機(jī)械制圖第五章直線與平面、 平面與平面的相對(duì)位置

1、第第 五五 章章 直線與平面、直線與平面、 平面與平面平面與平面的相對(duì)位置的相對(duì)位置 （編制（編制 李小平）李小平）5-1 5-1 平行問(wèn)題平行問(wèn)題 本章介紹它們的投影特性和作圖方法。本章介紹它們的投影特性和作圖方法。 直線與平面、平面與平面的相對(duì)位直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置可能是置可能是平行平行、相交相交或或垂直垂直。一、一、 直線和平面平行直線和平面平行定理定理 如果平面外的一如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。線和這個(gè)平面平行。QABCD 有關(guān)直線與平面平行的作圖問(wèn)題：有關(guān)直線與平面平行的作圖問(wèn)題：作直線作

2、直線已知平面。已知平面。作平面作平面已知直線。已知直線。1.1. 判斷已知直線、平面是否平行。判斷已知直線、平面是否平行。222 2例例1 1 含點(diǎn)含點(diǎn)I(1,1)I(1,1)作平面與直線作平面與直線AB(ab,ab)AB(ab,ab)平行。平行。11331 13 3aaa ab b b bX X 作作 法法(1) (1) 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作直作直線線與與ABAB平平行行(2)(2)含直線含直線作一任意平面。作一任意平面。圖圖 5-1 5-1例例 2 2 判斷直線判斷直線ABAB與與是否平行。是否平行。圖圖 5-2 5-2 ab321ab312x 作作 法法 (1)(1)在平面任一投在平面任一投影中，

3、作面內(nèi)直線影中，作面內(nèi)直線CFCFABAB的同面投的同面投影。影。(2) (2) 求求CFCF的另一投的另一投影，并判斷直線影，并判斷直線CFCF是否是否ABAB 。dfcfdc特殊情況特殊情況 若直線與某一投影面的垂直面平行，若直線與某一投影面的垂直面平行，則它們?cè)谠撏队懊嫔系耐队耙欢ㄆ叫?。則它們?cè)谠撏队懊嫔系耐队耙欢ㄆ叫小直線投影直線投影平面有積聚性的同面投影平面有積聚性的同面投影, ,它們?cè)诳臻g必互相平行它們?cè)诳臻g必互相平行特殊情況特殊情況 若直線與平面同時(shí)垂直某一投影面，若直線與平面同時(shí)垂直某一投影面，則它們空間一定平行。則它們空間一定平行。X直線與平面對(duì)某一投影面同時(shí)有積聚直線與平

4、面對(duì)某一投影面同時(shí)有積聚性性, ,它們?cè)诳臻g必互相平行。它們?cè)诳臻g必互相平行。PH二、二、 平面和平面平行平面和平面平行定理定理 如果一個(gè)平面內(nèi)的相交兩直線與另一個(gè)平面如果一個(gè)平面內(nèi)的相交兩直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。內(nèi)的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。PQABCDC1D1A1B1 有關(guān)兩平面平行的作圖問(wèn)題：有關(guān)兩平面平行的作圖問(wèn)題：作平面作平面已知平面。已知平面。1.1. 判斷兩已知平面是否平行。判斷兩已知平面是否平行。例例 含點(diǎn)含點(diǎn)A A1 1作平面平行定平面作平面平行定平面 ( (A A2 2B B2 2A A2 2C C2 2) )。c2Xa1a

5、2 b2 b2 a1a2c2b1 b1c1 c1圖圖 5-3 5-3 c2Xa2 b2 b2a2c2 b1b1a1c1 a1 c1例例 判斷兩平面是否平行判斷兩平面是否平行。 分析：分析：若兩若兩面相互平行，面相互平行，則它們有一則它們有一對(duì)相互平行對(duì)相互平行的相交直線。的相交直線。討論討論 相互平行的兩投影面垂直面，它們的一對(duì)有相互平行的兩投影面垂直面，它們的一對(duì)有積聚性的同面投影必平行。積聚性的同面投影必平行。x xacabcb1 12 23 3112233dd圖圖 5-4 5-4 若兩正垂面相若兩正垂面相互平行，則它互平行，則它們的正面投影們的正面投影相互平行。相互平行。 若兩鉛垂面相互

6、平行，則它們的水平投影相互平行。若兩鉛垂面相互平行，則它們的水平投影相互平行。Xx x1 12 23 3112233 分析：分析：若兩面若兩面相互平行，則相互平行，則它們的有積聚它們的有積聚性的同面投影性的同面投影相互平行。相互平行。PV例例 含點(diǎn)含點(diǎn)A A1 1作平面平行平面作平面平行平面 。a aa a5-2 5-2 相交問(wèn)題相交問(wèn)題 相相 交交 問(wèn)問(wèn) 題題 直線與平面不平行時(shí)即相交，交點(diǎn)是直直線與平面不平行時(shí)即相交，交點(diǎn)是直線與平面的線與平面的共有點(diǎn)共有點(diǎn)； 兩平面不平行時(shí)必相交，其交線是兩平兩平面不平行時(shí)必相交，其交線是兩平面的面的共有線共有線。一、特殊位置線、面與一一、特殊位置線、面

7、與一般位置直線或平面的相交般位置直線或平面的相交 交點(diǎn)交點(diǎn)、交線交線為線與面、面與面兩者所為線與面、面與面兩者所共有共有，如果其中有一個(gè)處于垂直投影面的特殊位置，如果其中有一個(gè)處于垂直投影面的特殊位置，則則可利用其投影的積聚性直接求出交點(diǎn)或交線可利用其投影的積聚性直接求出交點(diǎn)或交線的一個(gè)投影的一個(gè)投影，另外的投影可根據(jù)其在線上（或，另外的投影可根據(jù)其在線上（或在面內(nèi)）特點(diǎn)按投影關(guān)系求出。在面內(nèi)）特點(diǎn)按投影關(guān)系求出。 如果平面為投影面平行面或投影面垂直面，如果平面為投影面平行面或投影面垂直面，則可利用則可利用平面投影的積聚性平面投影的積聚性直接定出交點(diǎn)的直接定出交點(diǎn)的一個(gè)投影。一個(gè)投影。1.1.

8、特殊位置平面與一般位置直線相交特殊位置平面與一般位置直線相交例例 求直線求直線ABAB與鉛垂面與鉛垂面EFGHEFGH的交點(diǎn)的交點(diǎn)K K。K K 求出交點(diǎn)后，對(duì)于直線與平面投影重疊的部分，要判求出交點(diǎn)后，對(duì)于直線與平面投影重疊的部分，要判別直線的可見(jiàn)性。別直線的可見(jiàn)性。（1 1） 求出交點(diǎn)后，對(duì)于直線求出交點(diǎn)后，對(duì)于直線與平面投影重疊的部分，要判與平面投影重疊的部分，要判別直線的可見(jiàn)性（不重疊的部別直線的可見(jiàn)性（不重疊的部分都是可見(jiàn)的）。分都是可見(jiàn)的）。（2 2）交點(diǎn)交點(diǎn)是直線可見(jiàn)部分與不是直線可見(jiàn)部分與不可見(jiàn)部分的可見(jiàn)部分的分界點(diǎn)分界點(diǎn)。（3 3）判別方法判別方法 A.A.直接觀察直接觀察;

9、 ; B. B.利用交叉直線的重影點(diǎn)。利用交叉直線的重影點(diǎn)。 關(guān)于直線可見(jiàn)性的判別關(guān)于直線可見(jiàn)性的判別k k11(2)(2)x xcceeddaabbc ca ab be ed d例例 求直線求直線ABAB與鉛垂面與鉛垂面CDECDE的交點(diǎn)的交點(diǎn)K K。 分分 析析 利用鉛垂面水利用鉛垂面水平投影的積聚平投影的積聚性求交點(diǎn)性求交點(diǎn)圖圖 5-5 5-5 1 12 2k k例例 求求ABAB與與P P平面的交點(diǎn)。平面的交點(diǎn)。 分分 析析 利用利用P PV V的積聚的積聚性求交點(diǎn)。性求交點(diǎn)。kka ab bP PH HP PV Vaabbx xp px x圖圖 5-6 5-6 k k11x xcce

10、eddaa（bb）c ca ab be ed d例例 求正垂線求正垂線ABAB與與CDECDE的交點(diǎn)的交點(diǎn)K K。 分分 析析 利用線利用線V V面投影面投影的積聚性確定交點(diǎn)的積聚性確定交點(diǎn)的一個(gè)投影，根據(jù)的一個(gè)投影，根據(jù)點(diǎn)在面上求出交點(diǎn)點(diǎn)在面上求出交點(diǎn)的另一投影。的另一投影。1 12 2k k22k k特殊位置直線與一般位置平面相交特殊位置直線與一般位置平面相交 兩平面不平行時(shí)必相交，其兩平面不平行時(shí)必相交，其交線交線是兩平面的是兩平面的共共有線，是平面可見(jiàn)部分與不可見(jiàn)部分的分界線有線，是平面可見(jiàn)部分與不可見(jiàn)部分的分界線。 兩平面的交線是直線。因此，求作兩平面交線兩平面的交線是直線。因此，求

11、作兩平面交線的方法是：的方法是：求出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，在兩個(gè)平面的求出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，在兩個(gè)平面的公共范圍處連出交線公共范圍處連出交線。兩平面相交兩平面相交2. 2. 特殊位置平面與一般位置平面的交線特殊位置平面與一般位置平面的交線 當(dāng)相交兩平面之一為特殊位置平面時(shí)，當(dāng)相交兩平面之一為特殊位置平面時(shí)，可利用它的投影的積聚性直接求出交線上可利用它的投影的積聚性直接求出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，然后連成交線。的兩個(gè)點(diǎn)，然后連成交線。deaab bXedffcckl例例 求求DEFDEF(HH面面) )與與ABCABC的交線的交線KLKL。 分分 析析 利用利用dfedfe的積聚的積聚性，求兩平面交性，求兩平面

12、交線。線。k11(2)(2)12（1 1） 求出交線后，對(duì)于求出交線后，對(duì)于兩平面同面投影重疊兩平面同面投影重疊的部的部分，要判別可見(jiàn)性（不重分，要判別可見(jiàn)性（不重疊的部分都是可見(jiàn)的）。疊的部分都是可見(jiàn)的）。（2 2）交線交線是可見(jiàn)部分與不是可見(jiàn)部分與不可見(jiàn)部分的分界線?？梢?jiàn)部分的分界線。（3 3）判別方法判別方法 A.A.直接觀察直接觀察; ; B. B.利用交叉直線的重利用交叉直線的重 影點(diǎn)。影點(diǎn)。圖圖 5-7 5-7 l( (a) a) 全交全交( (b) b) 互交互交兩平面相交的兩種情況兩平面相交的兩種情況 全交：全交：一個(gè)平面全部穿過(guò)另一個(gè)平面一個(gè)平面全部穿過(guò)另一個(gè)平面; ; 互交

13、：互交：兩個(gè)平面的邊線互相穿過(guò)。兩個(gè)平面的邊線互相穿過(guò)。 分分 析析 利用水平面利用水平面efgefg的積聚性的積聚性求兩平面交線。求兩平面交線。ecgf1efg1dbakllabcdkx例例 求求EFGEFG(HH面面) )與平面與平面ABCDABCD的交線，并判斷可見(jiàn)性。的交線，并判斷可見(jiàn)性。圖圖 5-8 5-8 本題中兩平面圖形本題中兩平面圖形只有部分互交。求交只有部分互交。求交時(shí)要注意除去交線多時(shí)要注意除去交線多余的部分。余的部分。 當(dāng)兩平面同時(shí)垂直某一投影面時(shí)，當(dāng)兩平面同時(shí)垂直某一投影面時(shí)，它們的交線也是此投影面的垂直線。它們的交線也是此投影面的垂直線。xegfefgcbaabc例例

14、 求兩面的交線。求兩面的交線。各種位置平面間的交線各種位置平面間的交線例例 3 3 求矩形平面與兩個(gè)共邊三角形平面的交線。求矩形平面與兩個(gè)共邊三角形平面的交線。 分分 析析 利用水平面投影利用水平面投影的積聚性求兩平面的積聚性求兩平面交線。交線。 水平面與兩三角水平面與兩三角形的交線是水平線，形的交線是水平線，并且與相應(yīng)的底邊并且與相應(yīng)的底邊平行。平行。xcs1abcabs12圖圖 5-10 5-10 2當(dāng)直線和平面都處于一般位置時(shí)，交點(diǎn)的求法是：當(dāng)直線和平面都處于一般位置時(shí)，交點(diǎn)的求法是：含已知直線作輔助平面含已知直線作輔助平面; ;求輔助平面與已知平面的交線求輔助平面與已知平面的交線; ;

15、交線與已知直線的交點(diǎn)即為所求。交線與已知直線的交點(diǎn)即為所求。為了作圖方便，應(yīng)選擇特為了作圖方便，應(yīng)選擇特殊位置平面作為輔助平面。殊位置平面作為輔助平面。二、一般位置直線與一般位置平面的相交二、一般位置直線與一般位置平面的相交PkPV例例1 1 求直線求直線DEDE與平面與平面ABCABC的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。aaggffbbcckXddeek圖圖 5-12 5-12 aabbcckXddeek1(2)3(4)4321例例1 1 求直線求直線DEDE與平面與平面ABCABC的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。 利用兩交叉直利用兩交叉直線的重影點(diǎn)判別線的重影點(diǎn)判別直線的可見(jiàn)性。直線的可見(jiàn)性。圖圖 5-12 5-12 解法一

16、空間分析：解法一空間分析： 含點(diǎn)含點(diǎn)與一直線作平面，求與另與一直線作平面，求與另一直線的交點(diǎn)。一直線的交點(diǎn)。aaff2233gg4411x x2 2a a3 34 4k k1 1P PV Vf fg gkkbbb b例例2 2 含點(diǎn)含點(diǎn)A A作直線作直線ABAB使與交叉直線使與交叉直線、都相交。都相交。圖圖 5-13 5-13 A AB BK KB B解法二空間分析：解法二空間分析： 含點(diǎn)和含點(diǎn)和兩直線分別作面，求兩面交兩直線分別作面，求兩面交線與一直線的交點(diǎn)。線與一直線的交點(diǎn)。解法三空間分析：解法三空間分析： 將一直線變成將一直線變成投影面垂直線，利用積聚性，作投影面垂直線，利用積聚性，作直

17、線直線ABAB與二交叉直線垂直相交與二交叉直線垂直相交A AK K例例2 2 含點(diǎn)含點(diǎn)A A作直線作直線ABAB使與交叉直線使與交叉直線、都相交。都相交。圖圖 5-14 5-14 例例 3 3 求求ABAB與兩三角形的交點(diǎn)。與兩三角形的交點(diǎn)。 作作 法法 作正垂面作正垂面QQ求求ABAB與兩三角形的交點(diǎn)。與兩三角形的交點(diǎn)。abf1xa3412f2k2k1e1e2f1f2k1e1k2e2b3124(m) nQVnm圖圖 5-15 5-15 三、兩一般位置平面的交線三、兩一般位置平面的交線 常用方法：常用方法：1 1 線面交點(diǎn)法線面交點(diǎn)法 2. 2. 輔助平面法輔助平面法1. 1. 線面交點(diǎn)法線面

18、交點(diǎn)法 當(dāng)相交兩平面都用平面圖形表示，且同面投當(dāng)相交兩平面都用平面圖形表示，且同面投影有互相重疊的部分時(shí)，可用求直線和平面交影有互相重疊的部分時(shí)，可用求直線和平面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)。點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)。QV例例 求求ABCABC和和DEFDEF的交線。（求交點(diǎn)）的交線。（求交點(diǎn)）aagffbbcckXddeehghkRVllaaffbbcckXddeek圖圖 5-16 5-16 aaffbbcckXddeekll121(2)3(4)34例例 求求ABCABC和和DEFDEF的交線。（判別可見(jiàn)性）的交線。（判別可見(jiàn)性）圖圖 5-16 5-16 fkaafbbccXddeellk

19、 若線段的投影與另一平面圖形的投影不重若線段的投影與另一平面圖形的投影不重疊，就表明該線段在空間不直接與平面圖形相疊，就表明該線段在空間不直接與平面圖形相交（需將平面圖形擴(kuò)大后才有交點(diǎn)），則不宜交（需將平面圖形擴(kuò)大后才有交點(diǎn)），則不宜選這類(lèi)直線來(lái)求交點(diǎn)。選這類(lèi)直線來(lái)求交點(diǎn)。使用使用線面交點(diǎn)法時(shí)注意：線面交點(diǎn)法時(shí)注意：2. 2. 輔助平面法輔助平面法圖圖 5-17 5-17 作圖原理作圖原理求求P P、Q Q平面的交線時(shí)，平面的交線時(shí)，任作平面任作平面S S1 1，使與使與QQ相交相交得交線得交線L L1 1，與與P P相交得交相交得交線線L L2 2；L L1 1、L L2 2的交點(diǎn)的交點(diǎn)I

20、I為為P P、Q Q、S S1 1三面的共有點(diǎn)，即三面的共有點(diǎn)，即P P、QQ交線上的一個(gè)點(diǎn)。交線上的一個(gè)點(diǎn)。再作平面再作平面S S2 2，又可得到交又可得到交線上的另一個(gè)交點(diǎn)線上的另一個(gè)交點(diǎn)。1.1. 連接連接I I 即即P P、Q Q的交線。的交線。bb例例 求求ABCABC和平面和平面( (L L1 1 L L2 2) )的交線。的交線。ccaax xa ab bc c111 122332 23 3S S1V1VS S2V2Vl l2 2l l1 1l l2 2l l1 1k k1 1k k1 1圖圖 5-18 5-18 k k2 2k k2 25-3 5-3 垂直問(wèn)題垂直問(wèn)題一、一、

21、直線和平面垂直直線和平面垂直定理定理 如果一條直線和一個(gè)平如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。么這條直線垂直于這個(gè)平面。 直線直線L L平面平面P P內(nèi)的兩相交直線內(nèi)的兩相交直線ABAB、CDCD, , 則則L LP P面面LBACDP直線與平面垂直的投影特性：直線與平面垂直的投影特性：直線的水平投影直線的水平投影平面平面內(nèi)的水平線的水平投影，直線的正面投影內(nèi)的水平線的水平投影，直線的正面投影平面內(nèi)的平面內(nèi)的正平線的正面投影。正平線的正面投影。ccC CKA Ak ke eMMB BE EF Ff fa ab bc cHHeec c

22、b ba aa ab bfff fe ed dddkkmmX X mk mk ef, mk ef, mk ad, MKad, MKABCABC所確定所確定的平面。的平面。 有關(guān)直線與平面垂直的作圖問(wèn)題：有關(guān)直線與平面垂直的作圖問(wèn)題：作直線作直線已知平面；作平面已知平面；作平面已知直線。已知直線。1.1. 判斷已知直線、平面是否垂直。判斷已知直線、平面是否垂直。QQH H例例1 1 含點(diǎn)含點(diǎn)E E作直線垂直于作直線垂直于ABCABC，并求垂足。并求垂足。a aaab bbbcceekkc ck ke e1 1222 21133444 43 3fff fX X圖圖 5-21 5-21 分分 析析

23、先求平面的垂先求平面的垂線，然后求垂線線，然后求垂線與平面的交點(diǎn)。與平面的交點(diǎn)。( (b) b) 已知已知例例 求求C C點(diǎn)到直線點(diǎn)到直線ABAB的距離。（分析）的距離。（分析）a aaab bbbccc cX X( (a) a) 分析示意圖分析示意圖PBAKC解題步驟解題步驟: :1.1.過(guò)過(guò)C C點(diǎn)作點(diǎn)作P P面面直線直線ABAB; ;2.2.求求ABAB與與P P面的交點(diǎn)面的交點(diǎn)K K; ;3.3.求垂線求垂線CKCK的實(shí)長(zhǎng)。的實(shí)長(zhǎng)。P PV Va aaab bbbccd dc cee111 12 222k kckckk k0 0CKCK實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng) 例例 求求C C點(diǎn)到直線點(diǎn)到直線ABAB

24、的距離。（作圖）的距離。（作圖）X Xe eddkk解題步驟解題步驟: :1.1.過(guò)過(guò)C C點(diǎn)作點(diǎn)作P P面面直線直線ABAB; ;2.2.求求ABAB與與P P面的交點(diǎn)面的交點(diǎn)K K; ;3.3.求垂線求垂線CKCK的實(shí)長(zhǎng)。的實(shí)長(zhǎng)。 例例2 2 已知已知ABABBCBC，求求bcbc。a aaab bbbccc c111 12 2223 34 43344X XA AB BC CP P 分分 析析1.1.過(guò)過(guò)B B點(diǎn)作點(diǎn)作P P面面直線直線ABAB 則則BCBC一定在一定在P P面內(nèi)；面內(nèi)；2.2.在在P P面內(nèi)求面內(nèi)求C C點(diǎn)。點(diǎn)。圖圖 5-22 5-22 二、二、 兩平面垂直兩平面垂直定理

25、定理 如一直線如一直線一平面，則一平面，則包含這直線的一切平面都包含這直線的一切平面都該該平面。平面。反之，如兩平面互相垂直，反之，如兩平面互相垂直，則從第一平面內(nèi)的任意一點(diǎn)向則從第一平面內(nèi)的任意一點(diǎn)向第二平面所作的垂線，必定在第二平面所作的垂線，必定在第一平面內(nèi)。第一平面內(nèi)。簡(jiǎn)述簡(jiǎn)述 如一平面內(nèi)有一直線垂如一平面內(nèi)有一直線垂直于另一平面，則此兩平面互直于另一平面，則此兩平面互相垂直。相垂直。 兩平面垂直的條件兩平面垂直的條件 有關(guān)兩平面垂直的作圖問(wèn)題：有關(guān)兩平面垂直的作圖問(wèn)題：作平面作平面已知平面；已知平面；1.1. 判斷兩已知平面是否垂直。判斷兩已知平面是否垂直。例例 含點(diǎn)含點(diǎn)A A作平面垂直于作平面垂直于。11223 31 12 23 355445 54 4ccaabbx xa ab bc c 分分 析析 含點(diǎn)含點(diǎn)A A只能作一只能作一直線直線定平面，但定平面，但此垂線可作無(wú)窮多此垂線可作無(wú)窮多個(gè)平面，即本題有個(gè)平面，即本題有無(wú)窮多解。無(wú)窮多