高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)講義：第七章：解三角形

1、第七章解三角形一、基礎(chǔ)知識(shí)在本章中約定用a，b，c 分別表示 abc的三個(gè)內(nèi)角， a, b, c 分別表示它們所對(duì)的各邊長(zhǎng)，a bcp為半周長(zhǎng)。2abc1正弦定理：sin asin b=2r（ r 為 abc 外接圓半徑） 。sin c111推論 1： abc的面積為 sabc= ab sin c2bc sin aca sin b.22推論 2：在 abc中，有 bcosc+ccosb=a.推論 3：在 abc中， a+b=，解 a 滿足ab，則 a=a.sin(sin aa)正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1，由正1-a，所弦函數(shù)定義， bc邊上的高為

2、bsinc，所以 sabc= ab sin c ；再證推論 2，因?yàn)?b+c=2以 sin(b+c)=sina，即 sinbcosc+cosbsinc=sina，兩邊同乘以2r 得 bcosc+ccosb=a；再證推論 3，由正弦定理ab，所以 sin asin(a) ，即 sinasin( -a)=sin( -a)sina，等價(jià)于sin asin bsin asin(a)11-a-a)，等價(jià)于 cos( -a+a)=cos(-a+a)，cos(-a+a)-cos( -a-a)=cos( -a+a)-cos(22因?yàn)?0 -a+a，-a+a. 所以只有-a+a=-a+a，所以 a=a，得證。2

3、 22cos ab2c 2a2，下面用余弦定理證明幾個(gè)常用2余弦定理： a =b +c -2bccosa2bc的結(jié)論。（ 1 ） 斯 特 瓦 特 定 理 ： 在 abc 中 ， d 是bc 邊 上 任 意 一 點(diǎn) ， bd=p， dc=q， 則2b2 pc2 qpq.（1）ad =pq2222【證明】adb ，因?yàn)?c =ab =ad +bd -2ad bdcos所以 c2=ad2+p2-2ad pcosadb.同理 b2=ad2+q2-2ad qcosadc ，因?yàn)閍db+ adc=，所以 cosadb+cosadc=0，所以 q +p得2222b 2 pc 2 qpq.qc+pb =(p+

4、q)ad +pq(p+q) ，即ad=pq注：在（ 1）式中，若 p=q，則為中線長(zhǎng)公式ad2b22c 2a2.2（ 2） 海 倫 公 式 ： 因 為 s2abc1b2c2sin 2a=1b2 c2(1-cos 2a)=1b2c24441(b2c2a 2 ) 212-a2a2-(b-c)2=p(p-a)(p-b)(p-c).4b2 c2(b+c)16這里 pab c .2所以 s abc= p( pa)( pb)( pc).二、方法與例題1面積法。例 1（ 共 線 關(guān) 系 的 張 角 公 式 ） 如 圖 所 示 ， 從 o 點(diǎn) 發(fā) 出 的 三 條 射 線 滿 足poq,qor，另外 op，oq

5、，or 的長(zhǎng)分別為 u, w, v，這里 ， ， + (0,)，則 p， q， r 的共線的充要條件是sinsinsin() .uvw【證明】 p， q， r 共線s pqr0s opr s opq s orq1 uv sin (+)= 1 uwsin + 1 vwsin222sin()sinsinwu，得證。v2正弦定理的應(yīng)用。例 2如圖所示， abc內(nèi)有一點(diǎn) p，使得bpc-bac= cpa- cba= apb- acb。求證： ap bc=bpca=cp ab?！咀C明】過點(diǎn) p 作 pd bc， pe ac， pfab，垂足分別為 d， e， f，則 p， d，c， e；p，e，a，f；

6、p，d，b，f 三組四點(diǎn)共圓， 所以edf=pde+ pdf= pca+ pba= bpc- bac。由題設(shè)及bpc+cpa+apb=3600 可得bac+ cba+ acb=1800。所以bpc- bac=cpa- cba=apb-acb=600。所以0，同理0edf=60def=60 ，所以 def是正三角形。所以 de=ef=df，由正弦定理， cdsinacb=apsinbac=bpsin abc，兩邊同時(shí)乘以 abc的外接圓直徑2r，得 cp ba=apbc=bp ac，得證：例 3如圖所示， abc的各邊分別與兩圓o， o 相切，直線 gf與 de交于 p，求證：12pa bc?！?/p>

7、證明】延長(zhǎng) pa 交 gd 于 m，因?yàn)?o1gbc， o2dgmo1 aafbc，所以只需證ao2.mdae由正弦定理sin(ap1)af,paae，sinsin(2) sin所以 aesin1sin.afsin2sin另一方面，gmpm, mdpm，sinsin1 sinsin 2所以 gmsin2sin，mdsin1sin所以 gmaf ，所以 pa/o 1g，mdae即 pa bc，得證。3一個(gè)常用的代換： 在 abc中，記點(diǎn) a，b，c 到內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)分別為 x, y, z，則 a=y+z, b=z+x, c=x+y.例 4 在 abc中，求證： a2(b+c-a)+b2(c+a-

8、b)+c2(a+b-c) 3abc.【證明】令 a=y+z, b=z+x, c=x+y，則abc=(x+y)(y+z)(z+x)8xyyzzx =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.222所以 a (b+c-a)+b (c+a-b)+c (a+b-c) 3abc.例 5設(shè) a, b, c r+，且 abc+a+c=b，試求 p21213的最大值。a 2b2c 21【解】由題設(shè) bac ，令 a=tan, c=tan, b=tan ,1ac10121023 sin則 tan =tan(+), p=2sinsi

9、n(2+)+3cos33，3當(dāng)且僅當(dāng) += ， sin= 1 ，即 a=2, b2, c2時(shí)， pmax=10.23243例 6 在 abc中，若 a+b+c=1，求證 : a2+b2+c2+4abc 1 .2【證明】設(shè) a=sin2cos2, b=cos2cos2, c=sin2, 0,.2因?yàn)?a, b, c 為三邊長(zhǎng)，所以 c|a-b| ，2從而0,，所以 sin2|cos 2 cos2|.42222因?yàn)?1=(a+b+c)=a +b +c +2(ab+bc+ca),所以 a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab

10、(1-2c)=sin2cos2+sin2cos2 cos4 cos2= 1 1-cos22 +(1-cos22)cos4 cos24= 1 + 1 cos2(cos4 -cos22cos4-cos2)4 4 1 + 1 cos2(cos4 -sin4-cos2)= 1 .4442221所以 a+b +c +4abcb”是“ sinasinb”的 _ 條件 .6在 abc中， sina+cosa0, tana-sina1 ，則 abc為 _角三角形 .11三角形有一個(gè)角是 600，夾這個(gè)角的兩邊之比是 8： 5，內(nèi)切圓的面積是 12 ，求這個(gè)三角形的面積。12已知銳角 abc的外心為 d，過 a

11、，b， d 三點(diǎn)作圓，分別與 ac，bc相交于 m，n 兩點(diǎn)。求證： mnc 的外接圓半徑等于 abd 的外接圓半徑。13已知 abc中， sinc= sin asin b ，試判斷其形狀。cos acos b四、高考水平訓(xùn)練題1在 abc中，若 tana=1, tanb=1 ，且最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為1，則最短邊長(zhǎng)為 _.232已知 n n+，則以 3， 5， n 為三邊長(zhǎng)的鈍角三角形有_個(gè).3已知 p, q r+, p+q=1，比較大?。?psin2a+qsin2b_pqsin 2c.4在 abc中，若 sin2a+sin2b+sin2c=4sinasinbsinc，則 abc 為_ 角三角形 .5若

12、 a 為 abc 的內(nèi)角，比較大?。篶ot acot a _3.86若 abc滿足 acosa=bcosb，則 abc 的形狀為 _.7滿足 a=600， a= 6 , b=4 的三角形有 _個(gè) .8設(shè) 為三角形最小內(nèi)角，且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1，則 a 的取值范圍是_.2222d 的西南方向，正西方向，西偏北3009a， b， c 是一段筆直公路上的三點(diǎn)，分別在塔方向，且 ab=bc=1km，求塔與公路ac段的最近距離。10求方程 xy 1 yx1 xy 的實(shí)數(shù)解。11求證：1sin 2007.320五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1在 abc中， b2=ac，則 sinb

13、+cosb的取值范圍是 _.sin bcos a2 cosc，則 abc 的形狀為 _.2在 abc中，若cos a2 cos bsin c3 對(duì)任意的 abc， tcot acot bcot c-(cota+cotb+cotc) ，則 t 的最大值為222_.4在 abc中， sin a sin b sin c 的最大值為 _.25平面上有四個(gè)點(diǎn)a， b， c， d，其中 a， b 為定點(diǎn)， |ab|= 3， c， d|ad|=|dc|=|bc|=12 2 的取值范圍是 _.。記 s abd=s， sbcd=t，則 s +t6在 abc中，ac=bc，acb80 0，o 為 abc的一點(diǎn)，

14、oab100，為動(dòng)點(diǎn)，且0abo=30 ，則aco=_.7在 abc 中， abc，則乘積 cos a sinb cosc 的最大值為 _ ，最小6222值為 _.caa c8在 abc中，若 c-a 等于 ac 邊上的高 h，則 sincos=_.229如圖所示， m ，n 分別是 abc外接圓的弧 ab ， ac中點(diǎn)， p 為 bc上的動(dòng)點(diǎn)， pm 交 ab 于 q， pn 交 ac于 r， abc的內(nèi)心為 i，求證： q， i， r 三點(diǎn)共線。10如圖所示， p，q，r 分別是 abc 的邊 bc，ca，ab 上一點(diǎn)， 且 aq+ar=br+bp=cq+cp。求證： ab+bc+ca2（

15、 pq+qr+rp）。11在 abc 外作三個(gè)等腰三角形 bfc， adc， aeb，使bf=fc， cd=da，ae=eb，adc=2 bac， aeb=2abc， bfc=2 acb，并且 af，bd，ce交于一點(diǎn)， 試判斷 abc的形狀。六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1已知等腰 abc， ab=ac，一半圓以 bc的中點(diǎn)為圓心，且與兩腰ab 和 ac分別相切于點(diǎn) d 和 g， ef與半圓相切，交ab 于點(diǎn) e，交 ac 于點(diǎn) f，過 e 作 ab 的垂線，過 f 作 ac 的垂線，兩垂線相交于 p，作 pqbc，q 為垂足。求證： pqef，此處 = b。2 sin2設(shè)四邊形 abcd的對(duì)角線交

16、于點(diǎn) o，點(diǎn) m 和 n 分別是 ad 和 bc 的中點(diǎn)， 點(diǎn) h1，h2（不重合）分別是 aob 與 cod 的垂心，求證： h1h2 mn 。3已知 abc，其中bc 上有一點(diǎn)m ，且 abm 與 acm 的內(nèi)切圓大小相等，求證：amp( p a) ，此處 p1(a+b+c), a, b, c 分別為 abc對(duì)應(yīng)三邊之長(zhǎng)。204已知凸五邊形 abcde，其中 abc= aed=90 ， bac= ead， bd 與 ce交于點(diǎn) o，求證： ao be。5已知等腰梯形abcd，g 是對(duì)角線 bd 與 ac的交點(diǎn)，過點(diǎn)g 作 ef與上、下底平行，點(diǎn)e 和 f 分別在 ab 和 cd上，求證：afb=900 的充要條件是 ad+bc=cd。6ap，aq，ar，as是同一個(gè)圓中的四條弦， 已知 paq=qar= ras，求證：ar（ap+ar）=aq（aq+as）。222227已知一凸四邊形的邊長(zhǎng)依次為a, b, c, d，外接