最新《力學(xué)》漆安慎(第二版)07章

1、力學(xué)（第二版）漆安慎習(xí)題解答第七章 剛體力學(xué)第七章剛體力學(xué)一、基本知識(shí)小結(jié)1剛體的質(zhì)心定義： rcmi ri / mrcrdm/ dm求質(zhì)心方法：對(duì)稱分析法，分割法，積分法。2剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義：Imi ri2Ir2dm平行軸定理Io = Ic+md2正交軸定理Iz = Ix+Iy.常見(jiàn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（略）3剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理p mvcF mac4剛體對(duì)軸的角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)定理L II5.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和重力勢(shì)能Ek ?I 2Ep mgyc6剛體的平面運(yùn)動(dòng)=隨質(zhì)心坐標(biāo)系的平動(dòng)+繞質(zhì)心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng) 動(dòng)力學(xué)方程：F macc Ic c （不必考慮慣性力矩）動(dòng)能：Ek 2mv；今Ic c27

2、剛體的平衡方程、思考題解答7.1火車在拐彎時(shí)所作的運(yùn)動(dòng)是不是平動(dòng)？答：剛體作平動(dòng)時(shí)固聯(lián)其上的任一一條直線，在各時(shí)刻的位置（方位）始終彼此平 行。若將火車的車廂看作一個(gè)剛體，當(dāng)火車作直線運(yùn)行時(shí)，車廂上各部分具有平行運(yùn)動(dòng) 的軌跡、相同的運(yùn)動(dòng)速度和加速度，選取車廂上的任一點(diǎn)都可代替車廂整體的運(yùn)動(dòng)，這 就是火車的平動(dòng)。但當(dāng)火車拐彎時(shí)，車廂上各部分的速度和加速度都不相同，即固聯(lián)在 剛體上任一條直線，在各時(shí)刻的位置不能保持彼此平行， 所以火車拐彎時(shí)的運(yùn)動(dòng)不是平 動(dòng)。7.2對(duì)靜止的剛體施以外力作用，如果合外力為零，剛體會(huì)不會(huì)運(yùn)動(dòng)？r r答：對(duì)靜止的剛體施以外力作用，當(dāng)合外力為了零，即Fi mac 0時(shí)，剛體

3、的質(zhì)心將保持靜止，但合外力為零并不表明所有的外力都作用于剛體的同一點(diǎn)。所以，對(duì) 某一確定點(diǎn)剛體所受合外力的力矩 M Miri Fi不一定為零。由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律M J可知，剛體將發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。比如，置于光滑水平面上的勻質(zhì)桿，對(duì)其兩端施以大 小相同、方向相反，沿水平面且垂直于桿的兩個(gè)作用力時(shí)，桿所受的外力的合力為零， 其質(zhì)心雖然保持靜止，但由于所受合外力矩不為零，將作繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。7.3如果剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否一定很大？ （ 2）作 用在它上面的力矩是否一定很大？MrFsin j J J 匚答：由剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律dt可知，剛體受對(duì)軸的合外力矩正比于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的

4、時(shí)間變化率。 因此，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度很大，并不意味 這轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的時(shí)間變化率也很大，所以，（1） 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度很大，與其受力F沒(méi)有直接關(guān)系。對(duì)于剛體的一般運(yùn)動(dòng)，所受合外力使剛體的質(zhì)心產(chǎn)生加速度，即改變剛體的平動(dòng)狀態(tài)。（2） 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度很大，與其受到對(duì)定軸的力矩 M的大小也沒(méi)有直接 關(guān)系。合外力矩使剛體產(chǎn)生角加速度，改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。7.4為什么在研究剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，要研究力矩作用？力矩和哪些因素有關(guān)？答：一個(gè)靜止的剛體能夠獲得平動(dòng)的加速度而運(yùn)動(dòng)起來(lái)的原因是，相對(duì)它的質(zhì)心而言，所受的合外力不為零。一個(gè)靜止的剛體相對(duì)某一轉(zhuǎn)動(dòng)，能夠獲得角加速度而轉(zhuǎn)動(dòng)起 來(lái)的原因是，剛體所受到的外力對(duì)

5、轉(zhuǎn)軸的合外力矩Mi不為零。因此，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)是與其受到的相對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩密切相關(guān)的。取 z軸為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的固定軸時(shí)，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有 貢獻(xiàn)的合外力矩是MzMiz，其中Mjz Fsin ，F(xiàn)i是作用在剛體上的第i個(gè)外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量，而ri是由轉(zhuǎn)軸（z軸）到Fi的作用點(diǎn)的距離，是斤和斤間由右手定則決定的夾角。所以，對(duì)z軸的力矩不但與各外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)分量的大小Fi有關(guān)，還與R的作用線與z軸的垂直距離（力臂）di ri sin的值有關(guān)。7.5 試證：勻質(zhì)細(xì)棒在光滑平面上受到一對(duì)大小相等、方向相反的作用力作用時(shí)，不管 力作用在哪里，它的質(zhì)心加速度總是零。答：勻質(zhì)剛性細(xì)棒可以看作在運(yùn)動(dòng)中保持相對(duì)位置不變的質(zhì)

6、點(diǎn)系， 其質(zhì)心遵守運(yùn)動(dòng)定律 rFi maci. 當(dāng)該棒受大小相等方向相反的作用力時(shí)，質(zhì)心所受合力與各個(gè)力的作用點(diǎn)無(wú)關(guān)，加速度總為零。7.6 在計(jì)算物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，能把物體的質(zhì)量集中的質(zhì)心處嗎？ 答：物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素有：物體的總質(zhì) 量、物體質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置。 同一物體對(duì)質(zhì)心軸和任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的 所以，在計(jì)算物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，不能簡(jiǎn)單地把物體的質(zhì)量看作集中在質(zhì)心處。7.7 兩個(gè)同樣大小的輪子，質(zhì)量也相同。一個(gè)輪子的質(zhì)量均勻分布，另一個(gè)輪子的質(zhì)量 主要集中在輪緣，問(wèn)： （ 1）如果作用在它們上面的外力矩相同，哪個(gè)輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角加 速度較大？（

7、 2）如果它們的角加速度相等，作用在哪個(gè)輪子上的力矩較大？（3）如果它們的角動(dòng)量相等，哪個(gè)輪子上的力矩較大？答：質(zhì)量相等、 大小相同的輪子， 由于質(zhì)量分布情況的不同而使得它們對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量不同。由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的意義 J r dm 可知，質(zhì)量主要集中在輪緣的輪子，其轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量較大。由定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 M J 和角動(dòng)量 L J ，可知：（1）M 相同時(shí)，物體所獲得的角加速度大小與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，故質(zhì)量均勻分布 的輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度較大；（2）角加速度相等時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大的輪子上作用的力矩也大，故質(zhì)量主要集中在 輪緣的輪子受到的力矩較大；（ 3）兩輪的角動(dòng)量相等時(shí)，兩輪的角速度與它們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比

8、，故質(zhì)量均勻 分布的輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度較大轉(zhuǎn)的較快。7.8 一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪， 如不供給它能量， 最終將停下來(lái)。 試用轉(zhuǎn)動(dòng)定律解釋這個(gè)現(xiàn)象。 答：一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪，如不供給它能量，最終必將停下來(lái)，這是由于飛輪在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程 中受到各種對(duì)轉(zhuǎn)軸的阻力矩作功的緣故。根據(jù)動(dòng)能定理 A EK 可知，阻力矩的功使飛 輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能減小，使它最終停下來(lái)7.9、什么是剛體？ 答：一般假定物體無(wú)論受多大外力或轉(zhuǎn)動(dòng)得多快都不變形， 并稱這樣的物體為剛體。剛體是力學(xué)中關(guān)于研究對(duì)象的另一個(gè)理想模型7.10、什么是剛體的平動(dòng)？其動(dòng)力學(xué)方程為何？答： 如果在運(yùn)動(dòng)中， 剛體上任意兩質(zhì)元連線的空間方向始終保持不變， 這種運(yùn)動(dòng) 就稱為

9、剛體的平動(dòng)。例如電梯的升降、活塞的往返等都是平動(dòng)。7.11、什么是剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)？其動(dòng)力學(xué)方程為何？答：如果剛體上各質(zhì)元都繞同一直 線作圓周運(yùn)動(dòng)就稱為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，這條直線稱為轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸固定于參考系的情況稱為定 軸轉(zhuǎn)動(dòng)。答：剛體定軸軸的角動(dòng)量L I轉(zhuǎn)動(dòng)定理（它表明：剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)該轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積在數(shù)量上等于外力對(duì)此轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的合力矩 剛體定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理。）7.12剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能和重力勢(shì)能為何？答：剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能等于剛體對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積之半Ek重力勢(shì)能:Ep mgyc7.13、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小和什么有關(guān)?答：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量決定于剛體各部分質(zhì)量

10、距轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)近及質(zhì)量的分布情況7.14、什么是平行軸定理和垂直軸定律？平行軸定理：設(shè)剛體繞通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為lc ,將軸朝任何方向平行移動(dòng)一個(gè)距離d，則繞此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ID為ID=Ic+md2垂直軸定理：設(shè)剛性薄板平面為xy面，z軸與之垂直，則對(duì)于任何原點(diǎn)0繞三個(gè) 坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為應(yīng)用它很容易求出圓環(huán)或圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣x2my：iy2m：XiiIzIxIyzm。2y：2)i7.15、什么是剛體平面運(yùn)動(dòng)？剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為何？其機(jī)械能為何? 答：剛體的平面運(yùn)動(dòng)=隨質(zhì)心坐標(biāo)系的平動(dòng)+繞質(zhì)心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程:F macIc（不必考慮慣性力矩）動(dòng)能：Ek2mvc22 Ic c7

11、.16、剛體平衡的條件是什么？剛體的平衡方程F 0，對(duì)任意軸三、習(xí)題解答設(shè)地球繞日作圓周運(yùn)動(dòng).求地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的角速度為多少rad/s?估算地球赤道上一點(diǎn)因地球自轉(zhuǎn)具有的線速度和向心加速度.估算地心因公轉(zhuǎn)而具有的線速度和向心加速度（自己搜集所需數(shù)據(jù)）.解答224 360027.27365 24 360010-5(rad/s)2.04 10-7(rad/s)2an 2RR汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速在12s內(nèi)由1200rev/min增加到3000rev/min.假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)是勻加 速轉(zhuǎn)動(dòng)，求角加速度。在此時(shí)間內(nèi)，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？解： （3000 ：00）2 /6015.7rad /s22 2 2 2 2（30

12、00 鸚歸2 /60）26.39 102rad對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)數(shù)=廠 263箒102420某發(fā)動(dòng)機(jī)飛輪在時(shí)間間隔t內(nèi)的角位移為 at bt3 ct4（ : rad ,t: s）。求t時(shí)刻的角速度和角加速度。解:加 a 3bt2 4ct3加 6bt 12ct27.1.4半徑為0.1m的圓盤在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤平面內(nèi)建立 o-xy坐標(biāo)系，原點(diǎn)在 軸上，x和y軸沿水平和鉛直向上的方向。 邊緣上一點(diǎn)A當(dāng)t=0時(shí)恰好在x軸上，該點(diǎn)的角坐標(biāo)滿足 9 =1.2t+2 （ 9 :rad,t:s）t=0時(shí)，自t=0開始轉(zhuǎn)45o時(shí)，A點(diǎn)的速度和加速度在x和y軸上的投影。解:d dt1.2 2t和2.0t=0時(shí),1.2

13、, vx0 vyR 1.2 0.1 0.12m/saxanVy2/Ray a0.122/0.10.144m/s2R 2.0 0.10.2m/s2 B =n /時(shí)，由 9 =1.2t+t求得 t=0.47s,. w =1.2+2t=2.14rad/svxRcos45 2.14 0.1 ,2/20.15m/sVyRs in452.14 0.1 ,2/2 0.15m/ s2 2axRcos45 Rcos45 Rcos45 ()0.1 0,y 0)在盤面內(nèi)的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于 4mR2x用積分法證明：質(zhì)量為 m常為I的勻質(zhì)細(xì)桿對(duì)通過(guò)中心且與桿垂直的軸線的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量等于吉ml2 ；用積分法證明：質(zhì)量為

14、m半徑為R的勻質(zhì)薄圓盤對(duì)通過(guò)中心且證明：取圖示坐標(biāo)，在坐標(biāo)x處取一線元，dm 它對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：dl *x2dx，整個(gè)細(xì)桿對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I /2m Xdx 昴X |：；2 券4 9 1T m|2I /2在坐標(biāo)x處取細(xì)桿狀質(zhì)元，dm 毋 2 . R2 x2dx 2RI R2 x2dx它對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：dl洛dm(2、R2 x2 2R1 證(r2Rx Rcos2 . 2(R sin整個(gè)圓盤對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:為了能求出積分，作如下變換:(R2 x2)3/2 (R2 R2 cos20代入上式：IR3 sin33 R)3/2)3/2Rsin d )22mR23)2 首dm(R2x2)3/2dx

15、,dx Rsin dR3s in34.sin d0x2)黑(R2x2)3/2dx1 cos21 cos22 ，(LJ)2 4仆 2cos2cos2 21(1 2cos2據(jù)三角函數(shù)公式：sin24 Z1 cos2sin2mR2132 cos)羋4)1(3 2cos24(1 2cos2 2cos4 )d,26 -mR12 cos4cos2 d21 cos4 d40曙(|sin2 |0 8sin4 |)4mR2732圖示實(shí)驗(yàn)用的擺，l=0.92m,r=0.08m,mi=4.9kg,mr=24.5kg,近似認(rèn)為圓形部分為勻質(zhì) 圓盤，長(zhǎng)桿部分為勻質(zhì)細(xì)桿。求對(duì)過(guò)懸點(diǎn)且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。l12 m

16、lmt)2amjl2,1 2 r 2 mr rmr(lr)2fmj21 mrr2mr(lr)23 4.90.922 124.50.08224.5(0.92 0.08)226kgm解：擺對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I等于桿對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量Il加上圓盤對(duì)0軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ir，即I = |l+Ir.根據(jù) 平行軸定理733在質(zhì)量為M ,半徑為R的勻質(zhì)圓盤上挖出半徑為r的兩個(gè)圓孔，圓孔中心在半徑 R的中點(diǎn)，求剩余部分對(duì)過(guò)大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：大圓盤對(duì)過(guò)圓盤中心 o且與盤面垂直的軸線(以下簡(jiǎn)稱o軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I壬MR2.由于對(duì)稱放置，兩個(gè)小圓盤對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等，設(shè)為I 圓盤質(zhì)量的面密度(7

17、 =M/nR，根據(jù)平行軸定理，I 1( r2)r2 ( r2)(R2)2 器 M2設(shè)挖去兩個(gè)小圓盤后，剩余部分對(duì) o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為II I 2I 2MR2 響 2Mr2 2M (R2 r2 2r4/R2)7.3.5 一轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=8.0kgm 2, 力都為392N，閘瓦與輪緣間的摩擦系數(shù)為 靜止需多長(zhǎng)時(shí)間？解：由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：轉(zhuǎn)速為3 =41.9rad/s,兩制動(dòng)閘瓦對(duì)輪的壓 卩=0.4輪半徑為r=0.4m，問(wèn)從開始制動(dòng)到2 0.4 392 0.48015.68rad /s制動(dòng)過(guò)程可視為勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)，/t /41.9/15.682.67s勻質(zhì)桿可繞支點(diǎn)o轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)與桿垂直的沖力作用某點(diǎn) A

18、時(shí)，支點(diǎn)o對(duì)桿的作用力 并不因此沖力之作用而發(fā)生變化，則 A點(diǎn)稱為打擊中心。設(shè)桿長(zhǎng)為 L，求打擊中心與據(jù)題意，桿受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖所示。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：N mg 0, Fmac m(1)由轉(zhuǎn)動(dòng)定理；F0A 1。imL2(2)把代入中，可求得oA支點(diǎn)的距離。解：建立圖示坐標(biāo)o-xyz,z軸垂直紙面向外。737現(xiàn)在用阿特伍德機(jī)測(cè)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。用輕線且盡可能潤(rùn)滑輪軸。兩端懸掛重物質(zhì)量各為mi=0.46kg，m2=0.5kg，滑輪半徑為0.05m。自靜止始，釋放重物后并測(cè)得0.5s內(nèi)m2下降了 0.75m。滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是多少？解：隔離m2、mi及滑輪，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖所示。對(duì) m2、mi分別應(yīng)用牛頓

19、第二定律:m2g T2 m2a(1);Ti mg ga(2)對(duì)滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理：仃2 T1)R I la/R ( 3)質(zhì)點(diǎn)m2作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：yat2，2 2 2a 2 y/t 2 0.75/5.00.06m/s由 、可求得 T2 T1 (m2 mjg (m2 mja,代入(3)中，可求得I (m2 mjg/a (m2 mJR2，代入數(shù)據(jù)：2 2 2I (0.04 9.8/0.060.96) 0.051.39 10 kgm斜面傾角為9,位于斜面頂端的卷?yè)P(yáng)機(jī)鼓輪半徑為 R,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，受到驅(qū)動(dòng)力 矩t通過(guò)繩所牽動(dòng)斜面上質(zhì)量為 m的物體，物體與斜面間的摩擦系數(shù)為 卩，求重物上 滑

20、的加速度，繩與斜面平行，不計(jì)繩質(zhì)量。解：隔離鼓輪與重物，受力分析如圖，其中T為繩中張力，f= yN為摩擦力，重物上滑加速度與鼓輪角加速度的關(guān)系為 a= BR對(duì)重物應(yīng)用牛二定律：T- yN- mgs in 9 =ma, N=mgcos 9 代入前式，得T- y mgcos-0mgsin 9 =m對(duì)鼓輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理：tTR=IB =Ia/R由聯(lián)立，可求得重物上滑的加速度：2R R mg( cos sin ) I739利用圖中所示裝置測(cè)一輪盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， 懸線和軸的垂直距離為r,為減小因不計(jì) 軸承摩擦力矩而產(chǎn)生的誤差，先懸掛質(zhì)量較小的重物 mi，從距地面高度為h處由靜止 開始下落，落地時(shí)間為ti，然

21、后懸掛質(zhì)量較大的重物 m2，同樣自高度h處下落，所需時(shí)間為t2，根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定輪盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，近似認(rèn)為兩種情況下摩擦力矩相等。解：隔離輪盤與重物，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖示：t為摩擦力矩,T為繩中張力，a=Br 1ZTmi,m2h工fT mg對(duì)輪盤應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理：Tir f I i，T?r f I 2，兩式相減，得：(T2 Ti)r I( 21)，I (T2 Tjr/( 21)對(duì)重物應(yīng)用牛頓二定律：mig Ti miai m訂 i ,m2g T2 m?a2 m?r 2，兩式相減，可得: T2 Ti (m2 mjg r(m2 2 mi J，代入中，可得：i)2I Km? mjgr (m? 2 mi J

22、r /( 2由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：h iaiti2 ia2t22, ai2h/ti2,a2李，i 卑，2 馬，將角加速度代入中，得:t2rtirt2(m2 mi)gr (m?矜 E 倉(cāng))r22iI2h 2h2 2rt2%2 2 22(m2 mi)gr2hr (m2 /t2/ti )2 22 22h(tit2 )/(ti t2 )2 2 2222(m2 mi)gr ti t22hr (m2tim|t2 )2 22h(tit2 )扇形裝置如圖，可繞光滑的鉛直軸線 o轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I.裝置的一端有槽， 槽內(nèi)有彈簧，槽的中心軸線與轉(zhuǎn)軸垂直距離為r。在槽內(nèi)裝有一小球，質(zhì)量為 m，開始時(shí)用細(xì)線固定，使彈簧處于

23、壓縮狀態(tài)?，F(xiàn)在燃火柴燒斷細(xì)線，小球以速度vo彈出。求轉(zhuǎn)動(dòng)裝置的反沖角速度。在彈射過(guò)程中，由小球和轉(zhuǎn)動(dòng)裝置構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)能守恒否？ 總機(jī)械能守恒否？為什么？解：取小球、轉(zhuǎn)動(dòng)裝置構(gòu)成的物體系為研究對(duì)象。在彈射過(guò)程中，物體系相對(duì)豎直 軸0未受外力距作用，故物體系對(duì)轉(zhuǎn)軸 0的角動(dòng)量守恒，規(guī)定順時(shí)方向?yàn)檎?，有I rmv00rmv 0 /1在彈射過(guò)程中，物體系動(dòng)能不守恒，因彈力做正功使動(dòng)能增加；總機(jī)械能守恒，因?yàn)橹挥斜Ｊ貎?nèi)力(彈力)做功742質(zhì)量為2.97kg，長(zhǎng)為1.0m的勻質(zhì)等截面細(xì)桿可繞水平光滑的軸線 o轉(zhuǎn)動(dòng)，最初 桿靜止于鉛直方向。一彈片質(zhì)量為 10g，以水平速度200m/s射出并嵌入桿的下端，和

24、桿一起運(yùn)動(dòng)，求桿的最大擺角 0.解：將子彈、桿構(gòu)成的物體系作為研究對(duì)象, 整個(gè)過(guò)程可分為兩個(gè)階段研究：因此角動(dòng)量守恒，mvl ml21MI2(m 3M)l2mv(m M /3)l0.01 200(0.01 2.97/3) 1.02.0rad / s第二階段，子彈與桿以共同的初角速度3擺動(dòng)到最大角度0,由于在此過(guò)程中，只第一階段，子彈與桿發(fā)生完全非彈性碰撞， 獲得共同的角速度 g此過(guò)程時(shí)間極短，可認(rèn) 為桿原地未動(dòng)。由于在此過(guò)程中，外力矩為零，有重力做功，所以物體系的機(jī)械能守恒，物體系原來(lái)的動(dòng)能等于重力勢(shì)能的增量:2(m 3M )12 2 mgl(1 cos ) Mg 吉(1 cos )cos(m

25、 M /3)l2(2m M )g(0.01 2.97/3) 1.0 2.02(2 0.01 2.97) 9.80.86350 =30o34一質(zhì)量為m1，速度為v1的子彈沿水平面擊中并嵌入一質(zhì)量為m2=99m1,長(zhǎng)度為L(zhǎng)的棒的端點(diǎn)，速度V1與棒垂直，棒原來(lái)靜止于光滑的水平面上，子彈擊中棒后 共同運(yùn)動(dòng)，求棒和子彈繞垂直與平面的軸的角速度等于多少？解：以地為參考系，把子彈和棒看作一個(gè)物體系，棒嵌入子彈后作平面運(yùn)動(dòng)，可視 為隨質(zhì)心C的平動(dòng)和繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)，繞質(zhì)心C轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度即為所求。據(jù)質(zhì)心定義：m1 CO m1 m2CO CA 100 Lm2丄m2CA, m2CA , 99 2CACA 99L/20

26、00.495L, CO 0.5L0.495L0.005LV1C O據(jù)角動(dòng)量守恒：myCA (m1 CA2吉m2L2 m2CO2)m1v10.495L m1(0.4952 召 99 99 0.0052)L22 20.495V1(0.49599/1299 0.005 )L0.058v1/L高的煙囪因底部損壞而倒下來(lái)，求其上端到達(dá)地面時(shí)的線速度，設(shè)傾倒時(shí)， 底部未移動(dòng)，可近似認(rèn)為煙囪為勻質(zhì)桿。解：設(shè)煙囪質(zhì)量為m ,高為h，質(zhì)心高度hc=h/2，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I mh2 m(h)23mh2，倒在地面上時(shí)的角速度為 3由機(jī)械能守恒：mghC 2丨 2，mg 21 jmh2 2,. 3g/h上端點(diǎn)到達(dá)

27、地面時(shí)的線速度：v h 3gh 3 9.8 10 17.2m/sofl=AHuuBIIII用四根質(zhì)量各為m長(zhǎng)度各為I的勻質(zhì)細(xì)桿制成正方形框架，可繞其中一邊的中點(diǎn) 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，支點(diǎn)o是光滑的。最初，框架處于靜止且 AB邊沿豎直方向，釋放 后向下擺動(dòng)，求當(dāng)AB邊達(dá)到水平時(shí)，框架質(zhì)心的線速度 Vc及框架作用于支點(diǎn)的壓力N.解：先求出正方形框架對(duì)支點(diǎn) o的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I 22B A3，據(jù)機(jī)械能守恒定律:Io Ic 4m(；)Ic mlIc 4(ml2 m4)3 ml2 I。3ml2Ep=O設(shè)AB邊達(dá)到水平位置時(shí)，框架的角速度為4mg21Io 21(7ml2)2AB邊在水平位置時(shí)，框架所受到的向上的

28、支撐力 N和向下的重力 W的作用線均通 過(guò)支點(diǎn)0，對(duì)o軸的力矩為零，據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理，框架的角加速度為零， ac=32l/2=6g/7， 方向向上。規(guī)定向上方向?yàn)檎?，?duì)框架應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：N 4mg 4mac 4m | g N 4mg(1 號(hào))7|mg據(jù)牛頓第三定律，支點(diǎn)受到的壓力，大小等于N，方向向下由長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿組成正方形框架，其中一角連于水平光滑轉(zhuǎn)軸0,轉(zhuǎn)軸與框架所在平面垂直，最初，對(duì)角線OP處于水平，然后從靜止開始向下自由擺動(dòng)， 求OP對(duì)角線與水平成45時(shí)P點(diǎn)的速度，并求此時(shí)框架對(duì)支點(diǎn)的作用力。解：先求出框架對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：據(jù)平行軸定理，I IC 4mOC2 4(ml2 m

29、l2) 4m(冷 I)2ml2設(shè)對(duì)角線OP轉(zhuǎn)過(guò)45后框架的角速度為3，且勢(shì)能為零，由機(jī)械能守恒:4mgQsin45)2丨 2, 2mgl 3ml2 22 6g茴2l 2.3 gl由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理:1 3g2 5 26g5、24mg cos 455l , 5l , Vp設(shè)支點(diǎn)O對(duì)框架的作用力為4mgsi n4 5 1/72 3g5l ,6g5l在n?方向應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理:10ml2/3的法向加速度an2OCNn 2、2mg 4m 6g (2 2 5 2在？方向應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理:T = I, B3 2g質(zhì)心1012Nn24 一 222)mg 2mg5 25N 4mgsin 45 4ma4man，22

30、)mg 2mg2 2mg2)、2mg4m b/R時(shí)，線軸向前滾；cosX b/R時(shí)，線 軸向后滾動(dòng)。解：可將(1)看作(2)的特殊情況。建立圖示坐標(biāo)，z軸垂直紙面向外，為角量的正 方向。根據(jù)靜摩擦力的性質(zhì)，可知其方向與F水平分量方向相反。設(shè)線軸質(zhì)心的加速度 為a，繞質(zhì)心的角加速度為 B由質(zhì)心定理：Feos f ma (1) N mg F sin (2)由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：Fb fR 3mR2(3)只滾不滑：a+p R=0由,(3)，聯(lián)立，可求得：a 君(cosr), 黑(R cos ) , f 去(3b Rcos ) F 為水平拉力 時(shí)， 即cos 1, f 4nR(3b R) mg4 RF 3b R mg .(2)若cosR, a 0,0，即線軸向前滾；若cosR , a 0 ,0，即線軸向后滾。一質(zhì)量為m,半徑為r的均質(zhì)實(shí)心小球沿圓弧形導(dǎo)軌自靜止開始無(wú)滑滾下，圓弧形導(dǎo)軌在鉛直面內(nèi)，半徑為R。最初，小球質(zhì)心與圓環(huán)中心同高度。求小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn) 時(shí)的速率以及它作用于導(dǎo)軌的正壓力。解：設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，其質(zhì)心速 度為V，繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 3，由機(jī)械能守恒，有 mg(R r) 1 mv22(tmr2) 2只滾不滑條件：3 =v/r,代入上式，可求得 v . 10 (R r)g在最低點(diǎn)應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：N mg mv2 /(R r)N mg v2/(R