數(shù)學(xué)必修四公式

1、數(shù)學(xué)必修四公式數(shù)學(xué)必修四公式公式一: 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等: sin(2k+)=sin cos(2k+)=cos tan(2k+)=tan cot(2k+)=cot 公式二: 設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(+)=-sin cos(+)=-cos tan(+)=tan cot(+)=cot 公式三: 任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(-)=-sin cos(-)=cos tan(-)=-tan cot(-)=-cot 公式四: 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(-)=sin cos(-)=-cos

2、 tan(-)=-tan cot(-)=-cot 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(2-)=-sin cos(2-)=cos tan(2-)=-tan cot(2-)=-cot 公式六: /2及3/2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(/2+)=cos cos(/2+)=-sin tan(/2+)=-cot cot(/2+)=-tan sin(/2-)=cos cos(/2-)=sin tan(/2-)=cot cot(/2-)=tan sin(3/2+)=-cos cos(3/2+)=sin tan(3/2+)=-cot cot(3/2+)=-tan

3、 sin(3/2-)=-cos cos(3/2-)=-sin tan(3/2-)=cot cot(3/2-)=tan (以上kZ) 誘導(dǎo)公式記憶口訣 規(guī)律總結(jié) 上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為: 對于k/2(kZ)的個三角函數(shù)值， 當(dāng)k是偶數(shù)時，得到的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變; 當(dāng)k是奇數(shù)時，得到相應(yīng)的余函數(shù)值，即sincos;cossin;tancot,cottan. (奇變偶不變) 然后在前面加上把看成銳角時原函數(shù)值的符號。 (符號看象限) 例如: sin(2-)=sin(4/2-)，k=4為偶數(shù)，所以取sin。 當(dāng)是銳角時，2-(270，360)，sin(2-)0，符號為“-”。 所以sin

4、(2-)=-sin 上述的記憶口訣是: 奇變偶不變，符號看象限。 公式右邊的符號為把視為銳角時，角k360+(kZ)，-、180，360- 所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶 水平誘導(dǎo)名不變;符號看象限。 各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判斷，也可以記住口訣“一全正;二正弦;三為切;四余弦”. 這十二字口訣的意思就是說: 第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”; 第二象限內(nèi)只有正弦是“+”，其余全部是“-”; 第三象限內(nèi)切函數(shù)是“+”，弦函數(shù)是“-”; 第四象限內(nèi)只有余弦是“+”，其余全部是“-”. 其他三角函數(shù)知識: 同角三角函數(shù)基本關(guān)系 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 倒數(shù)關(guān)系: tan

5、 cot=1 sin csc=1 cos sec=1 商的關(guān)系: sin/cos=tan=sec/csc cos/sin=cot=csc/sec 平方關(guān)系: sin2()+cos2()=1 1+tan2()=sec2() 1+cot2()=csc2() 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法 六角形記憶法:(參看圖片或參考資料鏈接) 構(gòu)造以上弦、中切、下割;左正、右余、中間1的正六邊形為模型。 (1)倒數(shù)關(guān)系:對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù); (2)商數(shù)關(guān)系:六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。 (主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積)。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。 (3)平方關(guān)系:在帶

6、有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。 兩角和差公式 兩角和與差的三角函數(shù)公式 sin(+)=sincos+cossin sin(-)=sincos-cossin cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin tan+tan tan(+)=- 1-tan tan tan-tan tan(-)=- 1+tan tan 倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式) sin2=2sincos cos2=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() 2tan tan2=- 1-tan

7、2() 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴(kuò)角公式) 1-cos sin2(/2)=- 2 1+cos cos2(/2)=- 2 1-cos tan2(/2)=- 1+cos 萬能公式 萬能公式 2tan(/2) sin=- 1+tan2(/2) 1-tan2(/2) cos=- 1+tan2(/2) 2tan(/2) tan=- 1-tan2(/2) 萬能公式推導(dǎo) 附推導(dǎo): sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*， (因為cos2()+sin2()=1) 再把*分式上下同除cos2()，可得sin2=tan2/(1+tan2() 然后用/2代替即可

8、。 同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。 三倍角公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3=3sin-4sin3() cos3=4cos3()-3cos 3tan-tan3() tan3=- 1-3tan2() 三倍角公式推導(dǎo) 附推導(dǎo): tan3=sin3/cos3 =(sin2cos+cos2sin)/(cos2cos-sin2sin) =(2sincos2()+cos2()sin-sin3()/(cos3()-cossin2()-2sin2()cos) 上下同除以cos3()，得: tan3=(3tan-tan3()/(1-3tan2() sin3=sin(2+

9、)=sin2cos+cos2sin =2sincos2()+(1-2sin2()sin =2sin-2sin3()+sin-2sin2() =3sin-4sin3() cos3=cos(2+)=cos2cos-sin2sin =(2cos2()-1)cos-2cossin2() =2cos3()-cos+(2cos-2cos3() =4cos3()-3cos 即 sin3=3sin-4sin3() cos3=4cos3()-3cos 三倍角公式聯(lián)想記憶 記憶方法:諧音、聯(lián)想 正弦三倍角:3元 減 4元3角(欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”) 余弦三倍角:4元3角 減 3元(減

10、完之后還有“余”) 注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。 和差化積公式 三角函數(shù)的和差化積公式 + - sin+sin=2sin-cos- 2 2 + - sin-sin=2cos-sin- 2 2 + - cos+cos=2cos-cos- 2 2 + - cos-cos=-2sin-sin- 2 2 積化和差公式 三角函數(shù)的積化和差公式 sin cos=0.5sin(+)+sin(-) cos sin=0.5sin(+)-sin(-) cos cos=0.5cos(+)+cos(-) sin sin=- 0.5cos(+)-cos(-) 和差化積公式推導(dǎo) 附推

11、導(dǎo): 首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我

12、們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 這樣,我們就得到了積化和差的四個公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好,有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式. 我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)

13、/2,b=(x-y)/2 把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2) 向量的運算 加法運算 AB+BC=AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。 已知兩個從同一點O出發(fā)的兩個向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計算法則叫做向量加法

14、的平行四邊形法則。 對于零向量和任意向量a，有:0+a=a+0=a。 |a+b|a|+|b|。 向量的加法滿足所有的加法運算定律。 減法運算 與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。 (1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。 數(shù)乘運算 實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作a，|a|=|a|，當(dāng) 0時，a的方向和a的方向相同，當(dāng) 0時，a的方向和a的方向相反，當(dāng) = 0時，a = 0。 設(shè)、是實數(shù)，那么:(1)()a = (a)(2)( + )a = a + a(3)(a b) = a b(4)(-)a =-(a)