1.7定積分的簡單應(yīng)用

1、2021/6/1611.7定積分的簡單應(yīng)用定積分的簡單應(yīng)用2021/6/162 badxxfA)( badxxfxfA)()(121.1.平面圖形的面積平面圖形的面積: :( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a其中其中F (x)=f(x)xyo)(xfy abA Axyo)(1xfy )(2xfy abA A2.微積分基本定理微積分基本定理:一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)2021/6/163Ox yab yf (x) xa、xb與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng) f(x)0 時，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 當(dāng)f(x)0時積分baf (x)dx 在幾何上表

2、示 由yf (x)、xa、xb與 x 軸所圍成的曲邊梯形面積的負(fù)值x yOab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 Sbaf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 =s3.定積分定積分 的幾何意義的幾何意義:( )baf x dx2021/6/164321SSSdxxfba )(1S2S3S2021/6/165類型類型1.1.求由一條曲線求由一條曲線y=f(x)y=f(x)和直線和直線x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)及及x x軸所圍成平面圖形的面積軸所圍成平面圖形的面積S SbccabccadxxfdxxfdxxfdxxfS)()()(|)(| )

3、3(badxxfS)( ) 1 (badxxfS)( )2(2)xyoabc)(xfy (3)(1)xyo)( xfy ab2021/6/166例2.用定積分表示圖中四個陰影部分面積積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxAa20000ayxyxxyxf(x)=x2f(x)=x2-12-12f(x)=(x-1)2-12021/6/167積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(21)(22xfxxf解：dxxA221000ayxyxyx-12-12f(x)=x2f(x)=x

4、2f(x)=(x-1)2-12021/6/168可得陰影部分的面積為根據(jù)定積分的幾何意義，上，在上，上連續(xù)，且在，在中，被積函數(shù)在圖（0)(20, 0)(01211) 1()(3) 32xfxfxxf解：dxxdxxA 1) 1( 1) 1(220201000ayxyxyx-12-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=(x-1)2-12021/6/169成立。說明等式利用定積分的幾何意義0sin22xdx例3：解：所以并有上，在上，上連續(xù)，且在，在在右圖中，被積函數(shù), 0sin20, 0sin0222sin)(21AAxxxxf0)(1222AAdxxf222A1Axyf(x)=sinx1

5、-12021/6/1610練習(xí)練習(xí). . 求拋物線求拋物線y=xy=x2 2-1-1，直線，直線x=2x=2，y=0y=0所圍成的所圍成的 圖形的面積。圖形的面積。y解：解：如圖：由如圖：由x x2 2-1=0-1=0得到拋物線與得到拋物線與x x軸軸的交點坐標(biāo)是的交點坐標(biāo)是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面積所求面積如圖陰影所示：如圖陰影所示：所以：所以：112212) 1() 1(dxxdxxS38)3()3(113123xxxx由一條曲線和直線所圍成平面圖形的面積的求解由一條曲線和直線所圍成平面圖形的面積的求解2021/6/1611類型類型2 2：由兩條曲線由兩條曲

6、線y=f(x)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直線，直線x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)所圍成平面圖形的面積所圍成平面圖形的面積S Syxoba)(xfy )(xgy (2)(xfy )(xgy (1) baf xg x dx2021/6/1612例例1 1. . 計計 算算 由由 兩兩 條條 拋拋 物物 線線xy 2和和2xy 圍圍 成成 圖圖 形形 的的 面面 積積 . . 解解: :作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的圖象如圖所示的圖象如圖所示: :即兩曲線的交點為即兩曲線的交點為(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)1 12 20 0S S

7、= =( ( x x - -x x ) )d dx x323102()|33xx.31 邊邊曲梯形OABC曲梯形OABDS= S-Soxy2yx2yx2xy yxABCDO11200 xdxx dx11002yxyxxyxy或解方程組 兩曲線圍成的平面圖形的面積的計算兩曲線圍成的平面圖形的面積的計算2021/6/1613求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟: :(1)(1)作出示意圖作出示意圖;(;(弄清相對位置關(guān)系弄清相對位置關(guān)系) )(2)(2)求交點坐標(biāo)求交點坐標(biāo);(;(確定積分的上限確定積分的上限, ,下限下限) )(3)(3)確定積分變量及被積

8、函數(shù)確定積分變量及被積函數(shù); ;(4)(4)列式求解列式求解. .2021/6/16142:,4yxyxx=8y=4解方程組得直線直線y=x-4與與x軸交點為軸交點為(4,0)88042(4)xdxxdx4881204422(4)SSSxdxxdxxdx488044(22)(4)xdxxdxxdx38282042 2140|(4 )|323xxx2yx4 xy解解:作出作出y=x-4, 的圖象的圖象如圖所示如圖所示:2yxS1S22021/6/161580124 (84)2sxdx 38202 2|83x2 24016 2 833 4201(4)2syy dy234011(4)|26yyy23

9、11404 444263 2021/6/1616解解1 求兩曲線的交點求兩曲線的交點:).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy8281202222( 24)SSSxdxxxdx1S1S2S2yx3322822024 22 21166426|(4 )|18332333xxxx28022 2( 24)xdxxxdx22021/6/1617例例 3求求 y = sinx， y = = cos x，解解由上述公式知由上述公式知2, 0 xx所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積.d |cossin|20 xxxA xxxd )cos(sin40 xxxd )cos(sin24 2440sincossincos xxxx).12(2 2021/6/1618也可以先也可以先作出該平面圖作出該平面圖形的草圖，形的草圖，xxxAd )sin(cos40 .d )cos(sin24xxx 如圖，如圖，就不必用公式了就不必用公式了.則直接可得則直接可得).12(2 y = = cos xxOy = sinx421y2021/6/1619求在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積步驟求在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積步驟: :1. 作圖象作圖象;2. 求交點的橫坐標(biāo)求交點的橫坐標(biāo),定出積分上