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1、會(huì)計(jì)學(xué)1 極限的存在準(zhǔn)則極限的存在準(zhǔn)則 1 2 12 , , max, , , ,lim. n n nn nnn nn n nNya nNza NNNnN ayaaza nNayxza xaxa 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)恒恒有有 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)恒恒有有 取取時(shí)時(shí)上上述述兩兩式式同同成成立立. . 即即 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 恒恒有有 即即成成立立 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限 第1頁(yè)/共28頁(yè) 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng))( 0 0 xUx ( (或或Mx ) )時(shí)時(shí), ,有有 ,)(lim,)(lim)2( ),()()()1( )()( 00 AxhAxg xhxfxg
2、x xx x xx 那末那末)(lim )( 0 xf x xx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意 : : ( )( ) ,( ) ( ) n nnn y zg xh xyzg x h x 利利用用夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則求求極極限限關(guān)關(guān)鍵鍵是是構(gòu)構(gòu)造造出出 與與 (或或與與)并并且且 與與 (或或與與 )的的極極限限是是容容易易 求求得得的的。 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 或稱為或稱為兩邊夾定理兩邊夾定理 。 有人形象地稱之為有人形象地稱之為“Sandwich Theorem”。 第2頁(yè)/共28頁(yè) 例例1 ). 1 2 1 1 1 (lim 222 nnnn
3、n 求求 解解 2 22 22 2 2 2 2 1 lim01,2, 111 lim() 12 111 limlimlim0 12 . 1 lim1, 1 , 11 n n nnn n kn nk nnnn nn n k n n n n n nk 倘倘若若我我們們由由 根根據(jù)據(jù)極極限限的的四四則則運(yùn)運(yùn)算算法法則則得得 那那就就錯(cuò)錯(cuò)了了 由由于于所所以以我我們們感感覺(jué)覺(jué)到到在在時(shí)時(shí) 所所以以做做放放大大、縮縮小小就就有有相相當(dāng)當(dāng)于于了了方方向向了了。 第3頁(yè)/共28頁(yè) 22 11 1, 1 1 lim1, 1 n nn nn nnn n n 又又 由夾逼定理由夾逼定理 得得 222 111 li
4、m()1. 12 n nnnn 222 1,2,(1) ,knnnkn 關(guān)鍵在于放大、縮關(guān)鍵在于放大、縮 小的尺度把握得當(dāng)小的尺度把握得當(dāng) ! 222 1 2 22 1 1 , 1 , 11211 ,2, n k n k nn nnnkn nnn nknk 不不過(guò)過(guò)注注意意放放、縮縮方方案案不不唯唯一一 如如 但但是是 放放得得太太大大、縮縮得得太太小小當(dāng)當(dāng)然然都都是是不不行行的的! !如如 則則 第4頁(yè)/共28頁(yè) 例例2 1 lim 39 xx x x 求求 解解 1 1111 11 1 (9 )(39 )(9 )2 , 9(39 )9 2 , lim(39 ) 21 9 xxxx x xx
5、xx xx xx xx x x x () 第5頁(yè)/共28頁(yè) A C 1 sin lim 0 x x x ,(0) 2 ,. , sin,tan, OAOBxx ACO OABxOABBD xBD xABxAC 設(shè)設(shè)單單位位圓圓圓圓心心角角 作作單單位位圓圓的的切切線線 得得 扇扇形形的的圓圓心心角角為為的的高高為為 于于是是有有弧弧 x o B D 2. 第一個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限 第6頁(yè)/共28頁(yè) 2 22 2 00 000 sintan , 0.0, 22 0cos11cos2sin2(), 222 lim0,lim(1cos )0, 2 sin limcoslim s 11,lim1
6、in cos1, . xx xxx xxx xx xxx xx x x x x x x x x 即即 上上式式對(duì)對(duì)于于也也成成立立當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 第7頁(yè)/共28頁(yè) 例例 3(1) . cos1 lim 2 0 x x x 求求 解解 22 2 2 000 2 2sinsinsin 111 222 limlimlim() 222 () 22 xxx xxx xx x 原原式式 例例 3(2) 33 00 2 0 sin1costansin limlim cos sin1cos11 lim cos2 xx x xxxx xxx xx xxx 3 0 tansin lim x xx x 求求 第8頁(yè)/共2
7、8頁(yè) 例例4 劉徽劉徽割圓術(shù):割圓術(shù):用漸近的方法求圓的面積用漸近的方法求圓的面積A A3 An表示圓內(nèi)接正表示圓內(nèi)接正6 2n-1邊形面積邊形面積, 顯然顯然n越大越大, An越接近于越接近于A. . 1 2 1 11 1 6 2cossin 6 26 2 si3 2 3 n 2 n nn n n n ARR R 1 22 2 1 3 sin limlim 2 3 2 , n n n nn ARR AR 由由 圓圓的的面面積積公公式式為為 . . 第9頁(yè)/共28頁(yè) 口頭練習(xí)題口頭練習(xí)題: 00 2 0 sin2 1.lim_,2.limcot3_, sin3 1 sin 1cos2 3.li
8、m_,4.lim_ sin1 xx xx x xx x x x x xxx 第10頁(yè)/共28頁(yè) x 1 x 2 x 3 x 1 n x n x 3. 單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則 滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列 n x , 121 nn xxxx單調(diào)增加單調(diào)增加 , 121 nn xxxx單調(diào)減少單調(diào)減少 單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 幾何解釋幾何解釋: AM 第11頁(yè)/共28頁(yè) 1 11 11 ,; 33,3,3333, ;lim. 3,limlim3, 113113 3,() 22 113 lim. 2 nnn kkk nn n nnnn n
9、n n n xxx xxxx xx xxxx AAAA x 顯顯然然是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的 又又假假定定 是是有有界界的的存存在在 解解得得舍舍去去? .) (333 的極限存在的極限存在式式 重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn 例例5 證證 第12頁(yè)/共28頁(yè) e x x x ) 1 1(lime n n n ) 1 1(lim , 1 lim,lim(1)(2.7182 1 ) 8 (1 ) n n n nn n n x xe e n x n 可可以以證證明明:是是有有界界的的 且且是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的。 存存 記記 在在 記記為為 1727年,瑞士數(shù)學(xué)家年,瑞士數(shù)學(xué)家 L.Euler(
10、17071783) 最先研究了這一個(gè)數(shù)列的收斂性,并且用其姓氏的最先研究了這一個(gè)數(shù)列的收斂性,并且用其姓氏的 第一個(gè)字母第一個(gè)字母 e 表示了這個(gè)無(wú)理數(shù)。表示了這個(gè)無(wú)理數(shù)。 4. 第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限 第13頁(yè)/共28頁(yè) 1 0 lim(1) x x xe 1 lim(1)x x e x 1 lim 1 lim(1)(1) x x x x x e x e 可可以以證證明明: 1 0 11 ,lim(1)lim(1) x t xt tte xx 令令 第14頁(yè)/共28頁(yè) 例例6 1 lim(1) , x x x 求求 解解 1 111 lim(1)lim 1 (1) x xx xxe x
11、 原原式式 2 3 lim() 2 x x x x 求求 2 242 11 lim(1) (1) 22 x x e xx 原原式式 第15頁(yè)/共28頁(yè) 0 111 10 0 , (1),(1) . (12), (1) ( ), (1) t t n n nt nt rA AAr tAAr n r AA n r t n r AA n 0 00 0 利利息息的的計(jì)計(jì)算算問(wèn)問(wèn)題題是是一一種種。假假設(shè)設(shè)銀銀行行存存 款款年年利利率率為為 年年初初本本金金為為 則則一一年年末末本本利利合合計(jì)計(jì) 為為= =+ +年年末末本本利利合合計(jì)計(jì)為為= =+ + 若若一一年年計(jì)計(jì)算算利利息息 次次 若若按按月月計(jì)計(jì)利
12、利就就是是次次 則則一一年年末末本本利利合合計(jì)計(jì)為為= =+ +每每一一記記利利周周 期期的的利利率率就就是是年年末末本本利利合合計(jì)計(jì)為為 = =+ + 增增長(zhǎng)長(zhǎng)問(wèn)問(wèn)題題 連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利計(jì)計(jì)算算問(wèn)問(wèn)題題 第16頁(yè)/共28頁(yè) 0 0 00 0 0 () 0 , lim(1)lim(1) , n r rt ntr r rt t nn rA t t rr A tAAAe n AAe n r t n 在在經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)學(xué)上上,所所謂謂連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利是是理理解解為為:計(jì)計(jì)算算 利利息息的的次次數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)的的利利息息。 所所以以如如果果年年利利率率為為那那么么 考考慮慮 是是正正整整數(shù)數(shù)正正有有理理數(shù)數(shù)正正
13、 ( 年年末末的的連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利 本本利利合合計(jì)計(jì)為為 ( ) )= =+ + + ) )= = 實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 如如果果 0 ( )() rt A tA erR 第17頁(yè)/共28頁(yè) 0 rt A tA e( ) )= = 0 ( ) , , , rt Malthus A tA e 連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù) 例例如如以以后后我我們們將將用用其其他他方方法法討討論論的的 的的人人口口題題 放放射射性性物物質(zhì)質(zhì)由由于于 衰衰變變導(dǎo)導(dǎo)致致質(zhì)質(zhì)量量的的變變 利利函函數(shù)數(shù)是是 化化規(guī)規(guī)律律等等等等 有有許許多多事事 物物的的數(shù)數(shù)量量 一一個(gè)個(gè)常常見(jiàn)見(jiàn) 變變化化規(guī)規(guī)律律 的的 增增長(zhǎng)長(zhǎng)問(wèn)問(wèn) 都都服服從從 增增 長(zhǎng)長(zhǎng)函函數(shù)
14、數(shù) 此此規(guī)規(guī)律律。 第18頁(yè)/共28頁(yè) 簡(jiǎn)單練習(xí)題簡(jiǎn)單練習(xí)題: 1 2 0 11 2 00 1 1.lim(1) ,2.lim(), 3.lim(12 ) ,3.lim(1), x x xx xx xx x x x xx 第19頁(yè)/共28頁(yè) 1.兩個(gè)準(zhǔn)則兩個(gè)準(zhǔn)則 2.兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 . 1 00 , sin 1 lim1;2lim(1).e 某某過(guò)過(guò)程程某某過(guò)過(guò)程程 設(shè)設(shè)為為自自變變量量的的某某過(guò)過(guò)程程中中的的無(wú)無(wú)窮窮小小 第20頁(yè)/共28頁(yè) 例例7 求極限求極限 23 lim,0. 1111 n n n a a aaaa 23 11 2
15、3 23 01,0, 1111 1 1,0, 1111 ,;. lim0,0 01 . 1,0, 1111 n n n nn nnn n n n nn n a aa aaaa aa a aaaaaaa n a a aaaa aaa a 解解 此處需要討論此處需要討論 a 的范圍的范圍,并且要用并且要用夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則. 第21頁(yè)/共28頁(yè) lim0,lim1. n nn nn xax 如如果果= =證證明明= =例例8 該命題的證明比較復(fù)雜,所以該命題的證明比較復(fù)雜,所以 在此證明從略在此證明從略 .但如果我們?yōu)g覽一下但如果我們?yōu)g覽一下 該證明過(guò)程的話,就可以看到其中該證明過(guò)程的話,就可以看到
16、其中 還提及如下結(jié)論還提及如下結(jié)論 0,lim1. n n cc 若若則則 這是以后極限計(jì)算過(guò)程這是以后極限計(jì)算過(guò)程 中常要用到的結(jié)論。中常要用到的結(jié)論。 第22頁(yè)/共28頁(yè) 01 10 22 12 lim0,0, 2 3 ,. 222 lim0, ,0. 3 max(,), 22 1,lim1.lim1. n n nn n n n nnn n n n n nn a xaN aaa nNxax xa NnNx aa nNNx ccx = =對(duì)對(duì)于于 有有 = =由由極極限限的的保保號(hào)號(hào)性性知知 有有 有有 下下面面要要證證明明:=:= 由由此此可可知知= = lim0,lim1. n nn n
17、n xax 如如果果= =證證明明= = 證明證明 第23頁(yè)/共28頁(yè) 1 11 33 1,lim1. 1,1,0, 1 (1)11(1),1, 11 0,1, 1 ,1,lim1. n n n n nn n nn n cc cc c cnn ca n cc an n c NnNcc 先先證證明明 記記則則 由由得得 任任給給要要只只要要或或 所所以以, ,取取則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)即即 適當(dāng)放大適當(dāng)放大 12 1 01,1()lim 3 max(,), 22 3 limlim1lim1 1. . 22 nnn n nnn n n n n n nn aa n c NNx aa x nc c 有有根根據(jù)據(jù)
18、 若若 , , 由由= =知知 限限的的夾夾逼逼 = = 極極性性 第24頁(yè)/共28頁(yè) 1 1.lim() , 2.lim(123 ) . xnn n xn xa xa 例例9 求極限求極限 解解 2 li 2 m 2 2 2 2 2 2 2 1.lim()lim(1) , 0,1, 2 0,l 2 im(1) 2 lim (1 lim(1) ) , ,lim(), x xx xx x a ax x a x a a ax a x a x ax x a x a a x a xa x x xaa xaxa a a a xa a xa e xa e xa a xa 若若則則原原 若若則則原原 綜綜合合起起來(lái)來(lái) 就就是是 第25頁(yè)/共28頁(yè) 1 1 1 2.lim(123 ) 12 lim 3 ( )1) 33 12 3lim( )1)3 33 nn n n
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