薄透鏡的成像公式和放大率

1、1-41-4 薄透鏡的成像公式和放大率薄透鏡的成像公式和放大率一、薄透鏡（一、薄透鏡（thin lens）成像）成像 薄透鏡是最簡單的共軸球面系統(tǒng)，它由薄透鏡是最簡單的共軸球面系統(tǒng)，它由兩個單球面組成。兩球面之間的間距兩個單球面組成。兩球面之間的間距 d 比比兩折射球面的曲率半徑兩折射球面的曲率半徑 r1、 r2 小很多。小很多。 當當 d 0時，兩球面頂點重合為一點，時，兩球面頂點重合為一點，稱為稱為光心（光心（optical center） 薄透鏡分為凸透鏡和凹透鏡。薄透鏡分為凸透鏡和凹透鏡。 凸透鏡的中央厚度大于邊緣部分，有凸透鏡的中央厚度大于邊緣部分，有雙凸、平凸、彎凸；凹透鏡的邊緣厚

2、度大雙凸、平凸、彎凸；凹透鏡的邊緣厚度大于中央部分，有雙凹、平凹、彎凹。于中央部分，有雙凹、平凹、彎凹。對第一折射面對第一折射面11111111rnnpnpn對第二折射面對第二折射面22222222rnnpnpn21pp 21nn 211122pnpnpnpn薄透鏡成像公式薄透鏡成像公式pnpnnfpp時，當f為薄透鏡的像方焦距為薄透鏡的像方焦距nfpp時，當f 為薄透鏡的物方焦距為薄透鏡的物方焦距薄透鏡的高斯公式：薄透鏡的高斯公式：1pfpf薄透鏡的垂軸放大率和角放大率薄透鏡的垂軸放大率和角放大率pnpnhh1nn 若薄透鏡處于空氣中，則若薄透鏡處于空氣中，則 n = n= 1，設(shè)薄，設(shè)薄透

3、鏡材料的折射率為透鏡材料的折射率為 nl，兩球面的曲率半徑，兩球面的曲率半徑為為 r1 、r2，則可得，則可得11111rnnrnnl22222rnnrnnl)/1/1)(1(21rrnl1pfpf薄透鏡的高斯公式：薄透鏡的高斯公式：fpp111)/1/1)(1(121rrnffl透鏡制造者公式（透鏡制造者公式（lens-maker，s formula）) 1(11)1(112121rnrdnrrnffll二、薄透鏡成像作圖法二、薄透鏡成像作圖法 根據(jù)焦點和光心的特征，對于一個發(fā)光物根據(jù)焦點和光心的特征，對于一個發(fā)光物點可找到點可找到三條典型光線三條典型光線。 （1）過物方焦點的入射光，其折射

4、光線）過物方焦點的入射光，其折射光線平行于主光軸。平行于主光軸。 （2）平行于主光軸的入射光，其折射光線）平行于主光軸的入射光，其折射光線過像方焦點。過像方焦點。 （3）過光心的入射光線，其折射光線不）過光心的入射光線，其折射光線不發(fā)生偏折。發(fā)生偏折。 薄透鏡可近似為許多不同頂角的棱鏡組成，薄透鏡可近似為許多不同頂角的棱鏡組成，由薄透鏡兩邊向中心，棱鏡頂角越小，中心部由薄透鏡兩邊向中心，棱鏡頂角越小，中心部分相當于頂角為零，相當于一塊平面平行板。分相當于頂角為零，相當于一塊平面平行板。作圖法：作圖法：（1）求某一入射光線時，首先看是否為三條）求某一入射光線時，首先看是否為三條典型光線中的一條。

5、典型光線中的一條。（2）若不是典型光線，則添加一條輔助光線）若不是典型光線，則添加一條輔助光線（3）輔助光線應(yīng)是典型光線，且與入射光線）輔助光線應(yīng)是典型光線，且與入射光線有關(guān)。有關(guān)。 若入射的平行光線不平行于光軸，則經(jīng)若入射的平行光線不平行于光軸，則經(jīng)薄透鏡后會會聚于像方焦平面上一點。薄透鏡后會會聚于像方焦平面上一點。 從物方焦平面上一點發(fā)出的所有光線，從物方焦平面上一點發(fā)出的所有光線，經(jīng)薄透鏡后也出射平行光，但它們不平行于經(jīng)薄透鏡后也出射平行光，但它們不平行于光軸，而平行于過焦平面上該點與光心的連光軸，而平行于過焦平面上該點與光心的連線。線。ffofmqnf例題：已知入射光線求出射光線例題：

6、已知入射光線求出射光線smofmnfq已知物點求像點已知物點求像點offsnsmofnmss1-1-5 共軸球面系統(tǒng)共軸球面系統(tǒng)一、共軸球面系統(tǒng)的逐次成像一、共軸球面系統(tǒng)的逐次成像 由由 k 個折射球面組成一共軸球面系統(tǒng)，個折射球面組成一共軸球面系統(tǒng)，物體物體 sq 經(jīng)過這個光學(xué)系統(tǒng)所成的像為經(jīng)過這個光學(xué)系統(tǒng)所成的像為 skqk對應(yīng)對應(yīng) k 個球面，可得個球面，可得 k 個物像距公式個物像距公式1111111rnnpnpnkkkkkkkrnnpnpn兩相鄰球面頂點的距離為兩相鄰球面頂點的距離為2112ppd3223ppdkkkkppd1, 1垂軸放大率為垂軸放大率為1/ hhk21hh 32h

7、h kkkkhhhhhhhhhh3213213211kkkkhhhhhhhhhh3213213211 系統(tǒng)總的垂軸放大率為各單球面的垂系統(tǒng)總的垂軸放大率為各單球面的垂軸放大率之乘積。軸放大率之乘積。拉格朗日拉格朗日亥姆霍茲恒等式亥姆霍茲恒等式kkkhnhnhnhn222111111例：惠更斯目鏡例：惠更斯目鏡 由兩個凸透鏡由兩個凸透鏡 l1 l2組成，用逐次成像組成，用逐次成像法求像位置。法求像位置。已知：已知：adafaf2,321物點物點 q 位于位于l1前前a處處解：解：- p1= a ，代入第一個透鏡的高斯公式代入第一個透鏡的高斯公式1331aapaaap5 . 1231得得同理對于第

8、二個透鏡，有同理對于第二個透鏡，有12)2/3(2aaapaaap4 . 15/72 例題：凸透鏡焦距為例題：凸透鏡焦距為10厘米，凹透鏡焦距厘米，凹透鏡焦距為為4厘米，兩個透鏡相距厘米，兩個透鏡相距12厘米。已知物在凸厘米。已知物在凸透鏡左方透鏡左方20厘米處，計算像的位置和橫向放大厘米處，計算像的位置和橫向放大率并作圖。率并作圖。f1pqpqpqo1o2f2解：利用高斯公式兩次成像解：利用高斯公式兩次成像 第一次第一次 pq成像：成像：cmfcmp10,2011111111fpp1pfpf得得cmp2011111ppcmfcmp4,8122022（虛物）222111fpp得得)(82虛象c

9、mp1222pp第二次第二次 pq成像：成像：121二、共軸系統(tǒng)的基點和基面二、共軸系統(tǒng)的基點和基面 1841年高斯提出共軸系統(tǒng)的一般理論：年高斯提出共軸系統(tǒng)的一般理論：在理想共軸系統(tǒng)中，物方的任一點都和像方的在理想共軸系統(tǒng)中，物方的任一點都和像方的一點共軛。同樣，相應(yīng)于物方的每一條直線或一點共軛。同樣，相應(yīng)于物方的每一條直線或每一個平面，在像方都應(yīng)有一條共軛直線或一每一個平面，在像方都應(yīng)有一條共軛直線或一個共軛平面。個共軛平面。 這樣共軸系統(tǒng)就成了點與點、直線與直這樣共軸系統(tǒng)就成了點與點、直線與直線以及平面與平面之間的共軛關(guān)系的純幾何理線以及平面與平面之間的共軛關(guān)系的純幾何理論。利用基點與基

10、面，可描述共軸系統(tǒng)的基本論。利用基點與基面，可描述共軸系統(tǒng)的基本光學(xué)特性。光學(xué)特性?；c與基面：主焦點與焦平面；主點與主平面基點與基面：主焦點與焦平面；主點與主平面（1）主焦點與焦平面）主焦點與焦平面 與無窮遠處的像平面共軛的物平面為物與無窮遠處的像平面共軛的物平面為物方焦平面。物方焦平面與主光軸的交點為物方焦平面。物方焦平面與主光軸的交點為物方主焦點，記為方主焦點，記為 f。 與無窮遠處的物平面共軛的像平面為像與無窮遠處的物平面共軛的像平面為像方焦平面。像方焦平面與主光軸的交點為像方焦平面。像方焦平面與主光軸的交點為像方主焦點，記為方主焦點，記為 f。（2）主點（）主點（principal

11、point）與主平面）與主平面 共軸系統(tǒng)中存在一對共軛面，面上任一共軸系統(tǒng)中存在一對共軛面，面上任一對共軛點到主光軸的距離相等。（對共軛點到主光軸的距離相等。（=1） 這對共軛面為系統(tǒng)的這對共軛面為系統(tǒng)的主平面（主平面（principal plane）。物方主平面記為。物方主平面記為 h ；像方主平面；像方主平面記為記為 h 這對共軛點為這對共軛點為主點主點。物方主平面與主光。物方主平面與主光軸的交點為物方主點，記為軸的交點為物方主點，記為 h；像方主平；像方主平面與主光軸的交點為像方主點，記為面與主光軸的交點為像方主點，記為 h；hhqqff 單球面的主點與其頂點重合，而薄透單球面的主點與其

12、頂點重合，而薄透鏡的主點與其光心重合。鏡的主點與其光心重合。（4）節(jié)點（）節(jié)點（nodal points）（3）物方焦距與像方焦距）物方焦距與像方焦距 物方主焦點到物方主點的距離為物方焦物方主焦點到物方主點的距離為物方焦距，記為距，記為 f 。像方主焦點到像方主點的距。像方主焦點到像方主點的距離為像方焦距，記為離為像方焦距，記為 f。 從薄透鏡作圖法成像可知，置于空氣中從薄透鏡作圖法成像可知，置于空氣中的薄透鏡有一條特殊光線，它通過光心不的薄透鏡有一條特殊光線，它通過光心不發(fā)生偏折。發(fā)生偏折。kk 對于兩邊是同一介質(zhì)的任意組合的理想對于兩邊是同一介質(zhì)的任意組合的理想光學(xué)系統(tǒng)來說，一個離軸物點發(fā)

13、出的許多光光學(xué)系統(tǒng)來說，一個離軸物點發(fā)出的許多光線中，總有一條線中，總有一條入射光與其對應(yīng)的出射光平入射光與其對應(yīng)的出射光平行。行。 這對共軛光線與光軸的交點為一對共軛點這對共軛光線與光軸的交點為一對共軛點稱為節(jié)點。物方節(jié)點記為稱為節(jié)點。物方節(jié)點記為 k；像方節(jié)點記為；像方節(jié)點記為 k。1、計算法求物像關(guān)系：、計算法求物像關(guān)系：qmnfhnsnmqhmfs)/()()/(hhhfphnhhhmnffhpqmhhhfphhmhhnmffhpqn/)(/)/()()/(hhhfphhhfp/)(/1pfpf 共軸系統(tǒng)的高斯公式和牛頓公式與薄透共軸系統(tǒng)的高斯公式和牛頓公式與薄透鏡和單球面中的公式在形

14、式上完全相同。鏡和單球面中的公式在形式上完全相同。2、計算法求組合共軸球面系統(tǒng)的基點、計算法求組合共軸球面系統(tǒng)的基點 共軸系統(tǒng)的一對焦點，一對主點和一對共軸系統(tǒng)的一對焦點，一對主點和一對節(jié)點，統(tǒng)稱為系統(tǒng)的基點（節(jié)點，統(tǒng)稱為系統(tǒng)的基點（cardinal points） 對于給定的光學(xué)系統(tǒng)，其基點之位置可對于給定的光學(xué)系統(tǒng)，其基點之位置可通過光線追跡逐步成像，作圖或計算求得。通過光線追跡逐步成像，作圖或計算求得。f fxx 定義：定義：ffhxhhdhhffh,22121 f1與與f有物像關(guān)系：有物像關(guān)系：12222pfpf22222fppfp11fhc12fdhsefh2nfhs221pfpf1

15、22ffpp22222fppfp122ffpp212221)(fffpfff222221122)(fffpfffppdfffffffffpxh221221222)()(同理，定義同理，定義hffhhxh,1可得：可得：dfxh121fff已知：已知：adafaf2,321物點物點 q 位于位于l1前前 a 處處解：解：ahhdaff2,22121aaaadfhhxh322311aaaadfhhxh2222aaaaffhff2)(3(21hh2/3)2(321aaaafffhf對于物點對于物點 q ，p =hq= - 4 a 由高斯公式由高斯公式1pfpf142/32/3aapa得得aqhp4

16、. 2即像點位于第二個透鏡后即像點位于第二個透鏡后1.4 a解解:cmdcmfcmf16,5,2021cmhhdcmff16,12121cmdfhhxh3201162011cmdfhhxh80116522解解:cmfffhf1001)5(2021cmffhff100152021 0, 0ff組合系統(tǒng)是會聚透鏡組合系統(tǒng)是會聚透鏡hhxx和 在系統(tǒng)前方很遠處，在系統(tǒng)前方很遠處， f在系在系統(tǒng)后不遠處，組合系統(tǒng)是一個攝遠系統(tǒng)。統(tǒng)后不遠處，組合系統(tǒng)是一個攝遠系統(tǒng)。 只要稍稍改變只要稍稍改變 d , 即可大大改變即可大大改變 xh 例題：空氣中雙凹厚透鏡的兩個凹面半例題：空氣中雙凹厚透鏡的兩個凹面半徑徑

17、 r1 和和 r2 分別為分別為-8厘米和厘米和7厘米，沿主軸的厘米，沿主軸的厚度厚度 d 為為2厘米。玻璃的折射率厘米。玻璃的折射率 n 為為1.5，求，求焦點和主平面的位置。焦點和主平面的位置。o-f foxh -xh dhhff 厚透鏡可看作兩個球形折射界面的組合，厚透鏡可看作兩個球形折射界面的組合，它們的焦距分別為它們的焦距分別為解：解：cmrnnnf16)8(15 .1111cmrnnnf24)8(15 .15 .111cmrnnnf2175 .115 .122cmrnnnf1475 .11122光學(xué)間隔：光學(xué)間隔：cmffd472124221cmdfxh68. 0472161cmd

18、fxh60. 0472)14(2cmfff15. 747211621cmfff15.747)14()24(21 由于由于 f是在透鏡右表面的左方，故此透鏡是在透鏡右表面的左方，故此透鏡是發(fā)散的。是發(fā)散的。 例題：半徑為例題：半徑為2厘米，折射率為厘米，折射率為1.5的的玻璃球放在空氣中，求：玻璃球放在空氣中，求：（1）球的焦距和主面、焦點的位置。）球的焦距和主面、焦點的位置。（2）若一物置于距球面）若一物置于距球面6厘米處厘米處,求從球心求從球心到像的距離到像的距離,并確定垂軸放大率。并確定垂軸放大率。解：解：cmrnnnf4215 .1111cmrnnnf6215 .15 .111cmrnnnf6)2(5 .115 .122cmrnnnf4)2(5 .11122（1）cmff821cmd4cmfff38)6(421.oh1h2h1h2f2.f1.ff1f2fhhcmfff384)6(21cmdfxh284)4(1cmdfxh28442由此可見，由此可見，h 和和 h重合，均在球心重合，均在球心 o處。處。.oh1