復變函數(shù)第11講

1、1 4.1 復級數(shù)的基本性質(zhì)復級數(shù)的基本性質(zhì) 4.2 冪冪 級級 數(shù)數(shù) 4.3 泰泰 勒勒 級級 數(shù)數(shù) 4.4 解析函數(shù)零點的孤立性解析函數(shù)零點的孤立性第四章第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法21、 復數(shù)列的極限復數(shù)列的極限4.1 復級數(shù)的基本性質(zhì)復級數(shù)的基本性質(zhì)111222,.,.nnnaibaibaib復數(shù)數(shù)列復數(shù)數(shù)列一列無窮多個有序的復數(shù)一列無窮多個有序的復數(shù).n 稱稱為為一一個個復復數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)列列，簡簡稱稱為為復復數(shù)數(shù)列列，記記為為3定義定義4.1,), 2 , 1(nnnniban 其其中中為為一一復復數(shù)數(shù)列列設設00若若當當恒恒 有有，,nNnN 記記作作.為為一一

2、復復常常數(shù)數(shù)iba 不收斂的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列不收斂的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列.那那么么 稱稱為為復復數(shù)數(shù)列列當當時時的的極極限限，nn 此此時時，也也稱稱復復數(shù)數(shù)列列收收斂斂于于.n 或或 ，li,m()nnnn 4例例求求1lim21.nni ,021lim, 12221 nnii所所以以分分析析：因因為為.021lim nni于于是是 limlim,li m.nnnnnnaabb 定定理理當當110,0,()022nniiNnN522()()()(),lim, lim.nnnnnnnnnnnnnaai bbaabbaabbaabb故故lim, lim,nnnnaabb “”已已知知即即證明證明li

3、m,0,0,.nnnNnN “”已已知知即即當當恒恒有有0,0,22nnNnNaabb 當當恒恒有有，()(),lim.nnnnnnnaai bbaabb故故6該定理說明該定理說明: : 可將復數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩可將復數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個實數(shù)列的斂散性個實數(shù)列的斂散性. .可以證明，兩個收斂復數(shù)序列的和、差、積、商可以證明，兩個收斂復數(shù)序列的和、差、積、商仍收斂，并且其極限是相應極限的和、差積、商仍收斂，并且其極限是相應極限的和、差積、商. .課堂練習課堂練習: :下列數(shù)列是否收斂下列數(shù)列是否收斂? 如果收斂如果收斂, 求出其極限求出其極限.;11)1(ninizn ;1)1()2

4、( niznn.1)3(2innenz 72 2、 復數(shù)項級數(shù)復數(shù)項級數(shù)121(4.1)nnn121nnnkks級數(shù)前級數(shù)前n項的和項的和-級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和-無窮級數(shù)無窮級數(shù)定義定義4.2(1,2,),nnnaibn設復數(shù)列設復數(shù)列l(wèi)im4.3nnnsss 若若級級數(shù)數(shù)的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列收收斂斂，則則稱稱此此定定義義級級數(shù)數(shù)收收斂斂，并并稱稱為為級級數(shù)數(shù)的的和和，1kks 記記作作. .否否則則稱稱級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散. .8說明說明: 與實數(shù)項級數(shù)相同與實數(shù)項級數(shù)相同, 判別復數(shù)項級數(shù)斂散判別復數(shù)項級數(shù)斂散性的基本方法是性的基本方法是:.lim ssnn 利用極限利用極限:,0 n

5、nz級數(shù)級數(shù)例如例如1-21nnzzzs ,1時時由于當由于當 z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂所以當所以當 z9 根據(jù)實數(shù)項級數(shù)收斂的有關(guān)結(jié)論，可以得根據(jù)實數(shù)項級數(shù)收斂的有關(guān)結(jié)論，可以得出判斷復數(shù)項級數(shù)收斂的簡單方法出判斷復數(shù)項級數(shù)收斂的簡單方法.111nnnnkkkkkkSaib 而而判斷級數(shù)的斂散性比較困難判斷級數(shù)的斂散性比較困難. .111都都收收斂斂和和收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnnnnba定理定理4.14.1.1111 nnnnnnnnbia收收斂斂，則則若若10 )1(1 1是否收斂？是否收斂？級數(shù)級數(shù) nnin解解; 1

6、11發(fā)散發(fā)散因為因為 nnnna所以原級所以原級數(shù)發(fā)散數(shù)發(fā)散. . 課堂練習課堂練習11(2)(1)ninn 2 2級級數(shù)數(shù) 是是否否收收斂斂？ 2111;nnnan 因因為為 收收斂斂111.nnnbn 3 3 收收斂斂 所以原級所以原級數(shù)收斂數(shù)收斂. . 11常見實級數(shù)斂散性判別法：常見實級數(shù)斂散性判別法：1 1）比較法；）比較法；2 2）比值法；）比值法；3 3）根值法；）根值法；4 4）交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法）交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法. .1124.2 :0, |.nnnnnpnNp 定定理理級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的充充要要條條件件為為對對任任給給，存存在在正正整整數(shù)數(shù)N N( ( )

7、)當當對對于于任任何何正正整整數(shù)數(shù)柯西收斂準則柯西收斂準則推論推論2 收斂級數(shù)的各項必是有界的收斂級數(shù)的各項必是有界的.推論推論1 收斂級數(shù)的通項必趨于零收斂級數(shù)的通項必趨于零:lim0nn 推論推論3 若級數(shù)若級數(shù)(4.1)中略去有限個項中略去有限個項,則所得則所得級數(shù)與原級數(shù)同為收斂或同為發(fā)散級數(shù)與原級數(shù)同為收斂或同為發(fā)散.啟示啟示: 判別級數(shù)的斂散性時判別級數(shù)的斂散性時, 可先考察可先考察0lim nn ? , 0limnn 如果如果級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散;應進一應進一 步判斷步判斷., 0lim nn 13114,.nnnn 定定理理 . .3 3 如如果果收收斂斂 則則也也收收斂斂證明證明

8、2222,(*)nnnnnnnnnnnaibabababab 絕絕對對收收斂斂，再再由由比比較較法法知知 11,nnnnba.,111也也收收斂斂收收斂斂，從從而而于于是是 nnnnnnba111 .nnnnnnab 結(jié)結(jié)論論級級數(shù)數(shù)收收斂斂和和都都收收斂斂14定義定義4.411nnnn 若若收收斂斂絕絕，則則稱稱為為對對收收斂斂；111.nnnnnn若若發(fā)發(fā)散散，而而收收斂斂，則則稱稱為為條條件件收收斂斂11(1)nnnn斂斂，一一定定斂斂嗎嗎？若若收收 收 收1112( )()nnnnnnn 斂斂，發(fā)發(fā)散散， 問問斂斂嗎嗎？若若收收 收 收1113( )()nnnnnnn 和和都都發(fā)發(fā)散散

9、， 問問斂斂嗎嗎？若若 收 收思考思考定理定理4.4 (1)一個絕對收斂的復級數(shù)的各項可以一個絕對收斂的復級數(shù)的各項可以任意重排次序任意重排次序,而不改變其絕對收斂性而不改變其絕對收斂性,亦不改變其亦不改變其和和.(2)兩個絕對收斂的復級數(shù)兩個絕對收斂的復級數(shù) s=a1+a2+an+ s/=a1/+a2/+an/+可按右圖所示的可按右圖所示的對角對角線法（線法（Cauchy乘積）乘積） 332313332221223121111321aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa得出乘積級數(shù)得出乘積級數(shù)a1a1+(a1a2+a2a1)+(a1an+a2an-1+ +ana1)+它收斂于它收斂

10、于ss.16解解.)21(211)1(111發(fā)發(fā)散散收收斂斂，發(fā)發(fā)散散， nnnnninn例例2否絕對收斂？否絕對收斂？下列級數(shù)是否收斂？是下列級數(shù)是否收斂？是 11;)2();21()1(nnnnniin 01.!)8()4(;2) 1()3(nnnnnniin.1)2(11不不絕絕對對收收斂斂發(fā)發(fā)散散， nnnnin17.2)1(21)1()3(111收收斂斂收收斂斂，收收斂斂， nnnnnnninn.)1(1原原級級數(shù)數(shù)非非絕絕對對收收斂斂收收斂斂，條條件件又又 nnn.!)8(!8!8)4(000絕絕對對收收斂斂收收斂斂， nnnnnnninni)7151311()614121(1 i

11、ninn由由于于 1.nnni條條件件收收斂斂于于是是1( )( )nnf zfz 4.1.2 復函數(shù)項級數(shù)復函數(shù)項級數(shù) 用用N的的說法來描述這件事就是說法來描述這件事就是:1.定義定義4.3 設復變函數(shù)項級數(shù)設復變函數(shù)項級數(shù) (4.2)的各項均在點集的各項均在點集E上有定義上有定義,且在且在E上上存在一個函存在一個函數(shù)數(shù)f (z),對于對于E上的每一點上的每一點z,級數(shù)級數(shù)4.2均收斂于均收斂于f(z),則稱則稱f(z)為級數(shù)為級數(shù)(4.2)的和函數(shù)的和函數(shù),記為記為:12( )( )( )nf zfzfz 任給任給0,以及給定的以及給定的zE,存在正整數(shù)存在正整數(shù)N=N(,z),使當使當n

12、N時時,有有 ,式中式中:1( ).nnkksfz |( )|nf zs 上述的正整數(shù)上述的正整數(shù)N=N(,z),一般來說一般來說,不但依賴于不但依賴于,而而且依賴于且依賴于zE.重要的一種情形是重要的一種情形是N=N()不依賴于不依賴于zE,這就是這就是:1()()zDnnfzfz 定義定義4.4 對于級數(shù)對于級數(shù)(4.2),如果在點集如果在點集E上有一個上有一個函數(shù)函數(shù)f(z),使對任給的使對任給的0,存在正整數(shù)存在正整數(shù)N=N(),當當nN時時,對一切的對一切的zE均有均有則稱級數(shù)則稱級數(shù)(4.2)在在E上上一致收斂一致收斂于于f(z).記作記作:|( )|nf zs 定理定理4.5 (

13、柯西一致收斂準則柯西一致收斂準則)級數(shù)級數(shù)(4.2)在點在點在點集在點集E上一致收斂于某函數(shù)的充要條件是上一致收斂于某函數(shù)的充要條件是:任給的任給的0,存在正整數(shù)存在正整數(shù)N=N(),使當使當nN時時,對于對于一切一切zE,均有均有Weierstrass優(yōu)級數(shù)準則優(yōu)級數(shù)準則: 如果數(shù)列如果數(shù)列Mn(n=1,2,),使對一切使對一切zE,有有|fn(z)|Mn (n=1,2,),而且正項而且正項級數(shù)級數(shù) 收斂收斂,則復函數(shù)項級數(shù)則復函數(shù)項級數(shù) 在點集在點集E上上絕對收斂且一致收斂絕對收斂且一致收斂: 這樣的正項級數(shù)這樣的正項級數(shù) 稱為函數(shù)項級數(shù)稱為函數(shù)項級數(shù)的的優(yōu)級數(shù)優(yōu)級數(shù).1nnM 1( )n

14、nfz 1nnM 1( ) nnfz 11 2|( )( )| (, ,)nnpfzfzp 定理定理4.7 設級數(shù)設級數(shù) 的各項在的各項在 曲線曲線C上連續(xù)上連續(xù),并并且在且在C上上一致收斂于一致收斂于f(z),則沿則沿C可以逐項積分可以逐項積分:1( )nnfz 1( )( )ncnf z dzfz dz 114 6 . ( ),( )(.nnnnEffzfzzfzE 點點集集 上上連連續(xù)續(xù)一一致致定定理理設設級級數(shù)數(shù)的的各各項項在在并并且且, ,則則和和數(shù)數(shù)也也在在收收于于上上連連續(xù)續(xù)斂斂定義定義4.5 設函數(shù)設函數(shù) (n=1,2,)定義于區(qū)域定義于區(qū)域D內(nèi)內(nèi),若若 級數(shù)級數(shù)(4.2)在在D內(nèi)任一有界閉集上一致收斂內(nèi)任一有界閉集上一致收斂,則稱則稱 此級數(shù)在此級數(shù)在D內(nèi)內(nèi)內(nèi)閉一致收斂內(nèi)閉一致收斂.( )nfz231nz zzz 當當|z|1時時,此級數(shù)收斂此級數(shù)收斂,但不一致收斂但不一致收斂.可是由例可是由例4.2知它知它在單位圓在單位圓|z|1內(nèi)是內(nèi)閉一致收斂的內(nèi)是內(nèi)閉一致收斂的.定理定理4.8 設級數(shù)設級數(shù)(4.2)在圓在圓K:|z-a|R內(nèi)閉一致內(nèi)閉一致收斂的收斂的充要條件充要條件為為:對于任意正數(shù)對于任意正數(shù),只要只要0,使閉圓使閉圓K:|z-a| 全含于全含于D內(nèi)內(nèi).若若C為圓為