條中線，g是重心，則。聯(lián)想

14、：若p是abc內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否有通用的類似性質(zhì)？性質(zhì)：設(shè)p為abc內(nèi)任意一點(diǎn)(稱p為abc 的內(nèi)點(diǎn))，ap交bc于d，令bpc，cpa，apb的面積分別為，則。()證明：如圖9-19所示，作bc于，bc于，并設(shè)abc面積為s。則，從而，即。()式中，當(dāng)p為內(nèi)心時(shí)，(r為內(nèi)切圓半徑)，于是；當(dāng)p為重心時(shí)，于是。故()式是三角形內(nèi)心。重心性質(zhì)的推廣，我們不妨稱之為三角形內(nèi)點(diǎn)性質(zhì)。利用它，許多數(shù)學(xué)競(jìng)賽題都可求解。例1、已知r為銳角abc外接圓半徑，o是外心，ao、bo、co分別交對(duì)邊于 (圖9-20)。求證：。例2、設(shè)oabc內(nèi)任意一點(diǎn)，ao，bo，co分別交對(duì)邊于a1，b1，c1，令。求證：w1

15、2。2、重心的巧用重心，在物理學(xué)中指質(zhì)點(diǎn)的重心，所謂“他山之石可以攻玉”，這一概念在解決數(shù)學(xué)問題，尤其是比值問題上，也大有“用武之地”。關(guān)于質(zhì)點(diǎn)重心，我們結(jié)合圖形給出幾個(gè)真命題(證明過程略去)。命題1：設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為，它們的重心為g，則g在的連線上，且滿足(這里指質(zhì)點(diǎn)g的質(zhì)量)。命題2：在如圖9-21所示的abc中，若e為質(zhì)點(diǎn)b、a的重心，f為質(zhì)點(diǎn)b、c的重心，ec與af相交于g，則g必為三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c的重心。連接bg，延長(zhǎng)交ac于h，則h必為質(zhì)點(diǎn)a、c的重心。命題3：如果平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們的質(zhì)量為，則這些質(zhì)點(diǎn)的重心g的坐標(biāo)為。這幾個(gè)命題看似簡(jiǎn)單，但它卻為解平面幾何問題提供了一種嶄

16、新的思路。例1、三只蒼蠅沿abc的三邊爬行，使由這三只蒼蠅構(gòu)成的三角形的與abc的重心保持不變，求證：如果某只蒼蠅爬過了三角形的三條邊，那么三只蒼蠅構(gòu)成的三角形的重心與原三角形的重心重合。例2、如圖9-23所示，已知p1p2p3和其內(nèi)任一點(diǎn)p，直線p1p、p2p和p3p分別與對(duì)邊交于q1，q2，q3。證明：在比值中至少有一個(gè)不大于2。例3、從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)三等分點(diǎn)作線段，過第二頂點(diǎn)的中線被這些線段分成邊比xyz，設(shè)xyz，求xyz (圖9-24)。例4、如圖9-25所示，在abc中d、e分別為bc、ca上一點(diǎn)，且bddc= m1，ceea=n1，ad與be相交于f，求的幾倍？。3、三角形

17、“四心”與一組面積公式有這樣一道競(jìng)賽題：abc為銳角三角形，過a、b、c分別作此三角形外接圓三條直徑，求證：。該題中，三直徑之交點(diǎn)即為abc的外心，若就外心這一條件進(jìn)行一些聯(lián)想和變化，經(jīng)探索可得一系列與面積有關(guān)的結(jié)果。我們歸納如下(證明略去)。定理：設(shè)p為abc平面內(nèi)的點(diǎn)，ap、bp、cp所在直線分別交abc的外接圓于，那么(1)若p為abc的外心，則對(duì)銳角三角形，有。對(duì)非銳角三角形(不妨設(shè)a90º，下同)，有。(2)若p為abc的垂心，則對(duì)銳角三角形，有式成立，對(duì)非銳角三角形，有式成立。(3)若p為abc的重心，則有。當(dāng)且僅當(dāng)abc為正三角形的時(shí)等號(hào)成立。(4)若p為abc的內(nèi)心，

18、則有式成立，當(dāng)且僅當(dāng)abc為正三角形時(shí)等號(hào)成立。據(jù)以上定理，可得以下若干推論：推論1、已知o的內(nèi)接銳角三角形abc，是o的三角條直徑，且bc=a，ca=b，ab=c，=，則有。若，則又可得，它等于三角恒等tga+tgb+tgc=tgatgbtgc。推論2、設(shè)abc的重心為g，ag、bg、cg的延長(zhǎng)線分別交三邊bc、ca、ab于d、e、f，交abc的外接圓于，則。(若將“重心”改為“內(nèi)心”，其他條件不變，可知該結(jié)論仍成立)。例1、已知銳角abc內(nèi)接于圓o，作abc的bc邊上的高，ca邊上的中線，c的平分線并延長(zhǎng)，分別交圓o于a1、b2、c2。求證：。例2、如圖9-27所示，銳角abc中，a的平分

19、線與三角形的外接圓交于另一點(diǎn)a1，點(diǎn)b1，c1與此類似，直線aa1與b、c兩角的外角平分線相交于a0，點(diǎn)b0、c0與此類似。求證：a0b0c0的面積是六邊形ac1ba1cb1面積的2倍；a0b0c0的面積至少是abc面積的4倍。練習(xí)題1、在abc中，a=20º，ab=ac，在ab、ac上各取一點(diǎn)d、e，滿足bd=bc，ae=be，求bed的度數(shù)。2、如圖9-28所示，已知ace=cde=90º，點(diǎn)b在ce上，ca=bc=cd，過a、c、d三點(diǎn)的圓交ab于f，求證：f為cde的內(nèi)心。3、在abc中，c=90º，a和b的平分線相交于p點(diǎn)，又peab于e點(diǎn)。若bc=2，

20、ac=3，則ae·be=_。4、abc中，g 為重心，l是過g的一條動(dòng)直線，且分別交ab、ac于點(diǎn)e、f，設(shè)，問l在何處時(shí)，所截得的aef面積取到最大值或最小值。5、銳角三角形abc的三邊長(zhǎng)滿足不等式ab<ac<bc，如果i為abc的內(nèi)心，o為外心，求證：直線io與線段ab及bc相交。6、已知abc中，a=60º，h為垂心，o為外心，i是內(nèi)心，直線ai交o于f，交bh于g。求證：(1)ao=ah；(2)oag=hag；(3)b、o、i、h、c五點(diǎn)共圓。7、(同圖9-11)已知重心g，內(nèi)心i，且ab+ac=2bc，求證：gibc。8、已知abc中，h為垂心，ad、

21、be、cf是高，ef交adg，求證：。9、abc的a、b、c的內(nèi)角平分線分別與外接圓交于a1，b1，c1，證明：。10、已知bdef，b、d分別在ae、af上，de、bf交于點(diǎn)c，ac交ef于點(diǎn)m，求證：em=mf。11、設(shè)h是abc的垂心，求證：。12、設(shè)o是abc的外心，ab=ac，d為ab的中點(diǎn)，e是acd的重心。證明：oecd。三角形各心間的聯(lián)系四心定理的證明具有統(tǒng)一性利用塞瓦定理可以簡(jiǎn)便地證明重心定理、內(nèi)心定理和垂心定理：如果ad，be，cf是abc的中線，則bd=dc，ce=ae，af=fb。，因此ad，be，cf三條中線交于一點(diǎn)。如果ad，be，cf是abc的內(nèi)角平分線，則。，因此ad，