二項式定理考點與題型歸納

1、二項式定理考點與題型歸納、基礎(chǔ)知識(1)二項式定理：(a + b)n= c0an+。牯曠+ cnan_kbk+-+ cnbn(n N*)?;1二項式定理(2)通項公式：Tk+1 = cnankbk，它表示第k+ 1項;(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為cn, c1，,cn .2二項式系數(shù)的性質(zhì)當(dāng)X悩洛一闞成系數(shù)於遢増的與st大血時二項式萊散見遨減的艸“為冊數(shù)時申何 碩的 頊?zhǔn)较禂?shù)繪人二理武H+4 ：-2糸數(shù)的和c； 4+ci+=0)的展開式中的常數(shù)項為 .解析：2+ 1 + 邁 5(x 0)可化為 羽+ 10，因而 Tr +1 = C10 擊 10-皿)10- 2r,令 10 2r =

2、 0，得r = 5,故展開式中的常數(shù)項為C5。 5=答案：即 考點二二項式系數(shù)的性質(zhì)及各項系數(shù)和典例精析(1) 若-x+廠n的展開式中各項系數(shù)之和大于8,但小于32,則展開式中系數(shù)最大的項A.6 3XC.4x 飯4B. .xD.或 4xx1若x2 1n的展開式中含x的項為第6項，設(shè)(1 3x)n= ao + a1X + a2x2+ anxn，則xai + a2+ an的值為若(a + x)(1 + x)4的展開式中x的奇數(shù)次幕項的系數(shù)之和為32,則a =解析(1)令 x= 1，可得x+廠n的展開式中各項系數(shù)之和為2n，即8 v 2nv 32,解1得n= 4，故第3項的系數(shù)最大，所以展開式中系數(shù)

3、最大的項是C2(. x)2 了 2= 63x1 1x2xn的展開式的通項公式為Tr+1=cn(x2)nxr=cn(- 1)rx2n3r,因為含x的項為第6項，所以r = 5,2n 3r = 1,解得n = 8, 在(1 3x)n 中，令 x= 1,得 ao+ a1+ + a8= (1 3)8= 28, 又 ao= 1，所以 a1+ a8= 28 1 = 255.(3)設(shè)(a + x)(1 + x)4= a + a1x+ a2x2 + a3X3+ a4X4+ a5X5,令 x = 1, 得 16(a + 1) = ao + a1 + a2+ a3+ a4 + a5,令 x = 1,得 0= a。

4、一 a1 + a2 a3+ a4 a5,一，得 16(a + 1) = 2(a1 + a3+ a5),即展開式中x的奇數(shù)次幕項的系數(shù)之和為a1 + a3 + a5= 8(a + 1)，所以8(a + 1) = 32,解 得 a= 3.答案(1)A255 (3)3解題技法1. 賦值法的應(yīng)用二項式定理給出的是一個恒等式，對于x, y的一切值都成立.因此，可將x, y設(shè)定為一些特殊的值.在使用賦值法時，令 x, y等于多少，應(yīng)視具體情況而定，一般取“ 1, 1或 0”，有時也取其他值.如：形如(ax+ b)n, (ax2 + bx+ c)m(a, b, c R)的式子，求其展開式的各項系數(shù)之和，只需

5、 令x= 1即可.形如(ax+ by)n(a, b R)的式子，求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x= y= 1即可.2二項展開式各項系數(shù)和、奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和的求法若 f(x) = ao + aix+ a2x2 + + anxn，貝U f(x)的展開式中(1)各項系數(shù)之和為f(1).f 1+ f 1a1 + a3+ a5 + =奇數(shù)項系數(shù)之和為ao + a2+ a4 + =.(3)偶數(shù)項系數(shù)之和為題組訓(xùn)練1. (2019 包頭模擬)已知(2x 1)5 = a5x5 + a4x4 + a3x3+ a2x2 + a1x+ ao,則 |ao|+ |a11+ + |a5| =( )A.1B.24

6、3C.121D.122解析：選 B 令 x= 1,得 a5 + a4 + a3 + a2+ a1 + ao= 1，令 x = 1，得 a5 + a4 a3+ a2 a1+ ao= 243，+，得 2(a4 + a2 + ao) = 242, 即 a4+ a2+ ao= 121.一，得 2(a5 + a3 + a1) = 244,即 a5+ a3+ a1 = 122.所以 |ao|+ |a1|+ + |a5|= 122 + 121 = 243.2. 若(x+ 2+ m)9= ao+ a1(x+ 1)+ a2(x+ 1)2+ a9(x+ 1)9,且(ao+ a2+ a8)2 佝 + a3 + a9

7、)2= 39,則實數(shù)m的值為.解析：令 x= 0，則(2 + m)9= ao+ a1+ a2+ a9,令 x = 2,貝U m9= ao a1+ a2 a3+一a9,又(ao+ a2+ + a8)2 (a1 + a3+ + a9)2=(ao+ a1 + a2+ + a9)(ao a1 + a2 a3 + + a8 a9)= 39,(2 + m)9 m9= 39 ,.m(2 + m) = 3,m = 3 或 m= 1.答案：3或13已知(1 + 3x)n的展開式中，后三項的二項式系數(shù)的和等于121,則展開式中二項式系數(shù)最大的項為.1解析：由已知得 cn-2+ cn1 + cn= 121，則尹r(

8、 1) + n+ 1= 121，即 n2 + n 240= 0, 解得n= 15(舍去負值)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為T8= C(5(3x)7和T9= C?5(3x)8.答案：C15(3x)7 和 C15(3x)8考點三二項展開式的應(yīng)用典例精析設(shè) a Z,且 0av 13，若 512 018 + a 能被 13 整除，則 a=()A. 0B.1C. 11D.12解析由于51 = 52 1,512 018= (52 1)2 018 = C2 018522 018 C2 018522 017+ 一c2(S18521 + 1,又13整除52,所以只需13整除1 + a,又 0= Cn+ 4C

9、2，解得n= 8(n = 1舍去).+丄24x8的展開式的通項丄3rTr +1= C8( ,x)8r、4 r= 2 rC8x4 Rr = 0,1,，8),35T5 =83r要求有理項，則4 4必為整數(shù)，即r = 0,4,8，共3項，這3項分別是Ti = x4,1x，T9= 256X2設(shè)第r + 1項的系數(shù)ar + i最大，則ar +1 = 2 rC8,ar+i2，c89 r則 = 1,則 ar2 r 1c8 1 2rar + 12rc82 r + 1aT72 = 2- r + 1C8+1 = 8 r1，解得2 rw 3.當(dāng) r = 2 時，a3= 22&= 7,當(dāng) r = 3 時，a4 = 2

10、 入系數(shù)是()A.35B. 35C. 56D.561解析：選C由于第五項的二項式系數(shù)最大，所以n= 8所以二項式x x 8展開式的通項公式為 Tr + 1= C8x8 r( x 1)r = ( 1)rc8x8-2r，令 8 2r = 2,得 r = 3,故展開式中含有 x1 2項的系數(shù)是(1)3C8 = 56.2已知 疣一4C1+ 42C2 43d + + ( 1)n4nCn= 729，則 Q+ G+ 疣的值等于()A.64B.32C.63D.31解析：選 C 因為 CS 4C1 + 42C2 43C3+ - + ( 1)n4ncn= 729,所以(1 4)n= 36,所以n= 6，因此 Cn

11、+ cS+ Cr! = 2n 1 = 26 1 = 63.3. (2019濟南模擬)x號2x x 5的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式中含 x4項的系數(shù)為.C8 = 7,因此，第3項和第4項的系數(shù)最大，故系數(shù)最大的項為T3=7.rT,Tt=7rT.B級ai解析：令x= 1,可得X - 2x - 5的展開式中各項系數(shù)的和為1 a= 2，得a=- 1,入入1 1 1則x+ - 2x - 5展開式中含X4項的系數(shù)即是 2x - 5展開式中的含X3項與含X5項系數(shù)的1和.又 2x x 5 展開式的通項為 Tr + 1 = C5( 1)r 2r x5 2r,令 5 2r = 3,得 r = 1,令

12、5 2r = 5,得r = 0,將r = 1與r = 0分別代入通項，可得含x3項與含x5項的系數(shù)分別為80與32 , 故原展開式中含 x4項的系數(shù)為一80 + 32= 48.答案：482i4. 設(shè)復(fù)數(shù) X= (i 是虛數(shù)單位)，則 C6. 設(shè)a=2xdx,則二項式ax2 - 6展開式中的常數(shù)項為 019X+ C2o19X2+ C3 019X3+ C 019x2 019 =()1 iA.iB. iC. 1+ iD. i 1解析：選D2i因為x=Q=1 i2i 1+ i=1 + i,1 i 1+ i所以 C2 019X+ C2 019X2 + C2 019X3+ +解析：a =1 2xdx= x

13、20=1,0則二項式ax21 6= x2其展開式的通項公式為TrC2 019x2 019= (1 + x)2 019 1 = (1 1 + i)2 019 1 = i2 019 1 = i 1.5. 已知(x + 2)9= ao+ a1x+ a2x2+ a9x9,則(a1 + 3a3+ 5a5+ 7a7 + 9a9)2 (2a2+ 4a4+ 6a6+ 8a8)2的值為(A.39C.3入0)B.310D.312解析：選D對(x+ 2)9= a0+ an+ a2*+ a9X9 兩邊同時求導(dǎo)，得9(x+ 2)8= a1+ 2a2X+ 3a3x2 + 8a8x7 + 9a9x8,令 x= 1,得 a1 + 2a2+ 3a3+ 8a8+ 9a9= 310,令 x= 1,得a1 2a2 + 3a3 一8a8 + 9a9 = 32.所以(a1 + 3a3 + 5a5 + 7a7+ 9a9)2 (2a2 + 4a4+ 6a6 + 8a8)2 =12(a1 + 2a2+ 3a3 + + 8a8+ 9a9)(a1 2a2+ 3