中考數(shù)學(xué)狀元筆記及知識點(diǎn)集

1、中考狀元數(shù)學(xué)筆記知識點(diǎn)匯總一、實(shí)數(shù)（一）有理數(shù)1、有理數(shù)分類：整數(shù)正整數(shù)/0/負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù) /負(fù)分?jǐn)?shù)2、數(shù)軸：畫一條水平直線，在直線上取一點(diǎn)表示0（原點(diǎn)），選取某一長度作為單位長度，規(guī)定直線上向右的方向?yàn)檎较颍偷玫綌?shù)軸3、相反數(shù)如果兩個(gè)數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另外一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。4、倒數(shù)如果兩個(gè)數(shù)之積為1，則稱這兩個(gè)數(shù)為倒數(shù)5、絕對值 在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對值。正數(shù)的絕對值是他本身/ 負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)/0 的絕對值是 0。（二）實(shí)數(shù)1、實(shí)數(shù)分類：有理數(shù)整數(shù)/分?jǐn)?shù)無理數(shù) (無限不循環(huán)小數(shù) )2、平方根：如果一個(gè)數(shù)

2、x 的平方等于 a，那么這個(gè)數(shù)x 就叫做 a 的平方根。一個(gè)正數(shù)有2 個(gè)平方根 /0 的平方根為 0/負(fù)數(shù)沒有平方。求一個(gè)數(shù) a 的平方根運(yùn)算，叫做開平方，其中a 叫做被開方數(shù)。3、算術(shù)平方根如果一個(gè)正數(shù)x 的平方等于 a，那么這個(gè)正數(shù)x 就叫做 a 的算術(shù)平方根4、立方根：如果一個(gè)數(shù)x 的立方等于 a，那么這個(gè)數(shù)x 就叫做 a 的立方根。正數(shù)的立方根是正數(shù)/0 的立方根是 0/負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。求一個(gè)數(shù)a 的立方根的運(yùn)算叫開立方，其中a 叫做被開方數(shù)。5、乘方性質(zhì)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算： 加法 ：同號相加，取相同的符號，把絕對值相加。

3、異號相加，絕對值相等時(shí)和為0；絕對值不等時(shí)，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。一個(gè)數(shù)與0 相加不變。減法 ： 減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。乘法 ：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，絕對值相乘。任何數(shù)與0 相乘得 0。乘積為 1 的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。除法 ：除以一個(gè)數(shù)等于乘以一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。0 不能作除數(shù)。 乘方 ：求 n 個(gè)相同因數(shù) a 的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫冪，a 叫底數(shù)， n 叫次數(shù)。 混合順序 先算乘方，再算乘除，最后算加減同級運(yùn)算，按照從左至右的順序進(jìn)行；如果有括號，先小再中后大運(yùn)算律 ： a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) ab=ba

4、 (ab)c=a(bc)(a+b)c=ac+bc7、科學(xué)記數(shù)法 : 把一個(gè)整數(shù)或有限小數(shù)表示成a 10n 的形式，其中n 是整數(shù)。8、近似數(shù) 四舍五入法進(jìn)一法去尾法9、有效數(shù)字從左邊第一個(gè)不是 0 的數(shù)學(xué)起，到末位數(shù)字為止，所有的數(shù)字都叫這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。如： 28.70 萬有 4 個(gè)有效數(shù)字； 0.30120 有 5 個(gè)有效數(shù)字。10、非負(fù)數(shù)a 0a 0a 20p111、零指數(shù)次冪、負(fù)指數(shù)次冪a01(其中 a 0)aa p ( p為正整數(shù) ,a 0)二、代數(shù)式1、分類：代數(shù)式有理式與無理式；有理式整式分式；整式單項(xiàng)式多項(xiàng)式。2、整式概念數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫單項(xiàng)式，幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式，

5、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。一個(gè)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。3、整式運(yùn)算：（1）整式的加減：如果遇到括號先去括號，再合并同類項(xiàng)。整式的乘法：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。乘法公式 ：（ a+b）（a-b） =a2-b2 (a b) 2=a2 2ab+b2整式的除法：單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別

6、相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。an a n冪的運(yùn)算公式： a m a n = a m n ; am a n = a m n ; (a m )n= a mn ; (ab) n= anb n ; ( b )b n4、分解因式：（ 1）概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變化叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式（ 2）方法：提公因式法/運(yùn)用公式法 /分組分解法 /十字相乘法（一提二套三分組）5、分式概念及性質(zhì)：整式A 除以整式b B ，如果除式 B 中含有分母，那么這個(gè)就是

7、分式，（注意：對于任何一個(gè)分式，分母不為0）性質(zhì) 10 基本性質(zhì)：am( m0)20 符號法則：bbb6、分式的運(yùn)算：a bmaaa加減法：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母的分式先通分，化為同分母的分式，再加減。乘法：把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。除法：除以一個(gè)分式等于乘以這個(gè)分式的倒數(shù)。7、二次根式aa(a )2a(a0)2性質(zhì)abab (a 0,b0)0, b0)aab( a運(yùn)算加減：化成同類二次根式，再合并。b乘 法abab (a0,b0)aa0,b 0)除法：b(ab最簡二次根式：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式。同類二次

8、根式：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式。有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘積不含有二次根式，則他們互為有理化因式。如：a與 a,ab與 a m b, a xb y與a x mby1分母有理化：把分母中的根號化去。（方法：分子分母同乘以分母的有理化因式）三、方程（一）一次方程1、概念 等式：用等號連接的兩個(gè)式子叫等式方程：含有未知量的等式叫做方程。方程的解：能夠使得方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解。一元一次方程：方程化為最簡形式后，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1 的整式方程叫一元一次方程。二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1 的整式方程叫二元一次方程。

9、二元一次方程組的解：能使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的一組值，叫這個(gè)二元一次方程的一組解。2、等式性質(zhì) 等式左右兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，結(jié)果仍然是等式等式左右兩邊都乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍然是等式。3、一元一次方程的解法：去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1（注意：去分母最小公倍數(shù)；移項(xiàng)變號）4、二元一次方程組的解法：代入消元法加減消元法。5、列方程解應(yīng)用題： （ 1）步驟：審、設(shè)、找、列、解、答（2）類型：和差倍分問題等積變形問題行程問題相遇問題/追及問題/順逆流問題勞力調(diào)配問題工程問題利潤率問題數(shù)字問題儲蓄問題比例分配問題日歷中的問題（二）二次方程1、概

10、念 一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的整式方程叫一元二次方程2、一元二次方程的解法：直接開平方方法因式分解法配方法公式法b , x1 x2c3、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：一元二次方程ax2+bx+c=0( a 0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 x 1,x2 則有 x1x2如： x12+x 22 =（x 1+x2） 2 2 x1x 2x1x2( x1x2 )24x1 x2aa2 0 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根=0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0 時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。4、根的判別式=b -4ac（三）分式方程1、定義：分母里含有未知數(shù)的方程2、分式方程的解法： （ 1）思路：將分式方

11、程轉(zhuǎn)化為整式方程，解之并代入公分母中驗(yàn)根。 （ 2）步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、解一元一次方程、驗(yàn)根。3、列分式方程解決實(shí)際問題的步驟：審、設(shè)、找、列、解、驗(yàn)、答。（不僅要驗(yàn)根還要驗(yàn)是否符合題意）四、不等式及不等式組（一）一元一次不等式1、不等式的定義：用“ ”、“”、“”、“”等不等號連接的式子。2、不等式的基本性質(zhì)：如ab，c 為實(shí)數(shù) 則 a+cb+c；如 ab，c 為實(shí)數(shù) 則 a-cb-c 如 ab，c0 則 acbc；ab如 ab，c0 則 acb，cb， c0 則 cccc3、一元一次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，不等式的左右兩邊都是整式的不等式。4

12、、不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解。5、解一元一次不等式的步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化成1（二）一元一次不等式組1、定義：同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，組成一個(gè)一元一次不等式組2、一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中的各個(gè)不等式的解集的公共部分。3、解一元一次不等式組（1）步驟：先分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集、在數(shù)軸上分別表示、找公共部分（ 2）確定法則：同大取大、同小取小、大小小大取中間、大大小小是無解。4、應(yīng)用：審、設(shè)、列、解、擇、答。（擇：從解集中根據(jù)實(shí)際情況選擇符合題意的解或解集）五、函數(shù)及其圖象（一）平面直角坐標(biāo)系1、有序?qū)崝?shù)對：有

13、順序的兩個(gè)實(shí)數(shù)a 和 b 組成的實(shí)數(shù)對。（利用它可以準(zhǔn)確表示平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置）2、平面直角坐標(biāo)系：平面內(nèi)兩條互相垂直、零點(diǎn)重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。水平的數(shù)軸x 軸，取向右為正；豎直的數(shù)軸叫y 軸，取向上為正；兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。3、象限：坐標(biāo)平面被 x 軸、 y 軸分割成四個(gè)象限，分別稱為第一、二、三、四象限。（ x 軸、 y 軸與坐標(biāo)原點(diǎn)不屬于任何象限）4、坐標(biāo)： P(a，b) 表示由點(diǎn) P 向 x 軸作垂線，垂足對應(yīng)著x 軸上的一個(gè)實(shí)數(shù)a；由點(diǎn) P 向 y 軸作垂線，垂足對應(yīng)著 y 軸上的一個(gè)實(shí)數(shù)b；a 為橫坐標(biāo)， b 為縱坐標(biāo)。5、平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征：可從各象

14、限內(nèi)的點(diǎn)、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)、角平分線上的點(diǎn)、平行線上的點(diǎn)來歸納。6、關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：P(a,b) ( 關(guān)于 x 軸) Px(a,-b)；P(a,b) ( 關(guān)于 y 軸) Py(-a, b)；P(a,b) ( 關(guān)于原點(diǎn) ) Po(-a,-b)；P(a,b) ( 關(guān)于直線 y=x) P 1 (-a, b)x2 )2( y1 y2 ) 27、兩點(diǎn)間的距離公式： A(x 1,y1 )、 B(x 2,y 2)的距離為AB( x1（二）函數(shù)概念1、變量與常量：在一個(gè)變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量，始終不變的量叫做常量。2、函數(shù)：一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量 x 與 y，并且對于 x

15、 的每一個(gè)值， y 都有一個(gè)唯一確定的值與其對應(yīng)，那么就說 x 是自變量， y 是 x 的函數(shù)。3、函數(shù)中自變量的取值范圍4、函數(shù)值：對于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)確定的值，該函數(shù)有唯一確定的對應(yīng)值，此對應(yīng)值為函數(shù)值。25、函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖象法。6、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的步驟：列表、描點(diǎn)、連線(有等號畫實(shí)心，無等號畫空心)（三）一次函數(shù)1、正比例函數(shù)：如果y=kx （ k 是常數(shù)， k0），那么 y 叫做 x 的正比例函數(shù)；其圖象是過點(diǎn)(0,0)與 (1,k)的一條直線。2、一次函數(shù)：如果y=kx+b （k 、b 是常數(shù)， k 0）那么 y 叫做 x 的一次函數(shù)。其圖象是過點(diǎn)(0,

16、b)b、( ,0)的一條直線。3、正比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：k解析式y(tǒng)=kx( k0)y=kx+b( k 0)kk0k0k0k0k0b0b0 則直線的傾斜角為銳角 k0 直線與 y 軸的交點(diǎn)在 x 軸的上方 b0k0 或 x0 或 x0 則開口向上，且圖象向上無限伸展；a0 則交于 y 軸的正半軸上； c0 則交于 y 軸的負(fù)半軸上； c=0 則必過原點(diǎn)。與 x 軸交點(diǎn)的位置由方程2時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；=0 時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；0對稱軸的位置由 a 和 b 聯(lián)合決定 ( 左同右異 ) ： a、b 同號則對稱軸在y 軸的左側(cè)； a、b 異號則對稱軸在y 軸的右側(cè)。6、二次函數(shù)的性質(zhì)：y=ax2

17、+bx+c(a、 b、c 為常數(shù)， a 0)函數(shù)圖象a0a0),向左 (h0),向下 (kBC ），如果 AC 是線段 AB 和 BC 的比例中項(xiàng)，則點(diǎn)C 叫作線段 AB的黃金分割點(diǎn)，且ACBC5 1ABAC0.61822、相似多邊線 （1）定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形的對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）（ 2）性質(zhì)：相似多邊形的周長比等于相似比相似多邊形對應(yīng)的對角線比等于相似比相似多邊形中的對應(yīng)三角形相似，其相似比等于相似多邊形的相似比相似多邊形的面積比等于相似比的平方。3、相似三角形（1）定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形（2）相似

18、三角形所對應(yīng)的基本圖形6（3）性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例相似三角形的對應(yīng)中線、角平分線、高的比等于相似比相似三角形的周長比等于相似比 相似三角形的面積比等于相似比的平方。（4）判定：常見：兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。特別：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。4、位似圖形 （ 1）概念：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，可見位似是特殊的相似，其相似比又叫

19、做位似比。（2）性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比，利用位似變換可以輕易地將圖形放大或縮小。（ 3）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：保持圖形的形狀不變的幾何變換叫做相似變換，位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形，利用位似的方法可以把一個(gè)多邊形放大或縮小。 （ 4）位似圖形的畫法：先確定位似中心，再過位似中心和每個(gè)頂點(diǎn)作直線，在直線的另一側(cè)取原多邊形的各頂點(diǎn)的對應(yīng)頂點(diǎn)，連接各點(diǎn)，即可得到放大或縮小的圖形。（注意“放大”與“放大到”的區(qū)別）十、解直角三角形1、銳角三角函數(shù)（ 1）定義：A的對邊銳角 A 的對邊與斜邊的比叫做A 的正弦，記作sin A斜邊銳角

20、A 的鄰邊與斜邊的比叫做A 的余弦，記作cos AA的鄰邊斜邊銳角 A 的對邊與鄰邊的比叫做A 的正切，記作tan AA的對邊銳角 A 的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱為銳角的三角函數(shù)。鄰邊（2）三角函數(shù)的函數(shù)值及其變化規(guī)律當(dāng) A 為銳角時(shí)， 0sinA1,0cosA0 一個(gè)銳角的正弦、正切值均隨著角度的增大而增大，而一個(gè)銳角的余弦隨著角度的增大而減小。2、特殊角的三角函數(shù)acbcab304560sin123222cos321222tan31333、三角函數(shù)的關(guān)系sin(90A) cos Acos(90 A) sin A（1）互為余角的三角函數(shù)：A 為銳角，則有：、（2） 同角三角函數(shù)的關(guān)系：平方關(guān)系：

21、sin 2 Acos2 A1商數(shù)關(guān)系： tan Asin A不等關(guān)系：當(dāng) A 為銳角時(shí)， tanAsinAcos A4、解直角三角形：直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角（1）解直角三角形的概念：由直角三角形中的兩個(gè)已知元素（直角除外且其中至少有一個(gè)是邊） ，求出其余未知元素的過程，叫解直角三角形。（2）解直角三角形的依據(jù)：勾股定理兩銳角之間的互余關(guān)系邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)的定義（ 3）解直角三角形中的四類基本問題已知斜邊和一直角邊已知斜邊和一銳角已知一直角邊和一銳角已知兩直角邊5、解直角三角形的應(yīng)用（ 1）內(nèi)涵：解直角三角形的應(yīng)用實(shí)際上是將實(shí)際問題通過圖形使之轉(zhuǎn)化到直角

22、三角形中，用銳角三角函數(shù)、代數(shù)與幾何知識綜合求解。（ 2）仰角、俯角、坡角、坡度仰角與俯角：它們都是在同一鉛垂面內(nèi)視線和水平線間的夾角，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角坡度與坡角：通常把坡面的鉛垂高度h 和水平寬度 l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即h 坡度一般寫成 1:m 的形成，坡面與水平面的夾角叫hi做坡角，記作 ，則有il 方位角：略tan al十一、四邊形梯形 （1）定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形兩條腰相等的梯形叫等腰梯形。一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。（ 2）等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等、對角線相等（3）等腰梯形的判定：

23、兩腰相等的梯形同一底上的兩個(gè)角相等的梯形對角線相等的梯形平行四邊形 （1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形（ 2）性質(zhì)：平行四邊形兩組對邊分別平行 平行四邊形的兩組對邊分別相等平行四邊形的兩組對角分別相等平行四邊形的對角線互相平分。平行四邊形關(guān)于對角線的交點(diǎn)成中心對稱圖形（ 3）判定：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形對角線互相平分的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形矩形 （1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形（ 2）性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角矩形的對角線相等矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（ 3）判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形對角線相等的平行四邊形是矩形7（四）菱形（ 1）定義：鄰