高中數(shù)學 考點15 正弦定理和余弦定理（含2016高考試題）

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精考點15 正弦定理和余弦定理1、 選擇題1。(2016全國卷高考文科t4)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c。已知a=，c=2，cosa=，則b=（）a。b。c.2d.3【解析】選d。由余弦定理a2=b2+c2-2bccosa,得=b2+222b2cosa，即3b28b-3=0，解得b= (舍)或b=3。2。（2016全國卷理科t8）在abc中，b=，bc邊上的高等于bc,則cosa=(）a。b。c.- d. 【解題指南】根據(jù)正弦定理求解?！窘馕觥窟xc。設abc中角a,b，c所對的邊分別為a,b，c,則由題意得sabc=aa=acsin b。c=a。由余弦定

2、理得b2=a2+c2-2accos b=a2+a22aa=a2。b=a。cosa=。3.（2016全國卷文科t9）在abc中,b=,bc邊上的高等于bc，則sina=(）a。b。c.d.【解題指南】根據(jù)正弦定理求解。【解析】選d.設bc邊上的高為ad，且ad=m，因為b=，則bd=m，ab=m，又因為ad=bc,所以dc=2m,ac=m，由正弦定理得sinbac=.4.(2016山東高考文科t8）abc中，角a,b，c的對邊分別是a,b，c,已知b=c，a2=2b2（1sina），則a=（）a。b.c。d?！窘忸}指南】變形后，利用余弦定理巧妙求解.【解析】選c.由題意1sina=,所以sina

3、=1-=cosa,所以a=.5.（2016天津高考理科t3）在abc中，若ab=,bc=3,c=120,則ac=（)a.1b。2c.3d。4【解題指南】利用余弦定理得出c與三邊的關系，然后求解.【解析】選a.設ac=x，由余弦定理得：cosc=,得x2+3x4=0。解得x=1或4（舍),所以ac=1。2、 填空題6.（2016全國卷文科t15)同(2016全國卷理科t13)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b,c，若cosa=,cosc=，a=1,則b=?！窘忸}指南】已知cosa,cosc，可求sinb，又a=1，可利用正弦定理求解?！窘馕觥恳驗閏osa=，cosc=,所以sina=,si

4、nc=,sinb=sin(a+c)=sinacosc+cosasinc=,由正弦定理得,解得b=.答案:7.(2016全國卷高考理科t17)abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a，b，c,已知2cosc（acosb+bcosa)=c。(1）求c.(2)若c=,abc的面積為，求abc的周長.【解析】(1）2cosc(acosb+bcosa)=c，由正弦定理得：2cosc(sinacosb+sinbcosa)=sinc,2coscsin（a+b)=sinc.因為a+b+c=,a,b，c（0,),所以sin（a+b）=sinc0，所以2cosc=1,cosc=。因為c（0，），所以c=.(2）由余弦

5、定理得：c2=a2+b22abcosc，7=a2+b2-2ab，（a+b)23ab=7，s=absinc=ab=，所以ab=6，所以（a+b）2-18=7,a+b=5，所以abc的周長為a+b+c=5+.8。(2016浙江高考文科t16）在abc中,內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a,b，c.已知b+c=2acosb。（1)證明:a=2b。（2）若cosb=,求cosc的值。【解題指南】(1)由正弦定理及兩角和的正弦公式可得sin=sin（-）,再判斷-的取值范圍，進而可證=2;（2)由cosb的值可以求出a的三角函數(shù)值,又由c=(a+b）的關系求cosc的值.【解析】（1)由正弦定理得sinb+

6、sinc=2sinacosb,故2sinacosb=sinb+sin(a+b)=sinb+sinacosb+cosasinb,于是，sinb=sin（ab）,又a,b(0,），故0a-b，所以b=-(a-b)或b=a-b，因此,a=（舍去)或a=2b,所以，a=2b.(2）由cosb=,得sinb=，cos2b=2cos2b-1=-，故cosa=，sina=,cosc=cos(a+b）=cosacosb+sinasinb=。9.(2016山東高考理科t16)在abc中,角a，b,c的對邊分別為a，b,c，已知2(tana+tanb）=.（1）證明:a+b=2c.(2）求cosc的最小值?！窘忸}

7、指南】利用三角恒等變換與正、余弦定理求解.【解析】（1)由題意得,2（sinacosb+sinbcosa)=sina+sinb，即2sin（a+b）=sina+sinb,又a+b+c=,所以，sina+sinb=2sinc,由正弦定理得a+b=2c。(2)由(1）知,c=,由余弦定理得，cosc=。所以cosc的最小值為。10.(2016四川高考文科t18)同（2016四川高考理科t17）在abc中，角a,b,c所對的邊分別是a,b,c，且.（1)證明:sinasinb=sinc.(2）若b2+c2-a2=bc,求tanb.【解題指南】（1)利用正弦定理，將邊角進行轉化，結合誘導公式進行證明.

8、(2）利用余弦定理解出cosa=，再根據(jù)平方關系解出sina,代入已知中，解出tanb的值。【解析】(1）由正弦定理,可知原式可以化解為=1，因為a和b為三角形內(nèi)角，所以sinasinb0,則兩邊同時乘以sinasinb，可得sinbcosa+sinacosb=sinasinb,由和角公式可知,sinbcosa+sinacosb=sin(a+b）=sin（-c）=sinc,原式得證.（2）由題b2+c2a2=bc，根據(jù)余弦定理可知，cosa=.因為a為三角形內(nèi)角，a（0,),sina0,則sina=,即=，由（1)可知=1，所以，所以tanb=4。11。（2016天津高考文科t15）（本小題滿分13分）在abc中,內(nèi)角a，b，c所對應的邊分別為a，b,c,已知asin2b=bsina。（1)求b.(2)若cosa=，求sinc的值?！窘忸}指南】（1)利用正弦定理實現(xiàn)邊化角，化簡得到cosb,結合b的范圍得出b.（2）利用三角形內(nèi)角和為,將所求角化為兩已知角的和，再根據(jù)兩角和的正弦公式求解?！窘馕觥浚?)在abc中,由可得asinb=bsina，又由asin2b=bsina得2asinbcosb=bsina，整理得cosb=，因為b為abc的內(nèi)角,所以b=。（2）在abc中，sinc=