概率論多維隨機(jī)變量附其分布

1、第三章 多維隨機(jī)變量及其分布1 二維隨機(jī)變量定義 1 設(shè) E 是隨機(jī)試驗(yàn)，則由定義在 E 的樣板空間 上的隨機(jī)變量 X 與Y 構(gòu)成的有序?qū)?(X,Y)稱為 二維隨機(jī)變量 (或二維隨機(jī)向量 )。定義 2 對(duì)任意實(shí)數(shù) x,y ，二元函數(shù)F(x, y) P( X x) (Y y) PX x,Y y稱為二維隨機(jī)變量 ( X ,Y )的分布函數(shù) ，或稱為隨機(jī)變量 X 和Y 的聯(lián)合分布函數(shù) 。若把二維隨機(jī)變量 ( X ,Y)看成平面上隨機(jī)點(diǎn) ( X ,Y)的坐標(biāo)，則分布函數(shù) F(x,y) 就表 示隨機(jī)點(diǎn)落在以點(diǎn) (x,y) 為頂點(diǎn)的左下方的無限矩形域內(nèi)的概率。Px1 X x2,y1 Y y2 F(x2,y

2、2) F(x1,y2) F(x2,y1) F(x1,y1) 分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)：(1) 0 F(x,y) 1，且對(duì)任意固定的 y ， F( ,y) 0，對(duì)任意固定的 x， F(x, ) 0，F(xiàn)( , ) 0， F( , ) 1。(2) F(x,y)分別是 x和 y的不減函數(shù)。(3)F(x 0,y) F(x,y)，F(xiàn)(x,y 0) F(x,y)，即 F(x,y) 關(guān)于 x或 y均右連續(xù)。(4)若 x1 x2 ,y1 y2 ，則F(x2,y2) F(x1,y2) F(x2,y1) F(x1,y1) 0如果二維隨機(jī)變量 (X ,Y)可能取的值是有限對(duì)或可列無限對(duì)，則稱(X,Y) 是二維離散型隨

3、機(jī)變量。 (X,Y)的分布律或 X 和 Y的聯(lián)合分布律為PX xi ,Y y j pij ， i, j 1,2, 。其中 pij 滿足1 / 111) pij0;2)pij1。i 1 j 1X 和 Y 的聯(lián)合分布律也可用表格表示：Xx1x2y1p11p21y2p12p22yjp1jp2jxipi1pi2pijX 和 Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y) pij 。xi x y j y【例 1】吳書 p.66. 例 1。一箱子裝有 5件產(chǎn)品，其中 2件正品， 3 件次品每次從中取 1 件產(chǎn)品檢驗(yàn)質(zhì)量，不放 回地抽取，連續(xù)抽取兩次定義隨機(jī)變量 X 和 Y 如下：1 ，第一次取到次品1 ，第二次取到次品

4、XY0 ，第一次取到正品0 ，第二次取到正品試求 (X , Y)的分布律和分布函數(shù)。對(duì)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布函數(shù) F ( x, y) ，如果存在非負(fù)函數(shù) f (x,y)，使對(duì)任意的 x,y 有yxF(x,y)f (u, v) dudv則稱 (X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ， f (x,y)稱為 ( X , Y)的概率密度，或稱為 X 和Y的聯(lián)合概率密度。2 / 11f (x,y)具有性質(zhì)(1) f (x,y) 0。(2)f(x,y)dxdy 1。(3)設(shè) G是平面 xOy上的區(qū)域，則 (X,Y)落在 G內(nèi)的概率為P( X,Y) Gf(x,y)dxdy。G(4)若 f (x,y)在點(diǎn) (

5、 x, y)連續(xù)，則有F(x,y) f(x,y)。xy【例 2】吳書 p.67. 例 2。設(shè) G 是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為A。二維隨機(jī)變量 (X,Y)只在 G 中取值，并 且取 G中的每一個(gè)點(diǎn)都是 “等可能的 ”，則 ( X ,Y)的概率密度為(x,y) G1 f(x,y) A0稱其服從 G 上的 均勻分布?！纠?3】吳書 p.67. 例 3(盛書 p.62.例 2)。設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)具有概率密度2ef(x,y)(2x y)0x 0,y 01)求分布函數(shù) F ( x, y) ；(2)求概率 P X Y 2 邊緣分布二維隨機(jī)變量 ( X ,Y )作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù) F(

6、 x, y) 。而隨機(jī)變量 X 和Y各自 的分布函數(shù)， 分別記為 FX (x),FY ( y) ，依次稱為二維隨機(jī)變量 (X,Y)關(guān)于 X 和關(guān)于 Y的邊 緣分布函數(shù) 。邊緣分布函數(shù) FX(x),FY(y)可由分布函數(shù) F(x,y) 確定。FX (x) PX x PX x,Y F(x, )同理FY(y) F( ,y)3 / 11其中 F(x, ) lim F(x,y),F( ,y) lim F(x,y) 。 yx對(duì)于離散型隨機(jī)變量，由FX (x) F(x, )pijxi x j 1知X 的分布律為PX xipij pi ， i 1,2,j1同理 Y 的分布律為PY yjpijp j ， j 1

7、,2,i1分別稱 pi 和 p j為二維離散型隨機(jī)變量 (X,Y)關(guān)于 X 和關(guān)于Y的邊緣分布律。 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，由xFX(x) F(x, ) f (x,y)dy知X 的概率密度為fX (x)f (x, y)dy同理 Y 的概率密度為fY(y)f(x,y)dx分別稱 fX(x)和 fY ( y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X,Y)關(guān)于 X 和關(guān)于 Y的邊緣概率密度。例 1】設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 (X,Y) 的分布律為XY123111a824112b48且 P(X 1) 1 ，求( 1) a,b的值；(2)關(guān)于X 和關(guān)于Y 的邊緣分布律。2111 11解 (1)由 P(X 1) ，即 a ，得

8、 a 。2 824 23111 1111再由 a b1 ，得 a b ，最后得 b 。8244 8248(2)聯(lián)合分布律為 / 11XY12關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣分布律為X12P1122【例 2】吳書 p.70. 例 1。把兩封信隨機(jī)投入已編好號(hào)的1231118324111848Y123和171P41263個(gè)郵筒內(nèi)，設(shè) X 、Y 分別表示投入第 1，2個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目，求 (X,Y) 的分布律及邊緣分布律?！纠?3】吳書 p.70. 例 2。把 2 個(gè)紅球和 2 個(gè)白球隨機(jī)投入已編好號(hào)的3 個(gè)盒子內(nèi)，設(shè) X 表示落入第 1 個(gè)盒子內(nèi)紅球的數(shù)目， Y 表示落入第 2 個(gè)盒子內(nèi)白球的數(shù)目，求

9、 ( X ,Y )的分布律及邊緣分布律?！纠?4】吳書 p.71. 例 3(盛書 p.62.例 2)。設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域 G ( x,y)|0 x 1,x2 y x 上服從均勻分布，求邊緣概 率密度 fX (x)和 fY (y)。4 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量定義 設(shè)F(x,y)及 FX ( x), FY ( y)分別是二維隨機(jī)變量 ( X ,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布 函數(shù)。若對(duì)所有 x, y 有PX x,Y y PX x PY y即 F(x,y) FX (x) FY(y) 則稱隨機(jī)變量 X 與Y 是相互獨(dú)立 的。一般由邊緣分布不能確定聯(lián)合分布， 但當(dāng)隨機(jī)變量具有獨(dú)立性時(shí)， 聯(lián)合分布就可由邊緣 分布

10、確定。當(dāng) (X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量時(shí)， X 與Y 相互獨(dú)立的充分必要條件是PX xi,Y yj PX xi PY yj即pij pi p j ， (i 1,2, , j 1,2, ) 。當(dāng) (X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)， X 與Y 相互獨(dú)立的充分必要條件是5 / 11f(x,y) fX(x) fY(y) 。在 xOy 平面上幾乎處處成立?！纠?1】吳書 p.76. 例 1。設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 (X,Y) 的分布律如下表所示：X Y 1 2 3111169182131)問 , 取什么值時(shí)， X 與Y 相互獨(dú)立；2)對(duì)上述求得的 , ，求 ( X ,Y )的分布函數(shù) F(x,y) 。解

11、 (1) ( X ,Y )的分布律和邊緣分布律XY12pj1613123118pi131318由 X 與Y相互獨(dú)立，得1 ( )1，239991 ( 1 )1，13 18189( 2)關(guān)于 X 和關(guān)于Y 的邊緣分布律X12Y1212和11PP33239關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣分布函數(shù)y11y22y3y301FX (x) 13x11 x 2，x201FY (y) 5261(X , Y)的分布函數(shù)6 / 110165181 F(x,y) FX (x) FY (y)31x 1,or,y 11 x 2,1 y 21 x 2,2 y 31 x 2,y 3x 2,1 y 2x 2,2 y 3x 2,y

12、 3【例 2】吳書 p.77. 例 2(盛書 p.73.例)。一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在8 12 時(shí)，他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在 7 9 時(shí)設(shè)他們兩人到達(dá)的時(shí)間是相互獨(dú)立的，求他們到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過5分鐘( 1/12 小時(shí))的概率 定理 1 設(shè) X 和 Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， h(x) 和 g(y) 是 ( , ) 上的連續(xù)函數(shù)， 則 h(X) 和 g(Y) 也是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。定 理 2 設(shè) (X1,X 2, ,X m) 和 (Y1 , Y2 , ,Yn) 相互獨(dú) 立，則 Xi (i 1,2, ,m) 和Yj ( j 1,2, ,n) 相 互 獨(dú) 立 。 又

13、若 h 和 g 是 連 續(xù) 函 數(shù) ， 則 h(X1,X 2, ,X m) 和g(Y1,Y2, ,Yn ) 也相互獨(dú)立。5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一 . 兩個(gè)離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布律 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 (X,Y) 的分布律為PX xi ,Y y j pij (i 1,2, ,m；j 1,2, ,n) 。則 X,Y 的函數(shù) Z g(X,Y) 的分布律可按以下步驟計(jì)算：(1)計(jì)算 g(xi ,y j ) (i 1,2, ,m； j 1,2, ,n)，將其中互不相同的按由小到大次 序排列，設(shè)為 z1,z2, ,zl ；( 2)按以下公式計(jì)算 Z 取各個(gè) zk 的概率7 / 11P(Zzk

14、)pij (k 1,2, ,l)(i,j)|g(xi,y j) zk例 1】吳書 p.80. 例 1。設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布律為XY1000.10.210.30.110.10.2試求 Z X Y 的分布律。二 . 兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 僅討論以下幾個(gè)具體的函數(shù)。1) Z X Y 的分布設(shè) (X,Y) 的概率密度為f(x,y)，則 Z X Y 的分布函數(shù)為FZ (z) PZ zf (x, y) dxdy 。xyzZ 的概率密度為fZ(z)f(z y, y)dy或fZ (z)f(x,z x)dx。又若 X 與Y 相互獨(dú)立，則fZ (z) fX (z y) fY (y)dy或fZ

15、(z)fX (x) fY(z x)dx。【例 2】吳書 p.81. 例 2(盛書 p.76.例 1)。般，設(shè) X 與Y相互獨(dú)立，且 X N( 1, 12),Y N( 2, 22)，則Z X Y仍然服從正態(tài)分布，且有 Z N( 1 2 , 1222)【例 3】吳書 p.82. 例 3。設(shè)隨機(jī)變量 X,Y 相互獨(dú)立，其概率密度分別為1 0 x 1 fX (x) 0求 Z X Y 的概率密度。Y(2) Z和 Z XY的分布XfY (y)ey0y0Y和 XY 的概率密度分別為XfY/X(z) |x| f(x,xz)dx，1z1 zfXY(z) f (x, )dx f( ,x)dx | x|x|x| x

16、又若 X 與Y 相互獨(dú)立，則fY/X(z)|x| fX(x) fY ( xz)dx ，|x|fX(xz) fY(x)dx1zfXY(z)|1x|fX (x) fY(xz)dxY 的概率密度為【例 4】盛書 p.79. 例 4。 某公司提供一種保險(xiǎn)，保險(xiǎn)費(fèi)yy5f (y) 25e0y0保險(xiǎn)賠付 X 的概率密度為g(x)15e5x0x0Y設(shè) X 與Y相互獨(dú)立，求 Z 的概率密度。X【例 5】吳書 p.84. 例 4。設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)在矩形域 G ( x,y)|0 x 2,0 y 1上服從均勻分布， 試 求邊長為 X 和Y的矩形面積 S的概率密度 f (s)。1解 ( X ,Y)的概率密度

17、為 f(x,y) 2 0 x 2,0 y 101sS XY ， f(s) f(x, )dx|x| x1|x|f (x,s)x12|x|0s10 x 2,0 1x 2x00 x 2,0 s x當(dāng) s 0或 s 2時(shí)， f(s) 0dx 0；當(dāng) 0 s 2時(shí) / 111 s s 2 1 f (s) f (x, )dx 0dx dx 0dx|x| x s 2x 22 1 1dx (ln 2 ln s)s 2x 21(ln2 lns) 0 s 2 f(s) 203)M max X ,Y及 N min X,Y 的分布設(shè)隨機(jī)變量 X ,Y相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為 FX(x)和FY(y)。M max X ,Y 的 分布函數(shù)為Fmax (z) PM z PX z,Y z) PX z PY zFX (z)FY(z) 。N min X,Y 的分布函數(shù)為Fmin (z) PN z 1 PN z 1 PX z,Y z1 PX zPY z 1 1 FX (z)1 FY (z) 。例 6】設(shè)二維隨機(jī)變量 (X