薄透鏡的成像公式和放大率

1、1-41-4 薄透鏡的成像公式和放大率薄透鏡的成像公式和放大率一、薄透鏡（一、薄透鏡（thin lens）成像）成像 薄透鏡是最簡單的共軸球面系統(tǒng)，它由薄透鏡是最簡單的共軸球面系統(tǒng)，它由兩個(gè)單球面組成。兩球面之間的間距兩個(gè)單球面組成。兩球面之間的間距 d 比比兩折射球面的曲率半徑兩折射球面的曲率半徑 r1、 r2 小很多。小很多。 當(dāng)當(dāng) d 0時(shí)，兩球面頂點(diǎn)重合為一點(diǎn)，時(shí)，兩球面頂點(diǎn)重合為一點(diǎn)，稱為稱為光心（光心（optical center） 薄透鏡分為凸透鏡和凹透鏡。薄透鏡分為凸透鏡和凹透鏡。 凸透鏡的中央厚度大于邊緣部分，有凸透鏡的中央厚度大于邊緣部分，有雙凸、平凸、彎凸；凹透鏡的邊緣厚

2、度大雙凸、平凸、彎凸；凹透鏡的邊緣厚度大于中央部分，有雙凹、平凹、彎凹。于中央部分，有雙凹、平凹、彎凹。對(duì)第一折射面對(duì)第一折射面11111111rnnpnpn對(duì)第二折射面對(duì)第二折射面22222222rnnpnpn21pp 21nn 211122pnpnpnpn薄透鏡成像公式薄透鏡成像公式pnpnnfpp時(shí)，當(dāng)f為薄透鏡的像方焦距為薄透鏡的像方焦距nfpp時(shí)，當(dāng)f 為薄透鏡的物方焦距為薄透鏡的物方焦距薄透鏡的高斯公式：薄透鏡的高斯公式：1pfpf薄透鏡的垂軸放大率和角放大率薄透鏡的垂軸放大率和角放大率pnpnhh1nn 若薄透鏡處于空氣中，則若薄透鏡處于空氣中，則 n = n= 1，設(shè)薄，設(shè)薄透

3、鏡材料的折射率為透鏡材料的折射率為 nl，兩球面的曲率半徑，兩球面的曲率半徑為為 r1 、r2，則可得，則可得11111rnnrnnl22222rnnrnnl)/1/1)(1(21rrnl1pfpf薄透鏡的高斯公式：薄透鏡的高斯公式：fpp111)/1/1)(1(121rrnffl透鏡制造者公式（透鏡制造者公式（lens-maker，s formula）) 1(11)1(112121rnrdnrrnffll二、薄透鏡成像作圖法二、薄透鏡成像作圖法 根據(jù)焦點(diǎn)和光心的特征，對(duì)于一個(gè)發(fā)光物根據(jù)焦點(diǎn)和光心的特征，對(duì)于一個(gè)發(fā)光物點(diǎn)可找到點(diǎn)可找到三條典型光線三條典型光線。 （1）過物方焦點(diǎn)的入射光，其折射

4、光線）過物方焦點(diǎn)的入射光，其折射光線平行于主光軸。平行于主光軸。 （2）平行于主光軸的入射光，其折射光線）平行于主光軸的入射光，其折射光線過像方焦點(diǎn)。過像方焦點(diǎn)。 （3）過光心的入射光線，其折射光線不）過光心的入射光線，其折射光線不發(fā)生偏折。發(fā)生偏折。 薄透鏡可近似為許多不同頂角的棱鏡組成，薄透鏡可近似為許多不同頂角的棱鏡組成，由薄透鏡兩邊向中心，棱鏡頂角越小，中心部由薄透鏡兩邊向中心，棱鏡頂角越小，中心部分相當(dāng)于頂角為零，相當(dāng)于一塊平面平行板。分相當(dāng)于頂角為零，相當(dāng)于一塊平面平行板。作圖法：作圖法：（1）求某一入射光線時(shí)，首先看是否為三條）求某一入射光線時(shí)，首先看是否為三條典型光線中的一條。

5、典型光線中的一條。（2）若不是典型光線，則添加一條輔助光線）若不是典型光線，則添加一條輔助光線（3）輔助光線應(yīng)是典型光線，且與入射光線）輔助光線應(yīng)是典型光線，且與入射光線有關(guān)。有關(guān)。 若入射的平行光線不平行于光軸，則經(jīng)若入射的平行光線不平行于光軸，則經(jīng)薄透鏡后會(huì)會(huì)聚于像方焦平面上一點(diǎn)。薄透鏡后會(huì)會(huì)聚于像方焦平面上一點(diǎn)。 從物方焦平面上一點(diǎn)發(fā)出的所有光線，從物方焦平面上一點(diǎn)發(fā)出的所有光線，經(jīng)薄透鏡后也出射平行光，但它們不平行于經(jīng)薄透鏡后也出射平行光，但它們不平行于光軸，而平行于過焦平面上該點(diǎn)與光心的連光軸，而平行于過焦平面上該點(diǎn)與光心的連線。線。ffofmqnf例題：已知入射光線求出射光線例題：

6、已知入射光線求出射光線smofmnfq已知物點(diǎn)求像點(diǎn)已知物點(diǎn)求像點(diǎn)offsnsmofnmss1-1-5 共軸球面系統(tǒng)共軸球面系統(tǒng)一、共軸球面系統(tǒng)的逐次成像一、共軸球面系統(tǒng)的逐次成像 由由 k 個(gè)折射球面組成一共軸球面系統(tǒng)，個(gè)折射球面組成一共軸球面系統(tǒng)，物體物體 sq 經(jīng)過這個(gè)光學(xué)系統(tǒng)所成的像為經(jīng)過這個(gè)光學(xué)系統(tǒng)所成的像為 skqk對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) k 個(gè)球面，可得個(gè)球面，可得 k 個(gè)物像距公式個(gè)物像距公式1111111rnnpnpnkkkkkkkrnnpnpn兩相鄰球面頂點(diǎn)的距離為兩相鄰球面頂點(diǎn)的距離為2112ppd3223ppdkkkkppd1, 1垂軸放大率為垂軸放大率為1/ hhk21hh 32h

7、h kkkkhhhhhhhhhh3213213211kkkkhhhhhhhhhh3213213211 系統(tǒng)總的垂軸放大率為各單球面的垂系統(tǒng)總的垂軸放大率為各單球面的垂軸放大率之乘積。軸放大率之乘積。拉格朗日拉格朗日亥姆霍茲恒等式亥姆霍茲恒等式kkkhnhnhnhn222111111例：惠更斯目鏡例：惠更斯目鏡 由兩個(gè)凸透鏡由兩個(gè)凸透鏡 l1 l2組成，用逐次成像組成，用逐次成像法求像位置。法求像位置。已知：已知：adafaf2,321物點(diǎn)物點(diǎn) q 位于位于l1前前a處處解：解：- p1= a ，代入第一個(gè)透鏡的高斯公式代入第一個(gè)透鏡的高斯公式1331aapaaap5 . 1231得得同理對(duì)于第

8、二個(gè)透鏡，有同理對(duì)于第二個(gè)透鏡，有12)2/3(2aaapaaap4 . 15/72 例題：凸透鏡焦距為例題：凸透鏡焦距為10厘米，凹透鏡焦距厘米，凹透鏡焦距為為4厘米，兩個(gè)透鏡相距厘米，兩個(gè)透鏡相距12厘米。已知物在凸厘米。已知物在凸透鏡左方透鏡左方20厘米處，計(jì)算像的位置和橫向放大厘米處，計(jì)算像的位置和橫向放大率并作圖。率并作圖。f1pqpqpqo1o2f2解：利用高斯公式兩次成像解：利用高斯公式兩次成像 第一次第一次 pq成像：成像：cmfcmp10,2011111111fpp1pfpf得得cmp2011111ppcmfcmp4,8122022（虛物）222111fpp得得)(82虛象c

9、mp1222pp第二次第二次 pq成像：成像：121二、共軸系統(tǒng)的基點(diǎn)和基面二、共軸系統(tǒng)的基點(diǎn)和基面 1841年高斯提出共軸系統(tǒng)的一般理論：年高斯提出共軸系統(tǒng)的一般理論：在理想共軸系統(tǒng)中，物方的任一點(diǎn)都和像方的在理想共軸系統(tǒng)中，物方的任一點(diǎn)都和像方的一點(diǎn)共軛。同樣，相應(yīng)于物方的每一條直線或一點(diǎn)共軛。同樣，相應(yīng)于物方的每一條直線或每一個(gè)平面，在像方都應(yīng)有一條共軛直線或一每一個(gè)平面，在像方都應(yīng)有一條共軛直線或一個(gè)共軛平面。個(gè)共軛平面。 這樣共軸系統(tǒng)就成了點(diǎn)與點(diǎn)、直線與直這樣共軸系統(tǒng)就成了點(diǎn)與點(diǎn)、直線與直線以及平面與平面之間的共軛關(guān)系的純幾何理線以及平面與平面之間的共軛關(guān)系的純幾何理論。利用基點(diǎn)與基

10、面，可描述共軸系統(tǒng)的基本論。利用基點(diǎn)與基面，可描述共軸系統(tǒng)的基本光學(xué)特性。光學(xué)特性?；c(diǎn)與基面：主焦點(diǎn)與焦平面；主點(diǎn)與主平面基點(diǎn)與基面：主焦點(diǎn)與焦平面；主點(diǎn)與主平面（1）主焦點(diǎn)與焦平面）主焦點(diǎn)與焦平面 與無窮遠(yuǎn)處的像平面共軛的物平面為物與無窮遠(yuǎn)處的像平面共軛的物平面為物方焦平面。物方焦平面與主光軸的交點(diǎn)為物方焦平面。物方焦平面與主光軸的交點(diǎn)為物方主焦點(diǎn)，記為方主焦點(diǎn)，記為 f。 與無窮遠(yuǎn)處的物平面共軛的像平面為像與無窮遠(yuǎn)處的物平面共軛的像平面為像方焦平面。像方焦平面與主光軸的交點(diǎn)為像方焦平面。像方焦平面與主光軸的交點(diǎn)為像方主焦點(diǎn)，記為方主焦點(diǎn)，記為 f。（2）主點(diǎn)（）主點(diǎn)（principal

11、point）與主平面）與主平面 共軸系統(tǒng)中存在一對(duì)共軛面，面上任一共軸系統(tǒng)中存在一對(duì)共軛面，面上任一對(duì)共軛點(diǎn)到主光軸的距離相等。（對(duì)共軛點(diǎn)到主光軸的距離相等。（=1） 這對(duì)共軛面為系統(tǒng)的這對(duì)共軛面為系統(tǒng)的主平面（主平面（principal plane）。物方主平面記為。物方主平面記為 h ；像方主平面；像方主平面記為記為 h 這對(duì)共軛點(diǎn)為這對(duì)共軛點(diǎn)為主點(diǎn)主點(diǎn)。物方主平面與主光。物方主平面與主光軸的交點(diǎn)為物方主點(diǎn)，記為軸的交點(diǎn)為物方主點(diǎn)，記為 h；像方主平；像方主平面與主光軸的交點(diǎn)為像方主點(diǎn)，記為面與主光軸的交點(diǎn)為像方主點(diǎn)，記為 h；hhqqff 單球面的主點(diǎn)與其頂點(diǎn)重合，而薄透單球面的主點(diǎn)與其

12、頂點(diǎn)重合，而薄透鏡的主點(diǎn)與其光心重合。鏡的主點(diǎn)與其光心重合。（4）節(jié)點(diǎn)（）節(jié)點(diǎn)（nodal points）（3）物方焦距與像方焦距）物方焦距與像方焦距 物方主焦點(diǎn)到物方主點(diǎn)的距離為物方焦物方主焦點(diǎn)到物方主點(diǎn)的距離為物方焦距，記為距，記為 f 。像方主焦點(diǎn)到像方主點(diǎn)的距。像方主焦點(diǎn)到像方主點(diǎn)的距離為像方焦距，記為離為像方焦距，記為 f。 從薄透鏡作圖法成像可知，置于空氣中從薄透鏡作圖法成像可知，置于空氣中的薄透鏡有一條特殊光線，它通過光心不的薄透鏡有一條特殊光線，它通過光心不發(fā)生偏折。發(fā)生偏折。kk 對(duì)于兩邊是同一介質(zhì)的任意組合的理想對(duì)于兩邊是同一介質(zhì)的任意組合的理想光學(xué)系統(tǒng)來說，一個(gè)離軸物點(diǎn)發(fā)

13、出的許多光光學(xué)系統(tǒng)來說，一個(gè)離軸物點(diǎn)發(fā)出的許多光線中，總有一條線中，總有一條入射光與其對(duì)應(yīng)的出射光平入射光與其對(duì)應(yīng)的出射光平行。行。 這對(duì)共軛光線與光軸的交點(diǎn)為一對(duì)共軛點(diǎn)這對(duì)共軛光線與光軸的交點(diǎn)為一對(duì)共軛點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。物方節(jié)點(diǎn)記為稱為節(jié)點(diǎn)。物方節(jié)點(diǎn)記為 k；像方節(jié)點(diǎn)記為；像方節(jié)點(diǎn)記為 k。1、計(jì)算法求物像關(guān)系：、計(jì)算法求物像關(guān)系：qmnfhnsnmqhmfs)/()()/(hhhfphnhhhmnffhpqmhhhfphhmhhnmffhpqn/)(/)/()()/(hhhfphhhfp/)(/1pfpf 共軸系統(tǒng)的高斯公式和牛頓公式與薄透共軸系統(tǒng)的高斯公式和牛頓公式與薄透鏡和單球面中的公式在形

14、式上完全相同。鏡和單球面中的公式在形式上完全相同。2、計(jì)算法求組合共軸球面系統(tǒng)的基點(diǎn)、計(jì)算法求組合共軸球面系統(tǒng)的基點(diǎn) 共軸系統(tǒng)的一對(duì)焦點(diǎn)，一對(duì)主點(diǎn)和一對(duì)共軸系統(tǒng)的一對(duì)焦點(diǎn)，一對(duì)主點(diǎn)和一對(duì)節(jié)點(diǎn)，統(tǒng)稱為系統(tǒng)的基點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)，統(tǒng)稱為系統(tǒng)的基點(diǎn)（cardinal points） 對(duì)于給定的光學(xué)系統(tǒng)，其基點(diǎn)之位置可對(duì)于給定的光學(xué)系統(tǒng)，其基點(diǎn)之位置可通過光線追跡逐步成像，作圖或計(jì)算求得。通過光線追跡逐步成像，作圖或計(jì)算求得。f fxx 定義：定義：ffhxhhdhhffh,22121 f1與與f有物像關(guān)系：有物像關(guān)系：12222pfpf22222fppfp11fhc12fdhsefh2nfhs221pfpf1

15、22ffpp22222fppfp122ffpp212221)(fffpfff222221122)(fffpfffppdfffffffffpxh221221222)()(同理，定義同理，定義hffhhxh,1可得：可得：dfxh121fff已知：已知：adafaf2,321物點(diǎn)物點(diǎn) q 位于位于l1前前 a 處處解：解：ahhdaff2,22121aaaadfhhxh322311aaaadfhhxh2222aaaaffhff2)(3(21hh2/3)2(321aaaafffhf對(duì)于物點(diǎn)對(duì)于物點(diǎn) q ，p =hq= - 4 a 由高斯公式由高斯公式1pfpf142/32/3aapa得得aqhp4

16、. 2即像點(diǎn)位于第二個(gè)透鏡后即像點(diǎn)位于第二個(gè)透鏡后1.4 a解解:cmdcmfcmf16,5,2021cmhhdcmff16,12121cmdfhhxh3201162011cmdfhhxh80116522解解:cmfffhf1001)5(2021cmffhff100152021 0, 0ff組合系統(tǒng)是會(huì)聚透鏡組合系統(tǒng)是會(huì)聚透鏡hhxx和 在系統(tǒng)前方很遠(yuǎn)處，在系統(tǒng)前方很遠(yuǎn)處， f在系在系統(tǒng)后不遠(yuǎn)處，組合系統(tǒng)是一個(gè)攝遠(yuǎn)系統(tǒng)。統(tǒng)后不遠(yuǎn)處，組合系統(tǒng)是一個(gè)攝遠(yuǎn)系統(tǒng)。 只要稍稍改變只要稍稍改變 d , 即可大大改變即可大大改變 xh 例題：空氣中雙凹厚透鏡的兩個(gè)凹面半例題：空氣中雙凹厚透鏡的兩個(gè)凹面半徑徑

17、 r1 和和 r2 分別為分別為-8厘米和厘米和7厘米，沿主軸的厘米，沿主軸的厚度厚度 d 為為2厘米。玻璃的折射率厘米。玻璃的折射率 n 為為1.5，求，求焦點(diǎn)和主平面的位置。焦點(diǎn)和主平面的位置。o-f foxh -xh dhhff 厚透鏡可看作兩個(gè)球形折射界面的組合，厚透鏡可看作兩個(gè)球形折射界面的組合，它們的焦距分別為它們的焦距分別為解：解：cmrnnnf16)8(15 .1111cmrnnnf24)8(15 .15 .111cmrnnnf2175 .115 .122cmrnnnf1475 .11122光學(xué)間隔：光學(xué)間隔：cmffd472124221cmdfxh68. 0472161cmd

18、fxh60. 0472)14(2cmfff15. 747211621cmfff15.747)14()24(21 由于由于 f是在透鏡右表面的左方，故此透鏡是在透鏡右表面的左方，故此透鏡是發(fā)散的。是發(fā)散的。 例題：半徑為例題：半徑為2厘米，折射率為厘米，折射率為1.5的的玻璃球放在空氣中，求：玻璃球放在空氣中，求：（1）球的焦距和主面、焦點(diǎn)的位置。）球的焦距和主面、焦點(diǎn)的位置。（2）若一物置于距球面）若一物置于距球面6厘米處厘米處,求從球心求從球心到像的距離到像的距離,并確定垂軸放大率。并確定垂軸放大率。解：解：cmrnnnf4215 .1111cmrnnnf6215 .15 .111cmrnnnf6)2(5 .115 .122cmrnnnf4)2(5 .11122（1）cmff821cmd4cmfff38)6(421.oh1h2h1h2f2.f1.ff1f2fhhcmfff384)6(21cmdfxh284)4(1cmdfxh28442由此可見，由此可見，h 和和 h重合，均在球心重合，均在球心 o處。處。.oh1