2025年中考數(shù)學(xué)專題09 逆等線最值專題（原卷版）

逆等線最值模型大招逆等線最值模型大招模型介紹模型介紹兩線段和的最值問(wèn)題,大家首先想到的都是“將軍飲馬”問(wèn)題，即要求的兩條線段有公共端點(diǎn),或者平移后有公共端點(diǎn).除了將軍飲馬問(wèn)題外，還有一類兩線段和的最值問(wèn)題，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,兩條動(dòng)線段始終保持著相等,我們可以在等線段處構(gòu)造全等,從而將要求的兩條線段拼接到一起，這就是今天咱們要說(shuō)的逆等線最值問(wèn)題.講逆等線模型之前我們先來(lái)一波回憶：下圖大家應(yīng)該很熟：D為動(dòng)點(diǎn)！特殊化證明：DE+DF的和為定值.一般化證明：DE+DF的和為定值只要保證DE，DF與腰的夾角相等，總會(huì)有：DE+DF的和為定值的結(jié)論！證明思路：作AG∥FD，HD∥BC易得紅藍(lán)全等，黃色平四∴DE＋DF＝AH＋HG＝AG（定長(zhǎng)）另證易得：△DEA∽△DFB∵AD＋BD為定值∴DE＋DF為定值引申：D在線段AB外時(shí)差為定值（證明同理）然后將這個(gè)角一路的改變也相當(dāng)于做腰的平行線！此圖即產(chǎn)生了逆等線，所謂逆等線，逆向也相等！例題精講例題精講考點(diǎn)一:等腰三角形中的逆等線模型【例1】．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點(diǎn)D、E分別是AB、AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且AD＝CE，連接CD、BE，CD+BE最小值為．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是線段AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AF＝CE，則BE+CF的最小值是．【變式1-2】．如圖，已知直線AB：y＝分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、A兩點(diǎn)，C（3，0），D、E分別為線段AO和線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，BE交y軸于點(diǎn)H，且AD＝CE．當(dāng)BD+BE的值最小時(shí)，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（0，4） B．（0，5） C． D．考點(diǎn)二:等邊三角形中的逆等線模型【例2】.如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF+CE取得最小值時(shí)，∠AFB＝°．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，AH是正三角形ABC中BC邊上的高，在點(diǎn)A，C處各有一只電子烏龜P和Q同時(shí)起步以相同的速度分別沿AH，CA向前勻速爬動(dòng)．確定當(dāng)兩只電子烏龜?shù)紹點(diǎn)距離之和PB+QB最小時(shí)，∠PBQ的度數(shù)為．【變式2-2】．在等邊△ABC中，AB＝4，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在∠ACB的角平分線CD上，CE＝CF，則AE+AF的最小值為．考點(diǎn)三：直角三角形中逆等線模型【例3】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AD＝BE，連結(jié)BD，CE，則BD+CE的最小值為．變式訓(xùn)練【變式3-1】．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E為AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD＝BE，連接CD，CE，若AC＝2，則CD+CE的最小值為．【變式3-2】．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)M，N分別為BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AN＝CM，AB＝．當(dāng)AM+BN的值最小時(shí)，CM的長(zhǎng)為．考點(diǎn)四：一般三角形中的逆等線模型【例4】．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，點(diǎn)D、E在AB、AC邊上，且AD＝CE，則CD+BE的最小值．變式訓(xùn)練【問(wèn)題背景】（1）如圖（1），E為△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，AE＝BC，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，且AD＝AB，連接DE，求證：△ADE≌△BAC；【變式遷移】（2）如圖（2），在△ABC中，AC＝BC，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在AB上，且AE＝CD，若點(diǎn)C分別到AB，BD的距離之比為m，求證：；【拓展創(chuàng)新】（3）如圖（3），在△ABC中，∠ABC＝45°，，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且AE＝CD，直接寫(xiě)出CE+BD的最小值.考點(diǎn)五：正方形中的逆等線模型【例5】.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，且AE＝BF，CE與DF交于點(diǎn)P，連接BP，求BP的最小值．變式訓(xùn)練【5-1】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足BE＝CF，連接AE，AF，則AE+AF的最小值為．考點(diǎn)六：矩形中的逆等線模型【例6】.如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點(diǎn)E、F分別為邊AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，則BF+CE的最小值為．變式訓(xùn)練【6-1】.如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是邊BC和對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝DF，則AE+AF的最小值是．【6-2】.如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F(xiàn)分別是BD，BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且BF＝2DE，則AF+2AE的最小值是．考點(diǎn)七：菱形中的逆等線模型【例7】．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分別是邊BC和對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝DF，則AE+AF的最小值為．變式訓(xùn)練【7-1】.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分別是邊AB，AD的動(dòng)點(diǎn)，滿足AM＝DN，連接CM、CN，E是邊CM上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是CM上靠近C的四等分點(diǎn)，連接AE、BE、NF，當(dāng)△CFN面積最小時(shí)，BE+AE的最小值為．【7-2】．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，連接BD．（1）求BD的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE＝DF．①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最??？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊△ABC中，動(dòng)點(diǎn)D，E分別在BC，AC邊上，且保持AE＝CD，連接BE，AD，相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為．2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，動(dòng)點(diǎn)D，E分別在AB，CB邊上，且BE＝AD．連接CD，AE相交于點(diǎn)P，連接BP，則△CAD∽△，BP的最小值為．3.如圖，AD為等腰△ABC的高，AB＝AC＝5，BC＝3，E、F分別為線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，則BF+CE的最小值為．4．如圖，ABCD是⊙O內(nèi)接矩形，半徑r＝2，AB＝2，E，F(xiàn)分別是AC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，則BE+BF的最小值是（）A． B．2 C．3 D．45.如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分別是邊BC和對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝DF，則AE+AF的最小值為．6．如圖（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，邊AB上的點(diǎn)D從頂點(diǎn)A出發(fā)，向頂點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，邊BC上的點(diǎn)E從頂點(diǎn)B出發(fā)，向頂點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，D，E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小相等，設(shè)x＝AD，y＝AE+CD，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖（2），圖象過(guò)點(diǎn)（0，2），則圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．7.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別是線段AB、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝AF，則BF+CE的最小值為．8．如圖，等邊△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)D，DB＝3，DC＝4，∠BDC＝150°，在AB、AC上分別有一動(dòng)點(diǎn)E、F，且AE＝AF，則DE+