線性代數(shù)第五版第二章

1、第二章矩陣及其運(yùn)算 13. 已知線性變換: , 求從變量x1, x2, x3到變量y1, y2, y3的線性變換. 解 由已知: , 故 , . 3. 已知兩個(gè)線性變換 , , 求從z1, z2, z3到x1, x2, x3的線性變換. 解 由已知 , 所以有. 2. 設(shè), , 求3AB-2A及ATB. 解 , . 1. 計(jì)算下列乘積: (1); 解 . (2); 解 =(13+22+31)=(10). (3); 解 . (4) ; 解 . (5); 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 4. 設(shè), , 問:

2、(1)AB=BA嗎? 解 ABBA. 因?yàn)? , 所以ABBA. (2)(A+B)2=A2+2AB+B2嗎? 解 (A+B)2A2+2AB+B2. 因?yàn)? , 但 , 所以(A+B)2A2+2AB+B2. (3)(A+B)(A-B)=A2-B2嗎? 解 (A+B)(A-B)A2-B2. 因?yàn)? , , 而 , 故(A+B)(A-B)A2-B2. 5. 舉反列說明下列命題是錯(cuò)誤的: (1)若A2=0, 則A=0; 解 取, 則A2=0, 但A0. (2)若A2=A, 則A=0或A=E; 解 取, 則A2=A, 但A0且AE. (3)若AX=AY, 且A0, 則X=Y . 解 取 , , , 則A

3、X=AY, 且A0, 但XY . 6. 設(shè), 求A2, A3, , Ak. 解 , , , . 7. 設(shè), 求Ak . 解 首先觀察 , , , , , . 用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)k=2時(shí), 顯然成立. 假設(shè)k時(shí)成立，則k+1時(shí)， , 由數(shù)學(xué)歸納法原理知: . 8. 設(shè)A, B為n階矩陣，且A為對(duì)稱矩陣，證明BTAB也是對(duì)稱矩陣. 證明 因?yàn)锳T=A, 所以 (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 從而BTAB是對(duì)稱矩陣. 9. 設(shè)A, B都是n階對(duì)稱矩陣，證明AB是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是AB=BA. 證明 充分性: 因?yàn)锳T=A, BT=B, 且AB=BA, 所以 (AB

4、)T=(BA)T=ATBT=AB, 即AB是對(duì)稱矩陣. 必要性: 因?yàn)锳T=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以 AB=(AB)T=BTAT=BA. 10. 求下列矩陣的逆矩陣: (1); 解 . |A|=1, 故A-1存在. 因?yàn)?, 故 . (2); 解 . |A|=10, 故A-1存在. 因?yàn)?, 所以 . (3); 解 . |A|=20, 故A-1存在. 因?yàn)?, 所以 . (4)(a1a2 an 0) . 解 , 由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知 . 11. 解下列矩陣方程: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 . 12. 利用逆矩陣解下列線性方程組: (1

5、); 解 方程組可表示為 , 故 , 從而有 . (2). 解 方程組可表示為 , 故 , 故有 . 14. 設(shè)Ak=O (k為正整數(shù)), 證明(E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1. 證明 因?yàn)锳k=O , 所以E-Ak=E. 又因?yàn)?E-Ak=(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1), 所以 (E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E, 由定理2推論知(E-A)可逆, 且 (E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1. 證明 一方面, 有E=(E-A)-1(E-A). 另一方面, 由Ak=O, 有 E=(E-A)+(A-A2)+A2- -Ak-1+(Ak-1-Ak) =(E+A+A2+

6、 +A k-1)(E-A), 故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+ +Ak-1)(E-A),兩端同時(shí)右乘(E-A)-1, 就有 (E-A)-1(E-A)=E+A+A2+ +Ak-1. 15. 設(shè)方陣A滿足A2-A-2E=O, 證明A及A+2E都可逆, 并求A-1及(A+2E)-1. 證明 由A2-A-2E=O得 A2-A=2E, 即A(A-E)=2E, 或 , 由定理2推論知A可逆, 且. 由A2-A-2E=O得 A2-A-6E=-4E, 即(A+2E)(A-3E)=-4E, 或 由定理2推論知(A+2E)可逆, 且. 證明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 兩端同時(shí)取行列式得

7、 |A2-A|=2, 即 |A|A-E|=2, 故 |A|0, 所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|20, 故A+2E也可逆.由 A2-A-2E=O A(A-E)=2E A-1A(A-E)=2A-1E, 又由 A2-A-2E=O(A+2E)A-3(A+2E)=-4E (A+2E)(A-3E)=-4 E, 所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1, . 16. 設(shè)A為3階矩陣, , 求|(2A)-1-5A*|. 解 因?yàn)? 所以 =|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-82=-16. 17. 設(shè)矩陣A可逆, 證明其伴隨陣

8、A*也可逆, 且(A*)-1=(A-1)*. 證明 由, 得A*=|A|A-1, 所以當(dāng)A可逆時(shí), 有 |A*|=|A|n|A-1|=|A|n-10, 從而A*也可逆. 因?yàn)锳*=|A|A-1, 所以 (A*)-1=|A|-1A. 又, 所以 (A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*. 18. 設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*, 證明: (1)若|A|=0, 則|A*|=0; (2)|A*|=|A|n-1. 證明 (1)用反證法證明. 假設(shè)|A*|0, 則有A*(A*)-1=E, 由此得 A=A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O , 所以A*=O, 這與|A

9、*|0矛盾，故當(dāng)|A|=0時(shí), 有|A*|=0. (2)由于, 則AA*=|A|E, 取行列式得到 |A|A*|=|A|n. 若|A|0, 則|A*|=|A|n-1; 若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此時(shí)命題也成立. 因此|A*|=|A|n-1. 19. 設(shè), AB=A+2B, 求B. 解 由AB=A+2E可得(A-2E)B=A, 故 . 20. 設(shè), 且AB+E=A2+B, 求B. 解 由AB+E=A2+B得 (A-E)B=A2-E, 即 (A-E)B=(A-E)(A+E). 因?yàn)? 所以(A-E)可逆, 從而 . 21. 設(shè)A=diag(1, -2, 1), A*BA=2BA-8

10、E, 求B. 解 由A*BA=2BA-8E得 (A*-2E)BA=-8E, B=-8(A*-2E)-1A-1 =-8A(A*-2E)-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E-2A)-1 =-8(-2E-2A)-1 =4(E+A)-1 =4diag(2, -1, 2)-1 =2diag(1, -2, 1). 22. 已知矩陣A的伴隨陣, 且ABA-1=BA-1+3E, 求B. 解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA-1=BA-1+3E得 AB=B+3A, B=3(A-E)-1A=3A(E-A-1)-1A . 23. 設(shè)P-1AP=L, 其中, , 求A11. 解 由P

11、-1AP=L, 得A=PLP-1, 所以A11= A=PL11P-1. |P|=3, , , 而 , 故 . 24. 設(shè)AP=PL, 其中, , 求j(A)=A8(5E-6A+A2). 解 j(L)=L8(5E-6L+L2) =diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25) =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). j(A)=Pj(L)P-1 . 25. 設(shè)矩陣A、B及A+B都可逆, 證明A-1+B-1也可逆, 并求其逆陣. 證明 因?yàn)?A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1, 而A-

12、1(A+B)B-1是三個(gè)可逆矩陣的乘積, 所以A-1(A+B)B-1可逆, 即A-1+B-1可逆. (A-1+B-1)-1=A-1(A+B)B-1-1=B(A+B)-1A. 26. 計(jì)算. 解 設(shè), , , , 則 , 而 , , 所以 , 即 . 27. 取, 驗(yàn)證. 解 , 而 , 故 . 28. 設(shè), 求|A8|及A4. 解令, , 則 , 故 , . . 29. 設(shè)n階矩陣A及s階矩陣B都可逆, 求 (1); 解 設(shè), 則 . 由此得 , 所以 . (2). 解 設(shè), 則 . 由此得 , 所以 . 30. 求下列矩陣的逆陣: (1); 解 設(shè), , 則 , . 于是 . (2). 解

13、設(shè), , , 則 . reinforced rate over 1% of reinforced concrete 79 7.3.3 steel engineering (1) steel processing steel of surface should clean no injury, paint pollution and rust, should in using Qian elimination clean, with particles-like or old rust of steel shall not using. Steel machining dimension sha

14、ll conform to the construction drawings, processed steels size should be within the tolerance value. Steel processing (2) steel steel installation program installed (3) welding of reinforcing steel, lashing straps welded: reinforcement in strict accordance with the relevant guidelines, horizontal ev

15、en vertical banding, solid. Steel bar connection by soldering or lap, two-sided weld seam length 5d; single-sided weld seam length 10d. Lap length and not less than 35d. 7.3.4 formwork (1) selection of templates from the project due to the face, large amount of formwork. According to the structural

16、arrangement and construction plan, using the following template types: 1) combined steel formwork is used for floor, wall and other parts, trucks delivered to the construction site, assembling manual. 2) arc arc segment of sluice and dam template the template still using steel formwork, produced acc

17、ording to Pier Arc size specifications. (2) template-1) combined steel formwork using conventional construction methods, part measuring wire clasp with the press at the site structure templates, and vertical shaft, and temporary reinforcement, transverse band on the formwork, on the screw, and final

18、 welding rod, by bus, correcting templates, and template and support reinforcement. 2) template and scaffold the quality of existing national standards or trade standards, wood quality standards II and above material should be. Brittle wood decay, serious distortions or prohibited. Mold flatness of the Panel should meet the standard requirements, should be as smooth as possible, pits are not allowed, wrinkles or other surface defects. Templates produce should meet the requirements of construction drawing