考研數(shù)學(xué)考前必備重點(diǎn)題型級(jí)數(shù)

1、12.9 氣體分子的平均自由程氣體分子的平均自由程 (kinetic theory of gases)2.1 理想氣體的壓強(qiáng)理想氣體的壓強(qiáng)2.2 溫度的微觀意義溫度的微觀意義 2.3 能量均分定理能量均分定理 理想氣體的內(nèi)能理想氣體的內(nèi)能 2.4 麥克斯韋分子速率分布定律麥克斯韋分子速率分布定律* 2.6 玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律 重力場(chǎng)中粒子按高度的分布重力場(chǎng)中粒子按高度的分布2.5 麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證2.7 實(shí)際氣體等溫線實(shí)際氣體等溫線* 2.8 范德瓦爾斯方程范德瓦爾斯方程22.1 理想氣體的壓強(qiáng)理想氣體的壓強(qiáng)pressure of ideal

2、gas一、狀態(tài)參量一、狀態(tài)參量(quantity of state)在一定條件下，當(dāng)物體的狀態(tài)保持不變，為描述物體的特在一定條件下，當(dāng)物體的狀態(tài)保持不變，為描述物體的特性而采用的物理量。如體積、溫度、壓強(qiáng)、濃度等性而采用的物理量。如體積、溫度、壓強(qiáng)、濃度等 。對(duì)于一定。對(duì)于一定質(zhì)量的氣體，除它的質(zhì)量質(zhì)量的氣體，除它的質(zhì)量m和摩爾質(zhì)量和摩爾質(zhì)量mmol，它的狀態(tài)一般可，它的狀態(tài)一般可用下列三參量來表示：用下列三參量來表示：1. 氣體所占的體積氣體所占的體積v： 氣體分子活動(dòng)所能達(dá)到的空間范圍。氣體分子活動(dòng)所能達(dá)到的空間范圍。 氣體動(dòng)理論是在物質(zhì)結(jié)構(gòu)的分子學(xué)說的基礎(chǔ)上氣體動(dòng)理論是在物質(zhì)結(jié)構(gòu)的分子學(xué)

3、說的基礎(chǔ)上,為說明人們?yōu)檎f明人們所熟知的氣體物理性質(zhì)和氣態(tài)現(xiàn)象而發(fā)展起來的。所熟知的氣體物理性質(zhì)和氣態(tài)現(xiàn)象而發(fā)展起來的。 (kinetic theory of gases)32. 氣體的壓強(qiáng)氣體的壓強(qiáng)p： 壓強(qiáng)是氣體作用在容器壁單位面積上的指向器壁的平均正壓強(qiáng)是氣體作用在容器壁單位面積上的指向器壁的平均正壓力，是氣體分子對(duì)器壁碰撞的宏觀表現(xiàn)。壓力，是氣體分子對(duì)器壁碰撞的宏觀表現(xiàn)。3. 氣體的溫度氣體的溫度t： 從宏觀上來講，溫度表示物體的冷熱程度；從微觀上講，從宏觀上來講，溫度表示物體的冷熱程度；從微觀上講，溫度反映物質(zhì)內(nèi)部分子運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。溫度反映物質(zhì)內(nèi)部分子運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。4由實(shí)驗(yàn)可知，

4、由實(shí)驗(yàn)可知，熱現(xiàn)象是物質(zhì)中大熱現(xiàn)象是物質(zhì)中大量分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)量分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，人們的集體表現(xiàn)，人們把大量分子的無規(guī)把大量分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)叫做分子熱則運(yùn)動(dòng)叫做分子熱運(yùn)動(dòng)，即所謂的布運(yùn)動(dòng)，即所謂的布朗運(yùn)動(dòng)。朗運(yùn)動(dòng)。分子熱運(yùn)動(dòng)的基本特征分子熱運(yùn)動(dòng)的基本特征分子熱運(yùn)動(dòng)的基本特征是分子的永恒運(yùn)動(dòng)和頻繁相互碰撞。分子熱運(yùn)動(dòng)的基本特征是分子的永恒運(yùn)動(dòng)和頻繁相互碰撞。二二*、分子布朗運(yùn)動(dòng)、分子布朗運(yùn)動(dòng)5三、關(guān)于每個(gè)分子的力學(xué)性質(zhì)的假設(shè)三、關(guān)于每個(gè)分子的力學(xué)性質(zhì)的假設(shè)理想氣體的微觀模型理想氣體的微觀模型(1)氣體分子的大小與氣體分子間的距離相比較氣體分子的大小與氣體分子間的距離相比較,可以忽略不計(jì)。可

5、以忽略不計(jì)。(4)氣體分子的運(yùn)動(dòng)服從經(jīng)典力學(xué)規(guī)律。氣體分子的運(yùn)動(dòng)服從經(jīng)典力學(xué)規(guī)律。(2)因?yàn)闅怏w分子間的平均距離相當(dāng)大因?yàn)闅怏w分子間的平均距離相當(dāng)大,所以除碰撞的瞬間外所以除碰撞的瞬間外,分分子間相互作用力可以忽略不計(jì)。子間相互作用力可以忽略不計(jì)?？傊傊?氣體被看作是自由地氣體被看作是自由地 無規(guī)則運(yùn)動(dòng)著的彈性球分子的集合。無規(guī)則運(yùn)動(dòng)著的彈性球分子的集合。 (3)分子之間的碰撞以及分子與器壁的碰撞都是彈性的，即在碰分子之間的碰撞以及分子與器壁的碰撞都是彈性的，即在碰撞前后氣體分子的動(dòng)量守恒撞前后氣體分子的動(dòng)量守恒,動(dòng)能守恒。動(dòng)能守恒。6四、關(guān)于分子集體的統(tǒng)計(jì)性假設(shè)四、關(guān)于分子集體的統(tǒng)計(jì)性假設(shè)

6、統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律statistical law 盡管個(gè)別分子的運(yùn)動(dòng)是雜亂無章的，但就大量分子的集體盡管個(gè)別分子的運(yùn)動(dòng)是雜亂無章的，但就大量分子的集體來看，卻又存在著一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。來看，卻又存在著一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。(2) 分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)是均等的，沒有任何一個(gè)方向上分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)是均等的，沒有任何一個(gè)方向上氣體分子的運(yùn)動(dòng)比其它方向更占優(yōu)勢(shì)。即沿著各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的平氣體分子的運(yùn)動(dòng)比其它方向更占優(yōu)勢(shì)。即沿著各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的平均分子數(shù)應(yīng)該相等。均分子數(shù)應(yīng)該相等。(3) 分子速度在各個(gè)方向的分量的各種平均值相等。分子速度在各個(gè)方向的分量的各種平均值相等。222231vvvvzyx(1) 在

7、熱力學(xué)平衡狀態(tài)下，氣體分子的空間密度是均勻的。在熱力學(xué)平衡狀態(tài)下，氣體分子的空間密度是均勻的。7五、氣體動(dòng)理論的統(tǒng)計(jì)方法五、氣體動(dòng)理論的統(tǒng)計(jì)方法(statistical metheds) 用對(duì)大量分子的平均性質(zhì)的了解代替?zhèn)€別分子的真實(shí)性質(zhì)。用對(duì)大量分子的平均性質(zhì)的了解代替?zhèn)€別分子的真實(shí)性質(zhì)。對(duì)個(gè)別分子（或原子）運(yùn)用牛頓定律求出其微觀量，如質(zhì)量、對(duì)個(gè)別分子（或原子）運(yùn)用牛頓定律求出其微觀量，如質(zhì)量、速度、能量等，再用統(tǒng)計(jì)的方法，求出大量分子關(guān)于微觀量的速度、能量等，再用統(tǒng)計(jì)的方法，求出大量分子關(guān)于微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值，并用來解釋在實(shí)驗(yàn)中直接觀測(cè)到的物體的宏觀性統(tǒng)計(jì)平均值，并用來解釋在實(shí)驗(yàn)中直接觀測(cè)

8、到的物體的宏觀性質(zhì)，如溫度、壓強(qiáng)、熱容等。質(zhì)，如溫度、壓強(qiáng)、熱容等。六、理想氣體的壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)六、理想氣體的壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)（方法（方法1：容器是長(zhǎng)方體形）：容器是長(zhǎng)方體形） （3） 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)假設(shè)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)假設(shè),求器壁所受的平均正壓力。求器壁所受的平均正壓力。壓強(qiáng)公式推導(dǎo)步驟如下：壓強(qiáng)公式推導(dǎo)步驟如下：思路：思路：（1）用牛頓定律先求一個(gè)分子對(duì)器壁的壓力）用牛頓定律先求一個(gè)分子對(duì)器壁的壓力;（2）全體分子作用于器壁的壓力）全體分子作用于器壁的壓力;設(shè)一定量氣體總分子數(shù)為設(shè)一定量氣體總分子數(shù)為n，每個(gè)分子質(zhì)量為，每個(gè)分子質(zhì)量為m。8（1）設(shè)邊長(zhǎng)分別為）設(shè)邊長(zhǎng)分別為l1、l2、l3 的長(zhǎng)方的長(zhǎng)方形容

9、器中，有形容器中，有n個(gè)同類氣體分子，每個(gè)同類氣體分子，每個(gè)分子的質(zhì)量均為個(gè)分子的質(zhì)量均為m。以容器的某一。以容器的某一頂點(diǎn)為原點(diǎn)，沿容器邊長(zhǎng)為方向建頂點(diǎn)為原點(diǎn)，沿容器邊長(zhǎng)為方向建立直角坐標(biāo)系。立直角坐標(biāo)系。（2）選任意一個(gè)分子）選任意一個(gè)分子a作為研作為研究對(duì)象，求其對(duì)究對(duì)象，求其對(duì)a1面的壓力面的壓力分子分子“a” 的速度：的速度：kvjvivvzyx分子分子“ a”碰撞器壁碰撞器壁a1面一次所受的沖量：面一次所受的沖量：由牛頓第三定律可知，器壁由牛頓第三定律可知，器壁a1面受分子碰撞一次所受的沖量：面受分子碰撞一次所受的沖量：xxmvi2amvx-mvxl2l1l3a1xyzoxxxxm

10、vmvmvi29分子分子“ a”相繼碰撞器壁相繼碰撞器壁a1面兩次所用的時(shí)間為：面兩次所用的時(shí)間為：xvl12單位時(shí)間內(nèi)，分子單位時(shí)間內(nèi)，分子“ a”與器壁與器壁a1面碰撞的次數(shù)為：面碰撞的次數(shù)為：12lvx單位時(shí)間內(nèi)，分子單位時(shí)間內(nèi)，分子“ a”對(duì)器壁對(duì)器壁a1面的沖量即沖力為：面的沖量即沖力為：21122xxxxvmvfmvll任意分子對(duì)器壁任意分子對(duì)器壁a1面的沖力為：面的沖力為：12lmvfixix（3）器壁）器壁a1面受面受n個(gè)分子的沖力個(gè)分子的沖力iixixivlmlmvf211210器壁器壁a1面單位面積受面單位面積受n個(gè)分子的沖力：個(gè)分子的沖力：32llfp n是單位體積內(nèi)的分

11、子數(shù)或稱分子數(shù)密度是單位體積內(nèi)的分子數(shù)或稱分子數(shù)密度由分子統(tǒng)計(jì)假設(shè)：由分子統(tǒng)計(jì)假設(shè)：2xvnmp tnp32221vmt分子平均平動(dòng)動(dòng)能：分子平均平動(dòng)動(dòng)能：理想氣體的壓強(qiáng)公式：理想氣體的壓強(qiáng)公式：iixnvmllln2321iixvlllm23212xvnm231vnm11六六*、理想氣體的壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)、理想氣體的壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)（方法（方法2：容器是任意形狀）：容器是任意形狀） 把所有分子按速度區(qū)間分為若干組，在每一組內(nèi)的分子速度把所有分子按速度區(qū)間分為若干組，在每一組內(nèi)的分子速度大小方向都差不多相同。大小方向都差不多相同。設(shè)第設(shè)第 i組分子的速度區(qū)間為：組分子的速度區(qū)間為：以以 ni 表示

12、第表示第 i 組分子的分子數(shù)密度組分子的分子數(shù)密度總的分子數(shù)密度為：總的分子數(shù)密度為：設(shè)器壁上面積元設(shè)器壁上面積元da 法向?yàn)榉ㄏ驗(yàn)?x 軸軸daxvi dtvix dt一定質(zhì)量的處于平衡態(tài)的某種理想氣體，被封閉在體積為一定質(zhì)量的處于平衡態(tài)的某種理想氣體，被封閉在體積為v的任意形狀的容器中。的任意形狀的容器中。iiivdvvinn任意一任意一 個(gè)分子速度：個(gè)分子速度：kvjvivviziyixi12該分子碰撞器壁一次所受的沖量：該分子碰撞器壁一次所受的沖量：ixixmvi2ixixixixmvmvmvi2在在 dt 時(shí)間內(nèi)與時(shí)間內(nèi)與da碰撞的分子數(shù)碰撞的分子數(shù)ni vix dt da總沖量為：

13、總沖量為：)2(ixiximvdadtvn所有分子在所有分子在 dt 時(shí)間內(nèi)對(duì)時(shí)間內(nèi)對(duì) da 的總沖量為：的總沖量為：022dixvixidadtvmniiixiiixitavmnadtvmniddd221d22氣體對(duì)器壁的宏觀壓強(qiáng)為：氣體對(duì)器壁的宏觀壓強(qiáng)為：atipdddiixivmn2iixivnm2daxvi dtvix dt13由分子統(tǒng)計(jì)假設(shè)由分子統(tǒng)計(jì)假設(shè)2xvnmp tnp32221vmt分子平均平動(dòng)動(dòng)能：分子平均平動(dòng)動(dòng)能：理想氣體的壓強(qiáng)公式：理想氣體的壓強(qiáng)公式：231vnm2xvnvniixi2142.2溫度的微觀意義溫度的微觀意義 temperature equation of

14、ideal gas 根據(jù)理想氣體的壓強(qiáng)公式和狀態(tài)方程，可以導(dǎo)出氣體的根據(jù)理想氣體的壓強(qiáng)公式和狀態(tài)方程，可以導(dǎo)出氣體的溫度與分子的平均平動(dòng)動(dòng)能之間的關(guān)系，從而揭示宏觀量溫溫度與分子的平均平動(dòng)動(dòng)能之間的關(guān)系，從而揭示宏觀量溫度的微觀本質(zhì)。度的微觀本質(zhì)。1.溫度的本質(zhì)和統(tǒng)計(jì)意義溫度的本質(zhì)和統(tǒng)計(jì)意義:15tkt23（2 2）當(dāng)兩種氣體有相同的溫度時(shí)，意味著兩種氣體分子的平）當(dāng)兩種氣體有相同的溫度時(shí)，意味著兩種氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能相等。均平動(dòng)動(dòng)能相等。 tnnktp32氣體的溫度是氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度；氣體的溫度是氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度；krna1.3810-23 j/k 稱玻耳茲曼常量稱玻

15、耳茲曼常量溫度的意義：溫度的意義：注意：注意：（1 1）溫度是大量氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，具有統(tǒng)計(jì)的意）溫度是大量氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，具有統(tǒng)計(jì)的意義，對(duì)于個(gè)別分子并無意義。義，對(duì)于個(gè)別分子并無意義。162.氣體分子的方均根速率氣體分子的方均根速率:(root-mean-square speed)mktv32由上式可見由上式可見, ,在相同溫度時(shí)在相同溫度時(shí), ,雖然各種分子的平均平動(dòng)動(dòng)能雖然各種分子的平均平動(dòng)動(dòng)能相等相等, ,但它們的方均根速率并不相等。但它們的方均根速率并不相等。 tkt23221vmaamntkn3molmrt3注意注意: :17 1.一定質(zhì)量的氣體一定質(zhì)量的氣體,

16、當(dāng)溫度不變時(shí)當(dāng)溫度不變時(shí),壓強(qiáng)隨體積減小而增大壓強(qiáng)隨體積減小而增大;當(dāng)體當(dāng)體積不變時(shí)積不變時(shí), 壓強(qiáng)隨壓強(qiáng)隨 溫度升高而增大，從宏觀上說溫度升高而增大，從宏觀上說,這兩種變化都這兩種變化都使壓強(qiáng)增大使壓強(qiáng)增大;從微觀上說從微觀上說,它們是否有區(qū)別它們是否有區(qū)別? 2.兩種不同種類的理想氣體兩種不同種類的理想氣體,壓強(qiáng)相同壓強(qiáng)相同,溫度相同溫度相同,體積不同體積不同, 試試問單位體積內(nèi)的分子數(shù)是否相同問單位體積內(nèi)的分子數(shù)是否相同? 3.兩瓶不同種類的氣體兩瓶不同種類的氣體,分子平均平動(dòng)動(dòng)能相同分子平均平動(dòng)動(dòng)能相同,但氣體的分但氣體的分子數(shù)密度不同子數(shù)密度不同,試問他們的壓強(qiáng)是否相同試問他們的壓強(qiáng)

17、是否相同? 4.兩瓶不同種類的氣體兩瓶不同種類的氣體,體積不同體積不同,但溫度和壓強(qiáng)相同但溫度和壓強(qiáng)相同,問氣體問氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是否相同分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是否相同?單位體積中的分子的總平動(dòng)單位體積中的分子的總平動(dòng)動(dòng)能是否相同動(dòng)能是否相同?問題：?jiǎn)栴}：（答案：前者是由于分子碰撞次數(shù)增加導(dǎo)致（答案：前者是由于分子碰撞次數(shù)增加導(dǎo)致,后者是由于運(yùn)動(dòng)加劇導(dǎo)后者是由于運(yùn)動(dòng)加劇導(dǎo)致）致）（答案（答案:相同）相同）（答案（答案:不同）不同） （答案（答案:相同相同,相同）相同）182.3 能量均分定理能量均分定理 理想氣體的內(nèi)能理想氣體的內(nèi)能 equipartition theorem of ener

18、gy internal energy of ideal gas 一、分子的自由度一、分子的自由度 i :1.自由度定義自由度定義degree of freedom 確定一個(gè)物體位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)個(gè)數(shù)稱該物體的自由度。確定一個(gè)物體位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)個(gè)數(shù)稱該物體的自由度。在空間自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在空間自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn),它的位置用三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)它的位置用三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)(x,y,z)確定。確定。(1)質(zhì)點(diǎn)的自由度質(zhì)點(diǎn)的自由度如如火車運(yùn)動(dòng)（一維火車運(yùn)動(dòng)（一維),自由度為一個(gè)；自由度為一個(gè)；19oyxzp（x,y,z) (2)剛體的自由度剛體的自由度:剛體位置的確定共需要六個(gè)自由度。剛體位置的確定共需要六個(gè)自由

19、度。確定剛體上某一點(diǎn)位置確定剛體上某一點(diǎn)位置:確定剛體轉(zhuǎn)軸的方位確定剛體轉(zhuǎn)軸的方位:確定剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度確定剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度,需要一個(gè)自由度需要一個(gè)自由度();需要二個(gè)自由度需要二個(gè)自由度(,);需要三個(gè)自由度需要三個(gè)自由度(x,y,z);飛機(jī)運(yùn)動(dòng)飛機(jī)運(yùn)動(dòng)(三維三維),自由度為三個(gè)自由度為三個(gè);輪船運(yùn)動(dòng)輪船運(yùn)動(dòng)(二維二維),自由度為二個(gè)自由度為二個(gè);20(3)氣體分子模型自由度氣體分子模型自由度單原子分子模型單原子分子模型:質(zhì)心需要三個(gè)平動(dòng)自由度質(zhì)心需要三個(gè)平動(dòng)自由度;兩原子連線方位需要二個(gè)轉(zhuǎn)兩原子連線方位需要二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度動(dòng)自由度,一共五個(gè)自由度一共五個(gè)自由度;剛性雙原子分子模型剛性

20、雙原子分子模型:如氦原子如氦原子 如氧氣分子如氧氣分子i=t+r=3+2=5需要三個(gè)平動(dòng)自由度需要三個(gè)平動(dòng)自由度 i=t=3;剛性三原子以上分子模型剛性三原子以上分子模型:i=t+r=3+3=6小結(jié)：小結(jié)：n個(gè)原子組成的分子最多是個(gè)原子組成的分子最多是3n 個(gè)自由度。常溫下振動(dòng)自個(gè)自由度。常溫下振動(dòng)自由度可以不考慮。由度可以不考慮。ohhh2oheo221 上式表明上式表明,氣體分子沿氣體分子沿x、y、z三個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)三個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能完全相等；即可以認(rèn)為，分子的平均平動(dòng)能能完全相等；即可以認(rèn)為，分子的平均平動(dòng)能 是平均地是平均地分配在每一個(gè)平動(dòng)自由度上的。因?yàn)榉肿臃峙湓诿恳?/p>

21、個(gè)平動(dòng)自由度上的。因?yàn)榉肿?平動(dòng)有平動(dòng)有3個(gè)自由度，個(gè)自由度，所以相應(yīng)于每一個(gè)平動(dòng)自由度的能量是所以相應(yīng)于每一個(gè)平動(dòng)自由度的能量是kt21kt23二、能量均分定理二、能量均分定理equipartition theorem of energy1. 理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：22123vmktt按理想氣體的統(tǒng)計(jì)假設(shè)：按理想氣體的統(tǒng)計(jì)假設(shè)：222231vvvvzyx222212121zyxvmvmvm2. 意義意義)21(312vmkt21223. 推廣：推廣：在平衡態(tài)下，氣體分子的每一個(gè)自由度都在平衡態(tài)下，氣體分子的每一個(gè)自由度都 具有相同的平具有相同的平均動(dòng)能。如果

22、氣體分子有均動(dòng)能。如果氣體分子有i 個(gè)自由度，則每個(gè)分子的總平個(gè)自由度，則每個(gè)分子的總平均動(dòng)能就是均動(dòng)能就是 kt21kti2問題：?jiǎn)栴}：?jiǎn)卧臃肿?，剛性雙原子分子，剛性三原子以上分子的單原子分子，剛性雙原子分子，剛性三原子以上分子的平均動(dòng)能各是多少？平均動(dòng)能各是多少？注意：注意：能量均分原理是個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，僅對(duì)大量分子平均而言，對(duì)個(gè)別能量均分原理是個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，僅對(duì)大量分子平均而言，對(duì)個(gè)別分子并不適用。分子并不適用。23三、理想氣體的內(nèi)能三、理想氣體的內(nèi)能1. 氣體的內(nèi)能包括哪些？氣體的內(nèi)能包括哪些？氣體的內(nèi)能氣體的內(nèi)能=氣體分子的總能量氣體分子的總能量 + 分子間相互作用勢(shì)能分子間相互作用勢(shì)能

23、2. 理想氣體的內(nèi)能包括哪些？理想氣體的內(nèi)能包括哪些？理想氣體的內(nèi)能理想氣體的內(nèi)能=所有氣體分子各種運(yùn)動(dòng)能量的總和所有氣體分子各種運(yùn)動(dòng)能量的總和問題：?jiǎn)栴}：3. 內(nèi)能與機(jī)械能有什么區(qū)別？?jī)?nèi)能與機(jī)械能有什么區(qū)別？機(jī)械能可以為零，而內(nèi)能永不為零。機(jī)械能可以為零，而內(nèi)能永不為零。一摩爾理想氣體的內(nèi)能一摩爾理想氣體的內(nèi)能rtiktineomol22m千克理想氣體的內(nèi)能千克理想氣體的內(nèi)能rtimmemol2241.三個(gè)容器內(nèi)分別儲(chǔ)有三個(gè)容器內(nèi)分別儲(chǔ)有1mol氦氣氦氣(he),1mol氫氣氫氣(h2),1mol氨氨氣氣(nh3)( 三種氣體均三種氣體均 視為剛性分子的理想氣體視為剛性分子的理想氣體),若它

24、們的若它們的溫度都升高溫度都升高 1k , 則三種氣體內(nèi)能的增加分別是多少？則三種氣體內(nèi)能的增加分別是多少？問題：?jiǎn)栴}：1摩爾氣體的內(nèi)能摩爾氣體的內(nèi)能( )。kt23分子的平均平動(dòng)動(dòng)能分子的平均平動(dòng)動(dòng)能( );分子的平均總動(dòng)能分子的平均總動(dòng)能( );kt25分子的平均總能量分子的平均總能量( );kt251摩爾氣體分子的總轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能摩爾氣體分子的總轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能( );rtrt252.寫出下列各量的表達(dá)式：寫出下列各量的表達(dá)式： 某種剛性雙原子分子的理想氣體處于溫度為某種剛性雙原子分子的理想氣體處于溫度為t的平衡態(tài)下的平衡態(tài)下:(答案答案:12.5j,20.8j,24.9j)25 (答案答案: 1:8

25、; 1:1; 5:24)3.有一個(gè)處于恒溫條件下的容器有一個(gè)處于恒溫條件下的容器,其內(nèi)貯有其內(nèi)貯有1mol某種理想氣體某種理想氣體, 若容器發(fā)生緩慢漏氣若容器發(fā)生緩慢漏氣,試問容器內(nèi)氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是試問容器內(nèi)氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是否改變否改變?氣體的內(nèi)能是否改變氣體的內(nèi)能是否改變?（答案（答案: 不變不變,變變)4.兩個(gè)容器中分別貯有理想氣體氦和氧，已知氦氣的壓強(qiáng)是氧兩個(gè)容器中分別貯有理想氣體氦和氧，已知氦氣的壓強(qiáng)是氧氣的氣的1/2,氦氣的容積是氧氣的氦氣的容積是氧氣的2倍。試問氦氣的內(nèi)能是氧氣內(nèi)能倍。試問氦氣的內(nèi)能是氧氣內(nèi)能的多少倍的多少倍?（答案（答案:3 /5倍倍)5.質(zhì)量相等

26、的的理想氣體氧和氦質(zhì)量相等的的理想氣體氧和氦,分別裝分別裝 在兩個(gè)容積相等的容在兩個(gè)容積相等的容器內(nèi)器內(nèi),在溫度相同的情況下在溫度相同的情況下,氧和氦的壓強(qiáng)之比為氧和氦的壓強(qiáng)之比為 ;氧氧分子和氦分子的平均平動(dòng)動(dòng)能之比為分子和氦分子的平均平動(dòng)動(dòng)能之比為 ;氧和氦內(nèi)能之氧和氦內(nèi)能之比為比為_.262.4 麥克斯韋分子速率分布定律麥克斯韋分子速率分布定律the maxwell distribution law of speed一、一、 統(tǒng)計(jì)規(guī)律：統(tǒng)計(jì)規(guī)律：二、二、 速率分布函數(shù)速率分布函數(shù) f(v) 的物理意義的物理意義將速率分成若干相等的區(qū)間將速率分成若干相等的區(qū)間,如如;sm10sm10sm1

27、0;sm10001111 111111sm10sm30sm30;sm10sm20sm20伽爾頓板伽爾頓板27設(shè)任一速率區(qū)間為設(shè)任一速率區(qū)間為:vvv設(shè)總的氣體分子數(shù)為設(shè)總的氣體分子數(shù)為n,在該區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為在該區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為nvnvnn分布在速率分布在速率 v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)分布在速率分布在速率 v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。數(shù)的比率。 當(dāng)當(dāng),0時(shí)v1. 速率分布函數(shù)速率分布函數(shù) f(v) 的定義：的定義：vnnvfvlim0)(在平衡態(tài)下，在平衡態(tài)下，f f（v v）僅是僅是v v 的函數(shù)。的函數(shù)。注意

28、：注意：vf（v）ovv+v;dvv ;dnn ndvdn282. 速率分布函數(shù)速率分布函數(shù) f(v) 的意義：的意義：分布在速率分布在速率 v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比；附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比；當(dāng)速率分布函數(shù)已知當(dāng)速率分布函數(shù)已知,求速率區(qū)間求速率區(qū)間v1，v2內(nèi)的總分子數(shù)為多少？?jī)?nèi)的總分子數(shù)為多少？21vvdnn3. 麥克斯韋分子速率分布律麥克斯韋分子速率分布律早在早在1859年，麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計(jì)概念和力學(xué)原理導(dǎo)出在平衡態(tài)年，麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計(jì)概念和力學(xué)原理導(dǎo)出在平衡態(tài)下氣體分子速率分布函數(shù)的具體形式下氣體分子速率分布函數(shù)的具體形式22223)2(4)

29、(vektmvfktmv對(duì)單個(gè)分子來說，它表示分子具有速率在該單位速率間隔內(nèi)的概對(duì)單個(gè)分子來說，它表示分子具有速率在該單位速率間隔內(nèi)的概率率 。問題：?jiǎn)栴}：21)(vvdvvfn29問題：?jiǎn)栴}：?)(0) 1 (vfv時(shí)(3)如圖如圖(a)曲線下的陰影面積的物理意義是什么？曲線下的陰影面積的物理意義是什么？(4)如圖如圖(a)曲線下的總面積的物理意義是什么？曲線下的總面積的物理意義是什么？?)()2(vfv時(shí)22223)2(4)(vektmvfktmv根據(jù)根據(jù)答：答：f（0）=0。答：答：f（）=0 vvvdvvf)(ndn即速率區(qū)間即速率區(qū)間vv+v內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)

30、的 比值。比值。 ndnnn0)(dvvf1歸一化條件歸一化條件f（v）vov v+v圖圖(a)(a)某一溫度下速率分布函數(shù)曲線某一溫度下速率分布函數(shù)曲線30三、三、 分子三種特殊速率的統(tǒng)計(jì)平均值分子三種特殊速率的統(tǒng)計(jì)平均值(1)算術(shù)平均速率算術(shù)平均速率average speed dvvvf)(0(2)方均根速率方均根速率 root-mean-square speed dvvfvv)(022mkt8molmrt8molmrt6 . 1mktv32molmrt3molmrt73. 1dvvektmvktmv220223)2(4dvvektmvktmv2202223)2(4nvdnv31(3)最概

31、然速率最概然速率vp most probable speed 最概然速率是指在任一溫度最概然速率是指在任一溫度t時(shí)時(shí),氣體中分子最可能具有的速率值。氣體中分子最可能具有的速率值。0mktvp2(4)三種速率的關(guān)系三種速率的關(guān)系2vvvppvvvktmvktmvektmvvektm2)2(42232222dvdfmolmrt2molmrt41. 1某一溫度下分子速率的三個(gè)統(tǒng)計(jì)值某一溫度下分子速率的三個(gè)統(tǒng)計(jì)值vpvv2即在即在v =vp時(shí)時(shí),分布函數(shù)應(yīng)有極大值。分布函數(shù)應(yīng)有極大值。f（v）vo32問題問題:如圖如圖(1)所示所示,三條曲線分別代表同一種氣體在不同溫度下的速三條曲線分別代表同一種氣體

32、在不同溫度下的速率分布曲線率分布曲線,試判斷它們所代表的溫度關(guān)系。試判斷它們所代表的溫度關(guān)系。答答 :t1t2t3圖圖(1)f（v）vof(vp3)vpf(vp1)f(vp2)t1t3t233如圖如圖(2)所示所示,三條曲線分別代表同一種溫度下不同分子的速率三條曲線分別代表同一種溫度下不同分子的速率分布曲線分布曲線,試判斷它們所代表的質(zhì)量關(guān)系。試判斷它們所代表的質(zhì)量關(guān)系。答答 :m3m2r0 時(shí)兩分子相時(shí)兩分子相互作用表現(xiàn)為引力。當(dāng)互作用表現(xiàn)為引力。當(dāng) rs)相互作用力幾乎為零相互作用力幾乎為零 。當(dāng)兩個(gè)分子中心距離為。當(dāng)兩個(gè)分子中心距離為 d 時(shí)時(shí)斥力無限大。斥力無限大。一、分子引力所引起的

33、體積修正：一、分子引力所引起的體積修正：將氣體分子視為剛性球，則分子本身占有體積將氣體分子視為剛性球，則分子本身占有體積 ，容器容積應(yīng)有，容器容積應(yīng)有修正。這時(shí)一摩爾氣體所占的可被壓縮的空間體積不再等于修正。這時(shí)一摩爾氣體所占的可被壓縮的空間體積不再等于vm ，而應(yīng)該等于，而應(yīng)該等于vm 減去一個(gè)反映氣體分子本身體積的修正項(xiàng)減去一個(gè)反映氣體分子本身體積的修正項(xiàng) b。一摩爾氣體一摩爾氣體bvrtpm理論指出理論指出 b 約為一摩爾氣體分子本身總體積的約為一摩爾氣體分子本身總體積的 4 倍。估算倍。估算 b 值值 10 -6 （m3）=1（cm3）。）。注意：通常情況下注意：通常情況下 b b 可

34、以忽略，但壓強(qiáng)增大，容積縮小到可與可以忽略，但壓強(qiáng)增大，容積縮小到可與 b b 相相比擬比擬時(shí)，時(shí)，b b 的修正就必須考慮了。實(shí)際的修正就必須考慮了。實(shí)際 b b 值要隨壓強(qiáng)變化而變化。值要隨壓強(qiáng)變化而變化。 43ss二、分子引力所引起的壓強(qiáng)修正：二、分子引力所引起的壓強(qiáng)修正：容器中的容器中的分子分子 ，凡位于以，凡位于以 為球?yàn)榍?心，以分子有效作用距心，以分子有效作用距離離 s 為半徑的球內(nèi)的分子都對(duì)為半徑的球內(nèi)的分子都對(duì) 有引力作用其效果是引力平均有引力作用其效果是引力平均值為零。值為零。 處于器壁附近厚度為處于器壁附近厚度為s 的表面層內(nèi)的分子的表面層內(nèi)的分子由于引力作用由于引力作用

35、的分子分布不對(duì)稱，平均來說的分子分布不對(duì)稱，平均來說受到一個(gè)指向氣體內(nèi)部的合力。受到一個(gè)指向氣體內(nèi)部的合力。這層氣體分子受到的指向氣體內(nèi)部的力所產(chǎn)生的總效果相當(dāng)于這層氣體分子受到的指向氣體內(nèi)部的力所產(chǎn)生的總效果相當(dāng)于一個(gè)指向內(nèi)部的壓強(qiáng)，稱一個(gè)指向內(nèi)部的壓強(qiáng)，稱內(nèi)壓強(qiáng)內(nèi)壓強(qiáng) pint 。44intpbvrtpm氣體分子實(shí)際作用于器壁的壓強(qiáng)氣體分子實(shí)際作用于器壁的壓強(qiáng)22int1mvnp2intmvapn分子數(shù)密度，分子數(shù)密度， a分子引力常數(shù)。分子引力常數(shù)。三、三、 范德瓦爾斯方程范德瓦爾斯方程rtbvvapmm)(2質(zhì)量為質(zhì)量為m 的氣體的氣體mmol為氣體的摩爾質(zhì)量為氣體的摩爾質(zhì)量rtmmb

36、mmvvammpmolmolmol)(222一摩爾氣體一摩爾氣體45液液汽液共存汽液共存汽汽氣氣kabcdgefovmp462.9 氣體分子的平均自由程氣體分子的平均自由程一、氣體分子的碰撞過程一、氣體分子的碰撞過程每?jī)纱芜B續(xù)碰撞之間每?jī)纱芜B續(xù)碰撞之間一個(gè)分子自由運(yùn)動(dòng)的平均一個(gè)分子自由運(yùn)動(dòng)的平均路程。路程。三、三、 平均自由程平均自由程 ：mean free path二、平均碰撞頻率二、平均碰撞頻率z：mean collision frequency設(shè)分子的平均速率為設(shè)分子的平均速率為 vzv47ddd圍繞分子的中心圍繞分子的中心,以以 d為半徑畫出的球叫做為半徑畫出的球叫做分子的作用球分子的

37、作用球。(1)假定每個(gè)分子都是直徑為假定每個(gè)分子都是直徑為d 的剛性小球的剛性小球;(2)假定一個(gè)假定一個(gè)a分子以相對(duì)速率分子以相對(duì)速率 u 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng),其它分子都靜止不動(dòng)其它分子都靜止不動(dòng);當(dāng)當(dāng)a分子與其它分子作一次彈性碰撞時(shí)分子與其它分子作一次彈性碰撞時(shí),兩個(gè)分子的中心相隔距離就是兩個(gè)分子的中心相隔距離就是d。d2dau圍繞分子的中心圍繞分子的中心,以以 d為半徑畫出為半徑畫出的截面叫做分子的的截面叫做分子的碰撞截面碰撞截面。以以a分子中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為軸線分子中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為軸線,以以 d 為半徑做一曲折的圓柱體為半徑做一曲折的圓柱體d2d48d2dau在在t 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi),分子分子a走過的

38、路程為走過的路程為:tut 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi),以以a分子中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為分子中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為軸線軸線,以以 d 為半徑的圓柱體體積為半徑的圓柱體體積:tudtu2設(shè)單位體積內(nèi)的分子數(shù)為設(shè)單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n, 則該體積內(nèi)的分子總數(shù)為則該體積內(nèi)的分子總數(shù)為:tudn2即在即在t 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi),分子分子a碰撞的次數(shù)為碰撞的次數(shù)為:tudn2unttunz平均碰撞頻率平均碰撞頻率 z：vu2vdnunz2249平均自由程：平均自由程：zv221dnnktp pdkt22對(duì)于空氣分子對(duì)于空氣分子,在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下:md10105 . 3m8109 . 6sz/105 . 69所以平均自由程與溫度

39、成正比所以平均自由程與溫度成正比,與壓強(qiáng)成反比。與壓強(qiáng)成反比。50練習(xí)練習(xí)1:一個(gè)大熱氣球的容積為一個(gè)大熱氣球的容積為 2.110 4 m3,氣球本身和負(fù)載質(zhì)氣球本身和負(fù)載質(zhì)量共量共4.5 10 3 kg ,若外部空氣溫度為若外部空氣溫度為20c,要想使氣球上升要想使氣球上升,其內(nèi)部空氣最低要加熱到多少度其內(nèi)部空氣最低要加熱到多少度?標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣的密度標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣的密度:設(shè)熱氣球外空氣的密度設(shè)熱氣球外空氣的密度:設(shè)熱氣球內(nèi)空氣的密度設(shè)熱氣球內(nèi)空氣的密度:nktp 3kg/m29. 1o12由于熱氣球內(nèi)外空氣壓強(qiáng)相同由于熱氣球內(nèi)外空氣壓強(qiáng)相同(均取一個(gè)大氣壓均取一個(gè)大氣壓):oottt221

40、1溫度溫度:1t溫度溫度:2t溫度溫度:k2730tt1t21251由熱氣球所受浮力與負(fù)載重量平衡可得由熱氣球所受浮力與負(fù)載重量平衡可得:vgmgvg21mvtttoo)11(21c84o112mttvttvtoooomgvg )(21t1t21252練習(xí)練習(xí)2:一容器被中間的隔板分成相等的兩半一容器被中間的隔板分成相等的兩半,一半裝有氦氣一半裝有氦氣,溫溫度為度為250k;另一半裝有氧氣另一半裝有氧氣,溫度為溫度為310k，二者壓強(qiáng)相等。求去，二者壓強(qiáng)相等。求去掉隔板兩種氣體混合后的溫度。掉隔板兩種氣體混合后的溫度。1111rtvp混合前混合前,對(duì)于氦對(duì)于氦:2222rtvp由于壓強(qiáng)相同由于

41、壓強(qiáng)相同:2211tt混混 合前的總內(nèi)能合前的總內(nèi)能:21oooeee22112523rtrt混混 合后的總內(nèi)能合后的總內(nèi)能:21eee1128rtrtrt212523rttt121)2523(混合前混合前,對(duì)于氧對(duì)于氧:53k284310/250532508/538211tttt由于混合前后的總內(nèi)能不變由于混合前后的總內(nèi)能不變:eeo1128rtrttt121)2523(54cndvdnvf)(練習(xí)練習(xí)3:有有n個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為)0(0 vv)(0vv 0)(vf（1）作速率分布曲線）作速率分布曲線（2）由）由 vo求常求常 數(shù)數(shù)c（3）求粒子的平均速率）求粒

42、子的平均速率55f（v）vovo（1）速率分布曲線）速率分布曲線（2）由歸一化條件）由歸一化條件（3）粒子的平均速率）粒子的平均速率0)(dvvf10ovcvcdvoovc/1dvvvfv)(0cvvcdvov20021oovvv2112120解：解：容器中儲(chǔ)有容器中儲(chǔ)有1.013105 pa, 300k的氧氣。求：的氧氣。求： 解題思路解題思路 題目給的是宏觀量題目給的是宏觀量 p 和和t, 求的是微觀求的是微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值量的統(tǒng)計(jì)平均值 n、m、l、 等等 ，選用相應(yīng)的公式，選用相應(yīng)的公式即可求得。即可求得。（1）單位容積內(nèi)的分子數(shù)）單位容積內(nèi)的分子數(shù) n（2）分子的質(zhì)量）分子的質(zhì)量 m

43、（3）密度）密度 （4）分子間平均距離）分子間平均距離 l（5）平均速率）平均速率 （6）方均根速率）方均根速率（7）分子平均平動(dòng)動(dòng)能）分子平均平動(dòng)動(dòng)能（8）分子平均動(dòng)能）分子平均動(dòng)能v2v ke解：解： （1）由）由p=nkt 得得)(1045. 23001038. 110013. 1325235 mktpn（2）)(1031. 510023. 61032262330kgnmmmol （3）)/(30. 11031. 51045. 232625mkgnm （4）設(shè)每個(gè)分子占據(jù)一個(gè)邊長(zhǎng)等于平均距離）設(shè)每個(gè)分子占據(jù)一個(gè)邊長(zhǎng)等于平均距離 l的的小立方體，即：小立方體，即：)(1044. 31045. 21193253mnl 13 nl（5）)/(1047. 4103230031. 860. 160. 1823smmrtmrtvmolmol （