數(shù)值計算報告講解

1、數(shù)值計算題目名稱數(shù)值計算學 院機電工程學院專業(yè)班級 13微電子制造2班學 號 3113000453姓 名肖鎧斌2016-12-30學習數(shù)值計算引論，應用MATLA編寫Gauss列主元消元法求解線性方程 組、多項式插值、Gauss積分方法、Euler方法求常微分方程初值問題、Newton 迭代法求非線性方程的程序。【關(guān)鍵詞】：Gauss列主元消元法求解線性方程組、多項式插值、Gauss 積分方法、Euler方法求常微分方程初值問題、Newt on迭代法求非線性方程目錄1 Gauss列主元消元法求解線性方程組錯誤！未定義書簽。1.1問題描述錯誤！未定義書簽。1.2計算程序錯誤！未定義書簽。1.3算

2、例22 Lagrange 多項式插值32.1問題描述32.2計算程序32.3算例33 Gauss積分方法 43.1 .問題描述43.2計算程序43.3算例44 Euler方法求常微分方程初值問題 54.1 .問題描述54.2計算程序44.3算例45Newton迭代法求非線性方程65.1 .冋題描述65.2計算程序65.3算例7參考文獻8B的秩，并作比較)生成全零矩陣%返回行向量丫和j ,y向量記錄abs(B(p:n,p)的每列的最大值，j向量記錄每列最大值的行號把矩陣B中第p行所有列的值全都賦給矩陣C交換A,b 第jk與第k行元素消元計算從n-1循環(huán)到1、編寫Gauss列主元消元法求解線性方程

3、組的程序，要求附有算例1 、問題描述：計算機中運算的時候常會碰到兩個問題。1 )一旦遇到某個主元等于0,消元過程便無法進行下去。2 )在長期使用中還發(fā)現(xiàn)，即使消元過程能進行下去，但是當某個 主元的絕對值很小時，求解出的結(jié)果與真實結(jié)果相差甚遠。2、程序：%輸岀的量：系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩RA,RB,方程組中未知量的個數(shù)n和有關(guān)方程組解及其解X的信息.fun ctionRA,RB, n, X=gaus(A,b)B=A b; n=le ngth(b);RA=ra nk(A);RB=ra nk(B);zhica=RB-RA;%求矩陣 A、if zhica0,disp( RA=RB，此方程組無解.)re

4、turnendif RA=RBif RA=ndisp( RA=RB=n，此方程組有唯一解 .X=zeros( n,1); C=zeros(1, n+1);%for p= 1:n-1Y,j=max(abs(B(p: n,p);C=B(p,:);%B(p,：)= B(j+p-1,:);B(j+p-1,：)=C；%fork=p+1: nm= B(k,p)/B(p,p);%B(k,p: n+1)= B(k,p: n+1)_m* B(p,p: n+1);endendb=B(1: n,n+1);A=B(1: n,1: n);X(n )=b( n)/A( n,n);for q=n-1:-1:1%X(q)=(

5、b(q)-sum(A(q,q+1: n)*X(q+1: n)/A(q,q); %回代計算endelsedisp(RA=RB A=5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6;b=8;21;1;RA,RB, n,X =gaus (A,b)RA=RB=n此方程組有唯一解RA =3RB =3n =3X =12-1二 編寫多項式插值的程序，要求附有算例1、問題描述：Lagrange差值法滿足插值條件的、次數(shù)不超過n的多項式是存在而且是唯一的。2、程序:fun cti onyy=lagra nge(x,y,xO) /xle n=len gth(x);/Xyle n=len gth(y);/yif xle n

6、=yle n定義拉格朗日差值函數(shù)向量的維數(shù)向量的維數(shù)war ning(The len gth of x and y is not equa l);/ 提示x.y維數(shù)不等endn=len gth(xO);for i=1: n /循環(huán)。從1到nz=x0(i);s=0.0;for k=1:xle np=1.0;for j=1:yle nif j=kp=p*(z-x(j)/(x(k)-x(j);endends=p*y(k)+s;endyy(i)=s;end3、算例：已知數(shù)據(jù)如下表，試用lagrange差值多項式求x分別為0.5626;0.5635;0.5645 時函數(shù)的近似值。X0.561600.56

7、2800.564010.56521yi0.827410.826590.825770.81495解：在命令窗口輸入執(zhí)行命令，可得結(jié)果: x=0.56160;0.56280;0.56401;0.56521;y=0.82741;0.82659;0.82577;0.81495;x0=0.5626;0.5635;0.5645;yO=lagra nge(x,y,x0)y0 = 0.82650.82680.8231 plot(x,y,o,x0,y0,k)得到圖形三編寫Gauss積分方法的程序，要求附有算例。1 、問題描述：被積分函數(shù)f( E, n , Z )一般是很復雜的，即使能 夠得出它的顯式，其積分也是

8、很繁的。因此，一般用數(shù)值積分來代替函數(shù)的定 積分。2 、程序：% f :積分表達式，可以是函數(shù)句柄、inline函數(shù)、匿名函數(shù)、字符串表達式，但是必須可以接受矢量輸入%a,b :積分上下限，注意積分區(qū)間太大會降低精度，此時建議使用復化求積公式，默認-1 1% n :積分階數(shù)，可以任意正整數(shù)，但是不建議設置過大，大不一定能得到更好的精度，默認7% tol :積分精度，默認 1e-6% ql :積分結(jié)果% Ak :求積系數(shù)% xk :求積節(jié)點，滿足 ql=sum(Ak.*fun(xk)fun cti onql,Ak,xk=guass(f,a,b ,n ,tol)if nargi n=1%輸入?yún)?shù)有

9、效性檢驗a=-1;b=1; n=7;tol=1e-8;elseif nargin=3n=7;tol=1e-8;elseifnargin=4tol=1e-8;elseifnargin=2|nargin5)；error( The Number of In put Argume nts Is Wrong! endsyms x%計算求積節(jié)點p=sym2poly(diff(xA2-1F( n+1), n+1)/(2A n*factorial( n); tk=roots(p);% 求積節(jié)點Ak=zeros( n+1,1);%計算求積系數(shù)for i=1: n+1xkt=tk;xkt(i)=;pn=poly(

10、xkt);fp=(x)polyval(p n, x)/polyval(p n,tk(i);Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol); end%求積系數(shù)xk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2;f=fcn chk(f,vectorizefx=f(xk)*(b-a)/2;ql=sum(Ak.*fx);% 積分變量代換，將a,b 變換到-1,1 );%檢驗積分函數(shù)fun有效性%計算變量代換之后積分函數(shù)的值%計算積分值3、算例，求1艾0cos(x)的值。編寫函數(shù)文件:Gaussf.mfun cti onf=gaussf(x)f=cos(x);End在命令窗口輸入： ql,Ak,xk=guas

11、s(gaussf, 0,1, 7, 1e-6) ql =0.8415Ak =0.10120.22240.10120.22240.31370.31370.36270.3627 xk =0.01990.10170.98010.89830.23720.76280.40830.5917四編寫Euler方法求常微分方程初值問題的程序，要求附有算例1、問題描述：歐拉法的特點：單步，顯式，一階求導精度，截斷誤差貳階2、程序：歐拉公式：廣yhfQyi)Euler.mfun cti onxx,yy=euler(f,a,b,y0,h)x=a:h:bn=len gth(x);y=zeros(1, n);y(1)=y

12、0;for i=1: n-1;y(i+1)=y(i)+h*feval(f,x(i),y(i);endxx=x;yy=y;plot(xx,yy, rp)xlabel(In depe ndent Variable x),ylabel( Depe ndent Variable y)ti tle(Solution of ODE with modified euler method)3、算例：用歐拉方法解初值問題2 2V =1y 0 乞 X 豈1hx y，取 h=0.1.y(0) =0解：建立函數(shù)文件myfu n.mfun cti onf=myfu n(x,y)f=1+xA2+yA2End在窗口輸入命令

13、：x y=euler(myfu n,0,1,0,0.1)x =00.10000.20000.30000.40000.50000.60000.70000.80000.90001.0000y =00.10000.20200.31010.42870.56310.71980.90761.13901.43271.8189所得圖形:改進后的歐拉公式% 廠 yi hfk y% 廠 Ef(x %)f(x1 %丿fun cti onxx,yy=euler(f,a,b,yO,h) x=a:h:b n=len gth(x);y=zeros(1, n);y(i)=y0;for i=1: n-1;yp=y(i)+h*f

14、eval(f,x(i),y(i); yc=y(i)+h*feval(f,x(i+1),yp); y(i+1)=(yp+yc)/2;end xx=x;yy=y;ey=-1./xplot(xx,yy, rp)嚴 Q-qEElllvPLJ2cl4A1.5fl-xlabel(In depe ndent Variable x),ylabel(Depe ndent Variable y)title(Solution of ODE with modified euler method)在窗口輸入命令：x y=euler(myfu n,0,1,0,0.1)x =00.10000.20000.30000.400

15、00.50000.60000.70000.80000.90001.0000y =00.10100.20610.31960.44690.59430.77100.98991.27191.6529 2.2020U figure 1F-|Ra|文林(E)爲窯舊 查看世)l&AW桌園助 菌口凹鼻W目 0Solution of ODE wrth mrodifed euler method2.5Qi e-0.10 203040 50 60.708091Independent VanaUe x五編寫Newt on迭代法求非線性方程的程序，要求附有算例1、問題描述：構(gòu)造迭代函數(shù)的一條重要途徑是用近似方程來代替原

16、方程去求根。因此，如果能將非線性方程 f x =0用線性方程去代替，那么， 求近似根問題就很容易解決，而且十分方便。牛頓(Newton)法就是一種將非線性 方程線化的一種方法、程序:Newto n.m%y=n ewt on(a,n,xO,nn, epsi)輸入變量：%a n+1元素的一維實數(shù)組，輸入?yún)?shù)，按升幕存放方程系數(shù)。%n整變量，輸入?yún)?shù)，方程階數(shù)。%x0實變量，輸入?yún)?shù)，初始迭代值。%nn整變量，輸入?yún)?shù)，允許的最大迭代次數(shù)。%eps1實變量，輸入?yún)?shù)，控制根的精度。fun cti ony=n ewt on(a,n,xO,nn, epsi)x(1)=x0;%初始向量b=1;i=1;while (abs(b)eps1*x(i)%abs(b)取模，判斷i=i+1;x(i)=x(i-1)-n_f(a, n,x(i-1)/n_df(a, n,x(i-1);%xx-J(xr1)fF(xiJ)b=x(i)-x(i-1);if (inn)error( nn is full);return ;endendy=x(i);i程序中調(diào)兩個子函數(shù)n_f.m和n_df.m文件如下：function y=n_f(a,n,x)%待求根的實數(shù)代數(shù)方程的函數(shù)y=0.0;fori=1:( n+1)y=y+a(i)*xA( n+1-i);endn _df.m:fu