自動化車床模型(數(shù)學建模)[稻谷書屋]

1、自動化車床管理模型摘要 本文研究的是自動化車床管理中定期檢查和預(yù)防性保全刀具問題。在現(xiàn)代技術(shù)下，被動地等待故障發(fā)生，然后投入較高資金處理出現(xiàn)的問題，這種傳統(tǒng)的處理方法已經(jīng)不符合工業(yè)生產(chǎn)和現(xiàn)代社會的發(fā)展要求。為解決此問題，我們共建立兩個模型，使自動化車床管理方略更科學、更合理。對于問題一：我們通過一定的數(shù)學方法，巧妙地建立了生產(chǎn)每一個零件的平均損失費用（包括預(yù)防保全費用, 檢查費用, 和故障造成的不合格品損失和修復費用，即）關(guān)于刀具定期更換間隔的單變量函數(shù)關(guān)系，并利用MATLAB等數(shù)學計算工具和多種方法，對進行逐個賦值，最終得到：當件時，取得最小值元，再根據(jù)與固定檢查間隔之間的函數(shù)關(guān)系得到：件。

2、對于問題二：此問中效益函數(shù)計算的費用與第一問相比，增加了錯誤判斷帶來的損失費用，我們將因誤判帶來的費用考慮到生產(chǎn)每一個零件的平均損失費用中，用與第一問類似的模型求解，得到當件時，取得最小值元，對應(yīng)固定檢查間隔件。對于問題三：保持問題二的情況，我們建立新的模型，并采取連續(xù)檢查多個零件（最多3次）的方法，降低誤判率，從而達到減少每個零件的平均管理費用，使模型更優(yōu)化。最終得到在工序發(fā)生故障時誤判率為0.208，比檢查一次的誤判率0.4減少0.192，誤判率減小了50%；在工序正常時誤判率為0.000792，比檢查一次的誤判率0.02減少0.019208，誤判率降低了96.04%，從而使模型得到優(yōu)化。

3、關(guān)鍵詞：自動化車床管理 效益函數(shù) 正態(tài)分布 誤判率1.問題重述一道工序用自動化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等原因該工序會出現(xiàn)故障，其中刀具損壞故障占95%, 其它故障僅占5%。工序出現(xiàn)故障是完全隨機的, 假定在生產(chǎn)任一零件時出現(xiàn)故障的機會均相同。工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障?，F(xiàn)積累有100次刀具故障記錄，故障出現(xiàn)時該刀具完成的零件數(shù)如附表?，F(xiàn)計劃在刀具加工一定件數(shù)后定期更換新刀具。已知生產(chǎn)工序的費用參數(shù)如下：故障時產(chǎn)出的零件損失費用 f=200元/件；進行檢查的費用 t=10元/次；發(fā)現(xiàn)故障進行調(diào)節(jié)使恢復正常的平均費用 d=3000元/次(包括刀具費)；未發(fā)現(xiàn)故障時更換一把

4、新刀具的費用 k=1000元/次。要求解的問題：1)假定工序故障時產(chǎn)出的零件均為不合格品，正常時產(chǎn)出的零件均為合格品, 試對該工序設(shè)計效益最好的檢查間隔（生產(chǎn)多少零件檢查一次）和刀具更換策略。2)如果該工序正常時產(chǎn)出的零件不全是合格品，有2%為不合格品；而工序故障時產(chǎn)出的零件有40%為合格品，60%為不合格品。工序正常而誤認有故障停機產(chǎn)生的損失費用為1500元/次。對該工序設(shè)計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。3）在2)的情況, 可否改進檢查方式獲得更高的效益。附:100次刀具故障記錄(完成的零件數(shù)) （見附錄1）2.模型假設(shè)和符號說明2.1模型的假設(shè)1.換刀間隔和檢查間隔很短，這段時間內(nèi)產(chǎn)生

5、的零件數(shù)可以忽略；2.檢查時一旦發(fā)現(xiàn)不合格品生產(chǎn)立即停止；3.假設(shè)該工序只需用一個刀具；4.工序出現(xiàn)故障是隨機的，且加工每個零件時出現(xiàn)故障的概率相同。2.2符號說明故障時產(chǎn)出的零件損失費用，本題=200元每次進行檢查的費用，本題=10元/次發(fā)現(xiàn)故障進行調(diào)節(jié)使恢復正常的平均費用 (包括刀具費)，本題=3000元/次未發(fā)現(xiàn)故障時更換一把新刀具的費用，本題=1000元/次生產(chǎn)每個零件的平均管理成本（平均損失費用）零件生產(chǎn)定期檢查間隔刀具定期更換間隔工序的平均故障間隔（包括刀具和故障和其他故障）相鄰兩次檢查的后一次檢查發(fā)現(xiàn)故障時, 件零件中不合格品的平均數(shù)平均故障率， 進行預(yù)防保全更換道具后，刀故障平

6、均間隔非刀具故障（其他故障）平均間隔工序正常時不合格品率，本題第二問中=2%工序故障時合格品率，本題第二問中=40%工序正常而誤認有故障停機產(chǎn)生的損失費用，本題=1500元/次因誤判兩次故障間隔產(chǎn)生的不合格品均值3. 問題分析本題研究的是自動化車床管理中定期檢查和預(yù)防性保全刀具問題。由于發(fā)現(xiàn)故障進行調(diào)節(jié)使恢復正常的平均費用和故障時產(chǎn)出的零件損失費用較高，而檢查費用和更換刀具費用較低，因此，在未進行定期檢查和預(yù)防性更換刀具時損失費用明顯要高，更新管理后，要確定最優(yōu)的管理方案，得到合適的檢查間隔和刀具更換策略，即刀具定期更換間隔和檢查間隔，使損失費用最少。我們選擇建立一個效益函數(shù)L（生產(chǎn)每個零件的

7、平均損失費用），通過求L最小值來確定刀具定期更換間隔和生產(chǎn)檢查間隔。針對問題一：因為效益函數(shù)包括預(yù)防保全費用, 檢查費用, 和故障造成的不合格品損失和修復費用（即），我們按每個零件分攤，分別列式子算出、求和。在求解、過程中，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定刀具壽命的經(jīng)驗分布或擬合分布F (x )，并且得到相關(guān)參數(shù)，確定無預(yù)防性更換刀具時刀具故障的平均間隔和采取有預(yù)防性更換策略時刀具故障間隔的表達式，同時利用與之間的函數(shù)關(guān)系進行轉(zhuǎn)換，最后得到關(guān)于刀具定期更換間隔的單變量函數(shù)，可通過取不同的步長逐個求出的值，找到的最小值和對應(yīng)的值，并通過所得求出對應(yīng)的生產(chǎn)檢查間隔。針對問題二：第二問中條件變?yōu)樵摴ば蛘r產(chǎn)出的零

8、件不全是合格品，有2%為不合格品；而工序故障時產(chǎn)出的零件有40%為合格品，60%為不合格品且工序正常而誤認有故障停機產(chǎn)生的損失費用為1500元/次。所以第二問中計算效益函數(shù)時要考慮兩種誤判情況帶來的損失，一是工序正常時檢查到不合格品，誤判停機將使檢查的費用增加；二是工序故障時檢查到合格品，將繼續(xù)生產(chǎn)直到下一次檢查，使不合格數(shù)量增多造成的損失。效益函數(shù)的表達式因此有所改變，但建模方法基本與第一問相似。針對問題三：在第二問情況下只定期檢查一個零件造成了許多誤判的情況，從而使每個零件的平均管理費用較高。針對這種情況，我們采取適當連續(xù)檢查多個零件降低誤判率的方法達到減少每個零件的平均管理費用，是模型更

9、優(yōu)化。4.數(shù)據(jù)分析刀具故障時加工的零件服從正態(tài)分布根據(jù)所給的100個樣本數(shù)據(jù)用Excel統(tǒng)計可得以下結(jié)果：表4.1 樣本統(tǒng)計結(jié)果數(shù)據(jù)個數(shù)100平均值600標準偏差196.6291695最小值84最大值1153小數(shù)位數(shù)0區(qū)間個數(shù)16區(qū)間寬度66.875圖4.1 樣本分布直方圖再利用6SQ統(tǒng)計軟件進行卡方擬合優(yōu)度檢驗得到如下結(jié)果：表4.2 刀具故障時加工的零件服從正態(tài)分布的檢驗結(jié)果假設(shè)檢驗零假設(shè)服從正態(tài)分布自由度9卡方統(tǒng)計量2.521839719p值0.980290368顯著性水平0.05結(jié)果接受零假設(shè)5問題一解答5.1 模型一的建立首先，在預(yù)防保全措施下，定義平均每一個零件的損失費用（效益函數(shù)）

10、為，表達式為： （1） 其中，為預(yù)防保全費用, 檢查費用, 為故障造成的不合格品損失和修復費用。為工序平均故障間隔，為相鄰兩次檢查的后一次檢查發(fā)現(xiàn)故障時，件零件中不合格品的平均數(shù)。令在相鄰兩次檢查的后一次發(fā)現(xiàn)故障的條件下，出現(xiàn)件不合格品的概率為：則得 ： （2）上式中， 上式經(jīng)運算可得： 由此得到與的函數(shù)關(guān)系，代入(1) 得： （3） 然后給出的100 個數(shù)據(jù)分析算出無預(yù)防性更換時, 刀具故障平均間隔為=600 件，再根據(jù)題設(shè)刀具故障占95% , 非刀具故障占5% , 故非刀具平均故障間隔為=11400件，其次由100 個數(shù)據(jù)確定刀具壽命的經(jīng)驗分布或擬合分布得密度函數(shù)： 為分布函數(shù)。其中，所以

11、當進行預(yù)防保全定期更換刀具時, 刀故障的平均間隔為：工序的平均故障間隔由 和 決定, 滿足 即： 由此得到和之間的函數(shù)關(guān)系。5.2模型一的求解對目標函數(shù)(3) 的參數(shù)進行如下優(yōu)化： 1.給定， 計算出,代入(3)可得知是 的函數(shù),易得當 時目標函數(shù)達到極??； 2. 按一定的步長取的值, 采取逐漸縮小范圍并逐個求出 的極小值及相應(yīng)的值, 其中使最小者所對應(yīng)的和 即為所求。本步驟我們在MATLAB軟件中計算（對應(yīng)程序段見附錄2）得到的結(jié)果如下： 元，此時對應(yīng)的 件，件圖5.1 取值與的變化關(guān)系圖5.3結(jié)果分析： 通過逐步求解，我們得到當定期換刀間隔為342件，定期檢查間隔為16件時，使得生產(chǎn)每個零

12、件的平均管理成本（平均損失費用）達到極小值5.297元。由取值與的變化關(guān)系圖我們發(fā)現(xiàn)，當步長的取值小于或大于342件時均會使平均損失費用增大。6.問題二的解答6.1確立新目標函數(shù)關(guān)系令，第二問的效益函數(shù)要考慮兩種誤判。一是工序正常時檢查到不合格品誤判停機, 將使損失的費用增加；二是工序故障時檢查到合格品, 將繼續(xù)生產(chǎn)直到下一次檢查, 使不合格品數(shù)量增加,此時兩次故障間由此產(chǎn)生的不合格品平均數(shù)為：上式中 為工序故障時的合格品率, 為工序在生產(chǎn)一零件時的平均故障率,故在第該問的條件下, 效益函數(shù)應(yīng)為： （4）上式中是工序正常時零件的不合格品率, 元為第一種誤判產(chǎn)生停機的損失費。6.2問題二的求解計

13、算再應(yīng)用與問題一相同的模型代入式（4）并用MATLAB軟件求解（對應(yīng)程序段件附錄3）可得以下結(jié)果：元，此時對應(yīng)的 件，件圖6.1 取值與的變化關(guān)系圖63結(jié)果分析： 在第二問的條件下運用和第一問相同的模型逐步求解，我們得到當定期換刀間隔為299件，定期檢查間隔為18件時，使得生產(chǎn)每個零件的平均管理成本（平均損失費用）達到極小值7.381元。再由取值與的變化關(guān)系圖我們發(fā)現(xiàn)，當步長的取值小于或大于299件時均會使平均損失費用增大。7.問題三的解答7.1模型二的建立由于在第二問情況下生產(chǎn)出的零件不完全是合格品或是不合格品,只定期檢查一個零件時,不免會出現(xiàn)許多誤判,造成不必要的損失.。今改進檢查方式,采

14、取適當連續(xù)檢查多個零件降低誤判率，盡量避免這樣的損失,將獲得更高的效益。具體方法如下：假設(shè)工序發(fā)生了故障：第一次檢查第二次檢查第三次檢查結(jié)論結(jié)論正確性發(fā)生概率11未發(fā)生故障否0.16101未發(fā)生故障否0.096011未發(fā)生故障否0.096010發(fā)生故障是0.14400發(fā)生故障是0.036誤判率=0.208（表中“1”表示檢測到合格品，“0”表示檢查到不合格品）假設(shè)工序未發(fā)生了故障：第一次檢查第二次檢查第三次檢查結(jié)論結(jié)論正確性發(fā)生概率11未發(fā)生故障是0.9604101未發(fā)生故障是0.019208011未發(fā)生故障是0.019208010發(fā)生故障否0.00039200發(fā)生故障否0.00004誤判率=

15、0.000792（表中“1”表示檢測到合格品，“0”表示檢查到不合格品）7.2結(jié)論及分析在進行檢查時，不能由一次檢查結(jié)果妄下結(jié)論，這可能因誤判造成大的損失。由以上模型可以得出：在工序發(fā)生故障時誤判率為0.208，比檢查一次的誤判率0.4減少0.192；在工序正常時誤判率為0.000792，比檢查一次的誤判率0.02減少0.019208。因為在工序故障時誤判引起的損失為200元/件，工序正常時因誤判停機造成的損失為1500/次，這遠遠大于檢查費用10元/次。另外，此工序檢查的錯誤率得到極大降低，對于其他工序的正常運行也有一定共貢獻，帶來了間接效益。所以采取適當連續(xù)多檢查幾次從而大幅度減小誤判率的

16、策略可以獲得更高效益。8.模型的評價、改進和推廣8.1模型的評價 優(yōu)點：1.通過建立的模型確定了最優(yōu)的檢查間隔和道具更換間隔，從而將平均每一個零件的損失成本降低；2.優(yōu)化后的模型二將檢查的錯誤率極大地降低，提高了生產(chǎn)效率和效益；3.由于工序故障率較低，將平均每一個合格零件的損失費用近似等于平均每一個零件的損失費用，使模型得到簡化。 缺點：1. 忽略了換刀間隔和檢查間隔時間內(nèi)產(chǎn)生的零件數(shù)；2.實際生產(chǎn)中還要考慮流水線上的其他工序的狀態(tài)與此工序的相互影響，里沒有考慮。8.2模型的改進由于流水線上的其他工序與此工序往往是關(guān)聯(lián)的，尤其是故障率和誤判率對其他工序有很大影響。因此各工序應(yīng)看作整體，綜合起來

17、考慮，得到的評價參數(shù)對工業(yè)生產(chǎn)會更有實際指導意義。8.3模型的推廣該模型可以廣泛應(yīng)用于汽車、飛機等機械零部件加工、電子儀器生產(chǎn)等生產(chǎn)車間的管理中，一方面有助于降低成本，另一方面提高機器的工作效率。參考文獻：1 盛驟，謝式千,潘承毅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計,北京 ：高等教育出版社，2008.6。2 孫山澤，數(shù)學的實踐與認識，北京：北京大學，2000.1（1）。附錄附錄1：100次刀具故障記錄(完成的零件數(shù))459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251

18、3781474388824538862659775859755649697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851附錄2：問題一MATLAB求解程序：a=1:1500; l=1000./a+20./sqrt(1140*cxs(a)./(cxs(a)+11400)+31/114+3100./cxs(a); pl

19、ot(a,l) axis(0 900 0 30)ylabel(每個零件的平均管理成本/元)xlabel(刀具定期更換間隔/件)function f=cxe(x)f=normcdf(x,600,196.6);function u=cxs(m)k=0;for i=1:m-1 k=i*(cxe(i)-cxe(i-1)+k;endu=(1./cxe(m).*(k+m.*(1-cxe(m);最小值的判斷：fun=inline(1000./x+20./sqrt(1140*cxs(x)./(cxs(x)+11400)+31/114+3100./cxs(x)fun = Inline function: fun

20、(x) = 1000./x+20./sqrt(1140*cxs(x)./(cxs(x)+11400)+31/114+3100./cxs(x) x,feval,exitflag,output=fminbnd(fun,0,900)x = 342.0000feval = 5.2972exitflag = 1output = iterations: 31 funcCount: 32 algorithm: golden section search, parabolic interpolation message: 1x112 char附錄3：問題二MATLAB求解程序：a=1:1500; l=1000

21、./a+(1./sqrt(1140*cxs(a)./(11400+cxs(a).*(10+30*(1-1./cxs(a)-1/11400).sqrt(1140*cxs(a)./(11400+cxs(a)+. (1140+cxs(a)./(114*cxs(a).*(sqrt(1140*cxs(a)./(11400+cxs(a)+1)+. 400/3*sqrt(11400+cxs(a)./(114000*cxs(a)+30*(11400+cxs(a)./(114*cxs(a); plot(a,l) axis(0 900 0 30) ylabel(每個零件的平均管理成本/元)xlabel(刀具定期更換間隔/件)function f=cxe(x) f=normcdf(x,600,196.6);function u=cxs(m)k=0;for i=1:m-1 k=i*(cxe(i)-cxe(i-1)+k;endu=(1./cxe(m).*(k+m.*(1-cxe(m);最小值的判斷：fun=inl