初中三大函數(shù)

1、函數(shù)何謂“函數(shù)”，函數(shù)是一種關(guān)系，所謂變量之間的關(guān)系，變量常常以字母的方式表現(xiàn)出來，所以說簡單點(diǎn)，函數(shù)就是字母間的關(guān)系。函數(shù)難題就是參數(shù)的計(jì)算，計(jì)算就是初中的算理算法，難，難在哪？難在關(guān)系的找法，不同題型不同的解法。每一題不同的關(guān)系，找到關(guān)系就只剩計(jì)算。解函數(shù)綜合題，簡單說，找關(guān)系、然后計(jì)算。初中三大函數(shù)+少見的復(fù)合函數(shù)函數(shù)：三要素：x (取值范圍)、解析式、y圖象性質(zhì)：增減性、交點(diǎn)問題、取值范圍、分段函數(shù)、函數(shù)與方程一一比較大小、面積問題圖形變換：平移特殊性質(zhì)：如一次函數(shù) k、反比例分象限、二次函數(shù)的對(duì)稱性和最值問題一次函數(shù)定義：自變量、因變量、整式概念形如 y=kx+b (kw。)1、我們

2、知道，若兩個(gè)有理數(shù)的積為1,則稱這兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。同樣的，當(dāng)兩個(gè)實(shí)數(shù)a+而 與a 而的積是1時(shí)，我們?nèi)匀环Q這兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)。(1)判斷4 夜與4 夜是否互為倒數(shù)，并說明理由；(2)若實(shí)數(shù) jx 4 是jx 后 的倒數(shù)，求點(diǎn)(x, y)中縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖象.圖像性質(zhì)：1、畫圖：兩點(diǎn)法一一列表、描點(diǎn)、連線1、已知函數(shù)y m 1 x m2 1 ,求當(dāng)m為何值時(shí)：(1)此函數(shù)為一次函數(shù)；(2)此函數(shù)為正比例函數(shù)2、用描點(diǎn)法畫出下列函數(shù)圖象：(1) y=2x+1(2) y=2x 1(3) y= 2x+1(4) y= 2x 1圖 象k0k0b0b0一次函數(shù)y kx by

3、p/x-yi所在象限圖象性質(zhì)：增減性、比較大小1、已知點(diǎn) a(mi,ni), b(m2,n2),(mi2。試比較ni和n2的大小，并說明理由。兩條直線關(guān)系：平行、相交5、我們知道，當(dāng)兩條直線公共點(diǎn)時(shí)，稱這兩條直線相交.類似地，我們定義：當(dāng)一條直線與一個(gè)正方形有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱這條直線與這個(gè)正方形相交.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形oabc的頂點(diǎn)為0(0, 0)、a(1, 0)、b(1 , 1)、c(0, 1).(1)判斷直線y=x+ 4與正方形0abc是否相交，并說明理由； 36(2)設(shè)d是點(diǎn)0到直線y= 4+ b的距離，若直線y= ，3x+ b與正方形0abc相交，求d的取值范圍.yjc

4、bx 一0a與x、y軸交點(diǎn)、交點(diǎn)、比較大小、分段函數(shù)、形成的面積問題1、 直線 y=3x+ 2與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ,與 y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ;直線 y=x+ 2 與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ,與 y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ;2、一次函數(shù)y=3x+b的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是24,求b.3、已知整數(shù)x滿足0 x5,y1x 2,y22x 5 ,對(duì)任意一個(gè)x,yhy2中的較大值用 m表示，則 m的最小值是()a. 3b. 5c. 7d. 24、在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù) 必 2x和函數(shù)v2x 6 ,不論x取何值，y0都取必與y2之間的較小值。求y0關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；并畫出 y0關(guān)于x的圖象.5、已知點(diǎn)

5、p是直線y=3x1與直線y=x+ b(b0)的交點(diǎn)，直線 y=3x1與x軸交于點(diǎn) a, 直線y=x+b與y軸交于點(diǎn)b.若 pab的面積是2,求b的值.3圖形變換：平移一一上加下減2、特殊性質(zhì)：3k1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，a (0, 2)b (0, 6),動(dòng)點(diǎn)c在直線y=x上.若以a、b、c三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn) c的個(gè)數(shù)是(a. 2b. 3c. 4d. 52、如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線ab與x軸,y軸分別交于 a(3, 0), b(0, j3)兩點(diǎn),點(diǎn)c為線段ab上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) c作cd，x軸于點(diǎn)d。右 sa acd反比例函數(shù)kte義：形如 y x圖象性質(zhì)：1、

6、畫圖：3-5點(diǎn)一一列表、描點(diǎn)、連線增減性、對(duì)稱性1、菱形的面積為6,寫出它的兩條對(duì)角線長 x與y的函數(shù)關(guān)系，并畫出函數(shù)圖像。，一 一，一，一，k2, 人、一，一 人、，2、(1)正比例函數(shù)y=kix(kiw 0和反比例函數(shù)y=一(k2wq)j一個(gè)交點(diǎn)為(m, n),則另一個(gè)交點(diǎn)為 . x4(2)直線y kx(k0)與雙曲線y 一交于a(xi, yi), b(x2, y2)兩點(diǎn)，則2x1y2 7x2%的值等于2、反比例函數(shù)性質(zhì)【知識(shí)要點(diǎn)】k的符號(hào)k0kv 0函數(shù)圖象(拋物線)力x, y取值范圍x取值范圍：xw 0y取值范圍：ywox取值范圍：xwoy取值范圍：ywoag圖象在象限內(nèi)圖象在象限內(nèi)增

7、減性在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而對(duì)稱性反比例函數(shù)的圖象是關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的圖形一，一 一一， 1 ，一，1、(1)已知點(diǎn) a(a, b)在反比仞函數(shù) y 一圖象上，右1vav 2,則b的氾圍為(2)已知 mn=-2,若一1vmv2,則 n的范圍為2、已知實(shí)數(shù)a, b滿足a-b= 1a2ab + 2,當(dāng)1av時(shí),函數(shù)y=x (巾)的最大值與最小值之差是1求a的值.2、與一次函數(shù)綜合:交點(diǎn)、比較大小、面積問題1、直線y -xb與雙曲線122一(xv 0),交于點(diǎn)a,與x軸交于點(diǎn)b,則oa ob x2、已知一次函數(shù)4y kx b與反比例函數(shù)y 的圖象相交于點(diǎn) a ( 1

8、, m)、b ( 4, n).(1)求一次函數(shù)的關(guān)系式;(2)在給定的直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答：當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值?-5 -4 -3 -2 - 1 o12345 x-1-2-3-4-53、如圖，矩形 aobc中，c點(diǎn)的坐標(biāo)為(4, 3), f是bc邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與 b, c重合)，過f點(diǎn)的反比例 k .、.函數(shù)y (k0)的圖像與ac邊交于點(diǎn)e。 x若bf=1,求aoef的面積；(2)請?zhí)剿鳎菏欠裨谶@樣的點(diǎn) f,使得將4cef沿ef對(duì)折后，c點(diǎn)恰好落在ob上？若存在，求出點(diǎn) k的值; 若不存在，請說明理由1 、4、已知點(diǎn)o是平面直角坐標(biāo)系的

9、原點(diǎn)，直線y=x+m+n與雙曲線y -交于兩個(gè)不同的點(diǎn) a(m, n) (m 2)db(p, q),直線y=x+ m+ n與y軸交于點(diǎn)c,求aobc的面積s的取值范圍k25、已知點(diǎn)a(1, c)和點(diǎn)b(3,d)是直線y kx b與雙曲線y =(k? 0)的交點(diǎn).x(1)過點(diǎn)a作am x軸，垂足為 m，連結(jié)bm .若am bm，求點(diǎn)b的坐標(biāo).kn ,若點(diǎn)p在線段ab上，過點(diǎn)p作pe x軸，垂足為e,并交雙曲線y (k2 0)于點(diǎn)n .x,pn1當(dāng)取最大值時(shí)，有 pn ,求此時(shí)雙曲線的解析式.ne2一一八2一八, 、6、已知雙曲線y x和直線y= - 2x,點(diǎn)c(a, b)(abv2)在第一象p過

10、點(diǎn) c作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn) f,交 直線于點(diǎn)b,過點(diǎn)c作y軸垂線交雙曲線于點(diǎn)e,交直線于點(diǎn)a.(1)若b=1,則結(jié)論“ a、e不能關(guān)于直線fb對(duì)稱”是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請舉反例(2)若/ cab=/ cfe,設(shè)w ac ec，當(dāng) k a0）圖象上任息一點(diǎn), xmny軸于n,點(diǎn)p是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則 amnp的面積是（）a. 1b.c. 4d.不能確定c- yd- y k4、如圖，雙曲線y （k0）經(jīng)過矩形oabc的邊bc的中點(diǎn)e,交ab于點(diǎn)d.若梯形odbc的面積為3,則雙 x曲線的解析式為（）k5、如圖14,矩形oabc交雙曲線y （k0）于e、f兩點(diǎn)，已知e是bc的中

11、點(diǎn)，求證：f是ab的中點(diǎn) xk6、已知雙曲線 y k (k0),過點(diǎn)m (m, m) (m衣)作ma，x軸，mb，y軸，垂足分別是 a和b, ma、mb分別交雙曲線y k (k0)于點(diǎn)e、f。 x(1)若k=2, m=3,求直線ef的解析式；(2) o是坐標(biāo)原點(diǎn)，連結(jié) of,若/ bof=22.5,多邊形boaef的面積是2,求k的值。二次函數(shù)定義：圖象性質(zhì)：1、畫圖：3-5點(diǎn)(含頂點(diǎn))一一列表、描點(diǎn)、連線增減性、對(duì)稱性、最值性、與 x軸交點(diǎn)、f(1)、f( 1)、f(2)、f( 2)、f(m);函數(shù)開口對(duì)稱軸頂點(diǎn)最大(小)值增減性y a(x h)2+ ka0,開口向上.直線x=h(h, k)

12、當(dāng)x=h時(shí)，y有最小值為 k.當(dāng)xh時(shí)，/.a0,開口問卜.當(dāng)x=h時(shí)，y有最大值為k.當(dāng)xh時(shí)，,y= ax2+ bx+ ca0,開口向上.直線一22ab 4ac b2(2a， 4a )當(dāng)x=一之時(shí)，2a4ac b2y有最小但為人 .4a當(dāng) x-b時(shí)，/. 2a字母字母的符號(hào)圖象的特征aa 0開口向上a 0在x軸的上方（與y軸的正半軸相交）c 0與x軸后兩個(gè)交點(diǎn) 1c、m *d、m wi. 一 一22、已知二次函數(shù) y x (b 1)x c,若x 2, y隨x增大而減小，則實(shí)數(shù) b的取值范圍是 ；若點(diǎn)a (1, c)、b(a,y1)、c(2, y2)在這個(gè)函數(shù)圖像上，且 y1 y2 ,則實(shí)數(shù)

13、a的取值范圍是 【函數(shù)與方程】21、二次函數(shù) y ax bx c(aw0)中，自變重的 x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值如下表:x-2-101234ym 41 2m-21 m 2m1m 2m-2m 4241c.右1 m 1 ,則一兀二次方程 ax2+bx+c=0的兩個(gè)根x1，x2的取值范圍是()a、-1 x10, 2 x23b、-2 x1 -1 , 1 x22c、0 xi1 , 1 x22d、-2 xi -1 , 3 x20,當(dāng)1wxw2時(shí)，二次函數(shù) y= ax26ax+9a( aw 0)的最大值與最小 值之差是9,求a的值.2、圖象平移：左加右減、上加下減1、將拋物線y x2向右平移一個(gè)單位長度，再向上平

14、移3個(gè)單位長度所得的拋物線的解析式為()a. y (x 1)2 3b. y (x 1)2 3c. y (x 1)2 3 d. y (x 1)2 32、如果將拋物線y=x2向右平移1個(gè)單位，那么所得的拋物線的表達(dá)式是()a. y=x21b. y=x2+1c. y=(x 1)2d. y=(x+1)23、與一次函數(shù)綜合:交點(diǎn)、比較大小、面積問題、軌跡方程、幾何圖形存在性問題1、已知二次函數(shù)y ax2 bx c(a0)在二次函數(shù)y= x2x+c的圖象上，且d、e兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，連接 op.當(dāng)2j29pw升，2時(shí)，試判斷直線 de與拋物線y= x2-x+c+系的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.83、如

15、圖1,過 abc的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫4abc的水平寬” 4),中間的這條直線在 abc內(nèi)部線段的長度 bd叫 abc的 鉛垂高(h) ”我們可得出一種計(jì)算三角形面積的一、，-1新方法：sabc -ah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半 abc2解答下列問題：如圖2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)d(1, 4),交x軸于點(diǎn)b(3, 0),交y軸于點(diǎn)c。在第一象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)p，使s pbc最大，若存在，求出 p點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由2_24、已知拋物線y x 2mx m 2的頂點(diǎn)a在第一象pm,過點(diǎn) a作aby軸，垂足為b, c是線段a

16、b上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)a、b重合)，過c作cdx軸，垂足為d,并交拋物線于點(diǎn) p。(1)若點(diǎn)c (1, a)是線段ab的中點(diǎn)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；(2)若直線ap交y軸的正半軸于點(diǎn) e,且ac=cp,求ope的面積s的取值范圍。5、拋物線y x2 bx c的頂點(diǎn)為d (-1, -4),與y軸交于點(diǎn)c (0, -3),與x軸交于a, b兩點(diǎn)(點(diǎn)a在點(diǎn)b 的左側(cè)).(1)連接ac, cd, ad,試證明4acd為直角三角形；(2)若點(diǎn)e在拋物線的對(duì)稱軸上， 拋物線上是否存在點(diǎn) f,使以a, b, e, f為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)f的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.6、如圖，直線y

17、=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(aw0相交于a(1 , 5)和b, m),點(diǎn)p是線段ab上異于a、b 22的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)p作pcx軸于點(diǎn)d,交拋物線于點(diǎn) c.(1)是否存在這樣的 p點(diǎn)，使線段pc的長有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由；(2)求4 pac為直角三角形時(shí)點(diǎn) p的坐標(biāo).5、純參數(shù)問題21、右拋物線 y= x +bx+ c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且過點(diǎn) a (m, n), b (m+6, n),則n=.22、已知abc,且a+b+c=0,則拋物線 y ax bx c與直線y=bx的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有 個(gè).3、若拋物線y=ax2+bx+c上有兩點(diǎn)a、b關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱它為

18、“完美拋物線”.(1)請猜猜看：拋物線y = x2+x- 1是否是“完美拋物線”？若是，請寫出a、b坐標(biāo)；若不是，請說明理由；c .c2(2)右拋物線y=ax2+bx+c是 元美拋物線 ，與y軸交于點(diǎn)c,與x軸交于(一，0),右$ abc =一，求直線2bab的解析式.5、x系方程 1、若xi, x2是關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且|xi|+3|=2|k| (k是整數(shù))，則稱方程x2 + bx+c=027 一一為偶系次方程.如方程x26x27=0,x22x8=0,x2+3x=0,x2+6x27=0,x2 + 4x+4=0,4都是“偶系二次方程”.(1)判斷方程x2+x12 =

19、0是否是“偶系二次方程”，并說明理由；(2)對(duì)于任意一個(gè)整數(shù) b,是否存在實(shí)數(shù)c,使得關(guān)于x的方程x2+bx+c= 0是“偶系二次方程”，并說明理由2、若xi,x2是關(guān)于x的方程x2+bx+c= 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足|xi|+2|x2|=|c|+2,則稱方程x2+bx+c= 0為t系二次方程.如方程x22x=0, x2+5x + 6=0, x26x16=0, x2+4x+4=0都是t系二次方程。是否存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程x2 +bx+b+ 拒=0是t系二次方程”，并說明理由.3.若x1, x2是關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的兩實(shí)根，且x12 3x22 3 k (k為整數(shù))，則稱方程x2+bx+c= 0 為b 系二次方程”，如：x2+2x3=0, x2+ 2x 15=0, x2+ 3x = 0, x2+ x = 0,44x2-2x-3=0, x2-2x- 15 = 0等，都是“ b系二次方程”.請問：對(duì)于任意一個(gè)整數(shù) b,是否存在實(shí)數(shù) c,使得關(guān)于x的方程x2+ bx+ c= 0是 b系二次方程”，并說明理由.4,若xi, x2是關(guān)于x的一元二次方程 x2+bx+c= 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 xi, x2滿足|xi|+x2|=3|k| (k是正整數(shù))，則 稱方程x2+bx+c=0為“倍根二次方程”