高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破_運(yùn)用向量法解題

1、難點(diǎn)3 運(yùn)用向量法解題平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對(duì)這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題.難點(diǎn)磁場()三角形ABC中，A(5，1)、B(1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線AM的長；(2)CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值.案例探究例1如圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD.(1)求證：C1CBD.(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C平面C1BD？請(qǐng)給出證明.命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對(duì)立體

2、幾何圖形的解讀能力.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單.錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.技巧與方法：利用abab=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可.(1)證明：設(shè)=a, =b,=c,依題意，|a|=|b|，、中兩兩所成夾角為，于是=ab，=c(ab)=cacb=|c|a|cos|c|b|cos=0,C1CBD.(2)解：若使A1C平面C1BD，只須證A1CBD，A1CDC1，由=(a+b+c)(ac)=|

3、a|2+abbc|c|2=|a|2|c|2+|b|a|cos|b|c|cos=0,得當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1CDC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1CBD，=1時(shí)，A1C平面C1BD.例2如圖，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).(1)求的長；(2)求cos的值；(3)求證：A1BC1M.命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解決立體幾何問題.屬級(jí)題目.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系Oxyz,進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo).錯(cuò)解分析：本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找

4、到點(diǎn)的坐標(biāo).技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其他的點(diǎn)的坐標(biāo).(1)解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)|=.(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).=(0，1，2)=10+(1)1+22=3|=(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M()A1BC1M.錦囊妙計(jì)1.解決關(guān)于向量問題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí).二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.2.向量

5、的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問題.3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進(jìn)行思考：(1)要解決的問題可用什么向量知識(shí)來解決？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？(4)怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()設(shè)

6、A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)依次是(1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四邊形2.()已知ABC中，=a，=b，ab0，SABC=,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是( )A.30B.150C.150D.30或150二、填空題3.()將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x5的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3，1)，則向量a=_.4.()等腰ABC和等腰RtABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_.三、解答題5.()如圖，在ABC中，設(shè)=a， =b， =c

7、, =a,(01), =b(01),試用向量a，b表示c.6.()正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為a.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出A、B、A1、C1的坐標(biāo)；(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.7.()已知兩點(diǎn)M(1，0)，N(1，0)，且點(diǎn)P使成公差小于零的等差數(shù)列.(1)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為與的夾角，求tan.8.()已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).(1)用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)用向量法證明：BD平面EFGH；(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有.

8、參考答案難點(diǎn)磁場解：(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為xM=D點(diǎn)分的比為2.xD=(3)ABC是與的夾角，而=(6，8），=(2，5）.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析： =(1，2）， =(1，2），=，又線段AB與線段DC無公共點(diǎn)，ABDC且|AB|=|DC|，ABCD是平行四邊形，又|=， =(5，3），|=，|,ABCD不是菱形，更不是正方形；又=(4，1），14+21=60,不垂直于，ABCD也不是矩形，故選D.答案：D2.解析：35sin得sin=,則=30或=150.又ab0,=150.答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：與共線，=m=m()=m(ba),=+=a+m(ba)=(1m)

9、a+mb又與共線，=n=n()=n(ab),=+=b+n(ab)=na+(1n)b由，得(1m）a+mb=na+(1n)b.a與b不共線，解方程組得：m=代入式得c=(1m)a+mb=(1)a+(1)b.6.解：(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點(diǎn)且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,a),C1(a).(2)取A1B1的中點(diǎn)M，于是有M(0，a），連AM，MC1，有=(a,0,0）,且=(0，a,0）,=(0,0a)由于=0，=0，所以MC1面ABB1A1，AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.=所以所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30.7.解：(1)設(shè)P(x,y）,由M(1，0），N(1，0）得， =(1x,y）, =(1x,y), =(2,0),=2(1+x), =x2+y21, =2(1x).于是，是公差小于零的等差數(shù)列，等價(jià)于所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓.(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0