競賽課件8：功與能

1、 利用圖象求功之方法適用于當力對位移的關(guān)利用圖象求功之方法適用于當力對位移的關(guān) 系為線性時系為線性時;或在表示力對位移關(guān)系的或在表示力對位移關(guān)系的F-s示功圖示功圖 中中F(s)圖線與圖線與s軸圍成的圖形軸圍成的圖形“面積面積”有公式可有公式可 依時依時;因為在因為在F-s示功圖中，這種示功圖中，這種“面積面積”的物理的物理 意義就是功的大小意義就是功的大小 方法方法 A A s F 0 x W 錘子打木樁，錘每次從同一高度落下，每次均有錘子打木樁，錘每次從同一高度落下，每次均有80%的能的能 量傳給木樁，且木樁所受阻力量傳給木樁，且木樁所受阻力f與插入深度與插入深度x成正比，試求木樁每次打入

2、的深度成正比，試求木樁每次打入的深度 比若第一次打擊使木樁插入了全長的比若第一次打擊使木樁插入了全長的1/3，全部插入須錘擊多少次？，全部插入須錘擊多少次？ 本題中的阻力本題中的阻力f為一與位移為一與位移x成正比的變力，即成正比的變力，即f=kx 示功圖示功圖 x F 0 x1x2x3 l W0 W0 W0 圖中各陰影圖中各陰影“面積面積” 表示第表示第1、2、 3次錘擊中，木樁克服阻力作次錘擊中，木樁克服阻力作 的功，數(shù)值上等于錘傳給木樁的的功，數(shù)值上等于錘傳給木樁的 能量，設為能量，設為W0 由圖由圖 2222 1230000 23 n xxxxWWWnW : : : : : : : :

3、123 123 n xxxxn : : : : : : : : 123 12321 n nxxxnx : : :- -: : : : : :1 1 當當xn=l時，由時，由 1 1 n xxn : : : 1 3 l l n 9n 次次 某質(zhì)點受到某質(zhì)點受到F=6x2的力的作用，從的力的作用，從x=0處移處移 到到x=2.0 m處，試求力處，試求力F做了多少功？做了多少功？ 本題中的變力本題中的變力F與位移與位移x成成F=6x2關(guān)系，關(guān)系，F(xiàn)-x圖線為拋物線圖線為拋物線 示功圖示功圖 24 x/m F/N 0 2 W 圖中圖中 “面積面積” 表示表示F力作的功力作的功 “面積面積” 由阿基米德

4、公式由阿基米德公式 2 3 S 弓弓 底底高高 由示功圖得由示功圖得F力作的功力作的功 1 2 WSS 矩矩弓弓 12 224424J 23 16 J J 如圖所示，一質(zhì)量為如圖所示，一質(zhì)量為m，長為，長為l的柔軟繩索，一部分平直地放在的柔軟繩索，一部分平直地放在 桌面上，另一部分跨過桌面邊緣的光滑定滑輪下垂，柔繩與桌面間的摩擦因數(shù)為桌面上，另一部分跨過桌面邊緣的光滑定滑輪下垂，柔繩與桌面間的摩擦因數(shù)為 柔繩能由靜止開始下滑，求下垂部分長度至少多長？由這一位置開始運動，柔繩能由靜止開始下滑，求下垂部分長度至少多長？由這一位置開始運動， 柔繩剛離開桌面時的速度多大？柔繩剛離開桌面時的速度多大？

5、設柔繩恰由靜止開始下滑時下垂部分長度為設柔繩恰由靜止開始下滑時下垂部分長度為x0，則由，則由 00 mm xglxg ll 0min 1 lx 柔繩恰由靜止開始下滑至以柔繩恰由靜止開始下滑至以v離開桌面，由動能定理離開桌面，由動能定理 2 1 2 Gf WWmv 其中，重力功等于繩重力勢能減少其中，重力功等于繩重力勢能減少 0 0 22 G xmlm Wlgx g ll 22 0 2 mg lx l 摩擦力為線性變力：摩擦力為線性變力： f m Fxg l 示功圖示功圖 x Ff 0 l-x0 0 m lxg l Wf x 2 0 2 f mg lx l W 222 0 02 g lx g l

6、x v ll 1 v gl 一質(zhì)點的質(zhì)量為一質(zhì)點的質(zhì)量為m，被固定中心排斥，斥力的大小，被固定中心排斥，斥力的大小 F=mr，其中，其中r為質(zhì)點離開此中心的距離在開始時，為質(zhì)點離開此中心的距離在開始時，r0=a，v0=0， 求質(zhì)點經(jīng)過位移求質(zhì)點經(jīng)過位移a時所達到的速度大小時所達到的速度大小 斥力為線性變化力！斥力為線性變化力！ ma 示功圖示功圖 r F 0 a2a 2ma WF 對示功圖求梯形陰影對示功圖求梯形陰影“面積面積” 2 3 2 1 2 2 Wm aamaa 對質(zhì)點經(jīng)過位移對質(zhì)點經(jīng)過位移a的過程，由動能定理的過程，由動能定理 22 31 22 mamv 3va 跳水運動員從高于水面

7、跳水運動員從高于水面H10 m的跳臺自由落下，運動員的質(zhì)的跳臺自由落下，運動員的質(zhì) 量量m60 kg，其體形可等效為長度，其體形可等效為長度l1.0 m、直徑、直徑d0.30 m的圓柱體，略去空氣的圓柱體，略去空氣 阻力，運動員入水后水的等效阻力阻力，運動員入水后水的等效阻力F作用于圓柱體下端面，作用于圓柱體下端面，F(xiàn)量值隨入水深度量值隨入水深度y變變 化如圖，該曲線近似為橢圓的一部分，長軸和短軸分別與化如圖，該曲線近似為橢圓的一部分，長軸和短軸分別與OY和和OF重合，為了確保重合，為了確保 運動員絕對安全，試計算水池中水的運動員絕對安全，試計算水池中水的h至少應等于多少？至少應等于多少？ 5

8、mg/2 Y F 0 h 對全過程運用動能定理對全過程運用動能定理: : 00mg HhWW 浮浮阻阻 其中阻力功根據(jù)示功圖為四分之一個橢圓其中阻力功根據(jù)示功圖為四分之一個橢圓 “面積面積” ” : : 示功圖示功圖 W阻 阻 15 42 mg Wh 阻阻 入水過程中，浮力隨入水深度入水過程中，浮力隨入水深度y作線性變化作線性變化 2 4 d Fgy 浮浮 示功圖示功圖 Y F浮 浮 0 l 2 4 gld 2 1 24 gl d Wl 浮浮 2 42 dl Wglhl 浮浮 2 15 100 428 d mhlhmh 1603 m 161 h 4.9 m 如果在某一位移區(qū)間，力隨位移變化的關(guān)

9、系如果在某一位移區(qū)間，力隨位移變化的關(guān)系 為為F=f(s) ，求該變力的功通常用微元法，即將位，求該變力的功通常用微元法，即將位 移區(qū)間分成移區(qū)間分成n（n）個小區(qū)間）個小區(qū)間s/n，在每個小，在每個小 區(qū)間內(nèi)將力視為恒定，求其元功區(qū)間內(nèi)將力視為恒定，求其元功Fi s/n ，由于功，由于功 是標量，具有是標量，具有“可加性可加性”，那么總功等于每個，那么總功等于每個 小區(qū)間內(nèi)元功之代數(shù)和的極限，即變力在這段小區(qū)間內(nèi)元功之代數(shù)和的極限，即變力在這段 位移中所做的功為：位移中所做的功為： 方法方法 B B 1 lim n i n i WW 在數(shù)學上，確定元功相當于給出數(shù)列通項在數(shù)學上，確定元功相當

10、于給出數(shù)列通項 式，求總功即求數(shù)列式，求總功即求數(shù)列n項和當項和當n時的極限時的極限 半徑等于半徑等于r的半球形水池，其中充滿了水，把池內(nèi)的半球形水池，其中充滿了水，把池內(nèi) 的水完全吸盡，至少要做多少功？的水完全吸盡，至少要做多少功？ r ri 沿著容器的豎直直徑，我們將水池內(nèi)的水均勻細分成沿著容器的豎直直徑，我們將水池內(nèi)的水均勻細分成n 層，每一元層水的高度層，每一元層水的高度 r h n r 1 i 2 每一層水均可看作一個薄圓柱，水面下第每一層水均可看作一個薄圓柱，水面下第i層層 水柱底面的半徑水柱底面的半徑 這層水的質(zhì)量這層水的質(zhì)量 2 2 i r rri n 2 2 i rr mri

11、 nn 將這層水吸出至少應做的元功是將這層水吸出至少應做的元功是 2 2 i rrr Wrig i nnn 將池水吸盡至少要做的功是將池水吸盡至少要做的功是 3 4 24 1 lim n i n i ii WWg r nn 43333 24 11 lim1 2 3123 n g rnn nn 2 2 4 24 11 11 lim 24 n n nnn gr nn 4 1 g 4 r 一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為m的機動小車，以恒定速度的機動小車，以恒定速度v在半徑為在半徑為 R的豎直圓軌道繞的豎直圓軌道繞“死圈死圈”運動已知動摩擦因數(shù)為運動已知動摩擦因數(shù)為，問在小車從，問在小車從 最低點運動到最高點過

12、程中，摩擦力做了多少功？最低點運動到最高點過程中，摩擦力做了多少功？ 小車沿豎直圓內(nèi)軌勻速率運動到最小車沿豎直圓內(nèi)軌勻速率運動到最 高點的過程中，由于軌道支持力是變力，高點的過程中，由于軌道支持力是變力， 故而摩擦力為一隨位置變化的力！故而摩擦力為一隨位置變化的力！ x y O A B 當小車運動在當小車運動在A A處元圓弧段時處元圓弧段時 n mg NA A 2 sin AA v Nmgm R AA fN 2 sin A v mg R 摩擦力在摩擦力在A A處元功為處元功為 2 sin AA vR Wm g Rn 當小車運動在與當小車運動在與A A關(guān)于關(guān)于x軸對稱的軸對稱的B B處元圓弧段時

13、處元圓弧段時 B A mg NB B 2 sin BB v Nmgm R n 續(xù)解續(xù)解 i i n BB fN 2 sin B v mg R 摩擦力在摩擦力在B B處元功為處元功為 2 sin BB vR Wmg Rn 小車在關(guān)于水平直徑對稱的軌道兩元段上摩擦力元功之和為小車在關(guān)于水平直徑對稱的軌道兩元段上摩擦力元功之和為 2 2 iAB vR WWWm Rn 查閱查閱 摩擦力在半圓周軌道上的總功摩擦力在半圓周軌道上的總功/2 2 1 1 lim2 n n i Wmv n 2 mv 計算水平直徑以下段摩擦力的功：計算水平直徑以下段摩擦力的功： 2/2 1 limsin n n i vR Wmg

14、i Rnn 下下 續(xù)解續(xù)解 2/2/2 11 limsin nn n ii vRR mmgi Rnnn 2/2/2 11 limsin nn n ii vRR Wmmgi Rnnn 下下 2/2 1 lims 2 in n n i mgRi nn nmv n 2 lim sinsin2sin 22 n nmvn mgR nnnnn sin 1 sinsin 22 sin 2 n n ann nn S 三三角角 列列前前和和數(shù)數(shù)項項 2 2 sinsin 44 lim sin 2 2 n nn nn mgR n n n mv n 2 2 2sinsin 44 lim sin 2 2 2 n n

15、nmv n n nn mgR n n 2 2 W mv mgR 下下 水平直徑以上段摩擦力的功：水平直徑以上段摩擦力的功： 2 2 W mv mgR 上上 將板沿板長均分為將板沿板長均分為n（n）等份等份 fi M Fg n 將木板在水平地面上繞其一端轉(zhuǎn)動角將木板在水平地面上繞其一端轉(zhuǎn)動角，求所需，求所需 要做的功木板長度為要做的功木板長度為L，質(zhì)量為，質(zhì)量為M，木板與地面之間的動摩擦因，木板與地面之間的動摩擦因 數(shù)為數(shù)為 L i n 元摩擦力做功的位移為元摩擦力做功的位移為 1 2i i L xi n 摩擦力對摩擦力對i段做的元功為段做的元功為 i M g i nn W L 則對木板的功則對

16、木板的功 1 lim n n i ML Wg i nn 2 1 1 lim n n i MgLi n 2 1 1 lim 2 n n n MgL n 1 2 MgL 各元段摩擦力為各元段摩擦力為 i x 從一個容器里向外抽空氣，直到壓強為從一個容器里向外抽空氣，直到壓強為p容器上容器上 有一小孔，用塞子塞著現(xiàn)把塞子拔掉，問空氣最初以多大速率沖有一小孔，用塞子塞著現(xiàn)把塞子拔掉，問空氣最初以多大速率沖 進容器？設外界大氣壓強為進容器？設外界大氣壓強為p0，大氣密度為，大氣密度為 p p0 x s 設小孔截面積為設小孔截面積為s，打開塞子，打開塞子 后孔外側(cè)厚度為后孔外側(cè)厚度為 x的一薄層空氣的一薄

17、層空氣 在內(nèi)、外壓強差作用下沖入容器，在內(nèi)、外壓強差作用下沖入容器， 獲得速度獲得速度v0，由動能定理由動能定理: : 2 0 1 2 PP SxSx v 0 0 2 p v p 這種求功方法依據(jù)功對能量變化的量度關(guān)系，這種求功方法依據(jù)功對能量變化的量度關(guān)系， 只須了解初、未能量狀態(tài)，得到能量的增量便只須了解初、未能量狀態(tài)，得到能量的增量便 是相應的功量是相應的功量 方法方法 C C WE 如圖所示如圖所示,一質(zhì)量分布均勻的粗繩長一質(zhì)量分布均勻的粗繩長2a，質(zhì)量為，質(zhì)量為2m， 兩端懸于水平天花板上相距為兩端懸于水平天花板上相距為a的兩點而懸垂靜止，其重心位于的兩點而懸垂靜止，其重心位于 天花

18、板下方天花板下方b處處.現(xiàn)施一力于繩之最低點現(xiàn)施一力于繩之最低點C并將繩拉直至并將繩拉直至D點，求拉點，求拉 力所做的功力所做的功 D 3 cos30 24 a ha 3 22 4 p Emg bhmg ba 由幾何關(guān)系拉直后兩段繩的重心位置距天花由幾何關(guān)系拉直后兩段繩的重心位置距天花 重力勢能增加了重力勢能增加了 由功能原理，拉力功為由功能原理，拉力功為 3 2 4 p Wmg baE 由于拉力做功，使繩之重心高度變化因而重力勢由于拉力做功，使繩之重心高度變化因而重力勢 能變化，重力勢能的增量即為所求拉力功量能變化，重力勢能的增量即為所求拉力功量 C h h 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的皮球，從高為

19、的皮球，從高為h處自由下落（不計空氣處自由下落（不計空氣 阻力），反彈起來的高度為原來的阻力），反彈起來的高度為原來的3/4，要皮球反彈回，要皮球反彈回h高處，求高處，求 每次拍球需對球做的功每次拍球需對球做的功 在球與地面接觸期間，地面對球的彈力對球做負功，在球與地面接觸期間，地面對球的彈力對球做負功， 使球的動能減少地面對球的彈力功是變力功使球的動能減少地面對球的彈力功是變力功! ! 牛頓碰撞定律：牛頓碰撞定律：若兩球碰撞前速度依次為若兩球碰撞前速度依次為v10、v20，碰，碰 撞后速度為撞后速度為v1、v2，則碰撞后兩者的分離速度，則碰撞后兩者的分離速度v2 v1與與 碰撞前兩者的接近速

20、度碰撞前兩者的接近速度v20 v10成正比，比值成正比，比值e稱恢復稱恢復 系數(shù)（或反彈系數(shù)），比值由兩者的質(zhì)料決定，即系數(shù)（或反彈系數(shù)），比值由兩者的質(zhì)料決定，即 21 2010 vv e vv 從從h高度自由下落再反彈高度自由下落再反彈 的全過程的全過程,地面彈力功地面彈力功W1: 1 31 44 Wmghmghmgh 從從h高度拍下再反彈原高高度拍下再反彈原高 的全過程的全過程,地面彈力功地面彈力功W2: 2 WWmghmgWh 拍拍拍拍 續(xù)解續(xù)解 從從h高下落未速度即與地接近速度高下落未速度即與地接近速度: 2 1 2 mghmv 自自接接近近 由由 2vgh 自自接接近近 2 1 2

21、 Wmghmv 拍拍拍拍接接近近 由由 2 2 W gh m v 拍拍 拍拍接接近近 從地面反彈的起跳速度即與地分離速度從地面反彈的起跳速度即與地分離速度: 2 31 42 h mgmv 自自分分離離 由由 3 2 gh v 自自分分離離 2 1 2 mghmv 拍拍分分離離 由由2vgh 拍拍分分離離 同一球與同一地面碰撞同一球與同一地面碰撞,恢復系數(shù)相同恢復系數(shù)相同: v v v v e 自自接接近近 拍拍分分離離自自分分離離 拍拍接接近近 2 2 2 3 2 2 gh W gh h h g g m 拍拍 1 3 Wmgh 拍拍 如圖所示，有兩個薄壁圓筒半徑為如圖所示，有兩個薄壁圓筒半徑為

22、R的圓筒繞自己的軸以角的圓筒繞自己的軸以角 速度速度轉(zhuǎn)動，而另一個圓筒靜止使兩圓筒相接觸并且它們的轉(zhuǎn)軸平行，過一會兒，轉(zhuǎn)動，而另一個圓筒靜止使兩圓筒相接觸并且它們的轉(zhuǎn)軸平行，過一會兒， 由于摩擦兩圓筒開始作無滑動的轉(zhuǎn)動問有多少機械能轉(zhuǎn)換成內(nèi)能？（兩圓筒的由于摩擦兩圓筒開始作無滑動的轉(zhuǎn)動問有多少機械能轉(zhuǎn)換成內(nèi)能？（兩圓筒的 質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為m1、m2） m1 R m2 1 根據(jù)題意，一段時間內(nèi)根據(jù)題意，一段時間內(nèi)m1線速度從線速度從 R 1R,而而m2線速度從線速度從0 2r= 1R 這種變化是因為兩者間有大小這種變化是因為兩者間有大小 相等的一對力作用，這對力做功使相等的一對力作用，這對力

23、做功使 系統(tǒng)機械能系統(tǒng)機械能( (動能動能) )轉(zhuǎn)換成內(nèi)能轉(zhuǎn)換成內(nèi)能 ! ! 對系統(tǒng)對系統(tǒng),由動能定理由動能定理: 22 1121 11 22 QmRmmR 又又,由牛頓第二、三定律由牛頓第二、三定律,一對力大小相等一對力大小相等: 1 1 211122 RRR FmFm tt 1 1 1 2 m mm 2212 12 2 mm R mm 功是力的空間積累作用，能是對物體運動的一種量功是力的空間積累作用，能是對物體運動的一種量 度功的作用效應是使物體的能量狀態(tài)發(fā)生變化，做功度功的作用效應是使物體的能量狀態(tài)發(fā)生變化，做功 的過程就是物體能量轉(zhuǎn)化的過程，轉(zhuǎn)化了的能量都可以的過程就是物體能量轉(zhuǎn)化的過

24、程，轉(zhuǎn)化了的能量都可以 由做功的多少來量度，這是我們對功與能之間關(guān)系的基由做功的多少來量度，這是我們對功與能之間關(guān)系的基 本認識，是我們從能量角度解決運動問題的依據(jù)本認識，是我們從能量角度解決運動問題的依據(jù) 功能關(guān)系基本認識功能關(guān)系基本認識 功能關(guān)系的具體認識功能關(guān)系的具體認識 功能對應功能對應 規(guī)律規(guī)律 借助功與能的具體對應關(guān)系，對運借助功與能的具體對應關(guān)系，對運 動的功的量度問題作出正確的操作動的功的量度問題作出正確的操作. . 確定有哪些力對研究對象做了正功或負功，以代數(shù)確定有哪些力對研究對象做了正功或負功，以代數(shù) 和的形式完成定理中等號左邊對合外力的功的表述；和的形式完成定理中等號左邊

25、對合外力的功的表述； 分析所研究過程的初、未兩狀態(tài)的動能，完分析所研究過程的初、未兩狀態(tài)的動能，完 成等號右邊對動能變化的表述成等號右邊對動能變化的表述 ； 選定研究的對象與過程選定研究的對象與過程; 示例示例 0ktk WEE 0gpgpgt WEE 0Qpqpqt WEE 重力功量度重力勢能的變化：重力功量度重力勢能的變化： 外力外力（可以是重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力或其它可以是重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力或其它 力力）做的總功量度動能的變化：做的總功量度動能的變化： 彈力彈力功量度彈性勢能的變化：功量度彈性勢能的變化： 動能定理動能定理 引力引力功量度引力勢能的變化：功量度

26、引力勢能的變化： 0GpGpGt WEE 0t WEE 非非 非重力彈力功量度機械能的變化：非重力彈力功量度機械能的變化： 勢能定理勢能定理 功能原理功能原理 電場力功量度電勢能的變化：電場力功量度電勢能的變化： 0Qpepet WEE （W非 非可以是摩擦力功、電場力功、安培 可以是摩擦力功、電場力功、安培 力功或其它非重力、彈簧彈力的功力功或其它非重力、彈簧彈力的功） 返回返回 如圖示，一水塔的蓄水箱底離地面的高度如圖示，一水塔的蓄水箱底離地面的高度H0=20 m， 其橫斷面是半徑其橫斷面是半徑R=2 m的圓儲水深的圓儲水深h=1 m，如果用裝在高，如果用裝在高H1=5 m 處、截面積為處

27、、截面積為2 cm2的水龍頭放水，問需要多久才能將水放完？的水龍頭放水，問需要多久才能將水放完？ 11 nn i i iii Q tt Sv 根據(jù)題意，水箱中的水從底部截面積為根據(jù)題意，水箱中的水從底部截面積為S的的 小孔流出，若流速為小孔流出，若流速為vi，則時間，則時間ti內(nèi)的水流量內(nèi)的水流量 Qi= vi ti S；總儲水全部流盡的時間應為；總儲水全部流盡的時間應為 i Q 2 h R n i v 2 i gh i h 01 2 h gHhHi n 每層水放出時間的通項式為每層水放出時間的通項式為 2 01 2 R h n h gHhHiS n 2 1 01 lim 2 n n i R

28、h n t h g HhHiS n 全部水箱儲水放盡的總需時為全部水箱儲水放盡的總需時為 小孔流小孔流 速速 續(xù)解續(xù)解 1 i 2 n 2 1 01 11 lim 2 n n i R h n Sgh HhHi n 2 1 01 01 11 lim 2 1 n n i R h n Sg HhH h i n HhH 1 2 1 11 lim1 16 2 n n i i nn Sg 1 11 1xx x 1 111 lim1 216 2 n n i i nn Sg 2 1 11 1lim12 32 2 n n i n nSg 1 2 nn 1 1 64 2Sg 4 65 64 2 1020 3 3.

29、6 10 s 示例示例 查閱查閱 P0+P水 水 P0 設小孔處一小片厚設小孔處一小片厚x、面積面積S的液的液 片片, ,在內(nèi)外壓力之合力作用下獲得在內(nèi)外壓力之合力作用下獲得 速度速度v v而離開小孔，而離開小孔，由動能定理由動能定理: : 2 1 2 P SxSx v 水水水水 PgH 水水水水 2vgH P0 2 0 1 2 PP SxgH SxSx v 水水水水 2 0 1 2 P PgHv 水水水水 0 2 P P vgH 水水 返回返回 P P+P水 水 質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球以某一初速度豎直上拋，若運動中所的小球以某一初速度豎直上拋，若運動中所 受阻力受阻力Ff=kv2，最大阻力為重

30、力的，最大阻力為重力的0.44倍，試求小球上升的最大高度倍，試求小球上升的最大高度 H及落回拋出點時的速度及落回拋出點時的速度vt 本題通過元過程的動能定理本題通過元過程的動能定理, ,用微元法求得終解用微元法求得終解! ! 本題研究過程中有重力功與阻力功本題研究過程中有重力功與阻力功, ,其中阻力功其中阻力功 為耗散功為耗散功, ,且為一按指數(shù)規(guī)律變化的力且為一按指數(shù)規(guī)律變化的力! ! 1 lim1 x x e x 取上升過程中的某一元過程：該過程小球上升了高度H/n(n )，速度 從vi減少為vi+1，各元過程中的阻力可視為不變?yōu)?2 fii Fkv 2 ii Fmgkv 合外力 根據(jù)動能

31、定理，對該元過程有 即 222 1 1 2 iii H mgkvm vv n 對該式變形有 22 1 2 2 ii i mgkvmgkvkH nm mgkv 2 1i mgkv 22 1 2 2 ii i vvH nm m gkv 2 1 2 2 1 i i mgvkH nm mgkv 續(xù)解續(xù)解 2 1 2 2 1 i i mgkvkH nm mgkv 2 1 2 2 1 i i mgkvkH nm mgkv 由由知知 在各相同的上升高度在各相同的上升高度H/n微元中，合外微元中，合外 力大小成等比數(shù)列遞減、因而動能的增力大小成等比數(shù)列遞減、因而動能的增 量是成等比數(shù)列遞減的，其公比為量是成等

32、比數(shù)列遞減的，其公比為 則則 2 1 2 2 1 n n i i mgkvkH nm mgkv 2 22 1 nmkH kHmkH nm 對上式兩邊取極限: 2 2 2 1 2 2 limlim1 nmkH n kHm i nn i mgkvkH nm mgkv 0.44mg 0 2 1 1.44 kH m e ln1.44 2k H m 同理,對下落過程由 222 1 1 2 iii H mgkvm vv n 2 1 2 2 1 i i mgkvkH nm mgkv 對此式兩邊取n次方當n極限: 續(xù)解續(xù)解 2 2 2 1 2 2 limlim1 nmkH n kHm i nn i mgkvk

33、H nm mgkv 0 2 t kv 6 ln 5 m k 2 2 kH m t mg e mgkv 2 ln 2 t mmg H k mgkv 2 1.44 t mg mgkv 0.44 1.44 t mg v k 2 0 0.44vgkm 由題給條件 0 5 6 t vv 小球落回拋出點時的速度是拋出時速度的六分之五小球落回拋出點時的速度是拋出時速度的六分之五 查閱查閱 R 一質(zhì)點在光滑的固定半球面上距球心高度為一質(zhì)點在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任意的任意 點點P，在重力作用下由靜止開始往下滑，從，在重力作用下由靜止開始往下滑，從Q點離開球面，求點離開球面，求PQ兩兩 點的高度差點

34、的高度差h 本題除重力外無非保守力的功本題除重力外無非保守力的功, ,機械能守恒機械能守恒! ! 設球半徑為設球半徑為R R P Q H mg v h 由機械能守恒: 2 1 2 mghmv Q點動力學方程為: 2 sin v mgm R 由幾何關(guān)系: sin Hh R 3 h H 2HRmgh mg RR 若質(zhì)點從球頂部無初速滑下，則可沿球面滑下若質(zhì)點從球頂部無初速滑下，則可沿球面滑下R/3的高度，釋放高的高度，釋放高 度度H越小，沿球面滑下的高度越短這是一個有趣又有用的模型越小，沿球面滑下的高度越短這是一個有趣又有用的模型 x y 如圖甲所示，把質(zhì)量均為如圖甲所示，把質(zhì)量均為m的兩個小鋼球

35、用長為的兩個小鋼球用長為2L的線連接，的線連接， 放在光滑的水平面上在線的中央放在光滑的水平面上在線的中央O作用一個恒定的拉力，其大小為作用一個恒定的拉力，其大小為F，其方向沿，其方向沿 水平方向且與開始時連線的方向垂直，連線是非常柔軟且不會伸縮的，質(zhì)量可忽水平方向且與開始時連線的方向垂直，連線是非常柔軟且不會伸縮的，質(zhì)量可忽 略不計試求：當兩連線的張角為略不計試求：當兩連線的張角為2時，如圖乙所示，在與力時，如圖乙所示，在與力垂直的方向上垂直的方向上 鋼球所受的作用力是多少？鋼球第一次碰撞時，在與力鋼球所受的作用力是多少？鋼球第一次碰撞時，在與力垂直的方向上，鋼球垂直的方向上，鋼球 的對地速

36、度為多少？經(jīng)過若干次碰撞，最后兩個鋼球一直處于接觸狀態(tài)下運動，的對地速度為多少？經(jīng)過若干次碰撞，最后兩個鋼球一直處于接觸狀態(tài)下運動， 試求由于碰撞而失去的總能量為多少？試求由于碰撞而失去的總能量為多少？ O F O 甲甲 F 乙乙 在如示坐標中分解力在如示坐標中分解力F F F 在與在與F F垂直方向上線對鋼球的力大小為垂直方向上線對鋼球的力大小為 tan 2 y F F 設鋼球第一次碰撞時沿設鋼球第一次碰撞時沿F方向速度為方向速度為vx， 垂直于垂直于F方向速度為方向速度為vy，設力，設力F的位移為的位移為x， 由動能定理由動能定理 2222 1 2 2 xyxy Fxm vvmvmv 在x

37、方向上: 2 22 2 x v Fmam xL 2 x F xL v m y v FL m 達到終態(tài)時，兩球達到終態(tài)時，兩球vy=0=0，F(xiàn) F總位移總位移X，有，有 2 1 2 2 X FXmvE 2 2 F FXmXLE m FEL y F 軍訓中，戰(zhàn)士距墻軍訓中，戰(zhàn)士距墻S0以速度以速度v0起跳，如圖所示，再用腳蹬墻面起跳，如圖所示，再用腳蹬墻面 一次使身體變?yōu)樨Q直向上的運動以繼續(xù)升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為一次使身體變?yōu)樨Q直向上的運動以繼續(xù)升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為 求能使人體重心有最大總升高求能使人體重心有最大總升高Hmax的起跳角的起跳角 S0 v0 設抵達墻時戰(zhàn)士速

38、度為設抵達墻時戰(zhàn)士速度為v，蹬墻后速，蹬墻后速 度為度為v, ,各矢量間關(guān)系如示，各矢量間關(guān)系如示， v gt 1 tan v0 v v v 從起跳至上升至最高從起跳至上升至最高H H處，由機械能守恒處，由機械能守恒: : 22 10 1 2 mghm vv 2 2 1 2 mgh mv 222 0 2 H vvv g 22 2 00 cossinvvvgt 由矢量圖所示關(guān)系由矢量圖所示關(guān)系: : 00 cossinvvvgt 0 0 cos s t v 其其中中 2 2 00 1 sincos2 2 Hvgs g 2221 00 11 1costan2 2 vgs g 當當時時 1 1 ta

39、n 22 0 0max 1 2 v Hs g 質(zhì)量為質(zhì)量為M、長為、長為l的板放在冰面上，在板的一端坐著質(zhì)量為的板放在冰面上，在板的一端坐著質(zhì)量為m的的 小貓它要跳到板的另一端，問小貓對冰面的最小速度小貓它要跳到板的另一端，問小貓對冰面的最小速度v0min應為多少？小貓為使跳應為多少？小貓為使跳 到板的另一端所消耗的能量最少，到板的另一端所消耗的能量最少， 問它的初速度問它的初速度v0應該與水平面成多大角應該與水平面成多大角？ 貓消耗能量貓消耗能量E耗 耗， ，使貓及木板獲得初動能：使貓及木板獲得初動能： 22 0 11 22 EmvMV 耗耗 起跳時間t內(nèi)m與M間水平方向相互作用力大小相等，

40、故有 0 cosvV mM tt 0 cosm Vv M 貓從跳離板一端到落至板另一端歷時由豎直方向分運動得 0 2sinv t g 這段時間內(nèi)貓對板的位移應滿足 0 coslvV t 0 0 cos2sinMmv v Mg 2 0 2sincos Mgl v Mm 22 2 2 cos 2sincos mMgl V MMm mgl EMmM Mm cottan 4 耗耗 利用基本不利用基本不 等式性質(zhì)等式性質(zhì) ： 當當時時tan Mm M mglM m E M min 2 耗耗 如圖所示，厚度不計的圓環(huán)套在粗細均勻、長度為如圖所示，厚度不計的圓環(huán)套在粗細均勻、長度為L的棒的上端，的棒的上端，

41、 兩者質(zhì)量均為兩者質(zhì)量均為m，圓環(huán)與棒間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，大小為一常數(shù)，圓環(huán)與棒間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，大小為一常數(shù)， 為為kmg（k1）棒能沿光滑的豎直細桿）棒能沿光滑的豎直細桿AB上下滑動，棒與地碰撞時觸地時間極上下滑動，棒與地碰撞時觸地時間極 短，且無動能損失設棒從其下端距地高度為短，且無動能損失設棒從其下端距地高度為H處由靜止自由下落，與地經(jīng)處由靜止自由下落，與地經(jīng)n次碰次碰 撞后圓環(huán)從棒上脫落分析棒第二次碰地以前的過程中，環(huán)與棒的運動情況，求撞后圓環(huán)從棒上脫落分析棒第二次碰地以前的過程中，環(huán)與棒的運動情況，求 出棒與環(huán)剛達到相對靜止時，棒下端距地高度出棒與環(huán)剛達到

42、相對靜止時，棒下端距地高度h；求出；求出n、k、L、H四個量應滿四個量應滿 足的關(guān)系足的關(guān)系 由機械能守恒，棒第一次碰地以前速度由機械能守恒，棒第一次碰地以前速度 A B L H 2gH 棒與地相碰后瞬時速度大小不變、方向向上，棒與地相碰后瞬時速度大小不變、方向向上， 1kg 向向下下 2gH 1kmg 加速度為加速度為 環(huán)速度 2gH 2gH 環(huán)加速度 1kg 向向上上 mg kmg 棒與環(huán)相對初速度 2 2vgH 相相 向向下下相對加速度 2akg 相相 向向上上 棒與環(huán)相對靜止時棒與環(huán)相對靜止時 2 1 2 2 v H x ak 相相 相相 相相位位移移對對歷歷時時 2 2 v H t

43、ak g 相相 相相 環(huán)與棒的共同速度環(huán)與棒的共同速度 1 1 2 2VgHk gH gt k 從棒從地面向上到與環(huán)相對靜止的過程中，一對摩擦從棒從地面向上到與環(huán)相對靜止的過程中，一對摩擦 力做負功，重力分別對環(huán)、棒做負功，力做負功，重力分別對環(huán)、棒做負功，由動能定理：由動能定理： 2 2 111 11 222 22 kmg xmgh mg h xmVmgH 續(xù)解續(xù)解 2 1 h k H k 2 2 22211 222 22 gHHH kmgmghmg hmmgH kkk 棒與環(huán)一起以棒與環(huán)一起以V1自由下落自由下落h至第二次落地至第二次落地時速度仍由機械能守恒時速度仍由機械能守恒 22 12

44、2 2 1112 222 22 kgH mVmgHmvv k k 此后棒與環(huán)相對滑動 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 gH Hv x akkg k 相相 則若在碰則若在碰n次后環(huán)脫離棒，次后環(huán)脫離棒，n、k、L、H四個量應滿足的關(guān)系：四個量應滿足的關(guān)系： 23123 11111111 22 nn HLH kk kkkkkk 1 11 11 2 nn nnnn kLk Hkkkk 2 ii x H k 查閱查閱 鋼球沿著光滑的長梯彈跳，在每一級臺階上僅跳一次，如圖所鋼球沿著光滑的長梯彈跳，在每一級臺階上僅跳一次，如圖所 示每次與臺階碰撞時，球要損失示每次與臺階碰撞時，球要損失50的機

45、械能試求小球拋出時的初速度的機械能試求小球拋出時的初速度v 及其與豎直線的夾角及其與豎直線的夾角（梯子臺階的高度（梯子臺階的高度h10cm，寬，寬l20cm） l h 根據(jù)題意，第一次與平臺碰撞前后有 22 11 50% 22 mvmv 起起 2 2 vv 起起 v v v落 落 v起 起 v v 每次跳起到落到下一臺階的過程中,有 22 1 2 mghm vv 落落起起 22 11 50% 22 mvmv 落落起起 v起 起 v起 起 2 2vgh 起起 4vgh m m/ /s s2 v落 落 由水平方向的勻速運動得鋼球每一次飛行時間 sin l t v 落落 coscosvvgt 落落起

46、起 2 1 cos 2 hv tgt 起起 2 2cos20gtv th 落落 2 3tan4tan10 代入數(shù)據(jù)整理后得 1 1 tan 3 1 tan 1 另另 說明起跳速度說明起跳速度 變?yōu)樗剑優(yōu)樗?，?鋼球落在拐點鋼球落在拐點 情況外，應舍情況外，應舍 去此解去此解 取元功作微元，以功能原理為基本依據(jù)求取元功作微元，以功能原理為基本依據(jù)求 得一類物理問題解答的方法，我們稱之為得一類物理問題解答的方法，我們稱之為“元元 功法功法”. .這種解法所循基本原理是分析力學中這種解法所循基本原理是分析力學中 的的“虛功原理虛功原理”，由伯努利首先提出的用元，由伯努利首先提出的用元 功法可

47、以處理某些平衡問題，且頗為簡單功法可以處理某些平衡問題，且頗為簡單 元功法元功法 元功法處理平衡問題基本思路元功法處理平衡問題基本思路 取與原平衡狀態(tài)逼近的另一平衡狀態(tài)，從取與原平衡狀態(tài)逼近的另一平衡狀態(tài)，從 而虛設一個元過程，此過程中所有元功之和為而虛設一個元過程，此過程中所有元功之和為 零，以此為基本關(guān)系列出方程，通過極限處理，零，以此為基本關(guān)系列出方程，通過極限處理， 求得終解求得終解 如圖所示，質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)量為m、長度為、長度為l的均勻柔軟粗繩，的均勻柔軟粗繩， 穿過半徑穿過半徑R的滑輪，繩的兩端吊在天花板上的兩個釘子上，兩鉤間的滑輪，繩的兩端吊在天花板上的兩個釘子上，兩鉤間 距

48、離為距離為2R，滑輪軸上掛一重物，重物與滑輪總質(zhì)量為，滑輪軸上掛一重物，重物與滑輪總質(zhì)量為M，且相互間，且相互間 無摩擦，求繩上最低點無摩擦，求繩上最低點C處的張力處的張力 本題用元功法求解本題用元功法求解! ! 分析粗繩、滑輪和重物構(gòu)成的系統(tǒng)的受力情況分析粗繩、滑輪和重物構(gòu)成的系統(tǒng)的受力情況 AO C R B TA (M+m)g 1 2 A TmM g 分析繩之一半的受力情況分析繩之一半的受力情況 TC 設想在設想在A處以力處以力TA將將ABC段繩豎直向上拉過一極小距離段繩豎直向上拉過一極小距離x AA WTx CC WTx 2 mlR ExgR l 由功能原理由功能原理 1 22 c mlR mM gxTxxg R l lR R 2 2 2 c MlmR g l T x a b a b 如圖示，一輕三足支架每邊長度均為如圖示，一輕三足支架每邊長度均為l,每邊與豎直線成同一角度，每邊與豎直線成同一角度， 三足置于一光滑水平面上三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三