《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)一、學(xué)情分析在初中學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)。因此本課的內(nèi)容對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，有比較厚實(shí)的基礎(chǔ)，新課的引入會(huì)比較容易和順暢。學(xué)生要面對(duì)的新的學(xué)習(xí)問(wèn)題是，角的概念推廣了，原先學(xué)生所熟悉的銳角三角函數(shù)的定義是否也可以推廣到任意角呢？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)到新知識(shí)的發(fā)生是可能的，自然的。二、教學(xué)目標(biāo)分析（一）知識(shí)與技能1 .掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；2 已知角a終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角 a的各三角函數(shù)值；3記住三角函數(shù)的定義域、值域以及象限符號(hào)。（二）過(guò)程與方法銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量， 以比值為函數(shù)值的函數(shù).引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)定義推廣 到任意角，通過(guò)單位圓和角的終邊， 探討

2、任意角的三角函數(shù)值的求法， 最終得到任意角三角 函數(shù)的定義根據(jù)角終邊所在位置不同，分別探討各三角函數(shù)的定義域、象限符號(hào)。（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀1使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函數(shù)值） 的一種聯(lián)系方式；2通過(guò)共同探究，發(fā)現(xiàn)新知的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的意識(shí)以及大膽猜想、勇于探 索的科學(xué)精神.三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析（一）教學(xué)重點(diǎn)三角函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)特例，與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)具有相同的地位，但是在具體的 定義方式上又有所不同， 應(yīng)該按照概念的體系將之納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，揭示彼此之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)新概念的本質(zhì)屬性。因此本課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)是：通過(guò)概念的同化與精致過(guò)程

3、，幫助學(xué)生理解任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在 各象限的符號(hào)），并在這個(gè)過(guò)程中突出單位圓的作用。（二）教學(xué)難點(diǎn)本課時(shí)研究的是任意角的三角函數(shù)，學(xué)生在初中階段研究過(guò)銳角三角函數(shù)，研究范圍 是銳角；研究方法是幾何的，沒(méi)有坐標(biāo)系的參與；研究目的是為解直角三角形服務(wù)。以上三點(diǎn)都是與本課時(shí)不同的， 因此在教學(xué)過(guò)程中要發(fā)展學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮其學(xué)生的主體作用。具體而言要做到：明確研究范圍的變化， 開(kāi)闊學(xué)生的視野，并揭示由此帶來(lái)的新問(wèn)題， 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣； 借助單位圓在坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，要先將銳角的三角函數(shù)問(wèn)題置于坐標(biāo)系中，幫助學(xué)生利用坐標(biāo)系借助單位圓重新認(rèn)識(shí)銳角

4、三角函數(shù)，這樣做激活了學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并且用新的視角認(rèn)識(shí)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，同時(shí)為新的研究?jī)?nèi)容做好鋪墊。認(rèn)識(shí)一個(gè)函數(shù)，關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)函數(shù)的三要素。在任意角的三角函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中也可能在 自變量和對(duì)應(yīng)法則上出現(xiàn)問(wèn)題，應(yīng)該注意明確任意角的三角函數(shù)的三要素，比如正弦函數(shù) y=sin a中自變量是角，并且 R,對(duì)應(yīng)法則是一個(gè)角與其正弦值對(duì)應(yīng)，至于這個(gè)值怎么計(jì)算，在此處是規(guī)定為角終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，通過(guò)例2可以看出，也可以利用比值定義。對(duì)于一次函數(shù)、二次函數(shù)也需要將自變量的值進(jìn)行計(jì)算得到函數(shù)值，這一點(diǎn)本質(zhì)上是統(tǒng)一的，要引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比理解。綜合上述分析，本課時(shí)的教學(xué)難點(diǎn)是用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)

5、刻畫(huà)三角函數(shù)；三角函數(shù)符號(hào)四、學(xué)法與教學(xué)用具分析利用“班班通”的幾何畫(huà)板改變角的位置，認(rèn)識(shí)角的終邊位于不同象限時(shí)如何定義角 的三角函數(shù)值，充實(shí)學(xué)生的直觀感知材料，幫助學(xué)生形成比較全面的認(rèn)知。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課1、復(fù)習(xí)引入（情景1）我們?cè)诔踔型ㄟ^(guò)銳角三角形的邊角關(guān)系，學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余弦、正切等 三個(gè)三角函數(shù)請(qǐng)回想：這三個(gè)三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的?（設(shè)計(jì)意圖：溫故而知新。要讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，就要從源頭上開(kāi)始,從學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知狀況開(kāi)始。）sin a對(duì)邊斜邊學(xué)生口述后再投影展示，教師再根據(jù)投影進(jìn)行強(qiáng)調(diào):鄰邊con a =斜邊2. 引伸鋪墊、創(chuàng)設(shè)情景（情景2）我們已

6、經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨(dú)立思考和探索，也可以互相討論?。ㄔO(shè)計(jì)意圖：現(xiàn)有認(rèn)知水平和認(rèn)知能力出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，讓學(xué)生產(chǎn)生知識(shí)沖突，進(jìn)行必要啟發(fā)，將學(xué)生思維引上自主探索、合作交流的再創(chuàng)造征途。）留時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對(duì)學(xué)困生作啟發(fā)引導(dǎo)能推廣嗎？怎樣推廣？針對(duì)剛才的問(wèn)題點(diǎn)名讓學(xué)生回答用角的對(duì)邊、鄰邊、斜邊比值的說(shuō)法顯然是受到阻礙了， 由于1.1節(jié)已經(jīng)以直角坐標(biāo)系為工具來(lái)研究任意角了， 學(xué)生一般會(huì)想 到（否則教師進(jìn)行提示）繼續(xù)用直角坐標(biāo)系來(lái)研究任意角的三角函數(shù)（二）主題探究，合作交流問(wèn)題1本章研究的問(wèn)題是三角函數(shù)，函數(shù)的研

7、究離不開(kāi)平面直角坐標(biāo)系。現(xiàn)在請(qǐng)你結(jié)合初中時(shí)我們學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的定義，你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎？（設(shè)計(jì)意圖：將已有知識(shí)坐標(biāo)化 ，分化難點(diǎn)。用新的觀點(diǎn)再認(rèn)識(shí)學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn),發(fā)揮學(xué)生的主體作用，同時(shí)使本課時(shí)的學(xué)習(xí)與學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)緊密聯(lián)系起來(lái)。）預(yù)計(jì)的回答：學(xué)生可以回憶出初中學(xué)過(guò)的銳角三角函數(shù)的定義，但是在用坐標(biāo)語(yǔ)言表 述時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)困難一一即使將角置于坐標(biāo)系中但是仍然習(xí)慣用三角形邊的比值表示銳角 三角函數(shù)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生將之轉(zhuǎn)換為用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)。解答過(guò)程：（1）再現(xiàn)銳角三角函數(shù)的定義:如圖，在直角厶 POM中，/ M是直角，于是y）

8、,它與原點(diǎn)的距離I P 1=護(hù)+於過(guò)P作x軸的垂線，垂足為 M，則線段0M的長(zhǎng)度為X,線段MP的長(zhǎng)度為y.則:yJaP (x,y)0MXMPQMsin,匚os 儀=tan Q 二OPOPOM（2）坐標(biāo)化：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系， 設(shè)銳角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與X軸 的正半軸重合，那么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點(diǎn) P,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（X,問(wèn)題2對(duì)于確定的角 ，這三個(gè)比值是否會(huì)隨點(diǎn) P在的終邊上的位置的改變而改變 呢？為什么？（設(shè)計(jì)意圖：引入單位圓。深化對(duì)單位圓作用的認(rèn)識(shí)， 用數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美引導(dǎo)學(xué) 生進(jìn)行研究，為定義的拓展奠定基礎(chǔ)。該問(wèn)題與問(wèn)題 1結(jié)合，分步推進(jìn)，降低難度，基本尊 重

9、教材的處理方式。）預(yù)計(jì)的困難：由于學(xué)生第一次接觸單位圓，對(duì)它所能起的作用不了解，所以需要教師 的引導(dǎo)。也可以引導(dǎo)學(xué)生從形式上對(duì)上述定義化簡(jiǎn)，使得分母為1,之后通過(guò)分母的幾何意義將之與單位圓結(jié)合起來(lái)。根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角，三個(gè)比值不以點(diǎn) P在的終邊上的位置的改變 而改變大小.我們可以將點(diǎn) P取在使線段0P的長(zhǎng)r 1的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo) 系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：7皿MPQMMP ySin C= = y,cos Of = r tan C =OP 八OPOM a單位圓：在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)0為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓稱為單位圓.上述P點(diǎn)就是的終邊與單位

10、圓的交點(diǎn)，銳角 的三角函數(shù)可以用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示.問(wèn)題3:上述定義是借助于單位圓，利用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)給出的，它可以推廣到任意角的三角函數(shù)，結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法，請(qǐng)你寫(xiě)出任意角的三角函數(shù)的定義。分小組分別寫(xiě)出角的終邊位于第二、三、四象限和 x軸、y軸上時(shí)的三角函數(shù)。（設(shè)計(jì)意圖：具體認(rèn)識(shí)任意角的三角函數(shù)，突現(xiàn)本課時(shí)的研究重點(diǎn)。如果問(wèn)題太一般化，如設(shè)計(jì)為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出任意角的三角函數(shù)的定義。那么學(xué)生不知道“上述定義”是指哪個(gè)，而且不明白任意角該如何取。所以在問(wèn)題設(shè)計(jì)中再 次強(qiáng)調(diào)要借助于單位圓，利用坐標(biāo)，限定學(xué)生的思維，以免太發(fā)散。再者在一般要

11、求“寫(xiě)出 任意角的三角函數(shù)” 之后，又提出具體的活動(dòng)方式： 分小組針對(duì)不同位置的角分別寫(xiě)出其三 角函數(shù)。這樣將問(wèn)題具體化，學(xué)生容易著手解決。寫(xiě)出定義的過(guò)程也是鞏固推廣的過(guò)程，而且這樣做盡可能避免出現(xiàn)學(xué)生用計(jì)算器算cos n的現(xiàn)象。）活動(dòng)形式：由學(xué)生分組獨(dú)立完成之后再展示交流，形成具體而全面的認(rèn)識(shí)。學(xué)生可能會(huì)在寫(xiě)出任意角的三角函數(shù)的定義時(shí)出現(xiàn)困難，教師的幫助不要具體， 而是在思維上引導(dǎo)一用坐標(biāo)表示，并引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的定義域。結(jié)論:如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x, y)，那么:(1)y叫做的正弦（sine），記做sin ,即y卜p（x，y）_ rsiny ；1(2)x

12、叫做的余弦（cosine），記做 cos，即O.WO)cosx ；(3)y叫做的正切（tangent），記做tan，即xtan(x 0).問(wèn)題4:在上述三角函數(shù)定義中，自變量是什么？對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn)，函數(shù)值是什么？（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這樣的活動(dòng)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)定義的理解，達(dá)到對(duì)概念的初精致。）預(yù)計(jì)的困難：學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的自變量認(rèn)識(shí)可能會(huì)存在問(wèn)題。教師的引導(dǎo):引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦的值域。預(yù)計(jì)的答案：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P （x, y）。正弦sin余聽(tīng)COS a正切tan a對(duì)應(yīng)卷則sin a =yCOS 0-Xytan a =-自變量(Ja定義域遷R

13、值域l-h 1(-1* IRn說(shuō)明：(1)當(dāng)knk Z)時(shí)，的終邊在y軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x2都等于0 ,所以tan-無(wú)意義，除此情況外，對(duì)于確定的值，上述三個(gè)值都是唯一確x定的實(shí)數(shù).(2) 當(dāng) 是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同； 當(dāng) 不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)， 因?yàn)椋热挥薪?，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)P(x, y)，從而就必然能夠 最終算出三角函數(shù)值.(3) 正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù) 值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).(三) 例題講解例1求-的正弦、余弦和正切值。(設(shè)計(jì)意圖：鞏固對(duì)定義的理解。)分析：根據(jù)定義求解，

14、先利用銳角三角函數(shù)知識(shí)求出點(diǎn) 再根據(jù)定義求解。2解：如圖5，可知在 RTA OPC中, / OPC=30,所以 OC=,CP=-P的坐標(biāo),丄0)O所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是:解：由已知，可得 |OP|= . ( 3)2 ( 4)2 =5.如圖，設(shè)角a的終邊與單位圓交于點(diǎn) P（x, y） 分別過(guò)點(diǎn)P、F0作x軸的垂線MR MPo,則| MPo|=4 , | MR=- y, |OM=3 , |OM=- x, OM2 OIMo,于是y|MP |MoPo |sina =y=-一1|OP|OPo |x|OM |OMo |cosa =x=1|OP|OPo |tana = y = sin a=4x csa 3（點(diǎn)評(píng)：

15、本例是已知角（久終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，453 5 ；求角a的三角函數(shù)值問(wèn)題.可以先根據(jù)三角形相似將這一問(wèn)題化歸到單位圓上，再由定義得解.）探究：請(qǐng)根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，將正弦、余弦和正切函數(shù)的定義域填入下表；再 將這三種函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào)填入表格中：三角函數(shù)定義域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制sincostan三角函數(shù)的定義告訴我們，各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)，取決于x, y的符號(hào)，當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí)，縱坐標(biāo)y0,點(diǎn)P在第三、四象限時(shí)，縱坐標(biāo) y0，所以正弦函數(shù)值對(duì)于第一、二象限角是正的，對(duì)于第三、四象限角是負(fù)的（可制作課件展示）;同樣地，余弦函數(shù)在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負(fù)的；正切函數(shù)在第一、三象限是正的，在第二、四象限是負(fù)的從而完成上面探究問(wèn)題即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”六、課堂小結(jié)1 本章的三角