初中數(shù)學(xué)論文：如何讓學(xué)生在自主探究中學(xué)習(xí)新知識

1、如何讓學(xué)生在自主探究中學(xué)習(xí)新知識在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展探究性學(xué)習(xí)活動，符合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點和規(guī)律。它有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力、創(chuàng)造精神和實踐能力，同時也能通過引發(fā)學(xué)生積極思維而產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的興趣。通過設(shè)計探究性問題來開展課堂教學(xué)是深入進行數(shù)學(xué)教育研究的一種有效方式，根據(jù)學(xué)生認知結(jié)構(gòu)及知識本身的系統(tǒng)性來設(shè)計研究性問題是一個數(shù)學(xué)教師深入鉆研教材、建立自己教學(xué)特色的關(guān)鍵。本文擬給出三角形內(nèi)角和定理證明的探究性教學(xué)案例研究。一一則教學(xué)案例“授人以魚，不如授人以漁”。最有價值的知識是關(guān)于方法的知識。數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出教師

2、應(yīng)向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。浙教版七下第一章“1.1認識三角形”這節(jié)內(nèi)容中，通過讓學(xué)生開展數(shù)學(xué)試驗折紙的方法，得出了三角形內(nèi)角和為180o，沒給出具體的證明。在學(xué)生學(xué)習(xí)了八上第1章的平行線定理和性質(zhì)后，教師提出了如下問題：師：在七年級下時，我們曾經(jīng)把三角形紙片折疊成一個矩形（圖1-1）。由這個試驗我們得出了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于180o。但是，試驗總會有誤差，拼接有限個三角形還不足以說明所有的三角形都有同樣的性質(zhì)。現(xiàn)在，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了較多的幾何知識，請同學(xué)們想一想

3、，如何用這些知識去證明它。（提出問題）（學(xué)生思考，開始動手，證明大約5分鐘） 圖1-1師：誰能說一說證明過程？生：以上證明的方法是把三個內(nèi)角折到一起拼成平角說明三角形的內(nèi)角和等于180o，那我們能否把3個內(nèi)角移到一個平角上，則這3個內(nèi)角之和就等于180o。師：不錯。這就明確了解題方向。但是，通過什么方法能把角移到一起呢？生：我通過作圖來移角。在abc中，做bc的延長線ce，這就得到了一個平角，并且在平角上已經(jīng)有了一個內(nèi)角。然后，在abc的外部，做acd=a，這樣就把a移了過來。下面只需證明。（圖1-2）圖1-2（學(xué)生似乎對接下來的回答感到困難。）師：沒事的，你能想到這一步就相當(dāng)于打開了解決問題

4、的大門，我們一起走進去解決這個問題。好！接下來請大家分組（前后4人為一組）動手畫一畫，想一想，相互討論、交流，解決這個問題，最后我們交流探索的成果.師：好，誰來說一下。生：從圖形上來看，是一對同位角，要證它們相等，可先證/cd，這由作法acd=a（內(nèi)錯角相等）得知，確有兩直線平行。師：對。由acd與a的相等得出線ab與cd的平行關(guān)系，再由線的平行關(guān)系得出角的相等關(guān)系（）。這樣，整個思路就通了。現(xiàn)在請大家用自己的方式來證明這個問題，也可以借鑒剛才同學(xué)的想法，要求用明確、規(guī)范的語言將其寫出來。（教師讓兩位名同學(xué)作板演，然后巡視其他同學(xué)，看思路把握住沒有，書寫是否規(guī)范。有一名學(xué)生問：若作a=ecf，

5、則證不出b=eca（如圖1-3）， 圖1-3師說：是的，這時不能運用平行線的性質(zhì)。那能不能再想另一種移角的途徑？學(xué)生思考了一會，高興的說：老師我做出來了，作b=ecf就證出來了。示意該生板演）生：（板演）做b=ecf，則ce/ab a=ace a+b+c =ace +ecf +acb =180o 點評：學(xué)生圍繞著如何用學(xué)過的知識來證明三角形內(nèi)角和定理，此活動是以學(xué)生的主動參與及相互影響下展開的。學(xué)生在證明過程中的不同思路，豐富了學(xué)生數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗。（問題補充）師：對于這個問題，應(yīng)該加某個條件使問題更加嚴密。大家可以在組內(nèi)交流（學(xué)生開始討論）生1組：開頭加上“作bc的延長線cf”，“在abc的外

6、部”這句話不能少，因為內(nèi)錯角是在截線的兩旁的。師：大家贊同他們的觀點嗎？生：贊同！生2組：在每步后面加上理由，如在的后面加上，同位角相等，兩條直線平行；在的后面加上理由：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。師：大家說這個條件加得好不好？生（眾）：非常好！生3組：在的后面加上，等量代換。生5組：在的后面加上，平角的定義。師：（總結(jié)）上面的同學(xué)把這些條件加上之后，使問題更加嚴密了。那么，這條定理要證3個量的和，我們?nèi)《ㄒ粋€量（）之后，就轉(zhuǎn)化為兩個量之和a+b=acf。再從acf中截取b=ecf，問題就轉(zhuǎn)化為證明兩個角相等a=ace。這當(dāng)中，我們延長了bc，又作了ec。這兩條線（ce、cf），都是題目中沒有的，

7、是我們在原來圖形上添畫的線，叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線?！霸鯓幼鬏o助線”是幾何學(xué)習(xí)中的一個難點，今天是第一次“亮相”。點評：教師引導(dǎo)學(xué)生在組內(nèi)交流，學(xué)生圍繞著補充說明展開討論，在小組交流中每個學(xué)生提出了自己的思考，學(xué)生通過小組交流補充和完善了各自的想法，從而使以小組為單位的學(xué)生在班級交流中展示了四種正確的補充方案，使得每一位學(xué)生在交流中相互啟發(fā)、相互影響、相互作用。師：還有其他的證明方法嗎？生2組：過點c作一個平角，然后用內(nèi)錯角相等，把a、b都平移到平角上。為了省事，我過c作ef/ab，則由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”便有（圖1-4）圖1-4a=ace，b=bcf，相加就得出了

8、證明。師：這是個好主意，你是怎么想到的呢？生：以前做過類似圖1-4的作業(yè)，知道會得出內(nèi)錯角相等，計算過3個角之和等于180o。師：非常好！當(dāng)然，也可以為此作，然后反向延長ec來證明，區(qū)別是少用一次平行線的性質(zhì)定理，多用一次平行線的判定定理。與1-3相比較，圖1-4可以認為是平角bce繞點c作了旋轉(zhuǎn)，使ce與cf重合。（突然一生舉手，似靈機一動，我示意他發(fā)言）生：老師我從你的分析，想到了還可以這樣證明，將圖1-3中點c引出的4條射線沿cb方向平移，得出圖1-5來證明。師：這位同學(xué)的知識遷移能力很強，圖形的平移和旋轉(zhuǎn)都是圖形的變換，實在是太棒了。將平角的頂點從角上移到了邊上。那你能給出證明嗎？（學(xué)

9、生自己說不下去了）師：沒關(guān)系，你給我們指出了另一種證明三角形的內(nèi)角和定理的方法。我們一起來解決這個問題。好，誰能來證一下。生：過bc上一點m作ab和ac的平行線，分別交ac，ab于p、q，分別證明，由平角的定義，可得三角形的內(nèi)角和為180o。（圖1-5）圖1-5師：很好，思維能力很強。幾位同學(xué)的證明思路清晰，證明簡潔，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡單美、和諧美與統(tǒng)一美。大家想了很多證明定理的方法，共同點是作兩條射線，將3個分散的角集中到平角上。關(guān)于定理的證明，大家還有什么要說的？點評：這個活動是學(xué)生創(chuàng)新的過程，又是學(xué)生思維展示的過程。這是教師引導(dǎo)學(xué)生張揚個性的過程，學(xué)生再次創(chuàng)新的過程。一生：老師，剛剛同學(xué)

10、的證明將平角的頂點從三角形的頂點移到邊上，那能否將頂點移到三角形的內(nèi)部和外部呢？師：好。按空間順序來，從內(nèi)部到邊上到頂點到外部?！扒Ч艛?shù)學(xué)一大猜。沒有大膽的猜想，就不會有偉大的發(fā)現(xiàn)”（華羅庚語）。猜想總是正確的嗎？眾生答：不是！師：好！接下來請大家組內(nèi)討論、交流，依次解決這2個問題，最后我們交流探索的成果。（教師巡視，讓兩個小組同學(xué)的證明加以整理，用投影展示，讓同學(xué)們分享。）aanbcts圖1-7dqrmnbcts圖1-6dqrm組1（理由略）：如圖1-6，過abc內(nèi)一點d，作ac的平行線st交ab、bc邊于s、t，作bc的平行線qr交ab、ac邊于q、r，作ab邊的平行線mn交ac、bc邊于

11、n、m。mn/ab b=nmt qr/bc nmt=ndr b=ndr。同理，可得c=sdq，a=mdt。又mdt=sdn a+b+c=mdt+ndr+sdq=sdn +ndr+sdq=180o組2：如圖1-7，過點d作ac平行線st交ab于t，作bc的平行線qr交ac于r，作ab的平行線mn。ac/st a=sta ab/mn sta=sdn a=sdn同理，b=qdm，c=rdt sdn=mdt a+b+c=sdn+qdn+rdt=mdt+qdn+rdt=180o點評：學(xué)生在同伴的啟發(fā)下，從平角頂點的位置移動，想出了兩種新的證明方法。教學(xué)活動的展開是在學(xué)生主動尋找，師生相互啟發(fā)、相互影響下

12、學(xué)生自我構(gòu)建證明的過程。師：同學(xué)們還有其他的證明方法嗎？一生：老師，我這樣證明可以嗎。我想，前面我們證明定理用了“兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等?！蹦悄苡谩皟芍本€平行，同旁內(nèi)角互補”嗎？我想了想：可以。這時，移一個角就夠了。如圖1-8，在abc的外部，以ac為一邊，作。則ab/ce（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。 =（等量代換） =180o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）。 圖1-8另一生：我的是反過來，過點c作ab的平行線ce，則，b+bce=180o =ace+acb+b=b+bce=180o，師：兩位同學(xué)獨辟蹊徑，靈活運用平行線知識解決了問題。點評：教學(xué)圍繞更簡單的方法又一次展開

13、了教學(xué)活動，提出問題的學(xué)生暴露了自己的思維過程，給另一個學(xué)生新的啟發(fā)，因此另一個學(xué)生用逆推的思想導(dǎo)出了新的證明方法，學(xué)生在這一創(chuàng)新的環(huán)境中生成了新的學(xué)習(xí)內(nèi)容。二案例分析：本教學(xué)案例充分展現(xiàn)了“情境探索交流”這一教學(xué)模式，這是新課標(biāo)理念指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)活動課的嘗試。雖然其中還有許多環(huán)節(jié)需要一步改進完善，但其較為真實地反映了目前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一些情況。本教學(xué)案例主要體現(xiàn)了以下幾點：1促進了學(xué)生動手實踐、自主探索與合作交流本教學(xué)案例沒有像往常幾何教學(xué)那樣直接給出解決問題的方法，然后再讓學(xué)生加以證明；而是突出學(xué)生的主體性,使學(xué)生通過對直觀圖形的觀察、得出策略，自己去發(fā)現(xiàn)尋找解決問題的策略，在對這些結(jié)論檢驗

14、時，采用了合作交流的方式。學(xué)生們在自主探索、親身實踐、合作交流的氛圍中，解除困惑，更清楚地明確自己解決問題的思路，并有機會分享他人的想法，學(xué)生們在親身體驗和交流中尋求證明三角形內(nèi)角和定理的多種策略，解決所提出的問題，在交流和理解中掌握基本圖形中所涉及的基本數(shù)學(xué)知識、技能和方法，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成了學(xué)生的主體性、能動性、獨立性不斷生成，張揚和發(fā)展、提升的過程，這一點與新課標(biāo)所倡導(dǎo)的理念非常相符。新課標(biāo)指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶。動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”。在本教學(xué)過程中學(xué)生是在愉悅、和諧的氣氛

15、中度過的，并且自始自終處于主體地位，他們的興趣與動機，意志與自信，情感與態(tài)度都得到了很好的發(fā)展。2培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識本教學(xué)案例創(chuàng)設(shè)了開放的教學(xué)情境，以提出問題和解決問題為中心，注意學(xué)生自主探索與合作交流、重視數(shù)學(xué)聯(lián)系與知識建構(gòu)，充分關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的情感與態(tài)度，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，啟發(fā)思維，激起學(xué)生的好奇心、發(fā)現(xiàn)欲，誘發(fā)質(zhì)疑、猜想，讓學(xué)生在有效的數(shù)學(xué)思考時間和空間內(nèi)形成和發(fā)展問題意識，提出問題；而且本案例中，教師注重培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題的思想方法合情推理，主要是利用一般化、特殊化、類比和歸納等猜想、質(zhì)疑和提問。在整個教學(xué)過程中，學(xué)生始終帶著問題自主探索，并在探索過程

16、中進一步提出問題，分析問題，最后解決問題。通過生生、師生之間的合作交流，突出了教學(xué)重點，突破教學(xué)難點，達到教學(xué)目標(biāo)。正如新課標(biāo)指出：要讓學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步演澤推理能力，初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題，并能綜合運用所學(xué)的知識和技能解決問題”。問題意識的培養(yǎng)不僅有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)方式從接受式向活動式，從模仿性向探究性轉(zhuǎn)變，而且有利于學(xué)生主動建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的意義。3轉(zhuǎn)變了教師的角色與傳統(tǒng)教學(xué)不同，在本教學(xué)案例中教師已由課堂單一的數(shù)學(xué)知識傳授者的角色向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者和合作者轉(zhuǎn)變。無論從問題情境的創(chuàng)設(shè)，合作小組的組成、探索成果的交流，

17、教師都經(jīng)過了精心設(shè)計，組織學(xué)生營造和保持學(xué)習(xí)過程中積極的心理氛圍，活潑的參與氣氛，真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者和合作者，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”，“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”的過程，與學(xué)生平等地交流；當(dāng)學(xué)生陷入困惑，思路受阻時給以恰到好處的點撥，搭建“腳手架”使學(xué)生將面前的問題與自己原有的知識經(jīng)驗之間建立聯(lián)系，解決問題。在師生的合作交流下，共同歸納問題，看透問題的本質(zhì)，教師為學(xué)生營造了一個激勵探索和理解的氣氛，提供小組內(nèi)、小組間合作、討論、交流的模式。在成果交流中，教師積極引導(dǎo)學(xué)生表達所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律，表達發(fā)現(xiàn)的過程，將成果與同學(xué)分享、交流，在為同學(xué)解決疑惑中增強自信，進一步探索問題，解決問題，使整個學(xué)習(xí)過

18、程充滿挑戰(zhàn)。當(dāng)然，對于學(xué)生認識不深刻的問題，教師根據(jù)學(xué)生的認知水平，適時引導(dǎo)，與他們合作交流，達到基本目標(biāo)。這也正是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者”，教師在整個教學(xué)過程中一直與學(xué)生保持平等關(guān)系，讓學(xué)生在平等、尊重、信任、理解和寬容氛圍中受到激勵和鼓舞，得到指導(dǎo)和建議。三存在的不足1學(xué)生的參與性還不夠標(biāo)準(zhǔn)明確指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！币虼嗽诒竟?jié)課的教學(xué)中，我適當(dāng)采用了這種新的學(xué)習(xí)方式，從學(xué)生的發(fā)言積極性、討論的熱烈度、所得結(jié)論的多樣性等來看，他們實實在在地進行著觀察、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，這對提高學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動的能力，促進自身的整體發(fā)展有著很大的幫助。但在欣喜之余也存在很多擔(dān)憂，可以說學(xué)習(xí)困難生的參與是不積極的，往往出現(xiàn)“能者多勞”的現(xiàn)象，這樣會導(dǎo)致兩極分化。如何讓弱勢群體的學(xué)習(xí)變得更主動，是我面臨的一個較大的也急需解決的難題。2在教學(xué)中更需要循序漸進培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和提高解決問題的能力應(yīng)該是一個漸進的、長期的過程。因此教學(xué)中教師需要