高中數(shù)學(xué)題型全面歸納圓的方程40改

1、第三節(jié)圓的方程考綱解讀1.掌握確定圓的三個條件、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)所給條件選取適當(dāng)?shù)姆匠绦问剑么ㄏ禂?shù)法求出圓的方程，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)解與圓有關(guān)的問題.命題趨勢探究高考中與圓有關(guān)的問題主要是圓的方程的求解，四種方程中標(biāo)準(zhǔn)方程是運用最廣泛的，因為它能反映圓的幾何特征（圓心和半徑），通常用待定系數(shù)法求圓的方程.有關(guān)圓的考題，多在選擇題、填空題中結(jié)合參數(shù)方程、極坐標(biāo)的形式出現(xiàn)，重點考查標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，難度不大，有時也將圓融入圓錐曲線中作為解答題考查.預(yù)測 2019 年高考本專題會主要考查：（ 1）結(jié)合直線方程，用待定系數(shù)法求圓的方程.（ 2）利用圓的幾何性質(zhì)求動點的軌跡方程.

2、知識點精講一、基本概念平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓.二、基本性質(zhì)、定理與公式1.圓的四種方程（ 1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa) 2( yb) 2r 2 ，圓心坐標(biāo)為(a,b)，半徑為 r ( r 0)（ 2）圓的一般方程：x 2y 2DxEyF 0(D2E 24F 0) ，圓心坐標(biāo)為D ,E ，半徑 rD 2E 24F222（ 3）圓的直徑式方程：若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，則以線段AB 為直徑的圓的方程是( xx1 )( xx2 )( yy1 )( yy2 )0（ 4）圓的參數(shù)方程： x 2y2r 2 (r0)xr cos的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；

3、yr sin()2()22(xar cos0) 的參數(shù)方程為（為參數(shù)） .xaybrrybr sin注對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點的坐標(biāo)設(shè)為(ar c o s , br s i n ) （為參數(shù)， (a,b)為圓心， r 為半徑），以減少變量的個數(shù)，建立三角函數(shù)式， 從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.2.點與圓的位置關(guān)系判斷（ 1）點 P(x0 , y0 ) 與圓 ( x a) 2( y b) 2r 2的位置關(guān)系： ( xa) 2( yb) 2r 2點 P 在圓外； ( xa) 2( yb) 2r 2點 P 在圓上； ( xa) 2(

4、 yb) 2r 2點 P在圓內(nèi) .（ 2）點 P(x0 , y0 ) 與圓 x 2y 2Dx Ey F 0的位置關(guān)系： x02y02Dx0Ey0F0 x02y02Dx0Ey0F0 x02y02Dx0Ey0F0題型歸納及思路提示點 P 在圓外；點 P 在圓上；點P在圓內(nèi).題型 125 求圓的方程思路提示（ 1）求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(biāo) (a,b)和半徑 r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點.因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法.（ 2）用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長

5、的一半構(gòu)成直角三角形等.例 9.17 根據(jù)下列條件求圓的方程：（ 1） ABC 的三個頂點分別為 A(-1,5), B(-2,-2), C(5,5),求其外接圓的方程；（ 2）經(jīng)過點 A(6,5), B(0,1), 且圓心在直線 3x+10y+9=0 上；（ 3）經(jīng)過點P(-2,4), Q(3,-1),且在 x 軸上截得的弦長等于6.變式 1 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線 yx26x 1與坐標(biāo)軸的交點都在圓C 上，求圓 C的方程例 9.18(1)(2016 天津 ) 已知圓C的圓心在 x 軸的正半軸上， 點 M (0，5) 在圓 C上，且圓心到直線 2x y0 的距離為 45 ，則圓 C的

6、方程為 _ 522x y 1 的三個頂點，且圓心在x 軸的正半軸上，則(2)(2015 課標(biāo)全國 )一個圓經(jīng)過橢圓 164該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_變式 1 求與 x 軸相切，圓心在直線3x-y=0 上，且被直線x-y=0 截得的弦長為2 7 的圓的方程例 9.19 圓 x2y 22x 1 0關(guān)于直線2x-y+3=0 對稱的圓的方程是（）A. ( x 3) 2( y 2) 21B. ( x 3) 2( y 2)2122C. ( x 3) 2( y 2) 22D. ( x 3) 2( y 2)22變式1若不同兩點P,Q的坐標(biāo)分別為，( a, b), (3b,3a),則線段PQ的垂直平分線l 的斜率為 _

7、，圓(x2)2( y3) 21 關(guān)于直線l 對稱的圓的方程為_題型 126直線系方程和圓系方程思路提示求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程 （圓系方程） 一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）.（ 1）直線系方程： 若直線 l1 : A1 xB1 yC10 與直線l 2 : A2 xB2 yC20 相交于點P，則過點P的直線系方程為：1 ( A1x B1 y C1 )2 ( A2 x B2 y C2 ) 0 (220)12簡記為：1l12 l20(220)12當(dāng)1 0 時，簡記為：l 1l20 （不含 l 2 ）（2）圓系方程：若圓C1 : x2y 2D1 xE1

8、 y F1 0 與 圓C2 : x2y 2D2 xE2 yF20 相交于 A,B兩點，則過A,B兩點的圓系方程為：x2y 2D1x E1 y F1( x2y 2D2 x E2 y F2 ) 0(1)簡記為： C1C2 0(1) ，不含 C2當(dāng)1時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）l : (D1D2 ) x (E1E2 ) y F1F20注 與圓 C 共根軸 l 的圓系 C: Cl0例 9.20（1）設(shè)直線 l 1 : xy 10與直線 l2 : 2x y20 相交于點 P,求過點 P 且與直線 l3 : 2x3y 1 0 平行的直線 l 4 的方程 .（ 2）求圓心在直線 3x4 y10 上

9、且過兩圓 x2y2x y 2 0 與 x2y25的交點的圓的方程 .變式1 過直線 2xy40 和圓 x 2y22 x4 y10 的交點且面積最小的圓的方程是_變式 2 （1）設(shè)直線 l1 : xy0 與直線 l2 : xy 4 0 相交于點 P，求過點 P 且與直線l 3 : 3x 4y 5 0 垂直的直線l 4 的方程 .（ 2）已知圓 C : x 2y22x 4 y m0 ，若直線 l : x y 2 0 與圓 C 相交于 A,B兩點，且 OAOB （O 為坐標(biāo)原點），求 m 的值和以 AB 為直徑的圓的方程.題型 127 與圓有關(guān)的軌跡問題思路提示要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點

10、的橫縱坐標(biāo)x,y 的等量關(guān)系，根據(jù)題目條件，直接找到或轉(zhuǎn)化得到與動點有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在.例 9.21(2016 天津模擬 ) 設(shè)定點 M( 3,4) ，動點N在圓 x2 y2 4 上運動，以O(shè)M、 ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點 P的軌跡變式 1 在ABC 中，若 AB2, AC2BC ，則 S ABC 的最大值為 _例 9.22 如圖 9-11 所示，已知P(4,0)是圓 x 2y2 36 內(nèi)的一點， A,B 是圓上兩動點，且滿足APB90 ，求矩形 APBQ 的頂點 Q 的軌跡方程變式 1 已知圓 x2y24上一定點 A(2,0), B(1,1) 為圓內(nèi)的一定點

11、，P，Q 為圓上的動點 .（ 1）求線段 AP 中點 M 的軌跡方程；（ 2）若 PBQ90，求線段 PQ 中點 N 的軌跡 .變式 2 已知點 P(0,5) 及圓 C : x 2y 24x 12 y240（ 1）直線 l 過 P 且被圓 C 截得的線段長 | AB |43 ，求 l 的方程；（ 2）求過點 P 的圓 C 的動弦的中點M 的軌跡方程 .題型 128 用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件思路提示方程 x 2y2DxEy F0表示圓的充要條件是 D 2E 24F 0 ，故在解決圓的 一般式方程的有關(guān)問題 時，必須注意 這一 隱含 條件 . 在圓的一般方程中 ，圓心 為D ,E，

12、半徑 r1D 2E 24F222例 9.23方程22210 表示圓，則 a 的取值范圍是（y axayaax）22A., 2B.2 ,0C.2,0D.2,233評注 對于用二元二次方程表示圓的方程的充要條件的不等式不需要記憶，只需通過配方，然后讓右邊大于零即可變式1方程22mx2ymx y）440表示圓的方程的充要條件是（A. m1 ,1B. m1,4C. m, 1D. m, 1(1, )44變式 2 若圓 x2y 2(a 2 1) x 2ay a 0 關(guān)于直線 xy 1 0 對稱，則實數(shù) a 的值為_題型 129 點與圓的位置關(guān)系判斷思路提示在處理點與圓的位置關(guān)系問題時，應(yīng)注意圓的不同方程形

13、式對應(yīng)的不同判斷方法，另外還應(yīng)注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約.例 9.24 若點A(1,1)在圓xa2ya2)()4 的內(nèi)部，則實數(shù)a 的取值范圍是（）(A. ( 1,1)B. (0,1)C.( ., 1)(1, )D.1,1評注 判斷點與圓的位置關(guān)系的代數(shù)方法為若點 P( x0 , y0 ) 在圓上 ,則 ( x0a)2( y0b)2r 2 ；若點 P( x0 , y0 ) 在圓外 ,則 ( x0a)2( y0b)2r 2 ；若點 P( x0 , y0 ) 在圓內(nèi) ,則 ( x0a)2( y0b)2r 2 .反之也成立 .變式 1 點 A(1,0)在圓2222yaxa

14、ax3 3 0 上，則 a 的值為 _變式 2 過占 P(1,2) 可以向圓 x2y 22x 4 yk 20 引兩條切線，則k 的范圍是（）A. ( ,7)B. (0,7)C. (3,7)D. (5,)題型 30 與圓有關(guān)的最值問題思路提示解決此類問題， 應(yīng)綜合運用方程消元法、 幾何意義法、 參數(shù)方程法等各種思想和方法求解，才能做到靈活、高效 .例 9.25 已知實數(shù) x,y 滿足方程 x2y 24x 1 0（ 1）求 y 的最大值和最小值；x（ 2）求 yx 的最大值和最小值；（ 3）求 x2y 2 的最大值和最小值評注涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.一般地：（ 1）形

15、如ybx的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.a（ 2）形如 taxby 的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.（ 3）形如 m( xa) 2( y b) 2 的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點到點(a,b)的距離平方的最值問題例 9.26（2017 北京文）已知點 P 在圓 x2y2 =1上，點 A 的坐標(biāo)為 (2,0) ， O 為原點，則AO AP 的最大值為 _變式 1 若圓 x2( y1)21上任意一點 (x,y)都使不等式xym0 恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍是（）A.(,12B.12,)C.(,21D.(,21變式2若圓 x2( y 1) 21上任意一點 (x,y)都使不等式

16、(x2)2y 2m 0 恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍是（）A. (,12B.15, ) C.( , 51D. (, 51題型 131 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用思路提示研究曲線的交點個數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像.在此過程中，尤其要注意需對代數(shù)式進(jìn)行等價變形，以防出現(xiàn)錯誤.例 9.26(2017 新課標(biāo)理 )在矩形 ABCD 中， AB1, AD2 ，動點 P 在以點 C 為圓心且與BD相切的圓上，若APABAD ，則的最大值為（）A 3B22C5D2變式 1 方程 x1 y2 表示的曲線是（）A. 一條射線B. 一個圓C.兩條射線D.半個圓例 9.27直線 y xb 與曲線 x1

17、 y 2 有且僅有一個公共點，則b 的取值范圍是（）A.2, 2B. b | 1 b 1或b2C. b | 1 b 1D. b | b2變式 1當(dāng)曲線 y 14x 2與直線 yk ( x 2)4有兩個相異交點時，實數(shù)k 的取值范圍是（）A.5 ,B.5 ,3C. 0,5D.1, 3121241234變式 2若直線 yx b 與曲線 y 34xx2 有公共點，則b 的取值范圍是（）A.1,122B.1 2 2,12 2C.1 2 2,3D. 12,3變式3 設(shè)集合A( x, y) m(x2)2y2m2 , x, yR ,2B ( x, y) 2m xy 2m1, x, yR，若AB，則實數(shù) m

18、的取值范圍是 _最有效訓(xùn)練題40（限時 45 分鐘）1.若直線 y=kx 與圓 x 2y 24 x30 的兩個交點關(guān)于直線x+y+b=0 對稱，則（）A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-22.若點 (4a-1,3a+2) 不在圓 ( x1) 2( y2)225的外部，則a 的取值范圍是（）A.5 ,5B. (1,1)C.5 , 5D. 1,155553.設(shè)橢圓x2y 21(ab0)的 離 心 率 為 e1， 右 焦 點 為 F (c,0) ， 方 程a2b 22ax 2bxc0 的兩個實根分別為x1和 x2 ，則點 P( x1 , x2 ) （ ）A. 必在圓 x 2y 22內(nèi)B.必在圓 x2y 22 上C.必在圓 x 2y 22 外D.以上三種情形都有可能4.已知圓 x 2y 24 ，過點A(4,0) 作圓的割線 ABC，則弦 BC 中點的軌跡方程是（）A. (x 1)2y 24 1 x12B. ( x 1) 2y24 0 x 1C. ( x 2) 2y 24 1 x12D. ( x 2) 2y 24 0 x 15.已知兩點 A(-1,0), B(0,2) ，點 P 是圓 (x1)2y21上任意一點，則PAB 面積的最大值與最小值分別是（）A. 2,1(45)B.1(45), 1(45)222C.