等比數(shù)列的求和公式

1、1 等比數(shù)列前n項(xiàng)和 2 知識(shí)回顧：知識(shí)回顧： 2.通項(xiàng)公式：通項(xiàng)公式： 1 1 n n qaa 3.等比數(shù)列的主要性質(zhì)：等比數(shù)列的主要性質(zhì)： 在等比數(shù)列在等比數(shù)列 中，若中，若 則則 ( ) ( ) n aqpnm qpnm aaaa Nqpnm, 成等比數(shù)列成等比數(shù)列 bGa,abG 2 (G,a,b 0) 1.等比數(shù)列的定義：等比數(shù)列的定義： q n n a a 1 Nnq, 0 （常數(shù)）（常數(shù)） （ ） , m n mn q aa g 已知三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量。已知三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量。 （說（說“三三”道道“四四”） 3 創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)情境 明總明總：在一個(gè)月中，：在一個(gè)月中，

2、 我第一天給你一萬，我第一天給你一萬， 以后每天比前一天多以后每天比前一天多 給你一萬元。給你一萬元。 林總林總：我第一：我第一 天還你一分錢，天還你一分錢， 以后每天還的以后每天還的 錢是前一天的錢是前一天的 兩倍兩倍 4 創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)情境 林總林總：哈哈！這么：哈哈！這么 多錢！我可賺大了，多錢！我可賺大了， 我要是訂了兩個(gè)月，我要是訂了兩個(gè)月， 三個(gè)月那該多好??！三個(gè)月那該多好??！ 果真如此嗎果真如此嗎? 5 創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)情境 請(qǐng)你們幫林總分析一下這份合同是否能簽？請(qǐng)你們幫林總分析一下這份合同是否能簽？ 想一想：想一想： 6 1 3030 465. 2 萬元 明總借款： 30 12330

3、T 7 所以它是一個(gè)以為首項(xiàng)，所以它是一個(gè)以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列. 30 S.22221 2932 由于每天的錢數(shù)都是前一天的倍，共天，每天由于每天的錢數(shù)都是前一天的倍，共天，每天 所給的錢數(shù)依次為：所給的錢數(shù)依次為： .2,2,2,2,1 2932 8 30 S) 1 (.22221 2932 請(qǐng)同學(xué)們考慮如何求出這個(gè)和？請(qǐng)同學(xué)們考慮如何求出這個(gè)和？ 30 2S)2(.22222 302932 3030 2SS )22222( 302932 30 30 21 S )22221 ( 2932 1073.74萬元萬元分107374182312 30 30 S 兩式相減得兩式

4、相減得: : 錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法 9 明總明總：這是：這是 我做的最成功我做的最成功 的一筆生意！的一筆生意！ 10 Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn 得：得： Sn (1q)=a1a1qn 當(dāng)當(dāng)q1時(shí)，時(shí)， 1(1 ) . 1 n n aq S q 1 1 1 (1) 1 1 n n naq S aq q q 等比數(shù)列等比數(shù)列an前前n項(xiàng)和項(xiàng)和 當(dāng)q=1時(shí)，等 比數(shù)列的前n 項(xiàng)和是什么？ nnn aaaaaS 1321 11 思路思路1 1：saaq aqaq aqaaa 2 2

5、n n- -1 1 n n1 11 11 11 1 1 11 12 2n n- -1 1 = =+ + + + + = =+ + ( (+ + + +) ) 234n 123n-1 aaaa = q aaaa 思路思路2 2： 12 nnn aaaaaS 1321 )( 1211 n aaaqa )( 1nn aSqa qaaSq nn 1 )1 ( q qaa S n n 1 1 當(dāng)當(dāng)q1時(shí)，時(shí)， 13211 n qaqaqaqaa 13 324 1231 n n aaaa q aaaa 234 1231 n n aaaa q aaaa 1n nn Sa q Sa 1 1 n n aqa S

6、 q 當(dāng)q1時(shí)， 1 (1) nn q Saa q , 1 a, 2 a, 3 a, n a 由等比數(shù)列由等比數(shù)列的定義知：的定義知： 14 數(shù)數(shù) 列列 等等 差差 數(shù)數(shù) 列列 等等 比比 數(shù)數(shù) 列列 前前 n 項(xiàng)項(xiàng) 和和 公公 式式 推導(dǎo)方法推導(dǎo)方法 2 1n n aan S d nn na 2 1 1 q qa n n 1 1 1 S q qaa n 1 1 1 q 【注意注意】在應(yīng)用等比數(shù)列的前在應(yīng)用等比數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式時(shí)考項(xiàng)和公式時(shí)考 慮慮 公比是否為公比是否為1 倒序相加倒序相加錯(cuò)位相減錯(cuò)位相減 15 解解: 例例1 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 的前的前8項(xiàng)的和項(xiàng)的和. , 8 1

7、, 4 1 , 2 1 8, 2 1 , 2 1 1 nqa 2 1 1 2 1 1 2 1 8 8 S . 256 255 q qa S n n 1 )1 ( 1 16 根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列 的的 . 0,16,81) 3( 51 n aaa 81 16 1 5 4 a a q 3 2 q n a n S ; 6, 2, 3) 1 ( 1 nqa ; 5, 2 1 , 8)2( 1 nqa .189 21 )21(3 6 6 S . 2 31 2 1 1 2 1 18 5 5 S 211 3 2 1 3 2 1681 5 s 17 例例2. 求等比數(shù)列

8、求等比數(shù)列 1，2，4，從第從第5項(xiàng)到第項(xiàng)到第10項(xiàng)的和項(xiàng)的和. ,2, 1 1 qa解： .15 21 )21 (1 4 4 S .1023 21 )21 (1 10 10 S .1008151023 410 SS 從第從第5項(xiàng)到第項(xiàng)到第10項(xiàng)的和項(xiàng)的和: 10 s ., 10654321 aaaaaaa 4 s 18 , 2 1 , 2 3 1 qa解： 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 從第從第3項(xiàng)到第項(xiàng)到第7項(xiàng)的和項(xiàng)的和. , 8 3 , 4 3 , 2 3 . 128 381 2 1 1 2 1 1 2 3 7 7 S 所以從第所以從第3項(xiàng)到第項(xiàng)到第7項(xiàng)的和為：項(xiàng)的和為： . 128 153 4 9 128 381 4 3 2