電磁感應(yīng)中的雙金屬棒運(yùn)動(dòng)分析

1、【電磁感應(yīng)中的雙金屬棒運(yùn)動(dòng)分析】一、兩棒都只在安培力作用下運(yùn)動(dòng)的雙金屬棒問題。1、兩根足夠長的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為l。導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒a和b，構(gòu)成矩形回路，如圖1所示兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量皆為m，電阻皆為r，回路中其余部分的電阻可不計(jì)在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為b設(shè)兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無摩擦地滑行開始時(shí)，棒b靜止，棒a有指向棒b的初速度v0若兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)中始終不接觸，求：（1）在運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的焦耳熱最多是多少（2）當(dāng)a棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時(shí)，b棒的加速度是多少？分析：（1）a、b兩棒產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)和受力情況如圖2所示。a、b兩棒分別在安

2、培力作用下做變減速運(yùn)動(dòng)和變加速運(yùn)動(dòng)，最終達(dá)到共同速度，開始勻速運(yùn)動(dòng)。由于安培力是變化的，故不能用功能關(guān)系求焦耳熱；由于電流是變化的，故也不能用焦耳定律求解。在從初始至兩棒達(dá)到速度相同的過程中，由于兩棒所受安培力等大反向，故總動(dòng)量守恒，有根據(jù)能量守恒，整個(gè)過程中產(chǎn)生的總熱量（2）設(shè)a棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時(shí)，b棒的速度為v1，則由動(dòng)量守恒可知由于兩棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向相同，所以回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，感應(yīng)電流為 此時(shí)棒所受的安培力 ，所以b棒的加速度為 由以上各式，可得圖13-4-82、如圖13-4-8所示，光滑弧形軌道在mn、pq與光滑水平平行金屬導(dǎo)軌相切，兩軌道在結(jié)合處光滑且極易分離，平行

3、金屬導(dǎo)軌在mn左側(cè)、pq右側(cè)足夠長。金屬桿a和b在離地h=20cm高處同時(shí)從靜止開始沿相同的光滑弧型軌道下滑，金屬桿a和b進(jìn)入水平軌道的同時(shí)，在整個(gè)水平平行金屬導(dǎo)軌上加上豎直向上的勻強(qiáng)磁場，而后兩弧形軌道立即撤離。已知kg，kg，兩金屬桿的電阻分別為，；b=2t，導(dǎo)軌寬度為l=10cm，導(dǎo)軌mn、pq之間水平部分足夠長（a和b不相撞），試求：（1）a和b的最終速度分別是多大？（2）整個(gè)過程中回路釋放的電能是多少？（3）若導(dǎo)軌電阻不計(jì)，整個(gè)過程中a和b上產(chǎn)生的熱量分別是多少？解析：（）a和b下滑過程由機(jī)械能守恒a和b在安培力作用下達(dá)到共同速度過程中，選向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒有代入數(shù)據(jù)解得m/

4、s(2)根據(jù)能量守恒有帶入數(shù)據(jù)解得(3)a和b構(gòu)成串聯(lián)電路，電流相等，a和b上產(chǎn)生的熱量跟它們的電阻成正比。則 帶入數(shù)據(jù)解得j j二、兩棒除受安培力外，還受拉力f作用的雙金屬棒問題。1、如圖3所示，兩根平行的金屬導(dǎo)軌，固定在同一水平面上，磁感應(yīng)強(qiáng)度b=0.50t的勻強(qiáng)磁場與導(dǎo)軌所在平面垂直，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌間的距離l=0.20m。兩根質(zhì)量均為m=0.10kg的金屬桿甲、乙可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動(dòng)，滑動(dòng)過程中與導(dǎo)軌保持垂直，每根金屬桿的為電阻r=0.50，在t=0時(shí)刻，兩桿都處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)有一與導(dǎo)軌平行，大小為0.20n的力f作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導(dǎo)軌上滑動(dòng)。（1）分析說明金屬桿最終

5、的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？（2）已知當(dāng)經(jīng)過t=5.0s時(shí)，金屬桿甲的加速度a=1.37m/s，求此時(shí)兩金屬桿的速度各為多少？分析：（1）甲、乙產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)和受力情況如圖4所示。由于開始甲速度大于乙的速度，所以甲桿產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)大，電流沿逆時(shí)針方向。隨著電流增大，安培力增大，甲的加速度減小，乙的加速度增大，當(dāng)二者加速度相同時(shí)，兩棒的速度差不在改變，電流恒定，這樣甲、乙最終以相同的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)，而例1中兩棒最終做勻速運(yùn)動(dòng)。（2）由以上分析知，回路中產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)為回路中的電流 對(duì)甲桿，由牛頓第二定律得 注意與例1不同，由于甲桿受到拉力f作用，所以系統(tǒng)動(dòng)量不守恒。因?yàn)樽饔糜跅U甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，

6、所以兩桿的動(dòng)量變化等于拉力f的沖量，即聯(lián)立以上各式解得 三、兩棒分別在在不同寬度的導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的雙金屬棒問題。1、如圖5所示，足夠長的光滑平行導(dǎo)軌水平放置，電阻不計(jì)，mn部分的寬度為2l，pq部分的寬度為l，金屬棒a和b的質(zhì)量分別為2m和m，a和b分別垂直放置在mn和pq上且相距足夠遠(yuǎn)，整個(gè)裝置處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為b。開始時(shí)a棒向右運(yùn)動(dòng)，速度為v0，b棒靜止，兩棒運(yùn)動(dòng)時(shí)始終保持平行且a總在mn上運(yùn)動(dòng)，b總在pq上運(yùn)動(dòng)。求a、b最終的速度。分析：a、b棒產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)和受力情況如圖6所示。由于兩棒長度不同，所以所受安培力大小不等，系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，這是與例1的重要區(qū)別，解題時(shí)要引起特別

7、注意。兩棒運(yùn)動(dòng)情況與例1相同，最終速度相同，做勻速運(yùn)動(dòng)。所以最終時(shí)電流為0，兩棒電動(dòng)勢(shì)相等，即從開始到剛勻速運(yùn)動(dòng)的過程中，對(duì)a、b分別由動(dòng)量定理得又任意時(shí)刻，兩棒所受安培力均為2倍關(guān)系，所以有解以上方程可得，fa1b1c1d1x1y1a2b2c2d2y22、圖中a1b1c1d1和a2b2c2d2為在同一豎直面內(nèi)的金屬導(dǎo)軌，處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為b的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直導(dǎo)軌所在的平面(紙面)向里。導(dǎo)軌的a1b1段與a2b2段是豎直的，距離為l1；c1d1段與c2d2段也是豎直的，距離為l2。x1y1與x2y2為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細(xì)桿，質(zhì)量分別為m1和m2，它們都垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌保

8、持光滑接觸。兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的總電阻為r。f為作用于金屬桿x1y1上的豎直向上的恒力。已知兩桿運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，已勻速向上運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率。解析：設(shè)桿向上運(yùn)動(dòng)的速度為v，因桿的運(yùn)動(dòng)，兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的面積減少，從而磁通量也減少。由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為： 回路中的電流 電流沿順時(shí)針方向。兩金屬桿都要受到安培力作用，作用于桿的安培力為 方向向上，作用于桿的安培力 方向向下。當(dāng)桿作為勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有 解以上各式，得 作用于兩桿的重力的功率的大小 電阻上的熱功率 由、式，可得 3、如圖所示光滑平行金屬軌道abc

9、d，軌道的水平部分bcd處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，bc部分平行導(dǎo)軌寬度是cd部分的2倍，軌道足夠長。將質(zhì)量相同的金屬棒p和q分別置于軌道的ab段和cd段。p棒位于距水平軌道高為h的地方，放開p棒，使其自由下滑，求p棒和q棒的最終速度。解析設(shè)p，q棒的質(zhì)量為m，長度分別為2l和l， p棒進(jìn)入水平軌道的速度為v0，對(duì)于p棒，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律得mgh=1/2 mv02； v0=；當(dāng)p棒進(jìn)入水平軌道后，切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流。p棒受到安培力作用而減速，q棒受到安培力而加速，q棒運(yùn)動(dòng)后也將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，與p棒感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)反向，因此回路中的電流將減小。最終達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，回路的電流為零，所以ep=eq，

10、即2blvp=blvq；2vp=vq再設(shè)：磁感強(qiáng)度為b，p棒從進(jìn)入水平軌道開始到速度穩(wěn)定所用的時(shí)間為t，p，q受到的平均作用力分別為p和q；對(duì)p、q分別應(yīng)用動(dòng)量定理得： pt=m（vp-v0）；qt=m（vq-0）而p=2q vp=；vq =四、兩棒通過細(xì)線或桿連接的雙金屬棒問題。1、如圖7所示，兩金屬桿ab和cd長度均為l電阻均為r，質(zhì)量分別為m和m，m大于m。用兩根質(zhì)量和電阻均可忽略的不可伸長的柔軟導(dǎo)線將它們連成閉合電路，并懸掛在水平、光滑、不導(dǎo)電的圓棒兩側(cè)。兩金屬桿都處在水平位置。整個(gè)裝置處在與回路平面垂直的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為b。若金屬桿ab正好勻速向下運(yùn)動(dòng)，求其運(yùn)動(dòng)的速度。分析：

11、由于兩棒通過細(xì)線連接，所以兩棒速度大小總是相等，這是連接體的一個(gè)特點(diǎn)。即由于兩棒向相反方向運(yùn)動(dòng)，所以產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)相反，相當(dāng)于兩電源串聯(lián)（如圖8所示），這是與以上題目的一個(gè)區(qū)別。回路產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為產(chǎn)生感應(yīng)電流方向沿abdc方向，大小為 注意分析兩棒受力如圖8所示，兩安培力大小相等對(duì)ab桿有 對(duì)cd桿有解得 2、如圖所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為b、方向垂直向上的勻強(qiáng)磁場中，有一上、下兩層均與水平面平行的“u”型光滑金屬導(dǎo)軌，在導(dǎo)軌面上各放一根完全相同的質(zhì)量為m的勻質(zhì)金屬桿a1和a2，開始時(shí)兩根金屬桿位于同一豎直平面內(nèi)且桿與軌道垂直。設(shè)兩導(dǎo)軌面相距為h，導(dǎo)軌寬為l，導(dǎo)軌足夠長且電阻不計(jì)，金屬桿單位長度的

12、電阻為r?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m/2的不帶電小球以水平向右的速度v0撞擊桿a1的中點(diǎn)，撞擊后小球反彈落到下層面上的c點(diǎn)。c點(diǎn)與桿a2初始位置相距為s。求：（1）回路內(nèi)感應(yīng)電流的最大值；（2）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中感應(yīng)電流最多產(chǎn)生了多少熱量；（3）當(dāng)桿a2與桿a1的速度比為1：3時(shí)，a2受到的安培力大小。解析：（1）小球撞擊桿瞬間系統(tǒng)動(dòng)量守恒，之后做平拋運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球碰后速度大小為v1，桿獲得速度大小為v2，則，a1桿向右做減速運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，a2桿向右加速運(yùn)動(dòng)，直至速度相等，然后做勻速運(yùn)動(dòng)，故其最大電動(dòng)勢(shì)是小球和桿碰后瞬間，則，最大電流，則（2）兩金屬棒在磁場中運(yùn)動(dòng)始終滿足動(dòng)量守恒定律，兩桿最終速度相同，設(shè)為v，據(jù)動(dòng)

13、量守恒定律有：，又據(jù)能量守恒定律有：聯(lián)立以上各式可得：（3）設(shè)桿a2、a1的速度大小分別為v和3v，由于兩桿組成的系統(tǒng)動(dòng)量始終守恒，則有：此時(shí)回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：，則，安培力，聯(lián)立可得：3如圖所示，兩根足夠長且平行的光滑金屬導(dǎo)軌與水平面成53固定放置，導(dǎo)軌間連接一阻值為4的電阻r，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)。在兩平行虛線l1、l2間有一與導(dǎo)軌所在平面垂直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為b的勻強(qiáng)磁場，磁場區(qū)域的寬度為d=0.5m。導(dǎo)體棒a的質(zhì)量為ma=0.6kg，電阻ra=4；導(dǎo)體棒b的質(zhì)量為mb=0.2kg，電阻rb=12；它們分別垂直導(dǎo)軌放置并始終與導(dǎo)軌接觸良好?，F(xiàn)從圖中的m、n處同時(shí)將它們由靜止開始釋放，運(yùn)動(dòng)過

14、程中它們都能勻速穿過磁場區(qū)域，當(dāng)b剛穿出磁場時(shí)，a正好進(jìn)入磁場（g取10ms2，sin53=0.8，且不計(jì)a、b之間電流的相互作用）。求：（1）在整個(gè)過程中，a、b兩導(dǎo)體棒分別克服安培力做的功；（2）在a穿越磁場的過程中，a、b兩導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的焦耳熱之比；（3）在穿越磁場的過程中，a、b兩導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小之比；（4）m點(diǎn)和n點(diǎn)之間的距離。（1），j （2分） 同理j （2分）（2）在a穿越磁場的過程中，a是電源，b與r是外電路，（1分），（1分），（2分）（3）設(shè)b在磁場中勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小為vb，則b中的電流電路的總電阻r總1=14由以上兩式得：（1分）同理a棒在磁場中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)r總

15、2=7（1分），可得va：vb=3:2（2分） （4）由題意得：（1分），d=vbt（1分）因?yàn)椋?分）可得m點(diǎn)、n點(diǎn)到l1的距離分別為sa=9/8m，sb=1/2msmn=5/8m（1分）4如圖所示，電阻忽略不計(jì)的、兩根兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌豎直放置，其上端接一阻值為的定值電阻r。在水平虛線l1、l2間有一與導(dǎo)軌所在平面垂直的勻強(qiáng)磁場b，磁場區(qū)域的高度為d=05m。導(dǎo)體棒a的質(zhì)量ma=02kg、電阻ra=3；導(dǎo)體棒b的質(zhì)量mb=01kg、電阻rb=6，它們分別從圖中m、n處同時(shí)由靜止開始在導(dǎo)軌上無摩擦向下滑動(dòng)，且都能勻速穿過磁場區(qū)域，當(dāng)b 剛穿出磁場時(shí)a正好進(jìn)入磁場 設(shè)重力加速度為g=10m/

16、s2。（不計(jì)a、b之間的作用）求：（1）在整個(gè)過程中，a、b兩棒克服安培力分別做的功；（2）m點(diǎn)和n點(diǎn)距l(xiāng)1的高度。5如圖所示，電阻不計(jì)的兩光滑金屬導(dǎo)軌相距l(xiāng)，放在水平絕緣桌面上，半徑為r的l/4圓弧部分處在豎直平面內(nèi)，水平直導(dǎo)軌部分處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為b，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，末端與桌面邊緣平齊。兩金屬棒ab、cd垂直于兩導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好。棒ab質(zhì)量為2 m，電阻為r，棒cd的質(zhì)量為m，電阻為r。重力加速度為g。開始時(shí)棒cd靜止在水平直導(dǎo)軌上，棒ab從圓弧頂端無初速度釋放，進(jìn)入水平直導(dǎo)軌后與棒cd始終沒有接觸并一直向右運(yùn)動(dòng)，最后兩棒都離開導(dǎo)軌落到地面上。棒ab與棒cd落地點(diǎn)到桌面邊緣的水平距離之比為1:3。求： （1）棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌時(shí)的速度大??； （2）棒cd在水平導(dǎo)軌上的最大加速度； （3）兩棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱。6如圖所示，固定于水平桌面上足夠長的兩平行導(dǎo)軌po、mn，pq、mn的電阻不計(jì)，間距為d=0.5m.p、m兩端接有一只理想電壓表，整個(gè)裝置處于豎直向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度b=0.2t的勻強(qiáng)磁場中.電阻均為r=0.1，質(zhì)量分別為m1=300g和m2=5