2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步13.3.2空間圖形的體積課時素養(yǎng)評價含解析蘇教版必修第二冊

1、課時素養(yǎng)評價 三十四空間圖形的體積 (20分鐘35分)1.一個正方體表面積與一個球表面積相等,那么它們的體積比是()a.b.c.d.【解析】選a.設(shè)a為正方體的棱長,r為球的半徑,由6a2=4r2得,=,所以=.2.如圖,abc-abc是體積為1的棱柱,則四棱錐c-aabb的體積是()a.b.c.d.【解析】選c.因為vc-abc=v柱=,所以vc-aabb=1-=.3.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為_.【解析】設(shè)正方體棱長為a,則a3=8,所以a=2.所以正方體的體對角線長為2,所以正方體外接球的半徑為,所以球的表面積為4()2=12.答案:124.半徑為2的半圓卷成

2、一個圓錐,則它的體積為_.【解析】由題意可知該圓錐的側(cè)面展開圖為半圓,如圖所示,設(shè)圓錐底面半徑為r,高為h,則所以所以它的體積為12=.答案:5.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm的水,若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒最上面的球(如圖所示),則球的半徑是_cm.【解析】設(shè)球的半徑為x cm,由題意得x28=x26x-x33,解得x=4.答案:46.在四棱錐s-abcd中,底面abcd是邊長為3的正方形,且各側(cè)棱長均為2.求該四棱錐外接球的表面積.【解析】取正方形abcd的中心o1,連接so1并延長交球面于點e.連接co1,ce,如圖.則球心o在se上,即se為球的直

3、徑,且scec.因為ab=3,所以o1c=3.在rtso1c中,sc=2,所以so1=.在rtsce中,rtscertso1c,所以se=4.所以球半徑r=2.所以球的表面積為s=4r2=4(2)2=48. (30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.設(shè)正六棱錐的底面邊長為1,側(cè)棱長為,那么它的體積為()a.6b.c.2d.2【解析】選b.由正六棱錐底面邊長為1和側(cè)棱長為,可知高h=2,又因為底面積s=,所以體積v=sh=2=.2.九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖

4、,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()a.14斛b.22斛c.36斛d.66斛【解析】選b.設(shè)底面圓半徑為r尺.因為米堆底部弧長為8尺,所以2r=8,所以r=.所以體積v=r25=5.因為3,所以v(立方尺).所以堆放的米約為22(斛).3.已知一個表面積為24的正方體,假設(shè)有一個與該正方體每條棱都相切的球,則此球的體積為()a.b.4c.d.【解析】選d.設(shè)正方體的棱長為a,則6a2=24,解得a=2.又球與正方體的每條棱都相切,則正方體的面對角線長為2,等

5、于球的直徑長,所以球的半徑長是,所以此球的體積為()3=.4.正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為()a.3b.c.d.1【解析】選b.如圖所示,由圖可知,該幾何體由兩個四棱錐構(gòu)成,并且這兩個四棱錐體積相等.四棱錐的底面為正方形,且邊長為,故底面積為()2=2;四棱錐的高為1,故四棱錐的體積為21=.則幾何體的體積為2=.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.已知棱長都相等的正三棱錐內(nèi)接于一個球,某學(xué)生畫出四個過球心的平面截球與正三棱錐所得的圖形,如圖所示,則正確的是()【解析】選abc.正三棱錐內(nèi)接于球,故其各個頂點均

6、在球面上,若過球心的截面恰好截得三棱錐的面為三角形,則根據(jù)其頂點是否在截面上,有如下討論:當(dāng)用過球心且平行于三棱錐某底面的平面去截球時,三個點都不在截面上,則截面近似a;當(dāng)截面是過球心和三棱錐兩個頂點的平面時,它交對棱于中點,中點不在球上,也就不在截面上,則截面近似b;當(dāng)截面是過三棱錐一頂點和球心的平面時,截得的面除了b的情況外,大都是c的情況,即另兩點不在球(截面)上;當(dāng)三棱錐的三個頂點都在截面上時,截面不過球心,與題意矛盾.綜上可知,只有d是錯誤的.6.正三棱錐s-abc的外接球半徑為2,底面邊長ab=3,則此棱錐的體積可能是()a.b.c.d.3【解析】選ab.設(shè)正三棱錐的高為h,球心在

7、正三棱錐的高所在的直線上,設(shè)h為正三棱錐底面的中心.因為底面邊長ab=3,所以ah=ad=,當(dāng)頂點s與球心在底面abc的同側(cè)時,如圖,有ah2+oh2=oa2,即+(h-2)2=22,解得h=3或h=1(舍去),所以三棱錐的體積為33=.當(dāng)頂點s與球心在底面abc的異側(cè)時,如圖,有ah2+oh2=oa2,即+(2-h)2=22,解得h=1或h=3(舍去),所以三棱錐的體積為31=,綜上三棱錐的體積為或.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖,一個正三棱柱容器,底面邊長為a,高為2a,內(nèi)裝水若干,將容器放倒,把一個側(cè)面作為底面,如圖,這時水面恰好為中截面,則圖中容器內(nèi)水面的高度是_.【解析】

8、設(shè)題圖中容器內(nèi)水面的高度為h,水的體積為v,則v=sabch.又題圖中水組成了一個直四棱柱,其底面積為sabc,高度為2a,則v=sabc2a,所以h=a.答案:a8.湖面上漂著一個小球,湖水結(jié)冰后將球取出,冰面上留下了一個直徑為6 cm,深為1 cm的空穴,則該球半徑是_cm,表面積是_cm2.【解析】設(shè)球心為o,oc是與冰面垂直的一條半徑,冰面截球得到的小圓圓心為d,ab為小圓d的一條直徑,設(shè)球的半徑為r cm,則od=r-1,則(r-1)2+32=r2,解得r=5,所以該球表面積為s=4r2=452=100(cm2).答案:5100四、解答題(每小題10分,共20分)9.若一個底面邊長為

9、,側(cè)棱長為的正六棱柱的所有頂點都在一個球面上,求該球的體積和表面積.【解析】在底面正六邊形abcdef中,連接be,ad交于o,連接be1,則be=2oe=2de=,在rtbee1中,be1=2,所以球的直徑2r=2,則r=,所以球的體積為v球=r3=4,球的表面積s球=4r2=12.10.如圖所示,半徑為r的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑ab所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體,求陰影部分形成的幾何體的表面積(其中bac=30)及其體積.【解析】如圖所示,過點c作co1ab于點o1,在半圓中可得bca=90,bac=30,ab=2r,所以ac=r,bc=r,co1=r,所以s球=4r2,=rr=r2,=rr=r2,s幾何體表=s球+=r2,所以旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為r2.又v球=r3,=ao1c=r2ao1,=bo1c=r2bo1,又ao1+bo1=2r,v幾何體=v球-(+)=r3.如圖所示,為了制作一個圓柱形燈籠,先要制作4個全等的矩形骨架,總計耗用9.6 m鐵絲,再用s平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面).當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時