高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)46 離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差（含2017高考試題）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點(diǎn)46 離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差一、 選擇題1。(2017全國(guó)甲卷文t11）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()a。b。c。d.【命題意圖】基本事件和概率,意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力?！窘馕觥窟xd。如表所示,表中的點(diǎn)橫坐標(biāo)表示第一次取到的數(shù)，縱坐標(biāo)表示第二次取到的數(shù)123451(1,1)(1，2）（1,3)(1，4）(1，5）2（2，1)(2,2）(2，3）(2，4）（2,5)3(3,1)（3,2）（3，3）（3,4）(3，5)4(4

2、,1)（4,2)（4，3）(4，4）(4,5）5(5,1）（5,2)（5，3）(5,4)（5,5）總計(jì)有25種情況,滿足條件的有10種,所以所求概率為=。2。（2017浙江高考t8）已知隨機(jī)變量i滿足p（i=1）=pi,p(i=0）=1-pi,i=1,2。若0p1p2,則（)a.e（1)e(2）,d(1）d（2)d.e（1)e（2），d(1)d(2)【命題意圖】本題主要考查隨機(jī)變量及其分布，意在考查學(xué)生對(duì)兩點(diǎn)分布中的隨機(jī)變量的均值和方差的計(jì)算能力.【解析】選a.根據(jù)已知得i（i=1，2)服從兩點(diǎn)分布，由兩點(diǎn)分布的均值和方差知e（i)=pi，d(i)=pi（1-pi）,因?yàn)?p1p2,所以e（1

3、）=p1p2=e（2),d（1)-d(2）=p1(p2-）=(p1p2),已知p1p2,p1+p21，所以d（1)-d(2)0，即d（1）d（2）。二、簡(jiǎn)答題1.（2017天津高考理科t16）從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為，,.(1）設(shè)x表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率?！久}意圖】本題考查概率、離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.【解析】（1）隨機(jī)變量x的所有可能取值為0,1，2，3.p（x=

4、0）=，p(x=1)= +=，p(x=2)=+=，p(x=3)=。所以，隨機(jī)變量x的分布列為x0123p隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望e（x)=0+1+2+3=。(2）設(shè)y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為p(y+z=1）=p(y=0，z=1)+p(y=1，z=0）=p(y=0)p（z=1）+p(y=1)p（z=0)=+=.所以,這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為?！痉此伎偨Y(jié)】在（1)中,準(zhǔn)確算出隨機(jī)變量每個(gè)可能值的概率是列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望的關(guān)鍵.計(jì)算隨機(jī)變量每個(gè)可能值的概率時(shí)，比較瑣碎、復(fù)雜，一定要耐心、細(xì)致，否則，其中有一個(gè)概率算錯(cuò)了,后面就全錯(cuò)了.2.（

5、2017江蘇高考t23)已知一個(gè)口袋有m個(gè)白球，n個(gè)黑球（m，nn*，n2),這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出,并放入如圖所示的編號(hào)為1,2,3，,m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次取球放入編號(hào)為k的抽屜（k=1，2，3,，m+n）。123m+n（1）試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p.（2)隨機(jī)變量x表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù),e(x）是x的數(shù)學(xué)期望，證明:e（x）.【命題意圖】主要考查古典概型概率、隨機(jī)變量及其分布、數(shù)學(xué)期望的求法,突出考查考生利用數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.【解析】（1）編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p為：p=.（2）隨機(jī)變量x的概率分

6、布為：xp隨機(jī)變量x的期望為：e(x)= .所以e(x)=（1+)=（+)=(+)=（+)=所以e（x) ?！痉此伎偨Y(jié)】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值,以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等),求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率;第三步是“寫分布列，即按規(guī)范形式寫出分布列,并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確;第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求

7、期望的值,對(duì)于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量,如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布xb(n，p），則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(e（x)=np）求得。3.（2017北京高考理科t17)為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名,一組服藥,另一組不服藥。一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖,其中“”表示服藥者,“+”表示未服藥者.（1）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率。(2)從圖中a,b，c,d四人中隨機(jī)選出兩人,記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1。7的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望e（）。（3）試

8、判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小。（只需寫出結(jié)論）【命題意圖】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的概率與期望方差的知識(shí),意在培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力與運(yùn)算能力。【解析】(1）由圖可知，在50名服藥患者中,有15名患者指標(biāo)y的值小于60,則從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,此人指標(biāo)y的值小于60的概率為即.（2)由圖,a,c兩人指標(biāo)x的值大于1.7,而b,d兩人則小于1.7，可知在四人中隨機(jī)選出兩人，的可能取值為0，1,2.且p(=0)= =，p(=1)= =,p(=2）= = ,分布列如下012pe（)=0+1+2=1,即所求數(shù)學(xué)期望為1.（3)由圖知100名患者中服藥者指

9、標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大。5.（2017全國(guó)丙卷理科t18)（12分）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完。根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān)。如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶。為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20）20，25)25,30）30，35)35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各

10、區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。（1)求六月份這種酸奶一天的需求量x(單位：瓶）的分布列。(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為y(單位:元）,當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí)，y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【解析】(1）由題意得，x的可能取值為200,300，500。根據(jù)題意,結(jié)合頻數(shù)分布表,用頻率估計(jì)概率可知p=,p=，p=，所以六月份這種酸奶一天的需求量x的分布列為：x200300500p(2)當(dāng)200n300時(shí),若x=200,則y=(6-4)x+（2-4）(nx)=4x-2n=8002n，p=.若x=300時(shí),則y=n=2n，p=，若x=500時(shí)，則y=n=2n,p

11、=。所以y的分布列為:y800-2n2n2np所以e（y）= +2n+2n=n+160,所以當(dāng)n=300時(shí)，e(y）max=520(元).當(dāng)300n500時(shí),若x=200，則y=（6-4)x+(2-4)（n-x）=8002n,p（y=8002n)= 。若x=300時(shí),則y=(64)x+(2-4)（n-x)=1200-2n,p(y=12002n）= .若x=500時(shí)，則y=(6-4)n=2n，p（y=2n)= 。所以y的分布列為：y800-2n1 2002n2np所以e(y)=（8002n)+（1200-2n）+ 2n=-n+640300+640=520(元）。綜上,當(dāng)n為300瓶時(shí),y的數(shù)學(xué)期

12、望達(dá)到最大值。6。（2017山東高考理科t18)在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示,通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者a1,a2,a3，a4，a5,a6和4名女志愿者b1,b2，b3,b4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含a1但不包含b3的頻率。（2)用x表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求x的分布列與數(shù)學(xué)期望ex。【命題意圖】本題考查古典概型概率的求解以及隨機(jī)變量期望求解,意在考查考生運(yùn)算求解能力與分析問題、解決問題的能力?！窘馕觥浚?)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含a1但不包含b3的事件為m,則p(m)= =。（2