拉格朗日方程-剛體動力學-振動習題課

1、buaa1拉格朗日方程拉格朗日方程 剛體動力學剛體動力學 振動振動習習 題題 課課buaa2第二類拉格朗日方程的總結 對于具有對于具有完整理想約束完整理想約束的質點系，若系統(tǒng)的自由度為的質點系，若系統(tǒng)的自由度為k，則系統(tǒng)的動力學方程為：則系統(tǒng)的動力學方程為：其中：其中：vtlt：為系統(tǒng)的動能，為系統(tǒng)的動能，v：為系統(tǒng)的勢能為系統(tǒng)的勢能ddjjjqqlqlt), 1(kjjq：為對應于廣義坐標：為對應于廣義坐標 的非有勢力的廣義力的非有勢力的廣義力jq當系統(tǒng)為保守系統(tǒng)時，有：當系統(tǒng)為保守系統(tǒng)時，有：1：若系統(tǒng)存在循環(huán)坐標：若系統(tǒng)存在循環(huán)坐標 ，則：，則：qconst.pqtql2：若系統(tǒng)的拉格朗

2、日函數不顯含時間：若系統(tǒng)的拉格朗日函數不顯含時間t，則：，則：const.02vttbuaa3習習 題題 課課5-29：半徑為半徑為r、質量為、質量為m的圓柱，沿半徑為的圓柱，沿半徑為r、質量為、質量為m0的空的空心圓柱內表面滾動而不滑動，如圖所示?？招膱A柱可繞自身的心圓柱內表面滾動而不滑動，如圖所示。空心圓柱可繞自身的水平軸水平軸o轉動。圓柱對各自軸線的轉動慣量為轉動。圓柱對各自軸線的轉動慣量為mr2/2和和m0r2。試求系統(tǒng)的首次積分。試求系統(tǒng)的首次積分。問題：問題：系統(tǒng)有幾個自由度？系統(tǒng)有幾個自由度？如何選取廣義坐標？如何選取廣義坐標？系統(tǒng)的系統(tǒng)的lagrange函數？函數？系統(tǒng)有二個自

3、由度，取系統(tǒng)有二個自由度，取 為為廣義坐標。廣義坐標。 ,buaa422220131 (2)()()()cos442ltvmm rm rrm rr rmg rr習習 題題 課課2221220)21(212121mrmvrmto)(1rrvo)(1rrrrrrrmrrmrmmt)(21)(43)2(4122220()cosvmg rr 不顯含廣義坐標不顯含廣義坐標和時間和時間t，存在循環(huán)積分和廣義能量積分，存在循環(huán)積分和廣義能量積分020)(21prrrmrrmtl2222200111()()()cos242t vmrm r rrm r rmg r rebuaa5習習 題題 課課例：例：圖示機構

4、在鉛垂面內運動，滑塊質量圖示機構在鉛垂面內運動，滑塊質量m1、均質桿質量、均質桿質量m2，地，地面光滑，桿面光滑，桿ab用光滑鉸鏈與滑塊連接。求系統(tǒng)的首次積分。用光滑鉸鏈與滑塊連接。求系統(tǒng)的首次積分。ab=l xab1m g2m g avccav22212111222accabtmvm vjaabcacavxvvv解：解：系統(tǒng)的主動力均為有勢力系統(tǒng)的主動力均為有勢力 分析系統(tǒng)的動能和勢能分析系統(tǒng)的動能和勢能222212221111cos( , , )2262tm xm xm lm xlt x 2(1 cos )2lvm g),( xlvtl拉格朗日函數拉格朗日函數 中不顯含廣義坐標中不顯含廣義

5、坐標x和時間和時間tbuaa6習習 題題 課課1221cos2tmmxm lcx系統(tǒng)的什么廣義動量守恒？系統(tǒng)的什么廣義動量守恒？ xab1m g2m gnfccavav研究整體：研究整體：12(cos )2xaabcxpm xm vlm xm x廣義能量積分廣義能量積分保守系統(tǒng)，定常約束保守系統(tǒng)，定常約束2222122221111cos(1 cos )22622ltvm xm xm lm xlm gebuaa7習習 題題 課課例：例：機構在鉛垂面內運動，均質圓盤質量機構在鉛垂面內運動，均質圓盤質量m1在地面上純滾動，均在地面上純滾動，均質桿質桿ab質量質量m2用光滑鉸鏈與圓盤連接。求系統(tǒng)首次積

6、分。用光滑鉸鏈與圓盤連接。求系統(tǒng)首次積分。ab=l xab1m g2m g avccav22221211112222aaaccabtmvjm vjcaacabaarxxvvvv解：解：系統(tǒng)的主動力均為有勢力系統(tǒng)的主動力均為有勢力 分析系統(tǒng)的動能和勢能分析系統(tǒng)的動能和勢能222212223111cos( , , )4262tm xm xm lm xlt x 2(1 cos )2lvm g),( xlvtl拉格朗日函數拉格朗日函數 中不顯含廣義坐標中不顯含廣義坐標x和時間和時間tbuaa8習習 題題 課課12231cos22tm xm xm lcx系統(tǒng)的什么廣義動量守恒？系統(tǒng)的什么廣義動量守恒？1

7、m garfnfa axfayf xab1m g2m gfnfccavav研究整體：研究整體：12(cos )2xaabcxpm xm vlm xm xfpx（1）研究圓盤：研究圓盤：r211122aaalm rm rxfrlarfrlar（2）0ddrrrlptrlpaxax12231cos22m xm xm lcr1axlrp2222122223111cos(1 cos )42622ltvm xm xm lm xlm gebuaa9習習 題題 課課 xab1m g2m g xab1m g2m g12231cos22tmmxm lcx12231cos22tm xm xm lcx2222122

8、221 3111cos(1 cos )2 22622ltvm xm xm lm xlm ge2222122223111cos(1 cos )42622ltvm xm xm lm xlm ge（1）（2）（1）（2）1221cos2tmmxm lcx12231cos22tm xm xm lcx132mgbuaa10習習 題題 課課剛體定點運動的角速度和角加速度剛體定點運動的角速度和角加速度角速度角速度tt 0lim0l 瞬時轉動軸：瞬時轉動軸： 0l0l0lr0ltt 0limbuaa11習習 題題 課課 znz 角加速度角加速度t d/d knkl0 knk )(t )()(tt0l 00ll

9、21 ,用歐拉角表示的角速度用歐拉角表示的角速度xyz x y zn歐拉角歐拉角節(jié)線節(jié)線,0t上式兩邊除以buaa12習習 題題 課課定點運動剛體上點的速度和加速度定點運動剛體上點的速度和加速度1、速、速 度：度：ttrv0lim瞬時轉動軸瞬時轉動軸(instant axis of rotation)： 在某瞬時，剛體上存在一根通過定點在某瞬時，剛體上存在一根通過定點o o的軸，在該的軸，在該軸上各點的速度均為零，該軸稱為瞬時轉軸。軸上各點的速度均為零，該軸稱為瞬時轉軸。rr rrrv tttt00limlim問題：問題：在某瞬時剛體上哪些點的速度為零在某瞬時剛體上哪些點的速度為零？問題：問題

10、：如何確定定點運動剛體的瞬時轉動軸？如何確定定點運動剛體的瞬時轉動軸？r rbuaa13習習 題題 課課rvo na rara rvan 向軸加速度向軸加速度轉動加速度轉動加速度 0l角速度角速度 00ll21 vr 2、加速度：、加速度：角加速度角加速度rv 速速 度度tddva )(ddr tnraaa求定點運動剛體上某一點的求定點運動剛體上某一點的加速度的基本步驟：加速度的基本步驟：buaa14習習 題題 課課定點運動定點運動剛體剛體的歐拉動力學方程的歐拉動力學方程kjilzzyyxxojjj)(dde)(fmloot )()()(zyxxyzzyzxzxyyxzyyzxxmjjjmjj

11、jmjjjxyz xo z y其中：其中：ox、oy、oz為剛體對為剛體對o點的慣量主軸（隨體坐標軸）點的慣量主軸（隨體坐標軸）buaa15習習 題題 課課 a),(jjjjyxzkjilzzyyxxojjj)(kjilo zzyyxxjjj a )(kjizyx 利用陀螺的運動特性和機構特性利用陀螺的運動特性和機構特性)() (kjizzyxjj)(klzzljjtjtjzzlodd)(ddkllz l l x yobuaa16習習 題題 課課tooddlm zojm陀螺近似理論公式：陀螺近似理論公式：ddkk t, ddll ttjtjzzlodd)(ddkll)( zzojjll zzz

12、ojjjll zj其中：其中：mo是作用于陀螺轉子上的所有外力對是作用于陀螺轉子上的所有外力對o點之矩的矢量和，點之矩的矢量和，o點既可以是點既可以是慣性參考系慣性參考系中的中的固定點固定點，也可以是，也可以是剛體的質心剛體的質心。z l zjgm陀螺力矩：陀螺力矩：buaa17習習 題題 課課6-4：具有固定頂點具有固定頂點o的圓錐在水平面上作純滾動，如圖所示。的圓錐在水平面上作純滾動，如圖所示。圓錐高圓錐高co=18cm，頂角，頂角，aob=90o。圓錐面中心。圓錐面中心c作勻速作勻速圓周運動，每秒繞行一周。試求圓錐的角速度和角加速度，并圓周運動，每秒繞行一周。試求圓錐的角速度和角加速度，

13、并求圓錐底面直徑求圓錐底面直徑ab兩端點兩端點a和和b的速度和加速度。的速度和加速度。圓錐繞圓錐繞o點作定點運動點作定點運動繞鉛垂繞鉛垂軸的進動角速度軸的進動角速度1繞繞oc軸的自轉角速度軸的自轉角速度2圓錐的絕對角速度圓錐的絕對角速度 21zxy2 k1buaa18習習 題題 課課zxy0av 求繞求繞oc軸的自轉角速度軸的自轉角速度218 2 j c1voc236 2 j bcvvoa為瞬軸，角速度為絕對角速度為瞬軸，角速度為絕對角速度2k =2 2 kbbcvr 122 k2 2 kk2 24 jdddtdt nraaara rna r18 2i oar18 2kobr224j18 2i

14、2 i2 i18 2i72 2k aa2224j18 2k2 i2 i18 2k72 2i 72 2kbabuaa19習習 題題 課課6-10：正方形框架每分鐘繞固定軸正方形框架每分鐘繞固定軸ab轉轉2周，圓盤又相對于框周，圓盤又相對于框架每分鐘繞對角線上的軸架每分鐘繞對角線上的軸bc轉轉2周，如圖所示。試求圓盤的絕周，如圖所示。試求圓盤的絕對角速度和角加速度。對角速度和角加速度。圓盤繞定點圓盤繞定點b作定點運動作定點運動 繞繞ab軸的進動角速度軸的進動角速度1 繞繞bc軸的自轉角速度軸的自轉角速度2 圓盤的絕對角速度圓盤的絕對角速度 21)/(21. 0602221srad)/(39. 0)

15、45sin()45cos(2022021sradbuaa20習習 題題 課課dtddtddtddtd221212dtd角速度角速度1是常量是常量 角速度矢量角速度矢量2以角速度以角速度1繞繞ab軸旋轉軸旋轉 )/(031. 045sin201srad2方向垂直于紙面向里方向垂直于紙面向里 buaa21習習 題題 課課6-11：圖示錐齒輪的軸通過平面支座齒輪的中心，錐齒輪每分圖示錐齒輪的軸通過平面支座齒輪的中心，錐齒輪每分鐘在支座齒輪上滾動鐘在支座齒輪上滾動5次。如果支座齒輪的半徑是錐齒輪半徑次。如果支座齒輪的半徑是錐齒輪半徑的的2倍，即倍，即r=2r，試求錐齒輪繞其自身軸轉動的角速度，試求錐齒

16、輪繞其自身軸轉動的角速度1和繞和繞瞬軸的角速度瞬軸的角速度2。圓錐繞圓錐繞o點作定點運動點作定點運動繞鉛垂繞鉛垂軸的進動角速度軸的進動角速度繞繞對稱軸的自轉角速度對稱軸的自轉角速度圓錐的絕對角速度圓錐的絕對角速度 5 21(/ )606rad szz11(/ )sin303rad s23ctg30(/ )6rad sbuaa22習習 題題 課課6-12：圖示陀螺以勻角速度圖示陀螺以勻角速度1繞繞ob軸轉動，而軸軸轉動，而軸ob又勻速又勻速地畫出一圓錐。如果陀螺中心軸地畫出一圓錐。如果陀螺中心軸ob的轉速為的轉速為n，bos= const，試求陀螺的角速度和角加速度。，試求陀螺的角速度和角加速度

17、。圓錐繞圓錐繞o點作定點運動點作定點運動繞鉛垂繞鉛垂軸軸os的進動角速度的進動角速度繞繞ob軸的自轉角速度軸的自轉角速度陀螺的絕對角速度陀螺的絕對角速度 2(/ )6030nnrad s1 = 1kk30nxyzz111ksinj30dddndtdtdt buaa23習習 題題 課課6-14：如圖所示，汽輪機的轉子可看成是均質圓盤，質量如圖所示，汽輪機的轉子可看成是均質圓盤，質量m= 22.7kg，半徑，半徑r=0.305m，繞自轉軸的轉速，繞自轉軸的轉速n=10000r/min。兩軸。兩軸承承a和和b間的距離間的距離l=0.61m，汽輪機繞軸，汽輪機繞軸x的角速度的角速度=2rad/s。試求

18、轉子的陀螺力矩以及它在軸承試求轉子的陀螺力矩以及它在軸承a和和b上引起的動壓力。上引起的動壓力。 汽輪機轉子自轉角速度汽輪機轉子自轉角速度 1)/(2 .10476021sradn進動角速度進動角速度 )/(2sradm1rzj方向沿方向沿y軸負向軸負向 )(22112190sin20mnmrjm11zr)(63. 3knlmffrba動壓力動壓力 buaa24習習 題題 課課6-15：圖示玩具陀螺對自轉軸圖示玩具陀螺對自轉軸z的回轉半徑的回轉半徑=0.02m，重心，重心c到支點到支點o的距離的距離l=0.09m。假設陀螺在自轉速。假設陀螺在自轉速n=1500r/min的的條件下繞鉛直軸條件下

19、繞鉛直軸o作規(guī)則進動，且角度作規(guī)則進動，且角度=20o，試求進動角速，試求進動角速度。度。玩具陀螺繞玩具陀螺繞o點作定點運動點作定點運動繞鉛垂繞鉛垂軸軸o的進動角速度的進動角速度繞繞oc軸的自轉角速度軸的自轉角速度玩具陀螺的絕對角速度玩具陀螺的絕對角速度 250 (/ )60nrad s zjgm陀螺力矩陀螺力矩250singmmsinommgl214.18(/ )50glrad sbuaa25習習 題題 課課6-17：圖示長方形框架重圖示長方形框架重180n，繞水平軸，繞水平軸ab以角速度以角速度=2 rad/s轉動。在框架軸承轉動。在框架軸承c和和d上安裝重上安裝重120n的飛輪的飛輪m的

20、轉軸，的轉軸，飛輪的轉速飛輪的轉速n=1800r/min。當框架在鉛垂平面內時，試求軸承。當框架在鉛垂平面內時，試求軸承c和和d上的陀螺力，以及軸承上的陀螺力，以及軸承a和和b上的全壓力。飛輪對自轉軸上的全壓力。飛輪對自轉軸cd的回轉半徑為的回轉半徑為10cm，cd=30cm，l=30cm。 飛輪繞質點作定點運動飛輪繞質點作定點運動繞繞ab的進動角速度的進動角速度繞繞cd軸的自轉角速度軸的自轉角速度飛輪的絕對角速度飛輪的絕對角速度 260 (/ )60nrad s2 (/ )rad s zjgm260145()gmmn mbuaa26習習 題題 課課以框架和飛輪為研究對象以框架和飛輪為研究對象

21、求陀螺力求陀螺力fc，fd0cdff質心運動定理質心運動定理動靜法動靜法1()1452cdgffcdm483()cdffn以整體為研究對象求以整體為研究對象求a、b處全反力處全反力12abffggg1為飛輪重力，為飛輪重力，g2為框架重力為框架重力質心運動定理質心運動定理動靜法動靜法2abglffm（）91.67()afn391.67()bfnbuaa276-2 6-2 歐拉動力學方程歐拉動力學方程問題問題 : 作定軸轉動剛體的動量守恒、動能守恒，則對質心的作定軸轉動剛體的動量守恒、動能守恒，則對質心的動量矩：動量矩： 。a： 一定守恒；一定守恒； b：一定不守恒；：一定不守恒； c：不一定守

22、恒。：不一定守恒。xcab x yy x y ol) sincos(12122jilabmc) sincos(ji kjilzzyyxxcjjj22121,121majmbjyx222212121zczycyxcxjjjt)sincos(241222222abmtbuaa28習習 題題 課課0lxokm例：例：求下列單自由度系統(tǒng)振動的固有頻率求下列單自由度系統(tǒng)振動的固有頻率0 kxxm 0 xmkx mk0光滑光滑0lxokm純滾動純滾動023 kxxm 032xmkx mk320buaa29習習 題題 課課7-25：圖示半徑為圖示半徑為r的半圓柱體，在水平面上只滾動不滑動，已的半圓柱體，在水平面上只滾動不滑動，已知該圓柱體對通過質心知該圓柱體對通過質心c且平行于半圓柱體母線的軸的回轉半徑且平行于半圓柱體母線的軸的回轉半徑為為，又，又oc=a。試求半圓柱體作微小擺動的頻率。試求半圓柱體作微小擺動的頻率。應用拉格朗日方程建立運動微分方程應用拉格朗日方程建立運動微分方程2222222112211 2cos22cctmvjm ararm cosvmg ra22221 2coscos2ltvm ararmg ra buaa30習習 題題 課課222212coscos2l