數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用舉例 畢業(yè)論文

1、 （ 本科畢業(yè)論文本科畢業(yè)論文 學(xué)校代碼：學(xué)校代碼： 1012810128 學(xué)學(xué) 號(hào)：號(hào)： 200820905043200820905043 題題 目目： 數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面的一些應(yīng)用數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面的一些應(yīng)用 學(xué)學(xué)生生姓姓名名 ： 學(xué)學(xué) 院院 ： 理理 學(xué)學(xué) 院院 系系 別別： 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 系系 專專 業(yè)業(yè)： 信信 息息 與與 計(jì)計(jì) 算算 科科 學(xué)學(xué) 班班 級(jí)級(jí)： 信信 計(jì)計(jì)0 0 8 8 - - 2 2 指指導(dǎo)導(dǎo)教教師師 ： 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 摘摘 要要 在經(jīng)濟(jì)迅猛發(fā)展的今天，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用越來越重要，數(shù)學(xué)越來越被人們關(guān) 注并加以應(yīng)用，并產(chǎn)生了事半功倍的效果.不敢預(yù)測(cè)也不可能斷言，

2、在未來的經(jīng)濟(jì)學(xué) 理論研究中數(shù)學(xué)會(huì)占據(jù)統(tǒng)治地位，但是數(shù)學(xué)越來越滲透到經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中并且發(fā)揮著 越來越重要的作用已成為事實(shí).而且還應(yīng)當(dāng)說，經(jīng)濟(jì)學(xué)不僅應(yīng)用了數(shù)學(xué)，而且還會(huì)不 斷地應(yīng)用著數(shù)學(xué)中最新的成果.因?yàn)閿?shù)學(xué)家也在致力于解決能夠描述復(fù)雜現(xiàn)象的數(shù)學(xué).經(jīng) 濟(jì)學(xué)家與數(shù)學(xué)家的合作，將會(huì)推動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)的共同發(fā)展. 本文通過大量資料，采用研究總結(jié)與案例結(jié)合的方法，闡述了數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面的 應(yīng)用的應(yīng)用歷程以及數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面的重要應(yīng)用與出現(xiàn)的問題；探討了微分、積分、 導(dǎo)數(shù)等方面在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用，并論證了數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面作用，得出了未來數(shù)學(xué)將在 經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域起到的作用會(huì)越來越大. 關(guān)鍵詞：微分；積分；導(dǎo)數(shù)；經(jīng)濟(jì) 內(nèi)蒙古工業(yè)大

3、學(xué)本科畢業(yè)論文 目目 錄錄 引 言.1 第一章 數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用歷程及作用.2 1.1 數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用歷程.2 1.2 數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面重要的作用.3 1.2.1 早期數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面的重要作用.3 1.2.2 近代數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面重要的應(yīng)用.4 1.3 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)化下的走向.6 第二章 數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面的一些應(yīng)用.8 2.1 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用.8 2.1.1 導(dǎo)數(shù)的概念.8 2.1.2 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用.8 2.2 微分在經(jīng)濟(jì)方面的一些應(yīng)用.10 2.2.1 微分的概念.10 2.2.2 微分在經(jīng)濟(jì)方面的一些應(yīng)用.10 2.3 積分在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用.11 2.3.1 積分的概念.11

4、2.3.2 積分在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用.12 2.4 多元函數(shù)的應(yīng)用.20 2.4.1 多元函數(shù)的定義.20 2.4.2 多元函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.21 結(jié) 論.27 參考文獻(xiàn).28 謝 辭.29 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 1 引引 言言 隨著社會(huì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)相互促進(jìn)共同發(fā)展已被越來越多的人認(rèn)識(shí) 和接受.在現(xiàn)代信息社會(huì)，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)的結(jié)合日益密切，數(shù)學(xué)對(duì)經(jīng)濟(jì)研究的發(fā)展、 深化無論在過去、現(xiàn)在還是將來都起到不可忽視的作用，濫用數(shù)學(xué)和盲目摒棄 都不是可取之路，必須科學(xué)地、高水平地將數(shù)學(xué)應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)中，才能促進(jìn)經(jīng) 濟(jì)學(xué)的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展.無數(shù)經(jīng)濟(jì)問題需要數(shù)學(xué)來解決，包括經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)管理、決策優(yōu)化、 資源開發(fā)與環(huán)境保

5、護(hù)、信息處理和質(zhì)量控制、設(shè)計(jì)與制造和大型工程.在解決這 些問題中，高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)、微分、積分等數(shù)學(xué)知識(shí)起了重要作用.同時(shí)應(yīng)用 經(jīng)濟(jì)的發(fā)展又不斷向數(shù)學(xué)提出新的挑戰(zhàn).不敢預(yù)測(cè)也不可能斷言，在未來的經(jīng)濟(jì) 學(xué)理論研究中數(shù)學(xué)會(huì)占據(jù)統(tǒng)治地位，但是數(shù)學(xué)越來越滲透到經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中并且 發(fā)揮著越來越重要的作用已成為事實(shí).而且還應(yīng)當(dāng)說，經(jīng)濟(jì)學(xué)不僅應(yīng)用了數(shù)學(xué)， 而且還會(huì)不斷地應(yīng)用著數(shù)學(xué)中最新的成果.因?yàn)閿?shù)學(xué)家也在致力于解決能夠描述 復(fù)雜現(xiàn)象的數(shù)學(xué).經(jīng)濟(jì)學(xué)家與數(shù)學(xué)家的合作，將會(huì)推動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)的共同發(fā)展.我 們數(shù)學(xué)人應(yīng)努力投入到數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)的研究中，為國(guó)家經(jīng)濟(jì)做貢獻(xiàn). 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 2 第一章第一章 數(shù)學(xué)在

6、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用歷程及作用數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用歷程及作用 1.1 數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用歷程 最早應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決經(jīng)濟(jì)問題的，有資料證明可追溯到十七世紀(jì)后期， 當(dāng)時(shí)英國(guó)最著名的古典經(jīng)濟(jì)學(xué)創(chuàng)始人威廉配第(見圖一，william.petty， 16231687 年)在政治算術(shù)中提到“通過引入算術(shù)、量化等手段對(duì)經(jīng)濟(jì)結(jié) 構(gòu)和政治事件進(jìn)行分析，進(jìn)而得出英國(guó)有可能成為世界貿(mào)易霸主”的結(jié)論，這 是經(jīng)濟(jì)學(xué)家首次在在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法. 圖 1.1 威廉配第 之后，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用呈快速發(fā)展的趨勢(shì)，尤其是在近代以來，從 近年來諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的獲得者中可以看出這一結(jié)論.在獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)中 的經(jīng)濟(jì)學(xué)家中，他們的

7、論著中絕大多數(shù)都用到了數(shù)學(xué)工具，而一些獲獎(jiǎng)?wù)咚麄?本身就是出色的數(shù)學(xué)家，其它的也大多有著深厚的數(shù)學(xué)功底. 從威廉配第第一次將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)學(xué)中開始至今，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué) 中的應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大，越來越觸及更高層次的經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，從而促進(jìn)經(jīng)濟(jì)的發(fā) 展.這與人類認(rèn)識(shí)這個(gè)世界，改造這個(gè)世界的進(jìn)程是一致的. 十七世紀(jì)末到十九世紀(jì)初，經(jīng)濟(jì)研究中引入了數(shù)學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)者開始一點(diǎn)一 點(diǎn)嘗試與數(shù)學(xué)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)研究方法上的進(jìn)一步發(fā)展.這一期間的應(yīng)用一般以 初級(jí)數(shù)學(xué)為主，經(jīng)濟(jì)學(xué)家開始用初等函數(shù)構(gòu)建最普通、最基礎(chǔ)的模型視圖來解 決、發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)問題.此外，他們還通過曲線運(yùn)動(dòng)，表格，等式等形式來表達(dá)當(dāng)時(shí) 的經(jīng)濟(jì)變量.那時(shí)比較典型

8、的代表人物是弗朗斯瓦魁奈(francois quesnay16941774 ） ，李嘉圖（david ricardo17721823）和亞當(dāng)斯密 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 3 （adam smith，17231790 年）.他們通過自己的努力開創(chuàng)了將數(shù)學(xué)應(yīng)用到經(jīng) 濟(jì)學(xué)中的先河，這段時(shí)間被認(rèn)為是數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用的萌芽時(shí)期. 圖 1.2 李嘉圖 十九世紀(jì)二十年代到四十年代是數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用的形成時(shí)期.在這一階 段，經(jīng)濟(jì)學(xué)中開始廣泛地應(yīng)用高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)、概率論、微積分等.經(jīng)濟(jì)學(xué) 通過數(shù)學(xué)解決了一些實(shí)際問題的同時(shí)，開拓了新的研究領(lǐng)域，為一些新的研究 方法的誕生奠定了基礎(chǔ). 二十世紀(jì)四十年代開

9、始至今是數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用的廣泛發(fā)展時(shí)期.各領(lǐng)域 的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)研究中，產(chǎn)生了大量新的研究理論，出現(xiàn)了巨量的成果， 也因此衍生出其他很多學(xué)派.研究的問題從最初簡(jiǎn)單變?yōu)閺?fù)雜，復(fù)雜貼近于現(xiàn)實(shí).邊 際分析，回歸分析，博弈論分析，均衡分析、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型等都廣泛地被作為 解釋、研究經(jīng)濟(jì)問題的數(shù)學(xué)工具. 1.2 數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面重要的作用 1.2.1 早期數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面的重要作用早期數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面的重要作用 數(shù)學(xué)被譽(yù)為科學(xué)的皇冠，對(duì)人類改善世界，發(fā)明創(chuàng)造，自然科學(xué)的發(fā)展都 做出了重大貢獻(xiàn)，同樣，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中也起了非常重要的作用.從某種意 義上來說，是數(shù)學(xué)加快了經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展，無論是從古典經(jīng)濟(jì)相信古

10、典經(jīng)濟(jì)學(xué)的 轉(zhuǎn)變，還是從“邊際革命”到凱恩斯主義的轉(zhuǎn)變，都與數(shù)學(xué)的應(yīng)用有重要的關(guān) 系.早期數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的作用有著以下幾點(diǎn)： 1. 作為論證經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的重要工具.一個(gè)經(jīng)濟(jì)理論的產(chǎn)生，通常提出后 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 4 還要不斷地通過論證才能證明其價(jià)值性.數(shù)學(xué)有很強(qiáng)的邏輯性和推理性，用數(shù)學(xué) 可以對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論進(jìn)行推導(dǎo)，如果在數(shù)學(xué)上通不過，肯定其中存在一定的問題， 就需要再重新思考理論.這時(shí)可以通過數(shù)學(xué)文字來進(jìn)行論證，需要大量的篇幅， 但仍然沒有較強(qiáng)的說服力，如果借助數(shù)學(xué)方法，經(jīng)過數(shù)學(xué)論證的理論，就更容 易被接受.如凱恩斯（john maynard keynes18831946）的就業(yè)、利息

11、、貨 幣通論經(jīng)過凱恩斯學(xué)派的發(fā)展成為 is-lm 模型，間或了其中的推論過程，讓 結(jié)果更加直接、明顯.用數(shù)學(xué)方法雖然不是萬能的，但它可以至少保證經(jīng)濟(jì)理論 在邏輯上不出現(xiàn)錯(cuò)誤，有助于正確理論的產(chǎn)生. 2作為簡(jiǎn)單明了的表達(dá)工具.數(shù)學(xué)最直觀的特點(diǎn)就是簡(jiǎn)明扼要.如果用文字 的表達(dá)方式，由于不同的學(xué)者所使用的語言，翻譯時(shí)存在的障礙，表達(dá)上存在 的歧義，理解上的偏差等等都致使對(duì)研究成果造成誤解，曾經(jīng)就有一些學(xué)者因 為表達(dá)方式不當(dāng)使得他們的研究成果發(fā)表很長(zhǎng)一段時(shí)間后都得不到其他人的認(rèn) 可.而使用數(shù)學(xué)語言，可以簡(jiǎn)單明了的表達(dá)所要的思想.如宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)上的國(guó)民 收入可以簡(jiǎn)明的列為 y=c+i+g+(x-m),這樣

12、就可以用一個(gè)等式表明影響它的各個(gè) 變量，繼而研究各個(gè)變量的變化對(duì)總體的影響，通過這樣的方法，可以簡(jiǎn)化研 究時(shí)一些不必要的程序. 3. 提供量化的工具.傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)研究，通過用思辨式的議論方法得出結(jié)論， 這樣定性的分析只能提供大概、總括的估計(jì)，其中存在著眾多的不確定性，不 利于讓人信服，不利于政策的實(shí)施執(zhí)行，不利于具體問題的解決.二通過量化這 樣的思路，可以將那些看似雜亂無章的資料整理加工起來，綜合考察經(jīng)濟(jì)活動(dòng) 中的各個(gè)變量，進(jìn)而研究經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，探索經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中存在的規(guī)律.例如在微觀經(jīng) 濟(jì)學(xué)中的邊際、均衡等問題中，通過衡量就可以得出具體的數(shù)據(jù)，對(duì)時(shí)間有很 大的指導(dǎo)意義.另外還可以看到數(shù)學(xué)在金融產(chǎn)品，衍

13、生工具定價(jià)的問題中所起的 重大作用，就是量化所提供的強(qiáng)大功能. 1.2.2 近代數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面重要的應(yīng)用近代數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面重要的應(yīng)用 在現(xiàn)代信息社會(huì)，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)的結(jié)合日益密切，無數(shù)經(jīng)濟(jì)問題需要數(shù)學(xué)來 解決，經(jīng)濟(jì)的發(fā)展又不斷向數(shù)學(xué)提出新的挑戰(zhàn).博弈論大師、著名數(shù)學(xué)教授約 翰納什提出的“納什均衡”及其后續(xù)理論不僅影響了數(shù)學(xué)界，而且改變著整 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 5 個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)乃至整個(gè)社會(huì)科學(xué)的面貌.1994 年，約翰納什（johnf nash 1928） 教授因?yàn)閷?duì)“非合作博弈均衡分析以及對(duì)博弈論的貢獻(xiàn)，榮獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng). 世界經(jīng)濟(jì)體制在信息社會(huì)中正處于深刻的變革時(shí)期，數(shù)學(xué)已經(jīng)迎來了無限光明

14、 的前途.近代數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的作用有著以下幾點(diǎn)： 1應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)管理與決策優(yōu)化 在經(jīng)濟(jì)和管理中，預(yù)測(cè)非常重要.是管理資金投放、商品產(chǎn)銷、人員組織等 方面的決策依據(jù).經(jīng)濟(jì)的發(fā)展需要各種資源的優(yōu)化組合，需要抉擇目標(biāo)和抉擇經(jīng) 營(yíng)管理方式，在多種策略中選取其一以獲得最大利益.這要求數(shù)學(xué)的目標(biāo)函數(shù)達(dá) 到極大，目標(biāo)函數(shù)也可代表損失，于是要求它達(dá)到極小.這類問題往往化為求目 標(biāo)函數(shù)的條件極值或者化為變分問題.優(yōu)選法、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、最優(yōu)控 制等都致力于發(fā)展優(yōu)化問題. 2應(yīng)用于資源開發(fā)與環(huán)境保護(hù) 通過數(shù)學(xué)理論和萬法，可以分析人工地震的數(shù)據(jù)，以推斷地質(zhì)的構(gòu)造，為 探尋我國(guó)石油、天然氣的儲(chǔ)藏位置提供依據(jù).

15、運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)、fourier 分析、時(shí) 間序列分析等數(shù)學(xué)方法，我國(guó)成功地開發(fā)了具有先進(jìn)水平的地震數(shù)據(jù)處理系統(tǒng). 近年來還用波動(dòng)方程解的偏移疊加、逆散射等方法處理地震數(shù)據(jù)等.另外，建立 了一套地下水資源評(píng)價(jià)的理論和方法，取得了實(shí)際效益，并在農(nóng)田灌溉及理論 發(fā)展上得到許多成果.數(shù)學(xué)工作者對(duì)江、湖、河口的污染擴(kuò)散、土壤洗鹽等問題 成功地進(jìn)行了分析和模擬；對(duì)于城市的交通、管理自然條件和社會(huì)的容納力進(jìn) 行深入的發(fā)展預(yù)測(cè)和評(píng)價(jià). 3應(yīng)用于信息處理和質(zhì)量控制 電子商務(wù)已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要平臺(tái)，在信息通訊中運(yùn)用數(shù)學(xué)由來已久， 如傳統(tǒng)的編譯碼、濾波、呼喚排隊(duì)等.近年來，長(zhǎng)途電話網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、移動(dòng)通訊系 統(tǒng)、國(guó)際互

16、聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題更為可觀.目前，我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)原理，發(fā) 展了計(jì)算機(jī)指紋自動(dòng)識(shí)別，發(fā)展成功了新一代圖像數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)，發(fā)展成功了 計(jì)算機(jī)視覺，創(chuàng)造了從單幅圖像定量恢復(fù)三維形態(tài)的代數(shù)方法、應(yīng)用模式識(shí)別 和信息論，在時(shí)間序列和信號(hào)分析的發(fā)展中取得新的進(jìn)展.應(yīng)用代數(shù)編碼，使計(jì) 算機(jī)本身具有誤差檢測(cè)能力，提高了計(jì)算機(jī)的可靠性.提高產(chǎn)品質(zhì)量是國(guó)民經(jīng)濟(jì) 中的一個(gè)關(guān)鍵問題，針對(duì)工業(yè)系統(tǒng)性能可靠性要求，產(chǎn)生了可靠性抽樣檢查、 質(zhì)量控制等新的數(shù)學(xué)方法，收到了良好的效果. 4應(yīng)用于設(shè)計(jì)與制造和大型工程 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 6 數(shù)學(xué)在制造業(yè)中的應(yīng)用進(jìn)入了新階段.數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)密不可分， 數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)

17、技術(shù)成果可應(yīng)用于飛機(jī)、汽車、船體、機(jī)械模具、服裝、首飾等設(shè)計(jì). 可以運(yùn)用數(shù)學(xué)原理，對(duì)各項(xiàng)工程設(shè)計(jì)以周密的計(jì)算來提供精確的數(shù)據(jù)，大型工 程尤其如此.我國(guó)數(shù)學(xué)家設(shè)計(jì)了一批工程計(jì)算專用程序，在國(guó)家重點(diǎn)工程建設(shè)中 發(fā)揮了作用，如三峽水利工程是舉世關(guān)注的超大型工程，其中一個(gè)嚴(yán)重的施工 問題是大體積混凝土在凝結(jié)過程中化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)生的熱，它使得壩體產(chǎn)生不均勻 應(yīng)力甚至形成裂縫，危害大壩安全.以往的辦法是花大量財(cái)力進(jìn)行事后修補(bǔ).現(xiàn) 在我國(guó)已研制成可以動(dòng)態(tài)模擬混凝土施工過程中溫度、應(yīng)力和徐變的計(jì)算機(jī)軟 件.人們可用計(jì)算方法分析、比較各種施工方案以實(shí)現(xiàn)工程最優(yōu)化，還可用它來 對(duì)大型工程建成后的運(yùn)行進(jìn)行監(jiān)控和測(cè)算以保

18、障安全. 5應(yīng)用于農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì) 我國(guó)數(shù)學(xué)工作者在分析了我國(guó)傳統(tǒng)的生態(tài)農(nóng)業(yè)思想與人類開發(fā)關(guān)系等問題 之后，提出了一個(gè)生態(tài)農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展及整治的理論框架與行動(dòng)措施，建立了許 多數(shù)學(xué)模型.其中包括：一般水環(huán)境整治與擴(kuò)建水電能源的投入產(chǎn)出與經(jīng)濟(jì)系統(tǒng) 的優(yōu)化、林業(yè)開發(fā)與土地資源開發(fā)等優(yōu)化模型.同時(shí)，我國(guó)運(yùn)用數(shù)學(xué)、生物、化 學(xué)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展交叉的發(fā)展成果，建立了平原農(nóng)業(yè)資源配置的數(shù)學(xué)模型和資源配 置規(guī)劃.運(yùn)用線性規(guī)劃、對(duì)策論參數(shù)規(guī)劃等數(shù)學(xué)工具，建立了多地區(qū)的種植業(yè)和 畜牧業(yè)，制定最優(yōu)的結(jié)構(gòu)布局方案，采用模糊聚類分析方法，建立了水產(chǎn)業(yè)最 優(yōu)結(jié)構(gòu)的模型，為農(nóng)村剩余勞力提出了合理轉(zhuǎn)移方案. 1.3 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)化下的走向 數(shù)

19、學(xué)被廣泛地應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)研究中，使得經(jīng)濟(jì)學(xué)的領(lǐng)域不斷擴(kuò)大.經(jīng)濟(jì)理論更 加成熟和豐富，其成果也更具有可操作性和現(xiàn)實(shí)性，然而同時(shí)我們也須看到它 存在的不足和可能導(dǎo)致的不良現(xiàn)象，因此必須加以防范，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展. 首先，要辯證地看待數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的作用.既不要迷信它，也不要盲目地 加以否定.俗話說：“知其然亦知其所以然” ，既要明白它的優(yōu)越性，同時(shí)也要 看到它的不足，真正地做到取長(zhǎng)補(bǔ)短. 其次，要給予經(jīng)濟(jì)思想足夠的重視.經(jīng)濟(jì)思想決定經(jīng)濟(jì)研究大的原則方向， 對(duì)促進(jìn)研究的正確持續(xù)順利進(jìn)行有著重大意義，如果迷失大的原則方向，可能 導(dǎo)致研究的最終失敗. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 7 第三，簡(jiǎn)單、實(shí)用、科學(xué)原

20、則.在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，應(yīng)該明確它只是一個(gè) 工具，而該工具的作用就是讓經(jīng)濟(jì)研究變得簡(jiǎn)明、清晰、科學(xué).能用簡(jiǎn)短文字表 達(dá)的就使用文字表述清楚，需要借用數(shù)學(xué)形式的，要用簡(jiǎn)單科學(xué)的方式表達(dá)， 而不是為了現(xiàn)實(shí)理論的深?yuàn)W、追趕時(shí)髦而被動(dòng)地應(yīng)用，那樣會(huì)起到畫蛇添足的 作用. 第四，要善于學(xué)習(xí)先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法，并將其應(yīng)用到實(shí)踐當(dāng)中.數(shù)學(xué)作為經(jīng)濟(jì) 研究的重要工具，已經(jīng)產(chǎn)生了巨大的成就，這顯然是極大的生命力，而且也是 可行的.所以要認(rèn)真學(xué)習(xí)先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法，利用數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)密性，數(shù)學(xué)符號(hào)的 簡(jiǎn)明性，為解決經(jīng)濟(jì)問題，解釋經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象做好鋪墊. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 8 第二章第二章 數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方面的一些應(yīng)用數(shù)學(xué)在經(jīng)

21、濟(jì)方面的一些應(yīng)用 2.1 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 2.1.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 在經(jīng)濟(jì)和管理中，預(yù)測(cè)非常重要.是管理資金投放、商品產(chǎn)銷、人員組織等 方面的決策依據(jù).經(jīng)濟(jì)的發(fā)展需要各種資源的優(yōu)化組合，需要抉擇目標(biāo)和抉擇經(jīng) 營(yíng)管理方式，在多種策略中選取其一以獲得最大利益.這要求數(shù)學(xué)的目標(biāo)函數(shù)達(dá) 到極大，目標(biāo)函數(shù)也可代表損失，于是要求它達(dá)到極小.這類問題往往化為求目 標(biāo)函數(shù)的條件極值或者化為變分問題.優(yōu)選法、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、最優(yōu)控 制等都致力于發(fā)展優(yōu)化問題. 定義定義 2.12.1 設(shè)函數(shù) ，在附近有定義，對(duì)應(yīng)于自變量的任一該變量，( )yf x 0 xx 函數(shù)的該變量為 ，如果極限 00 (

22、)()yf xxf x 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx 存在，則此極限值就稱作函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（也叫微商）,記為，這( )f x 0 x 0 ()fx 時(shí)我們就說在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，或者說在點(diǎn)可導(dǎo).( )f x 0 x( )f x 0 x 函數(shù) 在 的導(dǎo)數(shù) 就是函數(shù) 在 的平)(xfy 0 x)( 0 x f )(xfy , 00 hxx 均變化率的極限，即函數(shù) 在 的變化率， 刻畫了當(dāng)自變量)(xfy 0 x)( 0 x f 在 有 1 個(gè)單位的改變時(shí)，函數(shù) 在 相應(yīng)地有 個(gè)單位 0 xy),( 21 qqrr )( 0 x f 的改變. 導(dǎo)數(shù)在很多實(shí)際中有應(yīng)用，利

23、用導(dǎo)數(shù)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的聯(lián)系，可以解決一些經(jīng)濟(jì) 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的實(shí)際問題. 2.1.2 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用 如果某公司生產(chǎn)某種商品的總成本函數(shù)為 ，其中 為該商品的)(xcc x 生產(chǎn)量， 為生產(chǎn) 個(gè)單位該商品的總成本，則導(dǎo)數(shù) 表示當(dāng)產(chǎn)量在 c)( 0 x c 有 1 個(gè)單位的改變時(shí)，該公司的總成本在 將會(huì)有 個(gè)單位的改變. 0 x)( 0 xc)( 0 x c 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 9 如果某公司生產(chǎn)某種商品的平均成本函數(shù) ，其中 為該商品的)(xcc x 生產(chǎn)量， 為生產(chǎn) 個(gè)單位該商品的平均成本，則導(dǎo)數(shù) 表示當(dāng)產(chǎn)量在cx)( 0 x c 有 1 個(gè)單位的改變時(shí)，該公司的平均成

24、本在 將會(huì)有 個(gè)單位的 0 x)( 0 xc)( 0 x c 改變. 如果某公司銷售某種商品的總收入函數(shù)為 ，其中 為該商品的)(xrr x 銷售量， 為銷售 個(gè)該商品的總收入，則導(dǎo)數(shù) 表示當(dāng)銷售量在 rx)( 0 x r 0 x 有 1 個(gè)單位的改變時(shí)，該公司的總收入在 將會(huì)有 個(gè)單位的改變.)( 0 xr)( 0 x r 例例 1 1 某公司某產(chǎn)品的日生產(chǎn)能力為 500 臺(tái)，某日產(chǎn)品的總成本 c（千元）是日 產(chǎn)量 x（臺(tái)）的函數(shù)： .求)5000(52400)(xxxxc （1）當(dāng)產(chǎn)量為 400 臺(tái)時(shí)的總成本； （2）當(dāng)產(chǎn)量為 400 臺(tái)時(shí)的平均成本； （3）當(dāng)產(chǎn)量為 400 臺(tái)時(shí)總成本的

25、變化率. 解 （1）當(dāng)產(chǎn)量為 400 臺(tái)時(shí)，總成本為 130040054002400)400(c （2）當(dāng)產(chǎn)量為 400 臺(tái)時(shí)，平均成本為 25. 3 400 1300 400 400 )400( ）（c c （3）因?yàn)?，所以當(dāng)產(chǎn)量為 400 2 1 ) 2 1 (5252400)( xxxxc）（ 臺(tái)時(shí)總成本的變化率為 125. 2400) 2 1 (52)400( 2 1 c 上式中， 表示當(dāng)日產(chǎn)量為 400 臺(tái)時(shí)，若再多生產(chǎn) 1 臺(tái)，總成125. 2)400(c 本將增加 2.125 千元. 例例 2 2 設(shè)某家具的需求函數(shù)為 ，其中 為家具的銷價(jià)格，單位為pq31200p 元， 為q

26、 2 0 ( )(0.00030.1220)800 x c xxxdx 32 0.00010.0620800 xxx 該家具的需求量，單位為件.求當(dāng)銷售量分別為件時(shí)總收入的變化率，并解釋所 得到的結(jié)果. 解 由需求函數(shù) ，得價(jià)格 pq31200 1 400 3 pq 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 10 總收入函數(shù)為 2 11 400400 33 rr qpqq qqq 2 12 (400)400 33 r qqqq 所以 2 450400450100 3 r 2 6004006000 3 r 2 (750)400750100 3 r 上述計(jì)算表明：當(dāng)家具的銷售量為 450 件時(shí)，再多銷售 1 件

27、家具，那么總 收入將增加 100 元；當(dāng)家具的銷售量為 600 件時(shí)，再多銷售 1 件家具，那么總 收入不會(huì)增加；當(dāng)家具的銷售量為 750 件時(shí)，再多銷售 1 件家具，總收入反而 減少 100 元. 2.2 微分在經(jīng)濟(jì)方面的一些應(yīng)用 2.2.1 微分的概念微分的概念 微分是數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的分支，其解法和理論已經(jīng)很完善，可以為分析 和求得方程的解（或數(shù)值解）提供足夠的方法，使得微分具有極大地普遍性、 有效性和非常豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵. 定義定義 2.22.2 設(shè)函數(shù)在的鄰域內(nèi)有定義，及在此區(qū)間內(nèi).( )yf xx 0 x 0 xx 如果函數(shù)的增量可表示為（其中 a 是不 00 ()()yf xxf

28、x ()ya xox 依賴于的常數(shù)） ，而是比高階的無窮小，那么稱函數(shù)在點(diǎn)是可xo xx( )f x 0 x 微的，且稱作幻術(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分，記作，即a x 0 xxdy dyx 當(dāng)充分小時(shí)，.利用此關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，這是微分的近似計(jì)算.xdyx 2.2.2 微分在經(jīng)濟(jì)方面的一些應(yīng)用微分在經(jīng)濟(jì)方面的一些應(yīng)用 例例 1 1 某種載重卡車行駛 500mile 路程的總成本（美元）是其平均速率( )c v 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 11 的函數(shù)(/ )v mile h 4500 ( )125c vv v 試求當(dāng)平均速率由 55 mile/h 增加到 58 mile/h 時(shí), 其總成本改

29、變量的 近似值. 解 55,58553vvdv 所以 55 2 45004500 ( )(1)|3(1) 31.46 3025 v cdcc v dv v 計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)平均速率由 55 mile/h 增加到 58 mile/h 時(shí), 其總成本將減 少 1.46 美元.這可以部分解釋許多獨(dú)立行使的載重卡車的平均速率會(huì)超過 55 mile/h（最高限速）的原因. 例例 2.2.某公司的廣告的支出（千元）與總銷售額（千元）之間的函數(shù)關(guān)系x( )s x 為如果該公司的廣告支出從 100000 32 ( )0.0020.6500 (0200),s xxxxx 元（）增加到 105000 元（） ，試

30、估計(jì)該公司銷售額的改變量.100 x 105x 解 即求銷售額的改變量的近似值， 所以 2 100100 ( )|( 0.0061.21)|5 xx sdss xdxxx ( 60 120 1) 5305 銷售額大約增加 305000 元. 2.3 積分在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用 2.3.1 積分的概念積分的概念 定義定義 2.32.3 若在某一區(qū)間上，則在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)叫做函 ( ) ( )f xf x( )f x 數(shù)的原函數(shù).( )f x 我們把函數(shù)的原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為該函數(shù)的不定積分. 定義定義 2.42.4 設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，在中任意插入若干個(gè)分( )f x, a b( , )a b

31、 點(diǎn) 011nn axxxxb 來劃分區(qū)間，并在每一個(gè)部分區(qū)間中任取一點(diǎn)，作和式個(gè)區(qū)間，(1,2, ) i inn 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 12 1 ( ) n ii i fx 其中，設(shè)為中的最大數(shù)，即 1iii xxx 1,2, ( )max i in x (1,2, ) i x in 1,2, ( )max i in x 當(dāng)時(shí)，如果和式的極限存在，且此極限值不依賴于的選擇，也不依賴( )0 與對(duì)區(qū)間的分法，就稱此極限值為在上的定積分，記作, a b, a b b a f x dx 即 1 lim( ) n b ii a i f x dxfx 2.3.2 積分在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用積分在數(shù)學(xué)方

32、面的應(yīng)用 隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)類問題顯得越來越重要. 在經(jīng)濟(jì)分析中，我們常用積分來求某經(jīng)濟(jì)總量及變動(dòng)值，并通過對(duì)經(jīng)濟(jì)總量變 動(dòng)值的綜合分析對(duì)比，對(duì)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)決策及時(shí)做出正確的調(diào)整.本文結(jié)合幾個(gè)經(jīng) 濟(jì)分析中的實(shí)際問題，談?wù)劧ǚe分在廣告策略，消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余，國(guó) 民收入分配及無窮積分在倉(cāng)庫(kù)供應(yīng)的訂貨分析中的應(yīng)用. 一需求函數(shù)和供給函數(shù) （1）設(shè)需求函數(shù)，其中是需求量，是價(jià)格，當(dāng)時(shí)，需求 ( )qq p qp0p 量最大.設(shè)最大需求量為，即. 0 q 0 (0)qq 若已知邊際需求函數(shù)為，則總需求函數(shù)為 ( ) q p( )q p ， ( )( )q pq p dp 其

33、中，積分常數(shù)可由條件確定. c0 (0)qq 也可由定積分求得需求函數(shù) . 0 0 ( )( ) p q pq p dpq （2）設(shè)供給函數(shù)，其中是供給量，是價(jià)格當(dāng)時(shí)，供給量 ( )qq p qp0p 為 0. 若已知邊際供給函數(shù)為，則供給函數(shù)為 ( ) q p( )q p ， ( )( )q pq p dp 其中，積分常數(shù)可由條件確定. c (0)0q 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 13 也可由定積分直接求出供給函數(shù) 0 ( )( ) p q pq p dp 例例 1 1 某企業(yè)每月銷售額是 10000 元，平均利潤(rùn)是銷售額的 10%.根據(jù)企業(yè)以往經(jīng) 驗(yàn)，廣告宣傳期間月銷售額的變化率近似地服從

34、增長(zhǎng)曲線（t 以月為 0.02 10000 t e 單位），企業(yè)現(xiàn)需決定是否舉行一次類似的總成本為 1300 元的廣告活動(dòng).按慣 例，對(duì)超過 1000 元的廣告活動(dòng)，若新增銷售額產(chǎn)生的利潤(rùn)超過廣告投資的 10%,則 決定做廣告.試問該企業(yè)按慣例是否應(yīng)該做此廣告？ 解 12 個(gè)月后總銷售額是當(dāng) t=12 時(shí)的定積分，即總銷售額為 （元） 0.02 12 0.02120.24 0 0 10000 10000500001135600 0.02 t t e edte 公司的利潤(rùn)是銷售額的 10%，故新增銷售產(chǎn)生的利 （元）135600 120000 10%1560 由于 1560 元是花費(fèi)了 1300

35、 元的廣告費(fèi)而得到的，因此，廣告所產(chǎn)生的實(shí) 際利潤(rùn)是 1560-1300=260（元），這表明盈利大于廣告成本的 10%，故企業(yè)應(yīng) 該做此廣告. 例例 2 2 已知某產(chǎn)品總成本關(guān)于產(chǎn)量的變化率為，( )4c qq()萬元/ 百臺(tái) ，求：固定成本為(0)2()c萬元 （1）總成本函數(shù)；( )c q （2）當(dāng)產(chǎn)量從 2 百臺(tái)增加到 4 百臺(tái)時(shí)，成本增加了多少？q 解 （1） 2 1 ( )( )(4)44, 2 c qc q dqq dqdqqdqqqc 由即代入上式得到，(0)2,c0,( )2qc q2c 所以成本函數(shù) 2 1 ( )42() 2 c qqq萬元 （3）當(dāng)產(chǎn)量從 2 百臺(tái)增加到

36、 4 百臺(tái)時(shí)，成本增加量為q 22 11 (4)(2)(4 44 )(4 22 )14 22 cc 故成本函數(shù)為，當(dāng)產(chǎn)量從 2 百臺(tái)增加到 4 百臺(tái)，成本增加 2 1 ( )42 2 c qqqq 了 14 萬元. 例例 3 3 某雜志目前的發(fā)行量為每周 3000 本，總編輯計(jì)劃從現(xiàn)在開始，雜志 周發(fā)t 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 14 行量的增長(zhǎng)率為（單位：本/周） ，求從現(xiàn)在起 75 周該雜志的發(fā)行量將是 2 3 45t 多少？ 解 設(shè)從現(xiàn)在起 周該雜志的發(fā)行量為，由已知可得 周發(fā)行量的增長(zhǎng)率t( )s tt 為 2 3 ( )45,(0)3000,s tts且 所以 2 3 ( )( )

37、(45)s ts t dttdt ， 33 55 3 4543 5 ttcttc 將，代入上式得到 (0)3000s3000c 故從現(xiàn)在起 周的發(fā)行量為 t 3 5 ( )433000s ttt 因此 3 5 (75)4 753 7530008925s 所以，從現(xiàn)在起 75 周的發(fā)行量為 8925 本. 例例 4 4 某商品需求量是價(jià)格的函數(shù)，最大需求量為 100，已知邊際需求為qp ，求需求量與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系. 30 ( ) 1 q p p 解 由求需求函數(shù)的不定積分公式可求得 30 ( )( )30ln(1) 1 q pq p dpdppc p 再由，代入上式，求得，所以需求量與價(jià)格的函數(shù)

38、關(guān)系是(0)100q100c ( )30ln(1) 100q pp 或者 由求需求函數(shù)的定積分公式可直接求得 0 00 30 ( )( )10030ln(1) 100 1 pp q pq p dpqdpp p 例例 5 5 某種名牌女士鞋價(jià)格（元）關(guān)于需求量（百雙）的變化率為，px 12 qqq 如果銷售量（百雙）時(shí)，每雙售價(jià)為 500 元，求這種名牌女士鞋的需求函3x 數(shù).( )p x 解 由已知可求出價(jià)格和需求量的函數(shù)關(guān)系px 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 15 3 22 2 3 2 2 11 22 22 2 250250 ( )( )(16)(16) 2 (16) 250 2250 (16

39、)250(16) 2 16 x p xp x dxdxxdx x xcxcc x 由已知時(shí)，代入上式422 2 2 22 qqc50p ，求得， 1 2 500250(169)c 450c 得到需求函數(shù)為 2 250 ( )450 16 p x x 顯然，價(jià)格越低，需求量越大，這與我們?nèi)粘Ｉ钕胛呛系? 例例 6 6 若上例中女士鞋單價(jià)（元）關(guān)于日供給量（百雙）的變化率為：px ，如果每雙的售價(jià)為 50 元時(shí)，供給量為 200 雙/天（） ，求 2 240 ( ) (5) x p x x 2x 這種名牌女士鞋的日供給函數(shù). 解 由已知可求出價(jià)格和供給量的函數(shù)關(guān)系px 2 2121 )(6)(7

40、4qqqq 當(dāng)時(shí)，代入上式得2x 50p ，求得 1200 50240ln3 3 c350240ln3c 所以 1200 ( )240ln |5|350240ln3 5 p xx x 整理得 |5|1200 ( )240ln350 35 x p x x 二總成本函數(shù) 設(shè)產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本為，固定成本為，則產(chǎn)量為時(shí)的總成q ( ) c q 0 cq 本函數(shù)由前面的邊際分析可得到 ， ( )( )c qc q dq 其中，積分常數(shù)可由條件確定.c 0 (0)cc 也可由定積分求出總成本函數(shù) 0 0 ( )( ) q c qc q dqc 其中，是固定成本，為可變成本. 0 c 0 ( ) q c

41、q dq 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 16 例例 7 7 如果某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的邊際成本為，固定成本， 0.02 ( )4 q c qe 0 80c 求總成本函數(shù). 解 由定積分求總成本的公式可得 0.02 0 00 0.020.02 0 ( )( )480 4 |80200120 0.02 qq q qqq c qc q dqcedq ee 例例 8 8 某跨國(guó)公司制造一種便捷式烤爐，生產(chǎn)這種烤爐的日邊際成本為 ，表示這種產(chǎn)品每天的生產(chǎn)量，生產(chǎn)這 2 ( )0.00030.1220()c xxx美元/ 臺(tái)x 種產(chǎn)品的固定成本為 800 美元/天. （1）求總成本函數(shù) （2）該公司生產(chǎn)該產(chǎn)品

42、為 300 臺(tái)/天時(shí)，總成本是多少？ （3）日產(chǎn)量由 200 臺(tái)變化到 300 臺(tái)時(shí)，公司的生產(chǎn)成本是多少？ 解 1 （1）由不定積分有 2 32 ( )( )(0.00030.1220) 0.00010.0620 c xc x dxxxdx xxxc 由已知有固定成本為，代入上式，得到，(0)800c800c 得總成本函數(shù)為 32 ( )0.00010.0620800c xxxx （2）由（1）求出的成本函數(shù)得到 32 (300)0.0001(300)0.06(300)20(300)8004100()c美元 （3）日產(chǎn)量從 200 臺(tái)變到 300 臺(tái)時(shí)，生產(chǎn)成本為 (300)(200)410

43、03200900()cc美元 解 2 （1）利用定積分有 2 0 32 ( )(0.00030.1220)800 0.00010.0620800 x c xxxdx xxx （2） 300 2 0 (300)(0)(0.00030.1220)3300ccxxdx 所以有 (300)3300(0)33008004100()cc美元 （3） 300300 2 200200 (300)(200)( )(0.00030.1220)ccc x dxxxdx 32300 200 (0.00010.0620 )|900()xxx美元 三總收入函數(shù) 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 17 設(shè)銷量為時(shí)的邊際收入，則銷

44、量為的總收入函數(shù)可由q ( ) r qq ( )( )r qr q dq 求得，其中積分常數(shù)由銷量為 0 時(shí)總收入為 0，即求出.也可由定積分(0)0r 的方法求得 0 ( )( ) q r qr q dq 例例 9 9 已知生產(chǎn)某產(chǎn)品單位時(shí)的邊際收入為（百元/單位） ，求生q ( ) 1002r qq 產(chǎn) 40 單位時(shí)的總收入及平均收入，并求再生產(chǎn) 20 個(gè)單位時(shí)所增加的總收入. 解 由定積分求總收入函數(shù)公式可得 00 22 0 ( )( )(1002 ) (100)|100 qq q r qr q dqq dq qqqq 所以生產(chǎn) 40 個(gè)單位時(shí)的收入為， 2 (40)100 404024

45、00()r百元 平均收入為 ， (40)2400 60(/) 4040 r 百元單位 如果再增加生產(chǎn) 20 個(gè)單位，則總收入增加為 22 (60)(100 6060 )(100 4040 )0rr（40） 可見，增加生產(chǎn)量，收入不一定會(huì)增加.如何安排生產(chǎn)，使收入最大化， 是值得重視的問題. 例例 1010 勞力士表公司的管理者證實(shí)，該公司每天銷售旅游手表的邊際收入函數(shù) 為其中是銷售量， ( ) 0.00912(/)r xx 單位：美元塊x （1）求出收入函數(shù) （2）求出需求函數(shù)（旅游手表銷售數(shù)量和銷售單價(jià)的關(guān)系） 解 （1）由定積分有 2 0 ( )( 0.00912)0.004512 x r

46、 xxdxxx （2）設(shè)銷售單價(jià)為，則有，p( )r xpx 又由（1）有， 2 ( )0.004512r xxx 所以 ， 2 0.004512pxxx 故所求需求函數(shù)為 ( )0.004512p xx 四利潤(rùn)函數(shù) 設(shè)某產(chǎn)品邊際收入為，邊際成本為，則邊際利潤(rùn) ( ) r q ( ) c q 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 18 ， ( )( )( )l qr qc q 所以有利潤(rùn) 0 00 0 00 00 00 ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) qq qq qq l qr qc qr q dqc q dqc r q dqc q dqc r qc q dqcl q

47、dqc 即有 ， 0 0 ( )( ) q l ql q dqc 其中，稱為銷售為時(shí)的毛利潤(rùn)，即沒有計(jì)算固定成本時(shí)的利潤(rùn). 0 ( ) q l q dq q 例例 1111 已知某產(chǎn)品的邊際收入，邊際成本固定成本 ( ) 252r qq ( ) 134c qq 為，求當(dāng)時(shí)的毛利潤(rùn)和純利潤(rùn). 0 10c 5q 解 由已知，得邊際利潤(rùn)， ( )( )( )122l qr qc qq 由求銷量為時(shí)毛利潤(rùn)的公式得到當(dāng)產(chǎn)量時(shí)的毛利潤(rùn)為q 0 ( ) q l q dq 5q ， 5 25 0 0 (122 )12|85q dqqq 又固定成本為，所以純利潤(rùn)為. 0 10c 85 1075 五已知邊際經(jīng)濟(jì)函

48、數(shù)，求該經(jīng)濟(jì)函數(shù)的增量 已知邊際經(jīng)濟(jì)函數(shù)，求其原經(jīng)濟(jì)函數(shù)當(dāng)自變量從變化到時(shí)原函( )f xxab 數(shù)相應(yīng)的增量： 由不定積分先求出原函數(shù) ，( )( )f xf x dx 則增量 .( )( )( )f xf bf a 由定積分可直接求得增量為 ( )( )( )( ) b a f xf bf af x dx 例例 1212 設(shè)某產(chǎn)品的生產(chǎn)是連續(xù)生產(chǎn)的，總產(chǎn)量是時(shí)間 的函數(shù)，如果總產(chǎn)量的qt 變化率為（單位：噸/日） ，求投產(chǎn)后從到這 27 天的總 9 2 324 ( ) t q te t 3t 30t 產(chǎn)量. 解 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 19 9 3030 2 33 9999 30 30

49、 303 3 3 0.33 324 (30)(3)( ) 3249 ()36|36() 9 36()20.043 t tt qqq t dte dt t e deee t ee 例例 1313 某種產(chǎn)品的銷售增長(zhǎng)率服從，式中 以年為單位，求前( )1340850 t f tet 5 年的總銷售量. 解 設(shè)銷售量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為，由已知有所以 ( )f t ( ) 1340850 t f te 5 0 55 0 (5)(0)(1340850) 1340850|58508505855.73 t t ffedt tee 六由邊際函數(shù)求最優(yōu)化問題 根據(jù)求函數(shù)極值的方法，下面我們討論經(jīng)濟(jì)中的一些最優(yōu)化問

50、題. 例例 1414 已知某商品的邊際成本為（萬元/臺(tái)） ，固定成本為 100 萬元， ( ) 2 q c q 又已知該商品的銷售收入函數(shù)為（萬元） ，求( )100r qq （1） 使利潤(rùn)最大的銷售量和最大利潤(rùn) （2）在獲得最大利潤(rùn)的銷售量的基礎(chǔ)上，再銷售 20 臺(tái)，利潤(rùn)將減少多少？ 解 （1）設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為，由已知有( )l q ， ( )( )( )(100 )100 22 qq l qr qc qq 令求得唯一駐點(diǎn) ( ) 0l q 200q 所以當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大 1 ( )0, 2 l q 200q 又 2 0 ( )( )100100 4 q q c qc q dq 故 2 ( )(

51、)( )100100 4 q l qr qc qq 所以最大利潤(rùn)為（萬元）(200)9900l 例例 1515 某精密機(jī)器公司在一個(gè)月的生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)全自動(dòng)電子閃光燈，估計(jì)邊 際利潤(rùn)函數(shù)為：-0.004+20（元/件） ，生產(chǎn)量是件，該公司生產(chǎn)和銷售這些xx 電子閃光燈的總成本是 16000 元.問為何值時(shí)，該公司在一個(gè)月內(nèi)的收入可達(dá)x 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 20 到最大？收入的最大值是多少？ 解解 設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為，由已知有( )l x 所以邊際收入函數(shù) =-0.004x+20,( )( )( )r xl xc x 由，得唯一駐點(diǎn)=5000.( )0r xx 又，所以當(dāng) x=5000 件時(shí)

52、，收入最大，最大收入為( )0.040rx )(50000| 20002.20004 . 0 )5000( 5000 0 5000 0 2 元xxdxxr 2.4 多元函數(shù)的應(yīng)用 2.4.1 多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義 定定義義 2 2. .5 5 設(shè)為一個(gè)非空的 元有序數(shù)組的集合，為某一確定的對(duì)應(yīng)規(guī)dnf 則.若對(duì)于每一個(gè)有序數(shù)組，通過對(duì)應(yīng)規(guī)則 f，都有唯一確 12, ( ,) n x xxd 定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)規(guī)則為定義在上的元函數(shù).記為yfdn ） ，. 變量稱為自變量；稱為 12, ( ,) n yf x xx 12, ( ,) n x xxd 12, , n x xxy 因

53、變量.當(dāng)時(shí)，為一元函數(shù)，記為;當(dāng)時(shí)，為二元函1n ( ),yf x xd2n 數(shù)，記為，二元及以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù) .( , ),( , )zf x yx yd 2.4.2 多元函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用多元函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 多元函數(shù)條件機(jī)制在不等式證明、物理、生產(chǎn)銷售、證券投資分析、多元 統(tǒng)計(jì)分析學(xué)里判別分析和組成分析等問題上都有廣泛的應(yīng)用. 到目前為止，我們所討論的函數(shù)都是關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù)，但在許多實(shí)際 應(yīng)用中，常常需要考慮兩個(gè)或兩個(gè)以上變量的函數(shù). 例如某公司生產(chǎn)銷售 a 型、b 型、c 型三種不同的紀(jì)念品，銷售一件相應(yīng)紀(jì) 念品的利潤(rùn)分別為 6 元、5 元、4 元，分別以、 表示相應(yīng)紀(jì)念品的銷售

54、xyz 量，則利潤(rùn)函數(shù)為 （元）654pxyz 就是三個(gè)變量的函數(shù).p 在生產(chǎn)中，產(chǎn)量與投入的勞動(dòng)q 力和資金之間有關(guān)系式lk ,16000)(,20004 . 0 )( xcxxl 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 21 ，qal k 其中，、為常數(shù).是兩個(gè)變量、的函數(shù)，該函數(shù)稱為0a00qlk 柯布(c.w.cobb)-道格拉斯(paulh.douglas)生產(chǎn)函數(shù). 某擴(kuò)音器制造生產(chǎn)的擴(kuò)音器系統(tǒng)既可以整套出售，也可以散件出售供消費(fèi) 者自己組裝使用.假設(shè)擴(kuò)音器系統(tǒng)整套、散件每周的需求量分別為套、套，xy 零售價(jià)分別為元/套、元/套，每周的需求方程為pq ， 11 300 48 pxy 13 24

55、0 88 qxy 則每周該公司的收入函數(shù)為 ,r x yxpyq 22 1113 300240 4888 131 300240 484 xxyyxy xyxyxy 就是兩個(gè)變量的函數(shù).,r x y 購(gòu)買大宗商品（如住房、汽車等） ，一般需要向銀行抵押貸款，按月償還. 一筆總額元的貸款， 年還清，年利率為 ，每月的還款額為atr （元） 12 , , 1211 12 t ar pfa r t r 這里是三個(gè)變量、 、 的函數(shù).例如一筆 90000 元的住房貸款，30 年還清，part 年利率，每月的還款額為10 （元） 360 90000 0.1 90000,0.1,30789.81 0.1 1

56、211 12 pf 考慮柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) qal k 假設(shè)資金保持不變，則產(chǎn)量可以看作是勞動(dòng)力的一元函數(shù)，由一元函數(shù)kql 求導(dǎo)公式，可得 1 l qalk 類似地，假設(shè)勞動(dòng)力保持不變，則產(chǎn)量可以看作是資金的一元函數(shù)，由lqk 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 22 一元函數(shù)求導(dǎo)公式，可得 1 k qal k 這種由一個(gè)變量變化、而其余變量保持不變所得到的倒數(shù)，稱為多元函數(shù)的偏 導(dǎo)數(shù). 例例 1 1 第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束后，某個(gè)國(guó)家在經(jīng)濟(jì)恢復(fù)時(shí)期的生產(chǎn)函數(shù)為 21 33 ,30fx yx y 其中為同期投入的勞動(dòng)力數(shù)量，為同期投入的資金數(shù)量.xy （1）試計(jì)算，； x f y f （2）當(dāng)某時(shí)刻

57、勞動(dòng)力投入 125（單位） 、資金投入為 27（單位）時(shí)，分別求關(guān) 于勞動(dòng)力、資金的邊際產(chǎn)量.并解釋所得到的結(jié)果. 解解 （1） 1 11 3 33 2 3020 3 x y fxy x 2 22 3 33 1 3010 3 y x fxy y （2）當(dāng)、時(shí)，125x 27y 1 3 27 (125,27)2012 125 x f 其含義表示：當(dāng)勞動(dòng)力投入 125（單位） 、資金投入為 27（單位）時(shí)，勞動(dòng)力再 增加投入一個(gè)單位，生產(chǎn)量將增加 12 個(gè)單位. 2 3 125250 (125,27)10 279 y f 其含義表示：當(dāng)勞動(dòng)力投入 125（單位） 、資金投入為 27（單位）時(shí)，資金

58、再增 加投入一個(gè)單位，生產(chǎn)量將增加個(gè)單位.所以在戰(zhàn)后恢復(fù)經(jīng)濟(jì)期間，增加資 250 9 金的投入可以更快速有效地增加生產(chǎn)，恢復(fù)經(jīng)濟(jì). 例例 2 某公司銷售一種新型節(jié)能產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備從國(guó)內(nèi)和國(guó)外兩種銷售方案中選擇 一種進(jìn)行銷售若只在國(guó)內(nèi)銷售，銷售價(jià)格 （元/件）與月銷量 （件）的函數(shù)yx 關(guān)系式為，成本為 20 元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣 1 150 100 yx 告費(fèi) 62500 元，設(shè)月利潤(rùn)為（元） w內(nèi) 若只在國(guó)外銷售，銷售價(jià)格為150 元/件，受各種不確定因素影響，成本為 a 元/件（為常數(shù)，） ，當(dāng)月銷量為 x（件）時(shí)，每月還需繳納a1040a 元的附加費(fèi)，設(shè)月利潤(rùn)為 w外（元）

59、 2 1 100 x 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文 23 （1）當(dāng) = 1000 時(shí)， = 元/件，w內(nèi) = 元；xy （2）分別求出 w內(nèi)，w外與 x 間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫 x 的取值范圍） ； （3）當(dāng)為何值時(shí)，在國(guó)內(nèi)銷售的月利潤(rùn)最大？若在國(guó)外銷售月利潤(rùn)的最x 大值與在國(guó)內(nèi)銷售月利潤(rùn)的最大值相同，求 a 的值； （4）如果某月要將 5000 件產(chǎn)品全部銷售完，請(qǐng)你通過分析幫公司決策， 選擇在國(guó)內(nèi)還是在國(guó)外銷售才能使所獲月利潤(rùn)較大？ 解（1）當(dāng)時(shí)，1000 x 2 2 1 150 100 1 1501040 100 140 yx a 1000 1 (150)2062500 100 1 (15

60、0) 100020 100062500 100 57500 wxxx 內(nèi) 1000 （2） 2 1 (150)2062500 100 1 13062500 100 wxxx xx 內(nèi) 2 1 (150) 100 wa xx 外 （3）由（2）可知 2 1 (6500)360000 100 wx 內(nèi) 所以當(dāng)時(shí)，在國(guó)內(nèi)銷售的月利潤(rùn)最大.6500 x 當(dāng)時(shí)，取最大值 360000.解得50 (150)xa 2 1 (150) 100 wa xx 外 30a （4）當(dāng)時(shí)，5000 x 2 1 (6500)360000337500 100 wx 內(nèi) 當(dāng)時(shí)，可解得337500w 外 32.5a 所以當(dāng)時(shí)，