中值定理PPT教學課件

1、 問題的提出(Introduction) 我們知道，導數(shù)是刻劃函數(shù)在一點處變化率的數(shù)學模型，它反映的是函數(shù)在一點處的局部變化性態(tài)，但在理論研究和實際應用中，常常需要把握函數(shù)在某區(qū)間上的整體變化性態(tài)。 那么函數(shù)的整體變化性態(tài)與局部變化性態(tài)有何關(guān)系呢？ 中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部某一點的導數(shù)之間的關(guān)系，是導數(shù)與實際問題聯(lián)系的橋梁，借助中值定理可應用導數(shù)來研究函數(shù)及曲線的某些性態(tài)（如單調(diào)性、函數(shù)的極值、最值；凹凸性、拐點等）。第1頁/共30頁中值定理包括三個定理：羅爾定理拉格朗日定理柯西定理（微分中值定理）所研究的內(nèi)容：它們都是研究函數(shù)在一區(qū)間上兩端點的函數(shù)值與它在區(qū)間內(nèi)某一

2、點的導數(shù)值之間的關(guān)系.第2頁/共30頁一、羅爾(Rolle)定理羅爾定理：:)(滿足以下三條滿足以下三條如果函數(shù)如果函數(shù)xfy ;,)1(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba;),()2(內(nèi)可導內(nèi)可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba);()(,)3(bfaf 即即相等相等在區(qū)間兩端點的函數(shù)值在區(qū)間兩端點的函數(shù)值0)(),( fba使得使得則至少存在一點則至少存在一點幾何解釋:ab1 2 xyo)(xfy .,軸軸行于行于在該點處的切線平在該點處的切線平點點上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧xCABC第3頁/共30頁證.)1(mM 若若,)(連續(xù)連續(xù)在在baxf.mM 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)

3、(Mxf 則則. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取得取得最值不可能同時在端點最值不可能同時在端點),(afM 設設.)(),(Mfba 使使內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點則在則在.)(點點的的導導數(shù)數(shù)情情況況在在討討論論 xf第4頁/共30頁),(,baxx 使使點給一個點給一個在在)()( fxfy 0 xfxfxy )()( 則則,0時時當當 x 0)()( xfxfxy ,0時時當當 x 0)()( xfxfxy 0)(, 0)( ff0)()()(0 fff0)( f即即證畢第5頁/共30頁解：,3 , 1)()1(上上

4、連連續(xù)續(xù)在在 xf性性上上驗驗證證羅羅爾爾定定理理的的正正確確在在對對例例3 , 1)3)(1(32)(:2 xxxxxf內(nèi)內(nèi)可可導導在在內(nèi)內(nèi)處處處處有有定定義義在在)3 , 1()(,)3 , 1(22)()2( xfxxf)3()1()3(ff ),3 , 1( 0)( f使使1022)( xxxf得得令令0)1( f （既要驗證條件，又要驗證結(jié)論）第6頁/共30頁注1:羅爾定理的條件僅是充分條件，不是必要的.注2 用途：確定導函數(shù)的根的位置第7頁/共30頁例2.10155的的正正實實根根有有且且僅僅有有一一個個小小于于證證明明方方程程 xx證, 15)(5 xxxf設設,1 , 0)(連

5、續(xù)連續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理. 0)(),1 , 0(11 f使使（1）證明在（0,1）中有實根(零點定理)即 為方程的小于1的正實根.1 第8頁/共30頁,),1 , 0(122 設另有設另有. 0)(2 f使使,)(21件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在 xf使得使得之間之間在在至少存在一個至少存在一個),(21 . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾,.為唯一實根為唯一實根（2）證明在（0,1）中只有一個實根(羅爾定理)證畢第9頁/共30頁拉格朗日中值定理：:)(滿足滿足如果函數(shù)如果函數(shù)xfy ;,)1(上連

6、續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba;),()2(內(nèi)可導內(nèi)可導在開區(qū)間在開區(qū)間baabafbffba )()()(),( 使得使得則至少存在一點則至少存在一點二、拉格朗日(Lagrange)中值定理)()()(abfafbf 或或ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何解釋:.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點處的切在該點處的切一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧第10頁/共30頁證分析:).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦AB方程為).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf減去弦減去弦曲線曲線., 兩兩端端點點的的函函數(shù)數(shù)值值相相等等所所得得曲

7、曲線線ba作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xF. 0)(,),( Fba使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在0)()()( abafbff即即abafbff )()()( ).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式第11頁/共30頁注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關(guān)系.拉格朗日中值的另外一種形式：若 f (x)在 a, b上滿足拉格朗日中值定理條件,對于 a, b 上任意兩點 x, x+x,在 x, x+x (或 x+x, x ) 上, 公式也成立.y

8、 = f (x+x) f (x)其中 (x, x+x) 或 (x+x, x) 記 =x+ x (其中0 1) =f ( ) x .有限增量公式:y= f ( x+ x ) x第12頁/共30頁比較 :f (x)在 x 處于可微：ydy=f (x)x要求:| x |很小，且f (x)0f (x)在 a, b 上滿足拉格朗日定理條件：y= f ( x+ x )x要求: x有限.)(,)(上是一個常數(shù)上是一個常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導數(shù)恒為零上的導數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf推論1：推論2具有相同導函數(shù)的兩個函數(shù)，相差一個常數(shù).第13頁/共30頁例3).11(2arccosa

9、rcsin xxx證明證明證1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設設)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx證畢.:. 3用來證明等式或不等式用來證明等式或不等式用途用途第14頁/共30頁例4.)1ln(1,0 xxxxx 時時證明當證明當證),1ln()(ttf設, 0)(上滿足拉氏定理的條件在xtf)0(),0)()0()(xxffxf 所以,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即證畢第15

10、頁/共30頁方法方法等等式式從從而而得得到到所所要要證證明明的的不不適適當當?shù)牡姆欧糯蟠蠡蚧蚩s縮小小，將將一一個個恰恰當當?shù)牡暮瘮?shù)數(shù)，然然后后設設某某些些不不等等式式時時，首首先先要要利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理證證明明)( f. 1,0 xexx時練習：證明當?shù)?6頁/共30頁三、柯西(Cauchy)中值定理柯西定理：:)(),(滿足如果函數(shù)xgxf;,)1(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba;),()2(內(nèi)可導內(nèi)可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba0)(,),() 3( xgba內(nèi)在)()()()()()(),(agbgafbfgfba使得則至少存在一點第17頁/共30頁幾何解釋:)(1g)(2g

11、)(agA)(bgBCD)(xgNM.),(),(ABfgCAB弦該點處的切線平行于在一點上至少有在曲線弧證作輔助函數(shù)).()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfx,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x xoy)()(xfYxgXXY第18頁/共30頁, 0)()()()()()(gagbgafbff即.)()()()()()(gfagbgafbf. 0)(,),( 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在ba,)(xxg當, 1)(,)()(xgabagbg)()()()()()(gfagbgafbf).()()( fabafbf第19頁/共30頁 abf

12、afbfbababaxfbxaln)()()(,使得證明：內(nèi)可導，上連續(xù)，在函數(shù)例：設第20頁/共30頁小結(jié)：Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxF )()()(bfaf 羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；會用中值定理證明簡單的等式與不等式.第21頁/共30頁 約瑟夫拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)， 法國數(shù)學家、物理學家。 他在數(shù)學、力學和天文學三個學科 領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻，其中尤 以數(shù)學方面的成就最為突出 拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都靈。父親是法國陸軍騎兵里的一名軍官，后由于經(jīng)商破

13、產(chǎn)，家道中落。據(jù)拉格朗日本人回憶，如果幼年是家境富裕，他也就不會作數(shù)學研究了，因為父親一心想把他培養(yǎng)成為一名律師。拉格朗日個人卻對法律毫無興趣。第22頁/共30頁 17歲時，開始專攻當時迅速發(fā)展的數(shù)學分析。18歲時，拉格朗日用意大利語寫了第一篇論文，1755年拉格朗日19歲時，在探討數(shù)學難題“等周問題”的過程中，他以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，用純分析的方法求變分極值。 19歲時就當上了都靈皇家炮兵學校的教授，成為當時歐洲公認的第一流數(shù)學家。1756年20歲時，受歐拉的舉薦，拉格朗日被任命為普魯士科學院通訊院士。 近百余年來，數(shù)學領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在數(shù)學

14、史上被認為是對分析數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一。第23頁/共30頁 柯西1789年8月2l日出生生于巴黎， 他的父親路易弗朗索瓦柯西是法 國波旁王朝的官員，在法國動蕩 的政治漩渦中一直擔任公職。由于 家庭的原因，柯西本人屬于擁護波 旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。 柯西在幼年時，他的父親常帶領(lǐng)他到法國參議院內(nèi)的辦公室，并且在那里指導他進行學習，因此他有機會遇到參議員拉普拉斯和拉格朗日兩位大數(shù)學家。他們對他的才能十分常識；拉格朗日認為他將來必定會成為大數(shù)學家，但建議他的父親在他學好文科前不要學數(shù)學。 第24頁/共30頁 柯西于1802年入中學。在中學時，他的拉丁文和希臘文取得優(yōu)異成績

15、，多次參加競賽獲獎；數(shù)學成績也深受老師贊揚。他于1805年考入綜合工科學校，在那里主要學習數(shù)學和力學；1807年考入橋梁公路學校，1810年以優(yōu)異成績畢業(yè)，前往瑟堡參加海港建設工程。 柯西于1816年先后被任命為法國科學院院士和綜合工科學校教授。1821年又被任命為巴黎大學力學教授，還曾在法蘭西學院授課。第25頁/共30頁一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù)4)(xxf 在區(qū)間在區(qū)間1,21,2上滿足拉格朗日中值上滿足拉格朗日中值定理，則定理，則=_=_ _ _. .2 2、 設設)4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方 程方 程0)( xf有有_個根，它們分別在區(qū)間個根，它們

16、分別在區(qū)間_上上. .3 3、 羅 爾 定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的 關(guān) 系 是羅 爾 定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的 關(guān) 系 是_._.4 4、 微分中值定理精確地表達函數(shù)在一個區(qū)間上的微分中值定理精確地表達函數(shù)在一個區(qū)間上的_與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的_之間之間的關(guān)系的關(guān)系. .5 5、 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I上的導數(shù)上的導數(shù)_ _，那，那么么)(xf在區(qū)間在區(qū)間I上是一個常數(shù)上是一個常數(shù). .練 習 題第26頁/共30頁二、試證明對函數(shù)二、試證明對函數(shù)rqxpxy 2應用拉氏中值定理應用拉氏中值定理 時所求得的點時所

17、求得的點 總是位于區(qū)間的正中間總是位于區(qū)間的正中間 . .三、證明等式三、證明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、設四、設0 ba，1 n，證明，證明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 證明下列不等式：證明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、時時當當1 x，exex . .第27頁/共30頁六六、設函數(shù)、設函數(shù))(xfy 在在0 x的某鄰域內(nèi)且有的某鄰域內(nèi)且有n階導數(shù)，階導數(shù)， 且且)0()0()0()1( nfff試用柯西中值定理試用柯西中值定理 證明：證明：!)()()(nxfxxfnn ， （， （10 ）. . 七七、設、設)(xf在