1銳角三角的定義教案

1、銳角三角函數(shù)的定義概述32適用學(xué)科 初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初三I III適用區(qū)域新人教版課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）120廠 iJ知識(shí)點(diǎn) 1.當(dāng)銳角A的度數(shù)確定時(shí)，它所在的直角三角形中任意兩邊的比都有唯II一確定的值II1I2. 正弦、余弦、正切的定義1I3. 銳角三角函數(shù)的定義4.特殊角三角函數(shù)的值I I I I II III教學(xué)目標(biāo) 1. 了解正弦，余弦，正切這三個(gè)銳角三角函數(shù)的定義，能準(zhǔn)確地用直角三IIII角形兩邊的比表示這些函數(shù)IIIIIIII|i2.掌握特殊角的三角函數(shù)值，會(huì)用三角函數(shù)解決三角形中的邊角問(wèn)題，會(huì)IIIIIII丨 用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值和根據(jù)三角函數(shù)值求角度的大小IIII| 3.體驗(yàn)數(shù)

2、形結(jié)合思想在解決問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用， 感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣和成IIIIIIIIII 功的喜悅II教學(xué)重點(diǎn) 1.當(dāng)銳角A的度數(shù)確定時(shí)，它所在的直角三角形中任意兩邊的比都有唯一II確定的值II| 2.正弦、余弦、正切的定義II3.特殊角三角函數(shù)的值II廠 ;一一一一一一 一教學(xué)難點(diǎn) 銳角三角函數(shù)的定義II【教學(xué)建議】銳角三角函數(shù)既是相似三角形及函數(shù)的繼續(xù)，也是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)，銳角三角函數(shù)的定義，這是中考的熱點(diǎn)在近幾年的中考中，主要考查已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)求銳角的三角函數(shù)值，題目較簡(jiǎn)單，題型主要有選擇題和填空題【知識(shí)導(dǎo)圖】正弦、余弦、正切的定義銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的定義特殊角三角函數(shù)的值教學(xué)過(guò)

3、程一、導(dǎo)入大家思考：小紅在上坡的過(guò)程中，下列哪些量是變量和常量？（坡角、上升高度、所走路程）她在斜坡上任意位置時(shí)，上升的高度和所走的路程的比值變化嗎？二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)帶著這個(gè)問(wèn)題走進(jìn)我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容 銳角三角函數(shù)，前面我們學(xué)過(guò)在直角三角形中,知道任意兩條邊，通過(guò)勾股定理可以求出第三條邊，例如：已知在RHABC中， C =90 , bc=12, AC=5,求邊AB的長(zhǎng).2 2 2利用勾股定理：BC AC -AB可得：AB=13那么知道一角一邊能求出其他的邊和角嗎？三、知識(shí)講解考點(diǎn)1當(dāng)銳角A的大小確定后，它所在的直角三角形每?jī)蛇吽鶚?gòu)成的比都有唯一確定得值1任意畫一個(gè)銳角 A的一邊上任取一點(diǎn) B,自點(diǎn)

4、B向另一邊作垂線，垂足為 C，從而得到一個(gè)RtABC,如圖 Rr : ABC中的三條邊每?jī)蛇厴?gòu)成一個(gè)比，一共可得到如下六個(gè)比：BC AC AB AC AB BC2在銳角A的AB邊上再取另一點(diǎn)B1自點(diǎn)Bi向另一邊作垂線，垂足 為G,從而得到另一個(gè) RAB1C1,RAB1C1B1C1 AC1 AB1 AC1 AB1 B1C1? ? ? ? ?中的三條邊也構(gòu)成如下六個(gè)比，AB1 AB1 B1C1 DC1 AC1 AC1 .那么有兩個(gè)直角三角形所得的對(duì)應(yīng)比有怎樣關(guān)系呢？所以點(diǎn)B1是在AB邊上任取得，所以前面的操作具有普遍性所以當(dāng)銳角A的大小確定后，它所在的直角三角形每?jī)蛇吽鶚?gòu)成的比都有唯一確定得值考點(diǎn)

5、2正弦、余弦和正切的定義由知識(shí)點(diǎn)1可知，當(dāng)銳角A的度數(shù)固定時(shí)， A的對(duì)邊與斜邊的比是一個(gè)固定值， A的鄰邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值， A的對(duì)邊與鄰邊的比也是一個(gè)固定值.在Rt ABC中，設(shè) C =9”. A,. B,. C的對(duì)邊分別為a,b,c,如圖所示:ZA的對(duì)邊（1）我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作si nA,即sinA=斜邊（2）我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做.A的鄰邊_ b 厶A的余弦，記作cosA,即cosA= 斜邊 c .我們把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做EA的正切，記作tanA,即tanA =(3)知識(shí)拓展：（1）正弦、余弦和正切都是一個(gè)比，沒(méi)有單位（2）正弦值，余

6、弦值和正切值只與角的大小有關(guān)，而與三角形的大小無(wú)關(guān)（3） si nA、cosA、tanA 是整體符號(hào)，不能寫成 sin A、cos A、tan * A.（4） 當(dāng)用三個(gè)字母表示角時(shí)，角的符號(hào)不能省略，女口 sin ABC.（5）sin 2 A表示（sinA） 而不能與成sin A .（6） 三角函數(shù)還可以表示成sin -、cos 一、tan 一（7）在 Rt 心ABC中，NC =9 ： , sin A 二 cosB,sin B =cosA22（8） 在 Rt ABC中,C = 9 , sin A cos A = 1（9） 在 Rt ABC中,C =9 , tanA tan B =1si nAt

7、an A =（1 ）在 Rt ABC 中,C =9 ,cosA考點(diǎn)3銳角三角函數(shù)的定義銳角A的正弦，余弦，正切，都叫做 A的銳角三角函數(shù)（1）三角函數(shù)的實(shí)質(zhì)是一些比，這些比只與角的大小有關(guān)，當(dāng)角的大小確定時(shí)，它的三角 函數(shù)值就確定了，也就是說(shuō)，三角函數(shù)值隨角度的變化而變化（2）由定義可知,0si nA1,0cosA0.令y=si nA,y=cosA,y=ta nA,則函數(shù)中自變量的取值范圍均為a：90函數(shù)的增減性分別為:y=si nA在自變量的取值范圍內(nèi),y隨/A的增大而增大y=cosA在自變量的取值范圍內(nèi),y隨也A的增大而減小y=tanA在自變量的取值范圍內(nèi),y隨.A的增大而增大知識(shí)拓展：（

8、1）銳角的三個(gè)三角函數(shù)都是比，當(dāng)銳角不變時(shí)，該角的正弦值，余弦值，正切值也不變（2）銳角的三角函數(shù)值與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)（3）當(dāng)銳角 A所在的三角形不是直角三角形時(shí)，可適當(dāng)?shù)刈鬏o助線，構(gòu)造出直角三角形, 從而求出 si nA、cosA、tanA.考點(diǎn)4特殊角的三角函數(shù)值 特殊角的三角函數(shù)值主要是指30，5 ,60這三個(gè)角的三角函數(shù)值，如下表:函數(shù)銳角a 、304560正弓sina1V2T29余眩8旳V21222正切tana31V3知識(shí)拓展：（1）結(jié)合圖形：如圖及其中的數(shù)據(jù)和三角函數(shù)的定義來(lái)計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，從而記住結(jié)果(2 )對(duì)于其他相關(guān)角的三角函數(shù)值，往往用定義求解，如15 ,22.5

9、 ,75 ,36 等(3)等邊三角形，等腰直角三角形，及與30，5 ,60角相聯(lián)系的其他三角形問(wèn)題，常常要用特殊角的三角函數(shù)值解答四、例題精析類型一當(dāng)銳角A的大小確定后，它所在的直角三角形每?jī)蛇吽鶚?gòu)成的比都有唯一確定得值例題1如圖，點(diǎn)A為/ a邊上的任意一點(diǎn)，作 AC丄BC于點(diǎn)C, CD AB于點(diǎn)D,下列用線段比表示BD BC AD CDA.B. - - C. D. l：【解析】解：I AC丄BC, CD丄AB,/ a +/BCD=Z ACD+Z BCD, a =/ACD,BD BC DC COS a =cos/ ACD=BC =3& =AC只有選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意.故選：C.【總結(jié)與反思】利

10、用垂直的定義以及互余的定義得出/a =Z ACD,進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案.類型二正弦、余弦和正切的定義例題2在Rt ABC中，/ C=90，若斜邊 AB是直角邊 BC的3倍，貝U tanB的值是（）1V2A.B . 3 C .：D . 2. :【解析】 解：設(shè)BC=x則AB=3x由勾股定理得，AC=2*x,AC加tanB= - - =-=2 .1故選：D.【總結(jié)與反思】 設(shè)BC=x則AB=3x,由勾股定理求出 AC,根據(jù)三角函數(shù)的概念求出tanB .類型三銳角三角函數(shù)的定義例題312D. tanB=BC=12則下列三角函數(shù)表示正確的是（【解析】 解：/ ACB=90, AB=13,

11、BC=12, AC=5,BC 12A、sinA=- = -，故本選項(xiàng)正確；ac rs_B、cosA=l，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.BC空C、ta nA=AC= 5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；AC旦D、tanB=J=-，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A.【總結(jié)與反思】先利用勾股定理求出 AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)分別進(jìn)行計(jì)算，再利用排除法求解即可.類型四特殊角的三角函數(shù)值例題4在厶ABC中，若角A,B 滿足 |cosA -(1 tanB) 2=0,則/ C的大小是(A. 45B. 60C. 75 D. 105V3【解析】 解：由題意得，cosA= , tanB=1,則/ A=30, / B=45 ,則/ C=18

12、0 - 30 - 45=105.故選D.【總結(jié)與反思】 根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出 cosA=, tanB=1，求出/ A和/B的度數(shù)，繼而可求得/ C的度數(shù).五、課堂運(yùn)用基礎(chǔ)1.三角函數(shù)sin30、cos16cos43之間的大小關(guān)系是A. cos43 cos16 sin30B.cos16 sin30 cos43 C. cos16 cos43 sin30D.cos43 sin30 cos16A的坐標(biāo)為（4, 3），那么cos a的值是（2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在厶ABC中，AD丄BC,垂足為點(diǎn)D,若AC=6/ C=45 , tan / ABC=3 貝U BD等3.如圖,C.A. 2B. 3D

13、 .4.在厶 ABC中，/ C=90, AC=4 BC=2,求/ B 的余弦值.答案與解析1. 【答案】C.【解析】解：t sin30 =cos60 ,又16v 43v 60,余弦值隨著角的增大而減小， cos16 cos43 sin30 .故選：C.2. 【答案】D.【解析】由勾股定理得 0A= 、=5，所以cos a匸故選D.3. 【答案】A.【解析】解： AC=6：2，/ C=45 , AD=AC?sin45 =6:=6,* tan / ABC=3AD=3,AD BD= 一 =2,故選：A.4【答案】_ .【解析】解：如圖,在 Rt ABC中，T BC=2 AC=4 AB=，=2 口BC

14、則 cosB=V5=-鞏固1. a為銳角，若sina +COS a - 貝Usin a-COS a的值為(AB. 士 + C. ； D 0丄2. 已知銳角a滿足COS a =2，則銳角a的度數(shù)是 度.3. 如圖，將矩形 ABCD沿 AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，如果AB:AD=2:3，那么tan EFC 值是4.如圖，AB為O O的直徑，弦 CDL AB于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)B作O O的切線與 AD的延長(zhǎng)線交于 F.(1)求證：/ABC乙F3(2)若 sinC= 5 , DF=6 求O O的半徑.答案與解析1.【答案】D.【解析】解：T sin a +COS a =12 sin a +COS

15、a )=2,即 sin 2 a +COS? a +2sin a COS a =2.2 2乂 sin a +cos a =1 , 2sin a cos a =1 . ( sin a - COs a )2 2 2=sin a +cos a - 2sin a cos a =1 - 2sin a cos a =1 - 1=0. sin a - COs a =0 .故選：D.2.【答案】60.【解析】解：由銳角a滿足COs a =，則銳角a的度數(shù)是60度，故答案為：60.-53. 【答案】5【解析】 AB： AD=2 3,設(shè) AB=2k, AD=3k, AF=AD=3k=BC,CD=AB=2k,/ B=

16、90 bf= AF2 _AB2 = ；5k CF=BC-BF=( 3-5 ) k, / EF=DE DE+CE=CD EF=2k-CE,/ C=90, ef2=cF2+c即：（2k-CE） 2= （3-5 ） 2k2+cE3 5-5k CE= 2,CE 5 tan / EFC=CF2 .4.【答案】（1）v BF為OO的切線， AB丄BF于點(diǎn)B./ CD丄ABABF =/AHD =90 . CD/ BF.aZ ADC=z F.又/ ABC=z ADC / ABC玄 F.（2）如圖，連接BD/AB為OO的直徑，/ ADB =90 .由（1）Z ABF =90,aZ A=Z DBF.又/ A=Z

17、C,./ C=Z DBF.3 sin C =sin /DBF = 在 Rt DBF中,5 , DF=6 - BD=8在 Rt ABD中,sin CAB403 .O O的半徑為203【解析】(1) 一方面由切線的性質(zhì)和平行的性質(zhì)得到/ADC=/ F四邊形2另一方面由圓周角定理得/ ABC=/ ADC從而證得/ ABC=/ F.(2)連接BD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到/ ADB=90，根據(jù)切線的性質(zhì)得到/3si nC =si nNDBF =-ABF=90，利用銳角三角函數(shù)定義，在Rt DBF中，由5 , DF=6求得340sin C =si nA-AB -BD=8;在Rt ABD中，由5求得

18、3，即可得到O O的半徑.拔高1. 若銳角 x 滿足 tan -11-：i i 一 - |i - tan60x-( - ；+1) tanx+* V=0,則 x=2. 在 Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=3, tanB= ，求 AB的值.3.計(jì)算(2)(1) cos60 +答案與解析1.【答案】45或60.【解析】解：t tan 2x -(L： ； +1) tanx+ :;=0,( tanx 1)(tanx 卜:-)=0, tan x=1 或 當(dāng) tanx=1 時(shí)，x=45 當(dāng) tanx=-時(shí)，x=60 故 x=45 或 60 .1&2.答案】J .A解析】解：在 Rt ABC中，/

19、 ACB=90 , AC=3 tanB=：,AC/ tan B=-，貝 y ab=1 =3.答案】(1) 2;( 2)【解析】解:1 V2 21)原式=2+2gTgA.CBC=価=3=4二+丄+1-11 - . -I=1 -六、課堂小結(jié)1. 知識(shí)結(jié)構(gòu)及要點(diǎn)小結(jié)銳角三角函數(shù)： 銳角三角函數(shù)的定義：銳角 A的正弦，余弦，正切都叫 .A的銳角三角函數(shù) 特殊角的三角函數(shù)值同角，互為余角的三角函數(shù)關(guān)系；sin 2A - cos2 B =1si n(90-.A) = cosA,cos(90 -. A) = si nAtan(90- A) =1銳角三角函數(shù)值的變化情況及取值范圍：正弦（正切）值隨角度增大而增

20、大，余弦值隨角度增大而減小O0sinA1,0cosA0（0: a ： 90 ）2. 解題方法及技巧小結(jié)（1）當(dāng)銳角A所在的三角形不是直角三角形時(shí)，可適當(dāng)?shù)刈鬏o助線，轉(zhuǎn)化為直角三角 形，從而求出該銳角的三角函數(shù)值（2）化簡(jiǎn)含有三角函數(shù)的絕對(duì)值，要根據(jù)三角函數(shù)的增減性來(lái)化簡(jiǎn)七、課后作業(yè)基礎(chǔ)1. 如圖， ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，貝UtanA的值為2. 在厶 ABC中，/ C=90, cosA=，貝U tanA 等于.3. 如圖， ABC內(nèi)接于O O AD為O O的直徑，交 BC于點(diǎn)E,若DE=2 OE=3貝U tanC?tanB=A. 2B. 3C. 4D. 514.計(jì)算：2cos45 -

21、tan60 +sin30 - | -| .答案與解析1. 【答案】離【解析】解：連接 CD則CD血,AD衛(wèi)伍,J-AD/7/3c2.答案】43則 tanA=3_【解析】解：t cosA=知，設(shè)b=3x，貝U c=5x，根據(jù)a2+b2=c2得a=4x .3.【答案】C.【解析】解：連接 BD CD由圓周角定理可知/ B=Z ADC / C=Z ADB ABEA CDE ACEA BDEAEBEACCEAECDDE：BD _DE：Jbe由AD為直徑可知/ DBA2 DCA=90 ,/ DE=2, OE=3 AO=OD=OE+ED=5AE=8tan C?ta nB=tanAB AC BE CE AB

22、 AC AE CE1 ipp/ ADtan / ADC=丨 I = :i=4.故選：C.4.【答案】:.【解析】解：原式=血-庾.鞏固A1. ABC中，/ C=90, tanA=：，貝U sinA+cosA=2. 如圖，在Rt ABC中，/ A=90, AD丄BC垂足為D.給出下列四個(gè)結(jié)論： sin a =sinB ;sin a =cos 3 .其中正確的結(jié)論有3.計(jì)算：sin30 -cos45 +屛604.如圖，在四邊形 ABCD中，/ B=Z D=90，/ C=60 , BC=4, CD=3 求 AB的長(zhǎng).答案與解析7_1.【答案】拆.設(shè) AB=5x,則 BC=4x AC=3xBC AC

23、_3x 4x_ 7_則有：sina+cosA=址 + 肛1 =5工+ 5工=5 ,7_故答案為：5 .2. 【答案】.【解析】解：/A=90, AD丄BC,:丄 a +Z 3 =90,/ B+Z 3 =90,/ B+Z C=90, a = Z B,Z 3 =Z C, sin a =sinB，故正確;sin 3 =sinC，故正確;AC AC 在 Rt ABC中 sinB= , cosC= sinB=cosC，故正確；/ sin a =sinB , cos / 3 =cosC, sin a =cos / 3，故正確；故答案為.3.【答案】1.【解析】解：原式=2 - 2+32 HI=2 -2+3

24、x 3=1.4.【答案】解：如圖，延長(zhǎng)BA CD交于點(diǎn)E./ B=90,Z C=60 , BC=4/ E=30, CE=8, BE=4- 3 .* CD=3,DE=5.DE 510 3AE 二cosE cos30 3. AB=BE-AE=4 310 .32.33=3【解析】延長(zhǎng)BA CD交于點(diǎn)E,構(gòu)成兩個(gè)含30度角的直角三角形： EAB EAD應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義和特殊角的三角函數(shù)值求解即可拔高1.如圖， ABC中 AB=AC=4 / C=72 ,D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，DEL AB,cosA的值C.B.A.2.計(jì)算：(sin30 )(sin60cos45 )J3.如圖，在 ABC中，/ C=150, AC=4, tanB=.(1 )求 BC的長(zhǎng);(2)利用此圖形求tan 15。的值(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：忙訪=1