廣西百色市平果市鋁城中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開學(xué)收心考試 數(shù)學(xué)試卷含答案

2024年高三上學(xué)期開學(xué)收心數(shù)學(xué)考試卷姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B．2 C． D．2．“”是“為第一象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．在中，已知，且的周長為16，則頂點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B．C． D．4．在正方體中，P為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，O為EF的中點(diǎn)，直線PE交直線于點(diǎn)Q，直線PF交直線于點(diǎn)R，則（

）A． B．C． D．5．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α、?是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若α∥?，mα，n?，則m∥nC．若α?=m，nα，n⊥m，則n⊥?D．若m⊥α，m∥n，n?，則α⊥?6．已知點(diǎn)在拋物線上，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A．8 B． C． D．7．在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個(gè)短橫“”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個(gè)八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應(yīng)不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個(gè)陽爻三個(gè)陰爻的概率是（

）A． B． C． D． E．均不是8．已知，不等式，對滿足當(dāng)且時(shí)恒成立，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．e D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，答案有兩個(gè)選項(xiàng)只選一個(gè)對得3分，錯(cuò)選不得分；答案有三個(gè)選項(xiàng)只選一個(gè)對得2分，只選兩個(gè)都對得4分，錯(cuò)選不得分．9．若正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值4 D．有最小值10．下列命題正確的是（

）A．已知變量，的線性回歸方程，且，則B．?dāng)?shù)據(jù)4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位數(shù)為11C．已知隨機(jī)變量最大，則的取值為3或4D．已知隨機(jī)變量，則11．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，，．下列說法正確的是（

）A．3是函數(shù)的一個(gè)周期B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)是偶函數(shù)D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知隨機(jī)變量服從，若，則.13．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則．14．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為．四．解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在中，分別為角所對的邊.在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，作出解答.（1）求角的值；（2）若為銳角三角形，且，求的面積的取值范圍.16．某校舉行“學(xué)習(xí)二十大，奮進(jìn)新征程”知識競賽，知識競賽包含預(yù)賽和決賽.(1)下表為某10位同學(xué)預(yù)賽成績：得分939495969798人數(shù)223111求該10位同學(xué)預(yù)賽成績的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）和平均數(shù)；(2)決賽共有編號為的5道題，學(xué)生甲按照的順序依次作答，答對的概率依次為，各題作答互不影響，若累計(jì)答錯(cuò)兩道題或五道題全部答完則比賽結(jié)束，記為比賽結(jié)束時(shí)學(xué)生甲已作答的題數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.17．已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：．18．如圖，沿等腰直角三角形的中位線將平面折起，使得平面平面得到四棱錐.（1）求證:平面平面;（2）若，過的中點(diǎn)的平面與平面平行，試求平面與四棱錐各個(gè)面的交線所圍成的多邊形的面積與的面積之比．19．如圖，一塊正中間鏤空的橫桿放置在平面直角坐標(biāo)系的軸上（橫桿上鏤空的凹槽與軸重合，凹槽很窄），橫桿的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合.短桿的一端用鉸鏈固定在原點(diǎn)處，另一短桿與短桿在處用鉸鏈連接.當(dāng)短桿沿處的栓子在橫桿上鏤空的凹槽內(nèi)沿軸左右移動時(shí)，處裝有的筆芯在平面直角坐標(biāo)系上畫出點(diǎn)運(yùn)動的軌跡（連接桿可以繞固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，被橫桿遮擋的部分忽略不計(jì)）.已知，.（1）求曲線的方程.（2）過點(diǎn)作直線與曲線交于，兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.1．A【分析】由函數(shù)單調(diào)性及，求出答案.【詳解】在上單調(diào)遞增，又，故函數(shù)的零點(diǎn)為.故選：A2．B【分析】根據(jù)充分必要的定義，結(jié)合正切函數(shù)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】若，則，，為第一象限或第三象限角，反過來，若為第一象限角，則，所以“”是“為第一象限角”的必要不充分條件.故選：B3．C【解析】由周長得到，利用橢圓定義寫出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】由條件可知，，，點(diǎn)是以為焦點(diǎn)的橢圓，除去左右頂點(diǎn)，并且，，頂點(diǎn)的軌跡方程是.故選：C4．B【分析】先以，，為基底，表示出，然后解向量方程組，用表示出，，，再由，，與的關(guān)系可得.【詳解】記，，，則，解得又所以整理得．故選：B5．D【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系判斷．【詳解】若m∥α，n∥α，可以相交、平行或異面，A錯(cuò)；若α∥?，mα，n?，則可能平行也可能異面，B錯(cuò)；若α?=m，nα，n⊥m，如果有，則有，如果沒有，則與不一定垂直，C錯(cuò)；若m⊥α，m∥n，則，又n?，則α⊥?，D正確．故選：D．6．D【分析】根據(jù)題意，求得拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，得出，得到當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為直線與的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式，即可求解.【詳解】由拋物線，可得焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為直線與的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，則，即的最小值為.故選：D.7．B【分析】由題意，基本事件的總數(shù)為，這六爻恰好有三個(gè)陽爻包含基本事件數(shù)為，由此能求出這六爻恰好有三個(gè)陽爻三個(gè)陰爻的概率.【詳解】在一次所謂“算卦”中得到六爻，基本事件的總數(shù)為，這六爻恰好有三個(gè)陽爻包含的基本事件數(shù)為，所以這六爻恰好有三個(gè)陽爻三個(gè)陰爻的概率是.故選：B.8．C【分析】由，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性化簡后求解，【詳解】，則當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)且時(shí)，，得，即在且時(shí)恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，故的最大值為，故選：C9．ABC【分析】利用基本不等式可判斷A的正誤，利用A的結(jié)果可判斷BC的正誤，利用反例可判斷D是錯(cuò)誤的，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，所以，所以，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故有最大值，A正確；由A可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故有最大值，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故有最小值4，C正確；取，此時(shí)，所以的最小值不是，故D錯(cuò)誤，ABC..ABC..10．ACD【分析】根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點(diǎn)求出，即可判斷A，根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則判斷B，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式及組合數(shù)的性質(zhì)判斷C，根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A：因?yàn)榛貧w直線方程必過樣本中心點(diǎn)，所以，解得，故A正確；對于B：因?yàn)椋苑治粩?shù)為從小到大排列的第八個(gè)數(shù)，即為，故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)?，所以，（且），由組合數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)或時(shí)取得最大值，則當(dāng)或時(shí)最大，故C正確；對于D：因?yàn)榍?，所以，則，故D正確.故選：ACD11．ACD【分析】根據(jù)可得即可確定周期求解選項(xiàng)A；根據(jù)為奇函數(shù)，可得即可求解選項(xiàng)B；根據(jù)題設(shè)條件可得即可求解選項(xiàng)C；利用函數(shù)的周期性和函數(shù)值可求解選項(xiàng)D.【詳解】對A，因?yàn)?，所以，即，所?是函數(shù)的一個(gè)周期，A正確；對B，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，B錯(cuò)誤；對C，因?yàn)?，所以，即，即，所以函?shù)是偶函數(shù)，C正確；對D，，所以，所以，D正確；故選:ACD.12．##【分析】利用正態(tài)曲線的對稱性可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則.故答案為：.13．【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求正弦值，再應(yīng)用正弦定理即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．故答案為?4．【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出C坐標(biāo)，因?yàn)闉橹苯侨切危是蛐腛在過BD中點(diǎn)且與面ABD垂直的方向上，設(shè)球心O坐標(biāo)，根據(jù)求得O坐標(biāo)，可求得外接球的表面積.【詳解】過作面于，則三棱錐的體積為，所以，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又面，面，所以，又，所以面，面，所以，在中，所以以，為軸，垂直于，方向?yàn)檩S，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)球心，在面的投影為，由得，所以為的外接圓圓心，所以為斜邊的中點(diǎn)，故設(shè)由得，解得，所以，故外接球的表面積為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題直接求球心或半徑有一定的難度，先是確定球心在過面的外心且與面垂直的線上，設(shè)球心的坐標(biāo)，利用球心到各頂點(diǎn)的距離相等求出坐標(biāo)，從而求得球的半徑.15．條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】（1）選擇條件①，利用正弦定理化簡已知條件，再利用兩角和的正弦公式化簡得，根據(jù)三角形內(nèi)角性質(zhì)得出且，即可求出角的值；選擇條件②，根據(jù)向量的數(shù)量積公式以及三角形的面積公式，化簡得出，即可求出角的值；選擇條件③，根據(jù)兩角和的正弦公式和輔助角公式，化簡的出，從而可求出角的值；（2）根據(jù)題意，利用正弦定理邊角互化得出，，再根據(jù)三角形面積公式化簡得出，由為銳角三角形，求出角的范圍，從而得出的面積的取值范圍.【詳解】解：（1）選①，由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴；選②，∴，∴，∵，∴，則，∴；選③，得，∴，∴，∵，∴，∴，∴.（2）已知為銳角三角形，且，由正弦定理得：，∴，，∴，∵為銳角三角形，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦定理的邊角互化、兩角和的正弦公式、輔助角公式、向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查三角形的面積公式以及三角形內(nèi)角的性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間內(nèi)的最值從而求出三角形的面積的取值范圍是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡運(yùn)算能力.16．(1)上四分位數(shù)：96，平均數(shù)：(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【分析】（1）直接利用百分位數(shù)的求解步驟即可求出上四分位數(shù)，再利用平均數(shù)的計(jì)算公式即可計(jì)算平均數(shù)；（2）找出的所有可能取值，然后分別求出其概率，即可列出分布列，進(jìn)而求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）因?yàn)?，所以上四分位?shù)為第八個(gè)成績，為96；平均數(shù)為.（2）由題意可知的取值為，所以，，，，所以的分布列為：2345.17．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后由幾何意義求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程（2）由化簡得，由導(dǎo)數(shù)可知存在極小值點(diǎn)，即最小值，即可證明原不等式．【詳解】（1）依題意，，故．有，故所求切線方程為，即．（2）由得整理得，化簡得，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以恒成立．【點(diǎn)睛】對于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：（1）

恒成立；（2）恒成立．18．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)定理及面面垂直判定定理可證；（2）由題可得平面與四棱錐各個(gè)面的交線所圍成的多邊形為直角梯形，求面積即得.【詳解】由題設(shè)知，平面平面根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得平面由根據(jù)線面垂直的判定定理得平面又平面平面平面.如圖，設(shè)平面與平面、平面、平面、平面的交線分別為平面平面.是的中點(diǎn)，故是的中點(diǎn)，同理為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面與四棱錐各個(gè)面的交線所圍成的多邊形是四邊形.由于點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，又，故，由知又四邊形是直角梯形.，則，故四邊形的面積是，的面積是平面與四棱錐各個(gè)面的交線所圍成的多邊形的面積與的面積之比為.19．（1）；（2）存在，定點(diǎn).【分析】（1）設(shè)，點(diǎn)用表示，消參得到軌跡方程；（2）設(shè)直線與橢圓聯(lián)立，得到根與系數(shù)關(guān)系，若存在軸上的定點(diǎn)滿足，即得進(jìn)而得，代入韋達(dá)定理整理得定點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】（1）設(shè)，點(diǎn).過點(diǎn)作的垂線，垂足為，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則.由題意可得，