第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的：1、理解并會用羅爾定理、拉格朗日 中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。2、理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo) 數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的 方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求 法及其簡單應(yīng)用。3、會用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹 凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、 鉛直和斜漸近線， 會描繪函數(shù)的圖形4、掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。5、知道曲率和曲率半徑的概念，會 計算曲率和曲率半徑。6、知道方程近似解的二分法及切線性。教學(xué)重點：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求 函數(shù)極值的方法；3、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛必達法則

2、。教學(xué)難點：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用；2、極值的判斷方法；3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪； 4、洛必達法則的靈活運用第一節(jié)中值定理、羅爾定理（Rollo法165217佃）1 .定理 f x在a,b上連續(xù) f x在a,b內(nèi)可導(dǎo) f a = f b則至少a,b s.t f = 0注： f x在a,b上連續(xù)一連續(xù)曲 線，且在端點左、右連續(xù)。 f x在a,b內(nèi)可導(dǎo)一曲線光 滑且曲線上每一點有不垂直于 x軸 的切線 f a = f b則至少 a,b s.t f = 0弧上至少存在一點切線的斜率為0即切線平行于x軸2. 幾何意義如果連續(xù)光滑曲線在兩端點處的 縱 坐標(biāo)相等，那么曲線上至少有一點

3、的 切線平行于X軸例1 f x = x2 _ 2x_ 3，驗證羅爾 定理的正確性。注：確定區(qū)間的端點a,b使fa= fb ，一般就是方程2f x = x2x3= 0的根。例2不求導(dǎo)數(shù)，判斷fx = x1x2x3 的導(dǎo)數(shù)有幾個實根，以及其所在范圍。二階 導(dǎo)數(shù)有幾個實根？f:x在1, 2上滿足Rollo中值定一至少1, 2 S.t f = 03. 注：三條件缺一不可，但反之未必成立。P1241、拉格朗日中值定理（Lagrange法，17361813)1. 定理 f x在a,b上連續(xù) f x在a,b內(nèi)可導(dǎo)a,bSt=f b f a ba注:則至少a,b s.t f = 0弧上至少存在一點切線平行于割

4、線AB2. 幾何意義3. 重要推論 在a,b內(nèi)，f x 0在a,b內(nèi) 在a,b內(nèi)，f x = g xa,b）內(nèi)，f（x）= g X+ c例（補充1）（920306）（利用中值定理 證明恒等式）當(dāng) xT 時， 求證：丄12x narcta nxarccos 2 =21+ x24A x -例 1 f x = sin x,2，求_的值使Lagrange公式成立例2證明不等式arctan x2 arctanxx2 x1xx2例(補充 2) (910406)證明：當(dāng)0時，求證:ln 1例（補充3）（利用中值定理求極限）設(shè) lim f x = k設(shè) xlim f x a f x 求x J4. Lagran

5、ge定理的其它形式：f b f a = f b aa,bf x xf X = f XX x(0 1)5. Rollo定理與Lagrange定理的關(guān)6. Lagrange定理的物理意義（補充） f b f a 在時間ba內(nèi)走過的距離f b f a . b a在時間ba內(nèi)的平均速度 f )在上=時刻的瞬時速度 Lagrange定理的物理意義：在 b a這段時間內(nèi)，至少有一時刻 ， 在該時刻的瞬時速度=這段時間的平 均速度。二、柯西定理(Cauchy 法 17891857 )1定理f x ,g x在a,b上連續(xù)f x ,g x在a,b內(nèi)可導(dǎo) g x o則至少a,bf b f ag g b g a四、