極限的運(yùn)算與無(wú)窮小量無(wú)窮大量PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 極限的運(yùn)算與無(wú)窮小量無(wú)窮大量極限的運(yùn)算與無(wú)窮小量無(wú)窮大量 1. 1. 1 sin lim 0 x x x xsinx/x 0.50.958851077 0.20.993346654 0.10.998334166 0.010.999983333 0.0010.999999833 0.00010.999999998 01 sinx x x 時(shí)， 01 sinx x x 時(shí)， 第1頁(yè)/共24頁(yè) 1. 1. 1 sin lim 0 x x x 證 明證 明 (1)(1) 令令 0 2 x 作 單 位 圓 如 下 圖 所 示作 單 位 圓 如 下 圖 所 示 , , 取取 xAOB (rad)

2、(rad), ,于是有于是有：BC,sin x ABx, ,xADtan. .由由 圖得圖得 OADOABOAB SSS 扇形 , , 即即 xxxtan 2 1 2 1 sin 2 1 得得 xxxtansin, ,從而從而 有有 1 1 sincos x xx . . 0 0 0 lim cos1 sinsin 1cos ,lim1 lim11 x x x x xx x xx D A B C O x 第2頁(yè)/共24頁(yè) 這樣就證明了這樣就證明了1 sin lim 0 x x x . . 說(shuō)明：說(shuō)明：這個(gè)重要極限主要解決含有三角函數(shù)的這個(gè)重要極限主要解決含有三角函數(shù)的 0 0 型極限型極限 -

3、 0 sin lim1 x x x 同理可證 0 0 sin lim1 sin lim1 1 limsin1 x x x x xx x x x （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 第3頁(yè)/共24頁(yè) 0 sin2 lim1 2 x x x 3 sin3 lim1 3 x x x 0 0 sin lim1 sin lim1 1 limsin1 x x x x xx x x x （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 3 3 1 limsin1 x x x 第4頁(yè)/共24頁(yè) 例例 6 6 求求 x x x 4sin 3sin lim 0 . . 解解 00 sin33 limli

4、m. sin4 3 4 4 xx xx x x x x 00 sin3sin33 limlim() sin43sin4 xx xxx xxx 0 313 lim sin4 44 4 xx x 第5頁(yè)/共24頁(yè) 例例 7 7 求求 2 0 cos1 lim x x x . . 解解 2 22 00 2sin 1cos 2 limlim xx x x xx 0 sinsin 2 22 lim() 4 22 x xx xx 1 2 第6頁(yè)/共24頁(yè) 例例 8 8 求求 3 0 sintan lim x xx x 解解 3 0 33 00 tansin lim sin sin sinsincos co

5、s limlim cos x xx xx x x x xxx x xxx 2 1cos1 7(0) 2 x x x 由例 知 3 0 tansin1 lim 2 x xx x 故 32 00 sin (1cos )sin1cos1 limlim coscos xx xxxx xxxxx 第7頁(yè)/共24頁(yè) 2.2. e 1 1lim x x x 解釋說(shuō)明：列出解釋說(shuō)明：列出 x x 1 1的數(shù)值表的數(shù)值表( (如如下下表表) )，觀察其變，觀察其變 化趨勢(shì)化趨勢(shì). . 1234510100100010000. 22.2502.3702.4412.4882.5942.7052.7172.718 x

6、 x 1 1 x 從從上上表表可看出可看出, ,當(dāng)當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), ,函數(shù)函數(shù) x x 1 1 變化的變化的 大致趨勢(shì)大致趨勢(shì), ,可以證明當(dāng)可以證明當(dāng)x時(shí)時(shí), , x x 1 1 的極限確實(shí)存的極限確實(shí)存 在在, ,并且是一個(gè)無(wú)理數(shù)并且是一個(gè)無(wú)理數(shù), ,其值為其值為718282828. 2e , ,即即 第8頁(yè)/共24頁(yè) e 1 1lim x x x 說(shuō)明： （說(shuō)明： （1 1）此極限主要解決）此極限主要解決 1型冪指函數(shù)的極限型冪指函數(shù)的極限 () () 1 () ()0 1 lim1e 1 ( ) lim 1e lim1( )e x x x x x x x x x 第9頁(yè)/共2

7、4頁(yè) 例例 9 9 求求 x x x 3 1lim . . 3 3 33 lim 1lim 1 x x xx xx 解 1 3 3 3 3 lim1e x x x 第10頁(yè)/共24頁(yè) 例例 1010 求求 2 lim 1 x x x . . 解解 所求極限類型是所求極限類型是 1型型. . ( 2) 2 22 lim 1lim 1 x x xx xx ( 2) 2 2 2 lim1 x x e x 第11頁(yè)/共24頁(yè) 例例 1111 求求 2 lim 3 x x x x . . 解解 所求極限類型是所求極限類型是 1型型, , 2311 limlimlim1 333 xxx xx xxx xx

8、x 33 1 lim1 3 33 11 lim1lim1e. 33 x x x x xx xx 第12頁(yè)/共24頁(yè) 小結(jié)小結(jié):求極限方法求極限方法 (1(1) )運(yùn)用極限法則時(shí)運(yùn)用極限法則時(shí), ,必須注意只有各項(xiàng)極限必須注意只有各項(xiàng)極限 存在存在( (除式除式, ,還要分母極限不為零還要分母極限不為零) )才能適用；才能適用； (2)(2)如果所求極限呈現(xiàn)如果所求極限呈現(xiàn) 0 0 , , 等形式不能直接用極等形式不能直接用極 限法則限法則, ,必須先對(duì)原式進(jìn)行恒等變形必須先對(duì)原式進(jìn)行恒等變形( (約分約分, ,通分通分, ,有理有理 化，變量代換等化，變量代換等) )，然后再求極限，然后再求極

9、限 (3)(3)兩個(gè)重要的極限公式兩個(gè)重要的極限公式 第13頁(yè)/共24頁(yè) 三、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 定義 1 當(dāng)自變量 0 xx （或x）時(shí)，函數(shù))(xf 的極限為零，即0)(lim 0 xf xx （或0)(lim xf x ） 這時(shí)，我們把函數(shù))(xf叫做當(dāng) 0 xx （或x）時(shí) 的無(wú)窮小或無(wú)窮小量. 第14頁(yè)/共24頁(yè) 例如 因?yàn)? 1 lim 2 x x ，所以 2 1 x 是 當(dāng)x時(shí)的無(wú)窮小. 注意： （1）無(wú)窮小量是一個(gè)以零為極限的變量， 不能把它與一個(gè)很小的數(shù)混淆起來(lái). 零是唯一可以看成無(wú)窮小量的常數(shù)。 （2）某個(gè)變量是不是無(wú)窮小量一定要與 相應(yīng)的極限過(guò)程聯(lián)系起來(lái) 第15頁(yè)/共24

10、頁(yè) 定理定理1. 有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小 . 類似可證: 有限個(gè)有限個(gè)無(wú)窮小之差仍為無(wú)窮小 . 定理定理2 . 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 . 推論推論 . 常量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 . 定理定理3 . 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 . 第16頁(yè)/共24頁(yè) . sin lim x x x 解解: 1sinx 0 1 lim xx 利用定理 2 可知sin1 limlimsin0 . xx x x xx 第17頁(yè)/共24頁(yè) 有極限的函數(shù)與無(wú)窮小有極限的函數(shù)與無(wú)窮小量量的關(guān)系的關(guān)系 定理定理 4 0 lim( ) xx f xA 的充分必要條件是 ( )( )f xAx 其中( )x在 0

11、 xx 時(shí)為無(wú)窮小量, 即 0 lim( )0 xx x 第18頁(yè)/共24頁(yè) ,0時(shí)xxxxsin,3 2 都是無(wú)窮小, 引例引例 . x x x3 lim 2 0 ,0 2 0 sin lim x x x , x x x3 sin lim 0 , 3 1 但 可見(jiàn)無(wú)窮小趨于 0 的速度是多樣的 . 第19頁(yè)/共24頁(yè) ,0lim 若 則稱 是的高階高階無(wú)窮小, )(o ,lim 若 若 , 1lim 若 ,0lim C , 設(shè) 是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小, 記作 則稱 是 的低階低階無(wú)窮小; 則稱 是 的同階同階無(wú)窮小; 則稱 是 的等價(jià)等價(jià)無(wú)窮小,記作 第20頁(yè)/共24頁(yè) 例 2. 當(dāng)0 x

12、時(shí)比較下列無(wú)窮小量 (1) 3 3x與x ； （2）xtan與x ； （3）xsin與xx3 3 解: （1）因?yàn)? 3 lim 3 0 x x x ，所以當(dāng)0 x時(shí)， 3 3x是比x高階的 無(wú)窮小量，即)0)(03 2 xxx. （2） 因?yàn)?x x x tan lim 0 x x x sin lim 0 1 cos 1 x ，所以當(dāng)0 x時(shí)，xtan與x是 等價(jià)無(wú)窮小量，即xx tan. （3）因?yàn)?xx x x 3 sin lim 3 0 2 0 sin1 lim 3 x x xx 1 3 第21頁(yè)/共24頁(yè) 無(wú)窮大量的概念 定義 2 如果當(dāng) 0 xx （或x）時(shí)，)(xfy 的對(duì)應(yīng)函數(shù)值 的絕