2024-2025學(xué)年吉林省長春五中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省長春五中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合A={x|y=ln(x2?2x?3)}，B={y|y=A.(?∞,?1) B.(?∞,?1)∪(3,6]

C.(3,+∞) D.(?∞,?1)∪[6，+∞)2.已知復(fù)數(shù)z與復(fù)平面內(nèi)的點(1,2)對應(yīng)，則z?11?i=(

)A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i3.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=15，aA.?12 B.1 C.?12或1 4.若雙曲線x2a2?y2A.(0,10) B.(1,10)5.如圖，這是正四棱臺被截去一個三棱錐后所留下的幾何體，其中AB=AA1=4，A1DA.26143

B.261536.已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式可能是(

)

A.f(x)=(4x?4?x)|x| B.f(x)=7.已知直線l1：mx+y+2=0與直線l2：x?my?2=0交于點M，點M關(guān)于直線x?y=0對稱的點為N(a,b)，則b+2a的取值范圍是A.[?7,1] B.(?∞,?7]∪[1,+∞)

C.[?1,7] D.(?∞,?1]∪[7,+∞)8.若存在正實數(shù)x，y使得不等式lnx?x2+1≥lnA.22 B.2 C.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知α，β∈(0,π2)，cos?(α+β)=513A.sin(α+β)=1213 B.cos(α?β)=?4510.關(guān)于函數(shù)f(x)=x+lnx，以下結(jié)論正確的是(

)A.方程f(x)=0有唯一的實數(shù)解c，且c∈(0,1)

B.對?x,y>0,f(xy)=f(x)+f(y)恒成立

C.對?x1,x2>0x111.如圖，已知直線與拋物線x2=2py(p>0)交于A，B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB于點D，點M為弦AB的中點，則下列說法正確的是(

)A.A，B兩點的橫坐標之積為?2p2

B.當點D的坐標為(1,3)時，p=53

C.直線AB過定點(0,2p)

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.平面向量a，b滿足a=(2,1)，a//b，a?b=?13.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若直線y=kx與C交于P14.已知a∈R，函數(shù)f(x)=x3?ax+1有兩個極值點①a可能是負數(shù)；②x③f(x④若存在x0∈R，使得f(x其中所有正確結(jié)論的序號是

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)記?ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且2sin(1)求角A的大??；(2)若b=2c，求證：?ABC為直角三角形．16.(本小題12分)

求適合下列條件的雙曲線的標準方程：

(1)與橢圓x227+y236=1有共同的焦點，它們的一個交點的縱坐標為4．

17.(本小題12分)

在如圖所示的多面體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB中點．

(1)求證：CM⊥EM．

(2)求平面EMC與平面BCD所成的銳二面角的余弦值．18.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=?xlnx+a(x+1)，a∈R．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤2a在[2,+∞)上恒成立.求a的取值范圍；19.(本小題12分)

在數(shù)列{an}中，若an+1?a1a2a3…an=d(n∈N?)，則稱數(shù)列{an}為“泛等差數(shù)列”，常數(shù)d稱為“泛差”.已知數(shù)列{an}是一個“泛等差數(shù)列”，數(shù)列{bn}滿足a12+a2參考答案1.B

2.C

3.C

4.C

5.A

6.C

7.D

8.D

9.ACD

10.AC

11.BCD

12.213.x214.②③④

15.解：(1)由2sin2A2?因為A∈(0,π)，所以A=π(2)由(1)可知，A=π又b=2c，在?ABC中，由余弦定理可得a2解得a=3c，

所以a2+所以?ABC為直角三角形．

16.解：(1)橢圓x227+y236=1的兩個焦點為F1(0,?3)、F2(0,3)，

與橢圓x227+y236=1有共同的焦點，它們的一個交點的縱坐標為4．

故該雙曲線的焦點在y軸上，可設(shè)雙曲線的標準方程為y2a2?x2b2=1，

令y=4，即有x227+1636=1，解得x=±1517.解：(1)證明：AC=BC，M是AB中點，可得CM⊥AB，

又EA⊥平面ABC，可得EA⊥CM，又EA∩AB=A，

可得CM⊥平面ABE，又EM?平面ABE，可得CM⊥EM．

(2)過A在平面ABC上作BC的平行線AN，

∵AC⊥BC，∴AN⊥AC，

∵EA⊥平面ABC，

∴AE⊥AN，AE⊥AC，

∴AE，AC，AN兩兩垂直，

以A為坐標原點，以AN，AC，AE，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖：

B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(2,2,2)，M(1,1,0)，E(0,0,1)，

設(shè)平面EMC的法向量n1=(x,y,z)，

∵CM=(1,?1,0)，EM=(1,1,?1)，

∴CM?n1=x?y=0EM?n1=x+y?z=0，取n1=(1,1,2)，

又易知平面BCD的法向量為n2=(0,1,0)，

設(shè)平面EMC18.解：(1)當a=0時，f(x)=?xlnx(x>0)，

則f′(x)=?lnx?1，令f′(x)=0，可得x=e?1，

當x∈(0,e?1)時，f′(x)>0，當x∈(e?1,+∞)時，f′(x)<0，

所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,e?1)，單調(diào)減區(qū)間為(e?1,+∞)；

當a≠0時，由f(x)=?xlnx+a(x+1)，得f(x)的定義域為(0,+∞)，

f′(x)=?(lnx+1)+a，

令f′(x)=?(lnx+1)+a=0，解得x=ea?1，

當x∈(0,ea?1)時，f′(x)>0，當x∈(ea?1,+∞)時，f′(x)<0，

所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,ea?1)，單調(diào)減區(qū)間為(ea?1,+∞)；

經(jīng)驗證，a=0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間也符合(0,ea?1)，單調(diào)減區(qū)間也符合(ea?1,+∞)；

綜上可知：f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,ea?1)，單調(diào)減區(qū)間為(ea?1,+∞)；

(2)因為f(x)≤2a，所以a≤xlnxx?1，

令g(x)=x