統(tǒng)計(jì)基本概念

1、2021/3/171第二章第二章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念作出精確而可靠的結(jié)論作出精確而可靠的結(jié)論. .數(shù)理統(tǒng)計(jì)可以分為數(shù)理統(tǒng)計(jì)可以分為兩大類兩大類:一類是如何合理地安排試驗(yàn)一類是如何合理地安排試驗(yàn),-描述統(tǒng)計(jì)學(xué)描述統(tǒng)計(jì)學(xué)如如:試驗(yàn)設(shè)計(jì)、抽樣方法。試驗(yàn)設(shè)計(jì)、抽樣方法。另一類是研究如何分析所獲得的隨機(jī)數(shù)據(jù)另一類是研究如何分析所獲得的隨機(jī)數(shù)據(jù),對(duì)所研究對(duì)所研究的問題進(jìn)行科學(xué)的、合理的估計(jì)和推斷的問題進(jìn)行科學(xué)的、合理的估計(jì)和推斷, ,盡可能地盡可能地為為采取一定的決策提供依據(jù)采取一定的決策提供依據(jù),-推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)推斷統(tǒng)計(jì)學(xué), 如如:參數(shù)估計(jì)、假設(shè)參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等。檢驗(yàn)等。以獲取有效的隨

2、機(jī)數(shù)據(jù)。以獲取有效的隨機(jī)數(shù)據(jù)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)100100個(gè)樣品進(jìn)行強(qiáng)度測(cè)試個(gè)樣品進(jìn)行強(qiáng)度測(cè)試, ,于是面臨下列幾個(gè)問題于是面臨下列幾個(gè)問題: : 例如例如 某廠生產(chǎn)一型號(hào)的合金材料某廠生產(chǎn)一型號(hào)的合金材料,用隨機(jī)的方法選取用隨機(jī)的方法選取1、估計(jì)這批合金材料的強(qiáng)度均值是多少、估計(jì)這批合金材料的強(qiáng)度均值是多少?(參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題）參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題）2、強(qiáng)度均值在什么范圍內(nèi)、強(qiáng)度均值在什么范圍內(nèi)? (參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題）參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題）3、若規(guī)定強(qiáng)度均值不小于某個(gè)定值為合格、若規(guī)定強(qiáng)度均值不小于某個(gè)定值為合格,那么這那么這批材料是否合格批材料是否合格? (參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題）參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問

3、題）4、這批合金的強(qiáng)度是否服從正態(tài)分布、這批合金的強(qiáng)度是否服從正態(tài)分布?5、若這批材料是由兩種不同工藝生產(chǎn)的、若這批材料是由兩種不同工藝生產(chǎn)的,那么不同那么不同的工藝對(duì)合金強(qiáng)度有否影響的工藝對(duì)合金強(qiáng)度有否影響?若有影響若有影響,那一種工藝那一種工藝生產(chǎn)的強(qiáng)度較好生產(chǎn)的強(qiáng)度較好?(分布檢驗(yàn)問題）分布檢驗(yàn)問題）(方差分析問題）方差分析問題）6、若這批合金、若這批合金由幾種原料用不同的比例合成由幾種原料用不同的比例合成,那么那么如何表達(dá)這批合金的強(qiáng)度與原料比例之間的關(guān)系如何表達(dá)這批合金的強(qiáng)度與原料比例之間的關(guān)系?(回歸分析問題）回歸分析問題）我們依次討論參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、我們依次討論

4、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析、回歸分析方差分析、回歸分析下面引入一些數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的術(shù)語。下面引入一些數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的術(shù)語。二、統(tǒng)計(jì)量二、統(tǒng)計(jì)量一、總體與樣本一、總體與樣本 抽樣和抽樣分布三、幾個(gè)常用的分布三、幾個(gè)常用的分布 四、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布四、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布 1.1.總體總體研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)值全體稱為研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)值全體稱為總體總體( (母體母體) )個(gè)體個(gè)體總體中每個(gè)成員（元素）總體中每個(gè)成員（元素）研究某批燈泡的質(zhì)量研究某批燈泡的質(zhì)量總體總體考察國產(chǎn)考察國產(chǎn) 轎車的質(zhì)量轎車的質(zhì)量總體總體一一 總體和樣本總體和樣本2021/3/177破壞性的試驗(yàn)更是不允許

5、對(duì)整個(gè)總體進(jìn)行考察破壞性的試驗(yàn)更是不允許對(duì)整個(gè)總體進(jìn)行考察. .考察某工廠生產(chǎn)的燈泡壽命考察某工廠生產(chǎn)的燈泡壽命考察某型號(hào)手機(jī)的質(zhì)量考察某型號(hào)手機(jī)的質(zhì)量考察吸煙和患肺癌的關(guān)系考察吸煙和患肺癌的關(guān)系在實(shí)際問題中在實(shí)際問題中, , 要考察整個(gè)總體往往是不可能的要考察整個(gè)總體往往是不可能的, ,因?yàn)樗枰馁M(fèi)太多的資源和太多的時(shí)間因?yàn)樗枰馁M(fèi)太多的資源和太多的時(shí)間. .有些有些2. 2. 樣本樣本2021/3/178樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本容量樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本容量. .從國產(chǎn)轎車中從國產(chǎn)轎車中抽抽5 5輛進(jìn)行輛進(jìn)行耗油量試驗(yàn)。耗油量試驗(yàn)。樣本容量為樣本容量為5 5。為了推斷總體

6、分布及各種特征為了推斷總體分布及各種特征, ,一個(gè)可行的辦法一個(gè)可行的辦法是從該總體中按一定的規(guī)則抽取若干個(gè)個(gè)體進(jìn)行觀是從該總體中按一定的規(guī)則抽取若干個(gè)個(gè)體進(jìn)行觀察察和試驗(yàn)和試驗(yàn), , 以獲得有關(guān)總體的信息以獲得有關(guān)總體的信息. .這一抽取過程稱這一抽取過程稱為為“抽樣抽樣”, , 所抽取的部分個(gè)體稱為樣本所抽取的部分個(gè)體稱為樣本. .方法方法. . 由于抽樣的目的是為了對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷由于抽樣的目的是為了對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷, ,為了使抽取的樣本能很好地反映總體為了使抽取的樣本能很好地反映總體, ,必須考慮抽樣必須考慮抽樣 統(tǒng)計(jì)中統(tǒng)計(jì)中, ,采用的抽樣方法是隨機(jī)抽樣法采用的抽樣方法是隨機(jī)抽樣

7、法, ,即子樣中每個(gè)個(gè)體是從母體中隨意地取出來的。即子樣中每個(gè)個(gè)體是從母體中隨意地取出來的。（1 1） 重復(fù)（返回）抽樣重復(fù)（返回）抽樣分量分量X Xk k與所考察的總體有相同的分布與所考察的總體有相同的分布. .從總體中抽取個(gè)體檢查后放回從總體中抽取個(gè)體檢查后放回, 母體成分不變（分布不變）母體成分不變（分布不變）., 2 , 1nk相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量. .12,nXXX12,nXXX對(duì)無限母體而言做無返回抽取對(duì)無限母體而言做無返回抽取, ,并不改變母體的成分并不改變母體的成分獨(dú)立且同分布于母體獨(dú)立且同分布于母體12,nXXX（2 2） 非重復(fù)（無返回）抽樣非重復(fù)（無返回）

8、抽樣12,nXXX取出樣本后改變了母體的成分取出樣本后改變了母體的成分, ,所以所以12,nXXX 對(duì)有限母體對(duì)有限母體, ,不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立, ,(2) (2) 獨(dú)立同分布性獨(dú)立同分布性它要求抽取的樣本滿足下面兩點(diǎn)它要求抽取的樣本滿足下面兩點(diǎn): :(1) (1) 代表性代表性（隨機(jī)性）（隨機(jī)性）: :最常用的一種抽樣方法叫作最常用的一種抽樣方法叫作 “簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”。其中每一個(gè)分量其中每一個(gè)分量Xk k與所考察的總體有相同的分布與所考察的總體有相同的分布. .每一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同。每一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同。從總體中抽取樣本的每一個(gè)從總體中抽取樣本的每一個(gè)分量分量X

9、k 是隨機(jī)的是隨機(jī)的,., 2 , 1nk是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量. .12,nXXX若不特別說明若不特別說明, ,就指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本就指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本. .簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形, , 今后當(dāng)說到今后當(dāng)說到“X1,X2,Xn是取自某總體的樣本是取自某總體的樣本”時(shí)時(shí), ,簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本可以用與總體獨(dú)立同分布的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本可以用與總體獨(dú)立同分布的n個(gè)相互個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)獨(dú)立的隨機(jī)變量變量若總體若總體X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ,xF聯(lián)合分布函數(shù)為聯(lián)合分布函數(shù)為 knknnnxFxFxFxFxxxF12121,*）（若總體若總體X X的分布密度

10、函數(shù)為的分布密度函數(shù)為 ,xf表示表示. .12,nXXX則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為聯(lián)合密度函數(shù)為離散總體離散總體)()()()(iixXPxPX則樣本的分布列則樣本的分布列kNknnxPxxxP121,*）（niinxfxxf11*)(),(2021/3/171422()21( ),2xf xe x niinxfxxf11*)(),(2211212niinxe樣本的聯(lián)合概率密度為樣本的聯(lián)合概率密度為(2)總體總體X的概率密度為的概率密度為例例1 對(duì)下列總體分別求出樣本的聯(lián)合分布對(duì)下列總體分別求出樣本的聯(lián)合分布);, 1()1(pbX

11、),()2(2NX我們只能觀察到隨機(jī)變量取的值我們只能觀察到隨機(jī)變量取的值, ,而見不到隨機(jī)變量而見不到隨機(jī)變量. .3. 3. 總體、樣本、樣本值的關(guān)系總體、樣本、樣本值的關(guān)系事實(shí)上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值事實(shí)上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值. .它們是樣本取到的值而不是樣本它們是樣本取到的值而不是樣本. .因而可以由樣本值去推斷總體因而可以由樣本值去推斷總體. . 總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律, , 也就是樣本也就是樣本取到樣本值的規(guī)律取到樣本值的規(guī)律, ,去推斷總體的情況去推斷總體的情況-總體分布總體分布F( (x) )的性質(zhì)

12、的性質(zhì). .樣本是聯(lián)系二者的橋梁樣本是聯(lián)系二者的橋梁統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料-樣本值樣本值, ,4. 4. 樣本的分布樣本的分布1 1）樣本的頻數(shù)分布）樣本的頻數(shù)分布將將n個(gè)樣本值個(gè)樣本值nxxx,21按從小到大排列按從小到大排列, ,把相同把相同的數(shù)合并的數(shù)合并, ,并指出其頻數(shù)（樣本中各數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)）并指出其頻數(shù)（樣本中各數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)） x頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率*1x*2x*lx1m2mlmnm1nm2nmlnmlii1*21lxxx1 1）樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)）樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)樣本值樣本值Rxxxxn，對(duì),21)(xm 樣本值小于或等于樣本值小于或等于x x的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù),

13、,作作nxmxFn)()( 樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)給出了在給出了在n n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, ,事件事件xX 出現(xiàn)的頻率出現(xiàn)的頻率, ,具有分布函數(shù)的一切性質(zhì)。如具有分布函數(shù)的一切性質(zhì)。如: :非降非降, ,右連續(xù)右連續(xù); ;, 1)(, 0)(nnFF由頻數(shù)分布知由頻數(shù)分布知*121322121111*/ )(*/ )(*/*0)(l*kkk*nxx xxx nmmmxxx nmm xxx nmxx xF若樣本為若樣本為n維維r.v,r.v,那么對(duì)于每一樣本值那么對(duì)于每一樣本值nxxx,21就可作一個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)就可作一個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù), ,故故)(xFn是隨機(jī)變是

14、隨機(jī)變量量-n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, ,事件事件xX 發(fā)生的頻率。發(fā)生的頻率。的概率的分布函數(shù)，表示事件是總體xXXxF)(由伯努利大數(shù)定律由伯努利大數(shù)定律, ,0對(duì)1)()(limxFxFPnn)(xFn格列汶科進(jìn)一步證明了格列汶科進(jìn)一步證明了: :當(dāng)當(dāng)n時(shí)時(shí), ,Fn(x)以以概率概率1 1關(guān)于關(guān)于x一致收斂于一致收斂于F(x), ,即即這就是著名的格列汶科定理這就是著名的格列汶科定理. . 10| )()(|suplimxFxFPnxn格列汶科定理的優(yōu)缺點(diǎn)格列汶科定理的優(yōu)缺點(diǎn)1 1、當(dāng)樣本容量、當(dāng)樣本容量n足夠大時(shí)足夠大時(shí), ,對(duì)所有的對(duì)所有的x, , Fn(x)與與F(x)

15、之差的絕對(duì)值都很小之差的絕對(duì)值都很小, ,且這件事發(fā)生的概率且這件事發(fā)生的概率為為1. 1. 2021/3/17212、Fn(x)是一統(tǒng)計(jì)量是一統(tǒng)計(jì)量,則則 也是一統(tǒng)計(jì)量也是一統(tǒng)計(jì)量,用來表示用來表示Fn(x) 與與F(x) 的最大差異的最大差異,且概率為且概率為1的收斂于零。的收斂于零。3、定理沒有給出、定理沒有給出 的分布或極限分的分布或極限分布布 這就是我們可以由樣本推斷總體的基本理論依據(jù)這就是我們可以由樣本推斷總體的基本理論依據(jù)| )()(|supxFxFnx| )()(|supxFxFnx10| )()(|suplimxFxFPnxn2021/3/1722定理定理:樣本均值以概率收斂

16、于樣本均值以概率收斂于EX,樣本方差以樣本方差以概率收斂于總體方差概率收斂于總體方差DX,樣本矩以概率收樣本矩以概率收斂于總體矩?cái)坑诳傮w矩2021/3/1723五、直方圖五、直方圖(1)(1)離散情況離散情況Xkp1x2x1p2pkxkp(2)(2)連續(xù)情況連續(xù)情況其中其中 為未知。如何估計(jì)為未知。如何估計(jì) ？ ipip 設(shè)總體設(shè)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量, ,如何估計(jì)未知如何估計(jì)未知的密度函數(shù)的密度函數(shù)f (x) ?2021/3/1724定義定義1 設(shè)設(shè) ),(21nXXXgnXXX,21是來自總體是來自總體X的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本,為一實(shí)值連續(xù)函數(shù)為一實(shí)值連續(xù)函數(shù), 其不包含任何

17、其不包含任何未知參數(shù)未知參數(shù),則稱則稱),(21nXXXg為一個(gè)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量。),(21nxxxg為為),(21nXXXg的觀測(cè)值。的觀測(cè)值。注注:),(21nXXXg是隨機(jī)變量的函數(shù)仍為隨機(jī)變量。是隨機(jī)變量的函數(shù)仍為隨機(jī)變量。),(21nxxxg便是一個(gè)數(shù)。便是一個(gè)數(shù)。 注注:統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量。統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量。二 統(tǒng)計(jì)量1. 1. 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量2021/3/1725例例121( ,),nXNXX 121111,max(,)nniiniiXXXXXnn為來自總體的樣本為來自總體的樣本 未知未知, 已知已知,判斷下列函數(shù)哪些是統(tǒng)計(jì)量。判斷下列函數(shù)哪些是統(tǒng)計(jì)量。 2021/3/1726 2

18、. 幾個(gè)常見的統(tǒng)計(jì)量幾個(gè)常見的統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本均值樣本方差樣本方差niiXnX11 niiXXnS122)(11它反映了總體它反映了總體 均值的信息均值的信息nXX,1是來自總體是來自總體X的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本,它反映了總體它反映了總體 方差的信息方差的信息 niiXXnSS122)(11樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差2021/3/172721)( niiXX niiXnX122證證 左邊左邊2212niiiXX XX niniiiXnXXX12122 niiXnXXnX1222 niiXnX122重要公式重要公式222111niiSXnXn2021/3/1728樣本樣本k 階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩樣本樣本k

19、 階中心矩階中心矩nikikXnA11nikikXXnB1)(1 它反映了總體它反映了總體k階矩階矩的信息的信息 它反映了總體它反映了總體k 階階中心矩的信息中心矩的信息, 2 , 1 k2021/3/1729常見統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)常見統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì))()() 1 (XEXE)1()(1 niiXnEXE)(11 niiXEn()E XnXDXD)()()2()1()(1 niiXnDXD)(112 niiXDn21()nD Xn()D Xn2021/3/1730)()()3(2XDSE 22111niiEXnXn2E S2211nE XnE Xn221nD XEXD XEXn1D XnD XnnD

20、X2021/3/1731是來自總體是來自總體例2設(shè)設(shè)nXXX,21X)(kXE, 2 , 1 k的一樣本的一樣本,總總體體的的階矩階矩Xk存在存在,證明證明)()(kkXEAE ;, 2 , 1 k(1)., 2 , 1 k kPkXEA(2)證證 nXXX,2112,kkknXXX獨(dú)立且與獨(dú)立且與 同分布同分布XkX獨(dú)立且與獨(dú)立且與 同分布同分布()kE A11(),nPkkkiiAXE Xn 由辛欽大數(shù)定律由辛欽大數(shù)定律,知知, 2 , 1 k., 2 , 1 k nikiXEn1)(1(),kE X2021/3/1732充分統(tǒng)計(jì)量與完備統(tǒng)計(jì)量充分統(tǒng)計(jì)量與完備統(tǒng)計(jì)量v充分統(tǒng)計(jì)量充分統(tǒng)計(jì)量定

21、義定義:設(shè)設(shè) 是來自總體是來自總體X具有分布函數(shù)具有分布函數(shù) 當(dāng)給定當(dāng)給定 時(shí)時(shí),若樣本若樣本 的條件分布與參數(shù)的條件分布與參數(shù) 無關(guān)無關(guān),則稱則稱 是是 的的 充分統(tǒng)計(jì)量充分統(tǒng)計(jì)量 nXXX,21的一個(gè)樣本),(xF為一統(tǒng)計(jì)量，),(21nXXXTtTTnXXX),(21T2021/3/1733充分統(tǒng)計(jì)量含義充分統(tǒng)計(jì)量含義v 樣本中包含關(guān)于總體分布中未知參樣本中包含關(guān)于總體分布中未知參 數(shù)的信息數(shù)的信息,是因?yàn)闃颖镜穆?lián)合分布與參是因?yàn)闃颖镜穆?lián)合分布與參 數(shù)有關(guān)。對(duì)統(tǒng)計(jì)量數(shù)有關(guān)。對(duì)統(tǒng)計(jì)量T,如果已經(jīng)知道它的如果已經(jīng)知道它的 值以后值以后,樣本的樣本的條件分布就與參數(shù)無關(guān)條件分布就與參數(shù)無關(guān)。

22、即在統(tǒng)計(jì)量即在統(tǒng)計(jì)量T中中包含了參數(shù)的全部信息包含了參數(shù)的全部信息。 2021/3/1734用定義證明用定義證明T是充分統(tǒng)計(jì)量是充分統(tǒng)計(jì)量v例例1 設(shè)設(shè) 總體總體 服從兩點(diǎn)分布服從兩點(diǎn)分布 ,即即 是來自總體是來自總體 的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本,證明證明樣本均值樣本均值 是參數(shù)是參數(shù) 的充分統(tǒng)計(jì)量的充分統(tǒng)計(jì)量證明證明:由于由于即易知， ),( ), 1 (pnBXnpBXXXpX), 1 (pB10 1 , 0,)1 (1pxppxXPxx其中nkppCkXnPknkkn, 1 , 0,)1 (TnXXX),(212021/3/1735v當(dāng)已知當(dāng)已知 時(shí)時(shí),樣本樣本 的條件概率的條件概率 nkXk

23、xnii,1,|,11221122112211nkXPxkXxXxXPnkXPnkXxXxXxXPnkXxXxXxXPniinnnnnTnXXX),(212021/3/1736的充分統(tǒng)計(jì)量是無關(guān)，所以與pXpCppCppknknkknxnxniinii1)1 ()1 (112021/3/1737例2 設(shè)設(shè) 是來自泊松分布是來自泊松分布 的一個(gè)樣的一個(gè)樣本本,證明樣本均值證明樣本均值 是是 的充分統(tǒng)計(jì)量的充分統(tǒng)計(jì)量v證明證明:由泊松分布性質(zhì)知由泊松分布性質(zhì)知 在給定在給定 后后,對(duì)對(duì) 任意任意 有有 樣本樣本 的條件概的條件概 率為率為:TnXXX),(21)(PX)(npXnT tT niit

24、x1nxxx, 21,TnXXX),(212021/3/1738的充分統(tǒng)計(jì)量是無關(guān)，所以與XxntetnexetnxtXPxXPtTPxtXxXxXPtTxXxXxXPniitntniixntniniiniiniinnni1111111122112211!)(!)()()(,|,2021/3/1739例例3 設(shè)設(shè) 是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體 的的樣本樣本,證明證明 是充分統(tǒng)計(jì)量是充分統(tǒng)計(jì)量v證明證明:由條件知由條件知 在給定在給定 后后,對(duì)對(duì) 任意任意 有有 ,樣本樣本 的條件概的條件概 率密度為率密度為:TnXXX),(21) 1 ,(NniixT1),(1nnNxTniitT nxxx,

25、 21,niitx1TnXXX),(212021/3/1740是充分統(tǒng)計(jì)量無關(guān)，所以與TeneneenxtXPxXPtTPxtXxXxXPtTxXxXxXPntniinniinxnntntxnntniniiniiniinnn)(1)2()()(1111112211221121221222212121221)2(21)2(121)()(,|,2021/3/1741因子分解定理因子分解定理v定理定理(費(fèi)希爾費(fèi)希爾奈曼準(zhǔn)則）奈曼準(zhǔn)則） 設(shè)設(shè) 是來自總體是來自總體X具有分布函數(shù)具有分布函數(shù) 則則 為為 的的充分統(tǒng)計(jì)量充分統(tǒng)計(jì)量的的充要條件充要條件是是:樣本的聯(lián)合分布密度函數(shù)可以分解為樣本的聯(lián)合分布密度

26、函數(shù)可以分解為 nXXX,21,),(的一個(gè)樣本xF為一統(tǒng)計(jì)量，),(21nXXXTT2021/3/1742nnnnnniinnnnniixxxTxxxTgxxxhxxxTgxxxhxXPxXxXxXPxxxTgxxxhxfL,),(),(),(),()(),(),(),(),()(21212121211221121211依賴于僅通過無關(guān)非負(fù)且與其中2021/3/1743用因子分解定理證明充分統(tǒng)計(jì)量用因子分解定理證明充分統(tǒng)計(jì)量v例例1 設(shè)設(shè) 總體總體 服從兩點(diǎn)分布服從兩點(diǎn)分布 ,即即 是來自總體是來自總體 的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本,證明證明樣本均值樣本均值 是參數(shù)是參數(shù) 的充分統(tǒng)計(jì)量的充分統(tǒng)計(jì)量

27、證明證明:由于由于 ), 1 (，pBXXXpX), 1 (pB10 1 , 0,)1 (1pxppxXPxx其中niiniiniixnxnxnnpppppxXxXxXP111)1()1 ()1 (,2211TnXXX),(212021/3/1744),(),()1()1 ()1 (,21212211111pxxxTgxxxhpppppxXxXxXPnnxnxnxnnniiniinii的充分統(tǒng)計(jì)量是由因子分解定理知其中pTppppxxxTgxxxhxnxxxTnTnnnniin)1()1(),( 1),( 1),( 21211212021/3/1745例2 設(shè) 是來自泊松分布 的一個(gè)樣本,證明

28、樣本均值 是 的充分統(tǒng)計(jì)量v證明:樣本 的聯(lián)合分布律為TnXXX),(21)(PXTnXXX),(21nniixnnexxXxXxXPnii12211!,1的充分統(tǒng)計(jì)量是由因子分解定理知其中TepxxxTgxxxxhxnxxxTnnTnniinniin),( !1),( 1),( 211211212021/3/1746例3 設(shè) 是來自正態(tài)總體 的樣本,證明 是 的充分統(tǒng)計(jì)量v證明:樣本 的聯(lián)合分布密度為:TnXXX),(21) 1 ,(NniixnT11TnXXX),(2122122121)(2)(21)(2)(21)(21)2(1)2(1)2(1)(xnxxnxnxxnxneeeeLniin

29、iinii2021/3/1747的充分統(tǒng)計(jì)量是由因子分解定理知令TxxxTgxxxhLexxxTgexxxhxxnxxxTnnTnnnxxnniinnii),(),()()2(1),( ),( 1),( 2121)(221)(21211212122021/3/1748例4 設(shè) 是來自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本,證明 是 的充分統(tǒng)計(jì)量v證明:樣本 的聯(lián)合分布密度為:TnXXX),(21),(2NTniixXT),(12TnXXX),(21),(),()2(1)2(1)(2121221)(21221222212nnnxnxnxnxxxTgxxxheeLniiniiT),(22021/3/1749例5 設(shè)

30、x1, x2, , xn是取自總體U(0,)的樣本, 即總體的密度函數(shù)為p(x ; )=1/ x 其他于是樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為2021/3/1750取T =x(n),并令 g(t ; )= (1/, h(x)=1,由因子分解定理知T =x(n) 是 的充分統(tǒng)計(jì)量。p(x1; )p(xn; )=0, 其它 (1/, 0minximaxxi由于諸xi,所以我們可將上式改寫為p(x1; )p(xn; ) = (1/x(n)2021/3/1751定理定理:設(shè)設(shè) 是是單值可逆函數(shù)單值可逆函數(shù),則則 也是也是 的充分統(tǒng)計(jì)量的充分統(tǒng)計(jì)量的一充分統(tǒng)計(jì)量，為 ),(21nXXXT)(tf)(Tf結(jié)論結(jié)論: :1

31、 1 統(tǒng)計(jì)量用來推測(cè)參數(shù)的值統(tǒng)計(jì)量用來推測(cè)參數(shù)的值; ;2 2 充分統(tǒng)計(jì)量把可能丟失信息的統(tǒng)計(jì)量篩選充分統(tǒng)計(jì)量把可能丟失信息的統(tǒng)計(jì)量篩選; ;3 3 最優(yōu)統(tǒng)計(jì)量在充分統(tǒng)計(jì)量之中最優(yōu)統(tǒng)計(jì)量在充分統(tǒng)計(jì)量之中; ;4 4 一個(gè)參數(shù)的充分統(tǒng)計(jì)量不唯一一個(gè)參數(shù)的充分統(tǒng)計(jì)量不唯一. .問題問題: :在什么情況下在什么情況下, ,它是唯一的它是唯一的? ?2021/3/1752v充分性原則: v 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一個(gè) 基本原則- 在充分統(tǒng)計(jì)量存在的場(chǎng)合,任何統(tǒng)計(jì)推斷都可以基于充分統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行,這可以簡(jiǎn)化統(tǒng)計(jì)推斷的程序。2021/3/1753v完備統(tǒng)計(jì)量完備統(tǒng)計(jì)量定義定義 設(shè)總體設(shè)總體 的分布函數(shù)族為的分布函數(shù)族為

32、 若對(duì)任意一個(gè)滿足若對(duì)任意一個(gè)滿足 的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量 ,總有總有則稱則稱 為為完備的分布函數(shù)族完備的分布函數(shù)族),(xFX, 0)(XgE)(Xg, 10)(XgP),(xF 若一若一統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量T T 的分布函數(shù)族是完的分布函數(shù)族是完備的備的, ,則該統(tǒng)計(jì)量為完備統(tǒng)計(jì)量則該統(tǒng)計(jì)量為完備統(tǒng)計(jì)量2021/3/1754Q.E.D 1,0)(-)(P : 0,)(-)(E ),(E)(E :212121TgTgTgTgTgTg又由定義得知由顯然證明v性質(zhì)的一完備統(tǒng)計(jì)量，為 ),(21nXXXT),()(, 1)()(2121TgETgETgTgP的一完備統(tǒng)計(jì)量，為 ),(21nXXXT2021/

33、3/1755 ),(21nXXXT對(duì)于一般的統(tǒng)計(jì)量),()(, 1)()(2121TgETgETgTgP), 1 (pBXv例例 設(shè)設(shè) 是來自總體是來自總體 服從兩點(diǎn)分布服從兩點(diǎn)分布 的的樣本樣本 ,樣本均值樣本均值 是參數(shù)是參數(shù) 的充分統(tǒng)計(jì)量的充分統(tǒng)計(jì)量,驗(yàn)證驗(yàn)證 也是完備統(tǒng)計(jì)量也是完備統(tǒng)計(jì)量 證明證明:由于由于TnXXX),(21XpXnkppCkXnPknkkn, 1 , 0,)1 ( ),( ), 1 (pnBXnpBX，2021/3/1756是完備統(tǒng)計(jì)量所以只有它的每項(xiàng)系數(shù)為零要使多項(xiàng)式值為零對(duì)一切的多項(xiàng)式上式是關(guān)于對(duì)一切或即使得設(shè)XnknkgppppppCnkgppCnkgpppC

34、nkgXgEXgnkkknnkkknnnkknkknp), 1 ,0(0)(,10,110 ,0)1()( 0)1()()1( 0)1()()()(0002021/3/1757v 如果一個(gè)統(tǒng)計(jì)量既是充分統(tǒng)計(jì)量如果一個(gè)統(tǒng)計(jì)量既是充分統(tǒng)計(jì)量,又是完備又是完備統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量,則稱為充分完備統(tǒng)計(jì)量。則稱為充分完備統(tǒng)計(jì)量。v定理定理:設(shè)設(shè) 來自總體來自總體 的一個(gè)樣的一個(gè)樣本本, 的充分完備統(tǒng)計(jì)量的充分完備統(tǒng)計(jì)量 ),(xFnXXX,21 ),(21為nXXXT如果無偏估計(jì)存在如果無偏估計(jì)存在, ,則則 是唯一的最優(yōu)是唯一的最優(yōu)無偏估計(jì)量無偏估計(jì)量)|(TE2021/3/1758指數(shù)型分布族v定義:設(shè) 是

35、來自正態(tài)總體X 的一個(gè)樣本,其分布密度為 ,如果樣本的聯(lián)合分布密度具有形式);(xfTnXXX),(21niixf1),(mjnnjjxxxhxxxTbC12121),(),()(exp)()(),(jbC),(),(2121nnjxxxhxxxT其中 只與參數(shù) 有關(guān), 只與樣本有關(guān),則稱 為指數(shù)型分布族);(xf2021/3/1759v定理:設(shè)總體 的分布密度 為指數(shù)型分布族,則是 參數(shù) 的充分完備統(tǒng)計(jì)量);(xfTX例1 設(shè) 是來自泊松分布 的樣本,則樣本的聯(lián)合分布律為TnXXX),(21)(PnniixnnexxXxXxXPnii12211!,1的充分完備統(tǒng)計(jì)量是TnbeCxhxnTnn

36、iiniiln)(,)( ,!1 ,1 11niiniinxnxne11!1)ln1exp(2021/3/1760例2 設(shè) 是來自正態(tài)總體 的樣本,它的聯(lián)合分布密度為:TnXXX),(21),(2N1),2,(,)1,(2212hnnBxnxTTniiniinnxnxnxnneeLnii12222)(21)1(2exp)2(1)2(1)(22212T),(2222)2(1)(nneCTniixnxT)1,(12是 的充分完備統(tǒng)計(jì)量 2021/3/1761 統(tǒng)計(jì)量既然是依賴于樣本的統(tǒng)計(jì)量既然是依賴于樣本的,而樣本是隨機(jī)而樣本是隨機(jī)變量變量,故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量,因而就有一定的

37、分因而就有一定的分布布,這個(gè)分布叫做這個(gè)分布叫做統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量的“抽樣分布抽樣分布” .常用的常用的有有 三三. . 抽樣分布抽樣分布2分布，分布，正態(tài)分布，正態(tài)分布，t 分布，分布， F 分布分布2021/3/1762(1) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布0,1XNX的的上上 (0 45時(shí)，由時(shí)，由) 1 , 0(2)(2Nnnnn很大近似2021/3/1769記為記為 Tt (n).nYXT 服從自由度為服從自由度為 n 的的 t 分布分布.(3) t 分布分布設(shè)設(shè)XN(0,1) ,)(2n Y則稱變量則稱變量, 且且X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,當(dāng)當(dāng) n 充分大時(shí)充分大時(shí),其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度其圖形類

38、似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形。函數(shù)的圖形。 t 分布的密度函數(shù)關(guān)于分布的密度函數(shù)關(guān)于x = 0 對(duì)稱對(duì)稱性質(zhì)性質(zhì)2021/3/1770（1）具有自由度為）具有自由度為 n 的的 t 分布的隨機(jī)變量分布的隨機(jī)變量 T 的的 當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí),其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度0);(limnxfx（2）t 分布的密度函數(shù)關(guān)于分布的密度函數(shù)關(guān)于 x = 0 對(duì)稱對(duì)稱,且且2. 性質(zhì)性質(zhì)數(shù)學(xué)期望和方差為數(shù)學(xué)期望和方差為: E( T ) = 0; D( T ) = n / ( n - 2 ) , 對(duì)對(duì) n 2 函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形.很大很大.不難看到不難看到,當(dāng)當(dāng)n充分大

39、時(shí)充分大時(shí),t 分布近似分布近似N (0,1)分布分布. 但對(duì)于較小的但對(duì)于較小的n, t分布與分布與N (0,1)分布相差分布相差2021/3/17713 、 t 分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn) 對(duì)于給定的正數(shù)對(duì)于給定的正數(shù)10,稱滿足條件稱滿足條件)()()(ntdttfnttP的點(diǎn)的點(diǎn)為為分位點(diǎn)分位點(diǎn)”。分布的分布的“上上)(nt)(nt)(nt)(1nt例例4851. 2)25(2501. 001. 0tn)(2nt22)(2nt)()(1ntnt查查t 分布表分布表,附表附表32021/3/1772取取)()(221ntbnta當(dāng)當(dāng)201 . 0n時(shí)時(shí) 分布上側(cè)分布上側(cè)分位點(diǎn)分位點(diǎn)3253

40、. 1)20(t 分布下側(cè)分布下側(cè)分位點(diǎn)分位點(diǎn)3253. 1)20()20(1tt 分布雙側(cè)分布雙側(cè)分位點(diǎn)分位點(diǎn)7247. 1)20(2t7247. 1)20()20(221tt1)(badttfbtaPt t的分布的雙側(cè)的分布的雙側(cè)分位點(diǎn)為滿足分位點(diǎn)為滿足zntn)(45時(shí)，2021/3/1773(4)(4)F 分布分布),(),(2212nYnX 的的F分布分布, ,n1稱為第一自由度稱為第一自由度, ,21nYnXF 設(shè)設(shè)X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,則稱統(tǒng)計(jì)量則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為服從自由度為稱為第二自由度，記作稱為第二自由度，記作2n),(21nnFF由定義可得由定義可得121nXn

41、YF 性質(zhì)性質(zhì)21,nn),(12nnF2021/3/1774F F 分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn)對(duì)于給定的正數(shù)對(duì)于給定的正數(shù)10 , 稱滿足條件稱滿足條件 ),(21nnFFP為為),(21nnF分布的分布的的點(diǎn)的點(diǎn)),(21nnF ),(21nnF ),(1),(12211nnFnnF 上上 分位點(diǎn)分位點(diǎn) )10,15(95. 0F)15,10(105. 0F394. 054. 21 2021/3/1775即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度n1.(2)X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為:2)(22nnXE若若n22(1)由定義可見由定義可見,121nXnYFF(n2,

42、n1)2.性質(zhì)性質(zhì)2021/3/1776(3)F 分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn) 對(duì)于給定的正數(shù)對(duì)于給定的正數(shù)10 ,稱滿足條件稱滿足條件),(2121)(),(nnFdzzfnnFFP的點(diǎn)的點(diǎn)為為分位點(diǎn)分位點(diǎn)分布的上分布的上),(21nnF),(21nnF),(21nnF48. 2)15,12(05. 0F2021/3/1777F 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)).,(/1),( F1221nnFFnnF則若),(/1),(12211nnFnnF結(jié)論：),(21nnFF證明：若),(11),(1211211nnFFPnnFFP),(111211nnFFP),(11211nnFFP所以),(1),(21112

43、nnFnnF),(/ 112nnFF又2021/3/1778表中所給的表中所給的都是很小的數(shù)都是很小的數(shù),如如0.01,0.05等等當(dāng)當(dāng)表中查不出表中查不出,由性質(zhì)（由性質(zhì)（2）),(1),(12211nnFnnF即)9 ,12(95. 0F例：)12, 9(105. 0F357. 080. 21較大時(shí)較大時(shí),如如0.95,2021/3/1779例1),(ntt2t,/nYXt 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量求求的分布。的分布。解解 XY隨機(jī)變量隨機(jī)變量與與獨(dú)立獨(dú)立),1 , 0( NX)(2nY 因而因而nYXt/1/22 ),1(22 X),(2nY )., 1(2nFt由于由于由定理由定理 3 得

44、得由題可知由題可知).1 ,(12nFt2021/3/1780四四. . 正態(tài)總體抽樣分布定理正態(tài)總體抽樣分布定理的樣本的樣本, , 則有則有 定理定理1 (1 (樣本均值的分布樣本均值的分布) ),(2N設(shè)設(shè)X1 , X2 , , Xn 是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體的概率分布為得到樣本均值取特別地且也是正態(tài)變量當(dāng)XninaaaNUXaXaXaUininiiinn),2, 1(1,),(,112222112021/3/178121),XNn) 1 , 0()2NnX),( )( )( , :1221122121111niiniiniiniiiniiiniiniiiniiiaaNUaDXaXaD

45、DUaEXaXaEEU即且合是正態(tài)變量獨(dú)立正態(tài)變量的線性組由概率論知證明2021/3/1782定理2 (樣本方差的分布) 1()(1) 1() 1 (2222222*nXXSnnSi設(shè)設(shè) X1 , X2 , , Xn 是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體樣本樣本 ,2SX 和和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差.則有則有(2)X),(2 N的的和和 相互獨(dú)立相互獨(dú)立。2S(3) (1)Xt nSn2021/3/1783因?yàn)橹挥幸粋€(gè)約束條件個(gè)自由度有,1)(12nXXnkknkkXX10)()1()()()(,2, 1, :2211222221212121222*nZZYnZZYnZTTZ

46、YnYYYnYXXXXnSniXYniiTTTTniininiiniiii記證明2021/3/1784) 1 , 0( NnX由于)1()(1)1(2222222*nXXSnnSi)1(/)1/(,)1(/,22)1(/222ntnSXnSnnXSXSnnX從而由分布定義得相互獨(dú)立與因此相互獨(dú)立與且2021/3/1785 12122211221212()2) (2)(1)(1)112XYt nnnSnSnnnn221122(,)(,)XNYN 設(shè)，YX和和分別是這兩個(gè)樣本的均值分別是這兩個(gè)樣本的均值,且且 X 與與 Y 獨(dú)立獨(dú)立,11,nXX是取自是取自X 的樣本的樣本,樣本樣本,分別是這兩個(gè)

47、樣本的樣本方差分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差,2221SS 和和則有則有2,1nYY 是取自是取自Y的的定理 3 (兩總體樣本均值差的分布)1, 1()12122222121 nnFSS 122021/3/1786) 1 , 0()(),(,)(,)(,:221221221221221221NYXUnnNYXnnYDXDYXDYEXEYXEYXYXnn即所以又也服從正態(tài)分布所以立服從正態(tài)分布且相互獨(dú)由于證明2021/3/1787)2()2() 1() 1()()()2() 1() 1() 1() 1(),1() 1(21221212122221121212222222112222221222112

48、1nntUnnnnnnSnSnYXTnnSnSnVnSnnSnnnV2021/3/1788)1, 1()1/()1/()1, 1()1/()1/()1()1( ),1()1( 21222121212121222221212222222122121121nnFSSnVnUFnnFSSnVnUFnSnVnSnU時(shí)記時(shí)2021/3/1789例2一個(gè)樣本一個(gè)樣本,求求設(shè)設(shè)721,XXX)5 . 0, 0(2N是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體的的4712 iiXP(1) 4)(712 iiXXP(2) 由定理由定理 2 知知27100.5iiX 7124iiX);7(2 解解 7214iiPX164712

49、iiXP025. 0 20.025(7)16.0132021/3/179016)(4712 iiXXP4)(712 iiXXP例例2一個(gè)樣本一個(gè)樣本,求求設(shè)設(shè)721,XXX)5 . 0, 0(2N是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體的的4712 iiXP(1) 4)(712 iiXXP(2) ,812.16)6(201. 0 查表可得查表可得01. 0 712)(4iiXX 27125 . 0)(iiXX)6(2 2021/3/1791思考與練習(xí)是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體的樣的樣nXXX,21),(2 N1. 設(shè)設(shè)本本, 則有則有 1212 niiXX (A);(B) 1212 niiX ;(C)

50、)(12niiXXE;(D) )(12niiXD )(2n )1(2 n 2)1( n42 n2021/3/1792一些非正態(tài)總體樣本均值得分布一些非正態(tài)總體樣本均值得分布v定理定理:設(shè)總體設(shè)總體 的分布是任意的的分布是任意的,但具有有限方差但具有有限方差, 為來自總體為來自總體 的樣本的樣本,則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)時(shí)樣本均值樣本均值 有有即當(dāng)即當(dāng) 充分大時(shí)充分大時(shí), 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布X0DXnXXX,21nX)1 , 0()()(111NLXDXEXniiniiniinX),(nDXEXNX2021/3/1793v定理定理:設(shè)總體設(shè)總體 的分布是任意的的分布是任意的,其均值為其均值為

51、方差為方差為 且四階中心矩且四階中心矩 有限有限, 為為 來自總體來自總體 的樣本的樣本,則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)時(shí),樣本方差樣本方差 有有即當(dāng)即當(dāng) 充分大時(shí)，充分大時(shí)， 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布XnXXX,21n) 1 , 0(/22NLnSn)/,(22nNX244)(vXE2S442 v2S2021/3/1794v定理定理:設(shè)總體設(shè)總體 的分布是任意的的分布是任意的,其均值為其均值為 且具且具有有限方差有有限方差, 為來自總為來自總 體體 的樣本的樣本,則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)有時(shí)有即當(dāng)即當(dāng) 充分大時(shí)充分大時(shí), 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布前面三個(gè)定理是研究大樣本統(tǒng)計(jì)問題的理論依據(jù)前面三個(gè)定理是研究

52、大樣本統(tǒng)計(jì)問題的理論依據(jù)X0DXnXXX,21n) 1 , 0(/NLnSX nX)/,(2nSNX2021/3/1795次序統(tǒng)計(jì)量及其分布次序統(tǒng)計(jì)量及其分布 一、次序統(tǒng)計(jì)量一、次序統(tǒng)計(jì)量。一、一、定義定義 設(shè)設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體是取自總體X的樣本的樣本, , x(i) 稱為該樣本的第稱為該樣本的第i 個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量, ,它的取值它的取值 是將樣本觀測(cè)值由小是將樣本觀測(cè)值由小到大排列后得到的第到大排列后得到的第 i 個(gè)個(gè) 觀測(cè)值。其中觀測(cè)值。其中x(1)=min x1, x2, xn 稱為該樣本稱為該樣本 的最小次序統(tǒng)計(jì)量的最小次序統(tǒng)計(jì)量,稱稱 x(n)=max

53、x1,x2,xn 為為 該樣本的最大次序統(tǒng)計(jì)量。該樣本的最大次序統(tǒng)計(jì)量。2021/3/1796例例 設(shè)總體設(shè)總體X 的分布為僅取的分布為僅取0,1,2的離散均的離散均勻分布勻分布,分布列為分布列為xp 在一個(gè)樣本中在一個(gè)樣本中,x1, x2,xn 是獨(dú)立同分布的是獨(dú)立同分布的,而而次序統(tǒng)計(jì)次序統(tǒng)計(jì)量量 x(1), x(2), x(n) 則既不獨(dú)立則既不獨(dú)立, ,分布也不分布也不相同相同, ,看下例。看下例。2021/3/1797一二三一二三一二三000100200001101201002102202010110210011111211012112212020120220021121221022

54、1222222021/3/1798 0 1 2 (1)xp1927727127(3)x7271927p127 0 1 2這三個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的分布是不相同的。(2)x1327727p727 0 1 22021/3/1799進(jìn)一步,我們可以給出兩個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合分布,如,x(1) 和x(2) 的聯(lián)合分布列為01207/279/273/27104/273/272001/27x(1)x(2)2021/3/17100因?yàn)?P(x(1) = 0, x(2) = 0) =7/27 ,二者不等,由此可看出x(1) 和 x(2)是不獨(dú)立的。而 P( x(1) = 0)*P( x(2) = 0) = (19/27)*(7/27),2021/3/17101v定理1:次序統(tǒng)計(jì)量是充分統(tǒng)計(jì)量v證明:所以是充分統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)無關(guān),!1),(),(),|,()()()2()2() 1 () 1 ()()2(2) 1 (1)()() 1 () 1 ()() 1 (1nxXxXxXPxXxXxXPxXxXxXxXPnnninii