一節(jié)“生”動的立體幾何課必修2《2.3.2平面與平面垂直的判定》課例

1、一節(jié)“生”動的立體幾何課-必修22.3.2平面與平面垂直的判定課例本課例是人教版普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學（a版）必修2第二章2.3.2平面與平面垂直的判定，課堂按照“提出問題建立概念生成判定新知運用歸納總結”的認知過程展開教學。學生將在問題的驅動下，進行主動的思維活動，構建平面與平面垂直合理定義和有效判定，并為平面與平面垂直的性質以及二面角打下基礎。一、教學設計（一） 類比已知，提出問題問題1:直線和平面間存在哪幾種平行關系？又存在哪幾種垂直關系？設計意圖：以學生原認知出發(fā)，通過直線與平面間平行關系類比，提出面面垂直，又在實際中讓學生說出模型，調動學生的學習興趣，領悟面面垂直學習的必要性

2、。師生活動：學生思考、分析尋找實物模型，教師給以引導評價，并追問：數(shù)學中如何定義面面垂直呢？問題2:對比直線和直線垂直，直線和平面垂直，平面與平面垂直如何合理定義？設計意圖：以學生已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)，通過對條件的對比，讓學生參與建立面面垂直的概念，體驗知識的形成過程及合理性。師生活動：學生思考、分析尋找實物模型，教師給以評價，并引導學生可以以手頭書本為學習工具去探索。（二）埋下鋪墊 建立概念通過模型觀察、思考分析，對比已知，師生共同完成下列表格內容：構成圖形垂直線線角射線 點 射線二面角半平面 棱 半平面問題3:類比異面直線所成的角，直線和平面所成的角，如何度量二面角的大?。吭O計意圖：讓學生

3、通過類比體驗空間角的大小都是通過平面角來度量，體現(xiàn)把空間的問題轉化為平面的問題重要數(shù)學思想。師生活動：（1）學生思考、分析、交流，師生一起完成二面角的平面角的定義。（2）讓學生動手操作實驗，初步體驗二面角的度量方法，獲得二面角的平面角的直接經(jīng)驗。（3）生成概念2：二面角的平面角。（三）歸納概括，構建新知問題4：當二面角的平面角為直角時，此時兩平面處于什么位置？設計意圖：承上啟下，引導學生觀察，直觀感知兩平面的垂直位置關系，獲得兩個平面互相垂直的直觀體驗。師生活動：學生舉一些身邊的例子如：墻壁所在的平面與地面垂直，書頁與桌面相互垂直，教室的門與地面相互垂直等；老師給予肯定、鼓勵。并一起給出兩個平

4、面垂直的定義：如果兩個平面相交且所成二面角為直二面角，則稱這兩個平面互相垂直。（四）提煉知識，給出判斷問題5：類比平面與平面平行判定，除定義外，是否也有方法判定平面與平面垂直呢？設計意圖：啟發(fā)學生象面面平行判定一樣，去尋找除定義外，有效判定兩個平面是否垂直的辦法，并讓學生從線面垂直著手，去探究，去感悟面面垂直的判定。師生活動：學生思考、模擬、交流。教師到學生中去傾聽學生的想法。并追問：（1）若兩個平面垂直，其中一個面內是否存在直線垂直于另一個平面？（2）若兩個平面相交但不垂直，其中一個面內是否存在直線垂直于另一個平面？（3）上述問題的解決，你能得出什么結論？并追問經(jīng)過平面的一條垂線能做多少個平

5、面，都跟已知平面垂直嗎？問題6：你能在生活實際中找到模型嗎？舉例說說判定定理在實際中的應用嗎？設計意圖：聯(lián)系生活實際，學以致用。師生活動：學生思考、討論、交流，教師點評。（五）初步應用，鞏固新知例題：如圖，ab是圓o的直徑，pa垂直于圓o所在的平面，c是圓周上不同于a，b的任意一點，求證：平面pac垂直平面pbc。 探究：（1）三棱錐p-abc中，共有幾對面互相垂直？編題意圖：拓展學生思維，考察學生思維嚴密性，在較繁雜問題中抓住面面垂直判定的關鍵是線面垂直。（2）平面pbc與平面abc垂直嗎，為什么？編題意圖：拓展學生思維，能從定義和判定定理說明兩個平面不垂直。（3）過點a作,垂足為h，求證：

6、 。編題意圖：變式訓練，讓學生抓住問題本質和出題思路。練習：如圖，四棱錐p-abcd的底面為矩形，pa底面abcd，pa=ad，m為ab的中點， （1）求證：平面pad平面pcd.（2）求證：平面pmc平面pcd.編題意圖：通過變題、改題鞏固面面垂直判定定理的運用。師生活動：學生獨立解題，并交流。教師點評歸納。二、課堂實錄（一）課題引出問題1:直線和平面間存在哪幾種平行關系？又存在哪幾種垂直關系？學生：線線平行，線面平行還有面面平行。教師：又存在哪幾種垂直關系？學生：線線垂直，線面垂直還有面面垂直。教師：面面垂直現(xiàn)實中有哪些事例？學生：教室內墻面和地面，正方體的側面和底面等。教師：大家說的很好

7、，那數(shù)學中如何定義兩個平面垂直呢（幻燈）？（二）概念建立問題2:對比直線和直線垂直，直線和平面垂直，平面與平面垂直如何合理定義？學生：應該可以通過所成的角是直角定義，并用書本擺出模型。教師：你擺出的角與線線角有何區(qū)別，這個角組成元素是什么？學生：是兩個平面所成的角。教師：與線線角對比下，給出二面角的定義。問題3:類比異面直線所成的角，直線和平面所成的角，如何度量二面角的大??？學生：用平面角來度量。教師：對，把空間的角轉化為平面角，即把未知轉化為可知。那如何尋找合理的平面角能客觀反映二面角的大??？請大家打開的書本表示二面角，用兩只筆表示兩條線，去模擬，同桌合作、探究、交流。問題4：當二面角的平面

8、角為直角時，此時兩平面處于什么位置？學生：兩個平面位置相互垂直。教師：非常直觀，板書兩個平面垂直的定義。（三）判定形成問題5：類比平面與平面平行判定，除定義外，是否也有方法判定平面與平面垂直呢？學生：應該從線面垂直著手。教師：那我們就從這里探究，若兩個平面垂直，其中一個面內是否存在直線垂直于另一個平面？學生：一定存在。教師：請你給出模型。并追問若兩個平面相交但不垂直，其中一個面內是否存在直線垂直于另一個平面？學生：找不到。教師：經(jīng)過上述問題的探究解決，你能得出什么結論？并追問經(jīng)過平面的一條垂線能做多少個平面，都跟已知平面垂直嗎？學生：如果一個平面內有直線與另一個平面垂直，則這兩個平面垂直。師生

9、：共同完成平面與平面垂直判定定理的描述。教師：請大家作出圖形，用符號語言表示，并給予證明。學生：學生思考動筆，教師查看學生完成情況（部分學生對證明困惑）。教師：在現(xiàn)在我們有什么依據(jù)說明兩個平面是否垂直？學生：（恍然大悟）定義。教師：定義如何，如何證明。學生（個別作答）：過交點在平面做一直線垂直棱。教師：點評該判定定理的作用，即證明面面垂直轉化為線面垂直。也就是說在其中一個面內找到另一個面的一條垂線即可。問題6：你能在生活實際中找到模型嗎？舉例說說判定定理在實際中的應用嗎？學生：小組交流，并發(fā)表自己見解。教師：點評啟發(fā)，同時給出一些參考實例。（四）初步應用例題：如圖，ab是圓o的直徑，pa垂直于

10、圓o所在的平面，c是圓周上不同于a，b的任意一點，求證：平面pac垂直平面pbc。 學生：學生獨立解題（足夠時間）。教師：巡視學生答題情況，提問并板書學生答案。同時小結該題解題思路關鍵是在其中一個面內找到一條直線垂直另一個平面，依據(jù)判定定理轉化為線面垂直。探究：（1）三棱錐p-abc中，共有幾對面互相垂直？學生：（思考片刻）2對，3對，4對等。教師：如何不重不漏，關鍵在哪里？學生：線面垂直。教師：先找出存在那些線面垂直，再檢驗。并板書結果。（2）平面pbc與平面abc垂直嗎，為什么？學生：應該不垂直。教師：為什么？依據(jù)什么說明不垂直？引導學生從定義和判定定理兩個角度說明。（3）過點a作,垂足為

11、h，求證：。學生：學生獨立思考，并請個別板書。教師：點評，并啟發(fā)學生如何編題。練習：如圖，四棱錐p-abcd的底面為矩形，pa底面abcd，pa=ad，m為ab的中點， （1）求證：平面pad平面pcd.（2）求證：平面pmc平面pcd.學生：課堂練習，并解后交流心得體會。教師：再次點評強調面面垂直判定定理的條件。三、課后反思 3.1理解教材 把握重點 本節(jié)課的核心內容是面面垂直的定義及判定，而面面垂直的定義需要用到“二面角”，而二面角是空間中不同于平面角，而且度量二面角的大小即二面角的平面角的定義都是學生的難點，本節(jié)課的處理是引人二面角是為面面垂直的定義服務，對于二面角大小的度量，讓學生合理

12、給出即可，本節(jié)對如何求二面角的大小，不做展開探討，以突出面面垂直這一核心內容。3.2 類比思想貫穿始終本節(jié)課是在學生學習線面間的平行關系和直線與平面垂直的判定基礎上，新學習的知識，是屬于學生最近發(fā)展區(qū)的知識，跟原有認知即現(xiàn)在發(fā)展區(qū)進行類比，有助于知識同化，把未知轉化為已知，把不會轉化成會，把不能轉化為能的過程。3.3 動手體驗貫穿始終從面面垂直實際存在開始，到二面角的定義以及度量，都讓學生動手操作感知，形成面面垂直的定義，再讓學生聯(lián)系生活實際，舉例說明，都讓學生有直觀體驗。再有學生動手操作，尋找有效判斷面面垂直的辦法，讓學生感悟知識形成的過程，讓學生體會數(shù)學概念、數(shù)學方法與數(shù)學思想的起源與發(fā)展

13、都是自然的。知識的形成是一種合理、實在的有客觀意義的結果。3.4 有效問題貫穿始終 問題是數(shù)學的心臟，有效設問是一節(jié)課成敗關鍵，學生能否有效探究的前提，問題必須具有關鍵性、指向性，本節(jié)課共設六次提問，每個問題簡潔，指向性明確，圍繞面面垂直的定義以及判斷展開，各個問題具有可探究、可操作性，每個問題解決都是掌握本節(jié)課內容的關鍵，所有問題有形成本節(jié)課主干知識。四、課例點評4.1重基礎，重語言教師1(青年骨干)：在教學中，始終注重訓練學生三種語言（文字語言、圖形語言和符號語言）的表述，比如平面與平面垂直定義以及平面與平面垂直的判定先讓學生符號語言歸納，作圖，再用文字語言表示，培養(yǎng)學生數(shù)學語言表達能力。

14、4.2抓重點、破難點教師2(青年骨干)：本節(jié)課教師緊扣面面垂直這一核心概念展開教學，緊緊圍繞中心，對于二面角知識的處理，理解到位，使其成為面面垂直定義所需要的概念，是定義面面垂直所需要用到的概念，對如何求二面角的大小，不在此節(jié)課展開應用，這樣處理是合理的，而對于刻畫二面角的大小即平面角，是學生一個難點，教師讓學生自己動手操作、觀察、分析、探討，讓學生體驗平面角的定義以及合理性和唯一性。4.3問題精，可探究教師3(教研組長)：本節(jié)課教師共提出六個關鍵問題給學生探究，每個問題緊扣面面垂直這一核心內容，是本節(jié)課的脈絡和線索，而且每個問題指向性明確，學生可探究性強，能充分調動學生的積極性，激發(fā)學生思維和空間想象能力和邏輯思維能力，動手操作能力，讓學生在問題驅動下探究，體驗了知識生成的過程。4.4 一點商榷教師4(市壇中堅)：由于本節(jié)課有兩個概念和一個定理，教學任務相對比較重，面面垂直定義出來后，能否直接問學生，實際生活中，建筑個人砌墻時，為什么用一根鉛