2021屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考第二輪專題復(fù)習(xí)第10講數(shù)列求和與數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)案理含解析

1、第10講數(shù)列求和與數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用高考年份全國(guó)卷全國(guó)卷全國(guó)卷2020等比數(shù)列基本量問題與錯(cuò)位相減法求和t17錯(cuò)位相減法求和t172019等差、等比數(shù)列基本量問題與證明t192018等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和t171.2020全國(guó)卷設(shè)an是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項(xiàng).(1)求an的公比;(2)若a1=1,求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和.2.2019全國(guó)卷已知數(shù)列an和bn滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)證明:an+bn是等比數(shù)列,an-bn是等差數(shù)列;(2)求an和bn的通項(xiàng)公式.3.2019天津卷設(shè)an是等差數(shù)列,bn是等

2、比數(shù)列,已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)數(shù)列cn滿足c1=1,cn=1,2kn2k+1,bk,n=2k,其中kn*.(i)求數(shù)列a2n(c2n-1)的通項(xiàng)公式;(ii)求i=12naici(nn*).等差、等比數(shù)列的基本量的計(jì)算1數(shù)列an和bn分別是各項(xiàng)都為正數(shù)的等差數(shù)列和等比數(shù)列,滿足a1=2,b1=1,a3b3=1,a5b2=2+a1b2.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;(2)令cn=an+bn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和tn.【規(guī)律提煉】由等差數(shù)列、等比數(shù)列組成的綜合問題,首先要立足兩數(shù)列的概念,設(shè)出相應(yīng)的基本量,充分使用通項(xiàng)

3、公式、求和公式、數(shù)列的性質(zhì),確定基本量.解綜合題的關(guān)鍵在于審清題目,弄懂來(lái)龍去脈,揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件,確定解題策略.測(cè)題設(shè)m=-3a3,n=2a2,t=a4,給出以下四種排序:m,n,t;m,t,n;n,t,m;t,n,m.從中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,解答相應(yīng)的問題.已知等比數(shù)列an中的各項(xiàng)都為正數(shù),a1=1,且依次成等差數(shù)列.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=an,01,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為sn,求滿足sn100bn的最小正整數(shù)n.數(shù)列的證明問題2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且sn=2an-2,nn*.(1)求證:數(shù)列an為等比數(shù)列;(2)設(shè)數(shù)列an2的前n項(xiàng)和為tn,求

4、證:s2ntn為定值;(3)判斷數(shù)列3n-an中是否存在三項(xiàng)按原順序依次成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論.【規(guī)律提煉】數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法:利用定義,證明an+1-an(nn*)為一常數(shù);利用等差中項(xiàng)的性質(zhì),即證明2an=an-1+an+1(n2).(2)證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法:利用定義,證明an+1an(nn*)為一常數(shù);利用等比中項(xiàng)的性質(zhì),即證明an2=an-1an+1(n2).測(cè)題已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列,且a1=1,8a2,3a4,a6成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=log2an+2

5、,數(shù)列1bn2的前n項(xiàng)和為tn,求證:tn0.由條件得2a4=2a2-3a3,又因?yàn)閍1=1,所以2q3=2q-3q2,即2q2+3q-2=0,解得q=12(負(fù)值舍去),所以an=12n-1.(2)由題意得bn=12n-1,則sn=1-12n1-12=2n-12n-1.由sn100bn得2n-12n-11002n-1,即2n101,又因?yàn)閚n*,所以n的最小值為7.(解答二)選或:(1)設(shè)an的公比為q,則q0.由條件得4a2=a4-3a3,又因?yàn)閍1=1,所以4q=q3-3q2,即q2-3q-4=0,解得q=4(負(fù)值舍去),所以an=4n-1.(2)由題意得bn=14n-1,則sn=1-14

6、n1-14=4n-134n-1.由sn100bn得4n-134n-11004n-1,即4n301,又因?yàn)閚n*,所以n的最小值為5.解答2例2解:(1)證明:當(dāng)n=1時(shí),s1=2a1-2,解得a1=2.當(dāng)n2時(shí),an=sn-sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)=2an-2an-1,即an=2an-1.綜上,數(shù)列an是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,且an=2n.(2)證明:因?yàn)閍n2=(2n)2=4n,所以an+12an2=4,故數(shù)列an2是以4為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,從而s2n=2(1-22n)1-2=2(4n-1),tn=4(1-4n)1-4=43(4n-1),所以s2ntn=

7、32,即s2ntn為定值.(3)數(shù)列3n-an中不存在三項(xiàng)按原順序依次成等差數(shù)列.證明如下:假設(shè)3n-an中存在第m,n,k(mnk)項(xiàng)成等差數(shù)列,則2(3n-an)=3m-am+3k-ak,即2(3n-2n)=3m-2m+3k-2k.因?yàn)閙nk,且m,n,kn*,所以n+1k,又y=3x-2x在(0,+)上單調(diào)遞增,所以2(3n-2n)=3m-2m+3k-2k3m-2m+3n+1-2n+1,所以-3n3m-2m,易知-3n0,故矛盾,所以數(shù)列3n-an中不存在三項(xiàng)按原順序依次成等差數(shù)列.【自測(cè)題】解:(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q,因?yàn)?a2,3a4,a6成等差數(shù)列,所以8a2+a6=6a4,又

8、a1=1,所以8q+q5=6q3,因?yàn)閝0,所以q4-6q2+8=0,所以q2=4或q2=2,又?jǐn)?shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù),所以q=2,所以an=2n-1.(2)證明:由(1)可知an+2=2n+1,所以bn=log2an+2=n+1,所以1bn2=1(n+1)21n(n+1)=1n-1n+1,所以tn=1b12+1b22+1b32+1bn2=122+132+142+1(n+1)2112+123+134+1n(n+1)=1-12+12-13+13-14+1n-1n+1=1-1n+11,即tn0),數(shù)列bn的公差為d.因?yàn)閎3=12,b5=20,所以b1+2d=12,b1+4d=20,解得b1=4,d=4,所以bn=4n.因?yàn)閍3=a1q2=b2=8,a5=a1q4=b8=32,所以a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由題意知,將數(shù)列an中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)、第3n項(xiàng)、刪去后構(gòu)成的新數(shù)列cn中